让"顺口溜"走入数学课堂

让“顺口溜”走入数学课堂

河南省商水县周口中英文学校 刘易宁

“ 顺口溜”说起来顺口、好记。在数学教学中，如果把知识点或辅助线的添加方法编成“顺口溜”，能使学生更好地学习数学。下面以角平分线为例来谈一谈这个问题。

九年级数学第一章第4节《角平分线》基本知识

1°定义：从一个角的顶点出发引出的一条射线如果把这个角分成两个相等的角，那么这条射线叫做这个角的平分线。

2°性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

（1）定理的应用格式：如图1

∵OP 平分∠AOB,PE ⊥OB,PF ⊥OA

∴PE=PF

(2)角平分线的性质定理必须是已知三个条件得到一

个结论。

（3）角平分线的性质定理可以用来说明两条线段相等。

3°判定定理：在一个角的内部、且到角的两边距离相

等的点，在这个角的平分线上。

（1）应用格式：如图1

∵PE ⊥OB,PF ⊥OA ，PE=PF

∴OP 平分∠AOB

（2）角平分线的判断定理的应用仍需已知三个条件得到一个结论。

（3）角平分线的判断定理可以用来证明两个角相等。

一、“角平分线遇平行线，等腰三角形会出现”

例1 如图2，在⊿ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点D, 过点D 作EF ∥BC,

若BD+CF=5,则EF=( C )

A、7 B、6 C、5 D、4

解析：∵EF ∥BC

∴∠CBD=∠EDB

∵BD 平分∠ABC

∴∠CBD=∠EBD

∴∠EBD= ∠EDB

∴BE=DE

同理 DF=CF

∵BE+FC=5

∴DE+DF=5

即EF=5

点拨：本题出现了角平分线同时又有平行线，而⊿BED 和⊿CFD 等腰三角形。因此总结为“角平分线遇平行线，等腰三角形会出现”，便于学生记忆和解题。

二、“角平分线作垂线，性质定理在眼前”

例2 如图3，∠B=∠C=90,M 是BC 的中点，DM 平分

∠ADC.

求证：AM 平分∠DAB.

分析：要证AM 平分∠DAB ，只需证点M 在∠DAB 的平分线上。因此，可考虑运用角平分线的判断定理。故过M 点作MN ⊥AD 于点N 。则有MN=CM=BM.从而命题得证。

证明：过M 点作MN ⊥AD 于点N

又∵DM 平分∠ADC. ∠C=90°

∴MN=CM（角平分线上的点到角两边的距离相等）

∵CM=BM

∴MN=BM

又∵MN ⊥AD. ∠B=90°

∴点M 在∠DAB 的平分线上。（在角的内部，且到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）

∴AM 平分∠DAB

点拨：本题通过作MN ⊥AD 得MN=CM是解题关键。所以总结为“角平分线作垂线，性

质定理在眼前。”

三、“角平分线遇垂线，延垂构成等腰边”

例3 如图4，在△ABC 中，M 是BC 的中点，AN 平分∠BAC ，BN ⊥AN. 若AB=28,AC=38,

求MN 的长。

分析：本题中∠BAC 的平分线与过点B 的垂线相遇在一起，我们可以把BN 延长交AC

于点E ，得到△ABE 为等腰三角形，从而AE=AB=28,且N 为BE 的中点，又由BC

的中点M ，得MN 为△BCE 的中位线，利用中位线的性质定理即可解题。

解： 延长BN 交AC 于点E.

∵AN 平分∠BAC

∴∠BAN=∠EAN

∵BN ⊥AN

∴∠ANB=∠ANE=90°

∵AN=AN

∴△ABN ≌△AEN

∴BN=EN,AE=AB

∵M 为BC 的中点

∴ MN为△BCE 的中位线

∴MN=

=111EC=(AC-AE)= (AC-AB) 2221×(38-28)=5

2

∴ MN的长为5

点拨：由于本题中角平分线与垂线相遇在一起，而通过把垂线延长，从而得到△ABE

为等腰三角形，问题得到解决。因此，总结为“角平分线遇垂线，延垂构成等

腰边”。

数学知识严谨枯燥，在数学教学中，如果老师把知识点或常用的解题方法编成“顺口溜”，将会增加学生学习数学的兴趣，达到事半功倍的效果。

12. 一元一次不等式组的解集：大大取较大，小小取较小，小大，大小取中间, 大小, 小大无处找。

13. 一元二次不等式、一元一次绝对值不等式的解集：大(鱼) 于(吃) 取两边, 小(鱼) 于(吃) 取中间。

14. 分式混合运算法则：分式四则运算，顺序乘除加减，乘除同级运算，除法符号须变（乘）；乘法进行化简，因式分解在先，分子分母相约，然后再行运算；加减分母需同，分母化积关键；找出最简公分母，通分不是很难；变号必须两处，结果要求最简。

15. 分式方程的解法步骤：同乘最简公分母，化成整式写清楚，求得解后须验根，原（根）留、增（根）舍别含糊。

16. 最简根式的条件：最简根式三条件，号内不把分母含，幂指（数）根指（数）要互质，幂指比根指小一点。

17. 特殊点坐标特征:坐标平面点(x,y),横在前来纵在后；(+,+),(-,+),(-,-)和(+,-),四个象限分前后；X 轴上y 为0,x 为0在Y 轴。

18. 象限角的平分线:象限角的平分线, 坐标特征有特点，一、三横纵都相等, 二、四横纵确相反。

19. 平行某轴的直线:平行某轴的直线，点的坐标有讲究，直线平行X 轴, 纵坐标相等横不同；直线平行于Y 轴, 点的横坐标仍照旧。

20. 对称点坐标:对称点坐标要记牢, 相反数位置莫混淆，X 轴对称y 相反,Y 轴对称,x 前面添负号；原点对称最好记, 横纵坐标变符号。

21. 自变量的取值范围：分式分母不为零，偶次根下负不行；零次幂底数不为零，整式、奇次根全能行。

1. 函数图像的移动规律:

若把一次函数解析式写成y=k（x+0）+b，

二次函数的解析式写成y=a（x+h）2+k的形式，

则用下面后的口诀：

“左右平移在括号, 上下平移在末稍,

左正右负须牢记, 上正下负错不了”。

2. 一次函数图像与性质口诀:

一次函数是直线，图像经过仨象限；

正比例函数更简单, 经过原点一直线；

两个系数k 与b, 作用之大莫小看，

k 是斜率定夹角,b 与Y 轴来相见,

k 为正来右上斜,x 增减y 增减；k 为负来左下展, 变化规律正相反； k 的绝对值越大, 线离横轴就越远。

3. 二次函数图像与性质口诀:

二次函数抛物线，图象对称是关键；

开口、顶点和交点, 它们确定图象限；

开口、大小由a 断,c 与Y 轴来相见,b 的符号较特别，符号与a 相关联；顶点位置先找见，Y 轴作为参考线，左同右异中为0，牢记心中莫混乱；顶点坐标最重要, 一般式配方它就现，横标即为对称轴, 纵标函数最值见。若求对称轴位置, 符号反, 一般、顶点、交点式，不同表达能互换。

4. 反比例函数图像与性质口诀:

反比例函数有特点, 双曲线相背离的远;

k 为正, 图在一、三(象) 限；k 为负, 图在二、四(象) 限;

图在一、三函数减, 两个分支分别减；图在二、四正相反, 两个分支分别添; 线越长越近轴, 永远与轴不沾边。

5. 巧记三角函数定义：

初中所学的三角函数有正弦、余弦、正切、余切，它们实际是三角形边的比值，可以把两个字用／隔开，再用下面的一句话记定义：

一位不高明的厨子教徒弟杀鱼，说了这么一句话:

正对鱼磷(余邻) 直刀切。

正：正弦或正切，对：对边即正是对；

余：余弦或余弦，邻：邻边即余是邻；切是直角边。

6. 三角函数的增减性：

正增余减

7. 特殊三角函数值记忆:

分母口诀：30度、45度、60度的正弦值、余弦值的分母都是2，

30度、45度、60度的正切值、余切值的分母都是3，

分子口诀：“123，321，三九二十七”。

8. 平行四边形的判定：

要证平行四边形，两个条件才能行。

一证对边都相等；或证对边都平行；

一组对边也可以，必须相等且平行。

对角线，是个宝，互相平分“跑不了”；

对角相等也有用，“两组对角”才能成。

9. 梯形问题的辅助线：

移动梯形对角线，两腰之和成一线；

平行移动一条腰，两腰同在“△”现；

延长两腰交一点，“△”中有平行线；

作出梯形两高线，矩形显示在眼前；

已知腰上一中线，莫忘作出中位线。

10. 添加辅助线歌：

辅助线，怎么添？找出规律是关键。

题中若有角（平）分线，可向两边作垂线；

线段垂直平分线，引向两端把线连，三角形边两中点，连接则成中位线；三角形中有中线，延长中线翻一番。

11. 圆的证明歌：

圆的证明不算难，常把半径直径连；

有弦可作弦心距，它定垂直平分弦；

直径是圆最大弦，直圆周角立上边，它若垂直平分弦，垂径、射影响耳边；还有与圆有关角，勿忘相互有关联， 圆周、圆心、弦切角，细找关系把线连。同弧圆周角相等，证题用它最多见， 圆中若有弦切角，夹弧找到就好办；圆有内接四边形，对角互补记心间，外角等于内对角，四边形定内接圆；直角相对或共弦，试试加个辅助圆；

若是证题打转转，四点共圆可解难；

要想证明圆切线，垂直半径过外端，直线与圆有共点，证垂直来半径连，直线与圆未给点，需证半径作垂线；

四边形有内切圆，对边和等是条件；如果遇到圆与圆，弄清位置很关键，两圆相切作公切，两圆相交连公弦。

12. 圆中比例线段：

遇等积，改等比，横找竖找定相似；

不相似，别生气，等线等比来代替，

遇等比，改等积，引用射影和圆幂，

平行线，转比例，两端各自找联系。

13. 正多边形诀窍歌:

份相等分割圆，n 值必须大于三， 依次连接各分点，内接正n 边形在眼前。

经过分点做切线，切线相交n 个点，n 个交点做顶点，外切正n 边形便出现。

正n 边形很美观，它有内接，外切圆，内接、外切都唯一，两圆还是同心圆，它的图形轴对称，n 条对称轴都过圆心点；如果n 值为偶数，中心对称很方便；正n 边形做计算，边心距、半径是关键，内切、外接圆半径，边心距、半径分别换，分成直角三角形2n 个整，依此计算便简单。

14. 函数学习口决：

正比例函数是直线，图象一定过原点，k 的正负是关键，决定直线的象限，负k 经过二四限，x 增大y 在减，上下平移k 不变，由引得到一次线，向上加b 向下减，图象经过三个限，两点决定一条线，选定系数是关键；

反比例函数双曲线，待定只需一个点，正k 落在一三限，x 增大y 在减，图象上面任意点，矩形面积都不变，对称轴是角分线x 、y 的顺序可交换；

二次函数抛物线，选定需要三个点，a 的正负开口判，c 的大小y 轴看，△的符号最简便，x 轴上数交点，a 、b 同号轴左边抛物线平移a 不变，顶点牵着图象转，三种形式可变换，配方法作用最关键。

22 添加辅助线

学习几何体会深，成败也许一线牵。

分散条件要集中，常要添加辅助线。

畏惧心理不要有，其次要把观念变。

熟能生巧有规律，真知灼见靠实践。

图中已知有中线，倍长中线把线连。

旋转构造全等形，等线段角可代换。

多条中线连中点，便可得到中位线。

倘若知角平分线，既可两边作垂线。

也可沿线去翻折，全等图形立呈现。

角分线若加垂线，等腰三角形可见。

角分线加平行线，等线段角位置变。

已知线段中垂线，连接两端等线段。

辅助线必画虚线，便与原图联系看。

23 两点间距离公式

同轴两点求距离，大减小数就为之。

与轴等距两个点，间距求法亦如此。 平面任意两个点，横纵标差先求值。 差方相加开平方，距离公式要牢记。

24.1 矩形的判定

任意一个四边形，三个直角成矩形； 对角线等互平分，四边形它是矩形。 已知平行四边形，一个直角叫矩形； 两对角线若相等，理所当然为矩形。

24.2 菱形的判定

任意一个四边形，四边相等成菱形； 四边形的对角线，垂直互分是菱形。 已知平行四边形，邻边相等叫菱形； 两对角线若垂直，顺理成章为菱形。

二次函数

二次方程零换ｙ，二次函数便出现。

全体实数定义域，图像叫做抛物线。

抛物线有对称轴，两边单调正相反。

A 定开口及大小，线轴交点叫顶点。

顶点非高即最低。上低下高很显眼。

如果要画抛物线，平移也可去描点，

提取配方定顶点，两条途径再挑选。

列表描点后连线，平移规律记心间。

左加右减括号内，号外上加下要减。

二次方程零换ｙ，就得到二次函数。

图像叫做抛物线，定义域全体实数。

A 定开口及大小，开口向上是正数。

绝对值大开口小，开口向下A 负数。

抛物线有对称轴，增减特性可看图。

线轴交点叫顶点，顶点纵标最值出。

如果要画抛物线，描点平移两条路。

提取配方定顶点，平移描点皆成图。

列表描点后连线，三点大致定全图。

若要平移也不难，先画基础抛物线，

顶点移到新位置，开口大小随基础。