空间立体几何图形的截面

空间立体几何图形的截面

江苏省前黄高级中学 许云峰

教学背景

本课为以立体几何的截面图为核心，让学生借助《几何画板》的实际模拟和探索功能进行学习，由学生自我探究，进行知识迁移，通过类比，自己去尝试并最终解决问题。教师在此过程中进行必要的总结和在学生出现困难时进行指导，由此培养学生思维的独立和发散性，使学生真正成为学习的主体。

教学目标：

1．认知目标：整合几何体的截面情况，形成完整的认知体系。

2．能力目标：学生利用《几何画板》探索问题的能力，以培养学生知识迁移能力，发散思维和类比思维能力。

3．情感目标：培养学生探索创新能力，激发学生学习的热情和积极性。

重点与难点

重点：空间几何体的截面图的作法；空间旋转体的截面作法。

难点：空间几何图形的交点的作法；由极限思想作出空间旋转体的截面图的作法。

教学策略与教法设计

策略：教师提出问题，然后逐层展开，分步进行研究（需学生进行探索和分析），然后学生进行分组讨论和实际操作，通过自主学习、探究学习、合作学习达到认知的意义建构。

教法

1．演示法：把制作的课件展示给学生，便于学生对知识的深层次的把握，并从中获得启发，从而解决问题。这同时也给学生制作作品提供了模板，让学生明白作品需达到的要求。

2．谈话法：在教师指导下，由全班或小组成员围绕某一中心问题发表自己的看法，从而进行相互学习、合作学习，集思广益。

3．成果展示法：将学生制作的作品有选择的展示（以小组为单位进行制作，每个小组推荐1~2个进行演示），让学生获得成功的喜悦和认同，从而激发学生后续学习的热情。

4．讨论法：就学生探索所得成果，各小组可自由提问，或者师生共同评价，最后总结成整体观点。

教学过程设计

先期准备

在《几何画板》中建立立体几何的图形工具包，方便学生在最快的时间内作出准确的立体几何图形，以方便学生进行探究性学习，避免在作图上花费过多时间和精力；同时可以给学生以示范，让学生学会如何作出形象的立体几何直观图。

教学目标提出

探究空间几何图形上过任意三点的截面

1．分三个小组对多面体进行协作探究：第一小组：柱体；第二小组：锥体；第三小组：台体。主要探究任意三点的位置和截面的形状。

2．探究圆锥的截面。

分组探究，层层推进，把问题推向纵深

通过发挥学生自主学习的特点，并根据几何体的特征可以分类，故我们采取分组进行自我探索，相互协作，小组讨论，师生共同总结等方法进行教学。在此过程中，老师作为主导者，主要为学生提供必要的帮助和方向指引，而学习的过程主要靠学生自我完成。

学生进行分组协助学习。

每小组的探索活动都可分为三个层次进行：

以最简单的图形出发，即三棱柱、三棱锥、三棱台研究任意三点的位置的取法。

随后作出过三点的截面（作法依据：公理及其推论），并拖动三点，观察截面的变化情况，从而得出结论，并进行组内交流，形成小组统一观点。

对几何体作广度延伸：把底面边数增加，类比的作出截面，并归纳出截面变化情况。最后统一制作成作品，准备交流。

在小组探索中，充分发挥学生的自主性，使学生真正成为学习的主人。

各小组进行作品展示。

各小组可以对展示作品进行讨论，可以对作品提问，讨论（可以应用网络的讨论板块进行或直接的讨论），师生共同评价（或者先学生讨论，教师再总结）。学生在老师的帮助下，加深对知识的理解，从而得到启发，进行知识建构。

发散与推广

运用极限的逼近思想，来解决圆锥曲线的截面问题，使截面问题达到高潮：既加深对原有问题（多

面体的截面）的认识，又引发出问题新的生长点，大大激发学生的探索兴趣。

把问题向纵深推广：伴随正棱柱、正棱锥、正棱台底面边数的增加，多面体逼近旋转体，我们能够通过逼近的思想把旋转体的截面作出来呢？

旋转体，是母线饶轴旋转而来，故截面与旋转体侧面的交线即为母线与截面交点饶轴旋转而来，由此我们可以作出过母线上任意三点的旋转体的截面了。

以圆锥为例，作出圆锥截面，并探究截面的情形。并把圆柱和圆台的问题留在课后，使学生继续进行探究活动。

本课教学的主题是学生，这使学生在如何加工信息、怎样推理验证等方面得到锻炼，利于培养学生探索能力，使学生既学到了知识，学到了科学的思想方法，又提高了能力；让学生从整个知识体系中去掌握知识点的来龙去脉，也就是把它的逻辑锁链搞清楚，并尝试从知识体系中寻找新的知识生长点！对同学们的表现进行评价，要及时表扬一些表现好的同学，同时鼓励其他同学，以提高同学们学习的积极性并知道他们进行新的探索，使学生产生后继学习的激情。

空间立体几何图形的截面

江苏省前黄高级中学 许云峰

教学背景

本课为以立体几何的截面图为核心，让学生借助《几何画板》的实际模拟和探索功能进行学习，由学生自我探究，进行知识迁移，通过类比，自己去尝试并最终解决问题。教师在此过程中进行必要的总结和在学生出现困难时进行指导，由此培养学生思维的独立和发散性，使学生真正成为学习的主体。

教学目标：

1．认知目标：整合几何体的截面情况，形成完整的认知体系。

2．能力目标：学生利用《几何画板》探索问题的能力，以培养学生知识迁移能力，发散思维和类比思维能力。

3．情感目标：培养学生探索创新能力，激发学生学习的热情和积极性。

重点与难点

重点：空间几何体的截面图的作法；空间旋转体的截面作法。

难点：空间几何图形的交点的作法；由极限思想作出空间旋转体的截面图的作法。

教学对象分析

教学对象：高二及高二以上年级学生

学生特点：

（1）在操作方面：高二年级的学生有一定的电脑操作基础，可以自己操作电脑。但学生的操作水平参差不齐，特别是对数学软件《几何画板》不够熟悉，还不能熟练地操作，所以在上这节课之前要上预备课，主要教学生软件的使用。要做到能独立操作软件且能较熟练地完成一定的学习任务。

（2）在知识方面：高二的学生通过对立体集合内容的学习，对空间立体几何有较为全面的认识，但是空间想象能力还有待进一步提高。本节课让学生自己操作软件，通过同学之间的相互协作及通过网络的交流来发现规律，实现知识的整合。

教学策略与教法设计

策略：教师提出问题，然后逐层展开，分步进行研究（需学生进行探索和分析），然后学生进行分组讨论和实际操作，通过自主学习、探究学习、合作学习达到认知的意义建构。

教法

1．演示法：把制作的课件展示给学生，便于学生对知识的深层次的把握，并从中获得启发，从而解决问题。这同时也给学生制作作品提供了模板，让学生明白作品需达到的要求。

2．谈话法：在教师指导下，由全班或小组成员围绕某一中心问题发表自己的看法，从而进行相互学习、合作学习，集思广益。

3．成果展示法：将学生制作的作品有选择的展示（以小组为单位进行制作，每个小组推荐1~2个进行演示），让学生获得成功的喜悦和认同，从而激发学生后续学习的热情。

4．讨论法：就学生探索所得成果，各小组可自由提问，或者师生共同评价，最后总结成整体观点。 网络环境分析：

一人一机的网络教室和网络控制软件《TOP2000》等

教学过程设计

先期准备

在《几何画板》中建立立体几何的图形工具包，方便学生在最快的时间内作出准确的立体几何图形，以方便学生进行探究性学习，避免在作图上花费过多时间和精力；同时可以给学生以示范，让学生了解如何作出形象的立体几何直观图。

教学目标提出

探究空间几何图形上过任意三点的截面

1．分三个小组对多面体进行协作探究：第一小组：柱体；第二小组：锥体；第三小组：台体。主要探究任意三点的位置和截面的形状。

2．探究圆锥的截面。

分组探究，层层推进，把问题推向纵深

第一小组：探究柱体上过棱上任意三点的截面。1．由三棱柱开始，研究其过棱棱上任意三点的截面，探究：（1）任意三点的取法，（2）每种取法下，截面有几种形状，最后总结三棱柱截面情况；

学生首先给出取点位置：（图1）三点都在侧棱上；三点都在底面上（一面上两个，另一面上一个）；棱上一个，底面上两个（一上，一下或两个在同一底面）；侧棱上两个，底面上一个。

作出三棱柱，分别画出上述情况，并拖动原始点观察截面图的变化情况，最终得出三棱柱截面的情况：当截面与三棱柱的侧棱不相交时，截面为四边形；当截面与三棱柱的侧棱相交时，截面为四边形或三角形。

图1

2．类似探究四棱柱，五棱柱……（图2）

C

图2 B A B A

四棱柱：截面可为六边形，五边形，四边形，三角形。

五棱柱：截面可为七边形，六边形，五边形，四边形，三角形。

第二小组：探究锥体上过棱上任意三点的截面。1．由三棱锥开始，研究其过棱棱上任意三点的截面，探究：（1）任意三点的取法，（2）每种取法下，截面有几种形状，最后总结三棱锥截面情况。

学生找出点的取法（图3）：两个在侧棱上，一个在底面；两个在底面，一个在侧棱；三个在侧棱。

图3

作出三棱锥，分别画出上述情况，并拖动原始点观察截面图的变化情况，最终得出三棱柱截面的情况。有点在底面上时（不包括顶点），截面为四边形，否则为三角形。

2．类似探究四棱柱，五棱柱……（图4）

四棱柱：截面可为五边形，四边形，三角形。

五棱柱：截面可为六边形，五边形，四边形，三角形。

第三小组：探究台体上过棱上任意三点的截面。1．由三台锥开始，研究其过棱棱上任意三点的截面，探究：（1）任意三点的取法，（2）每种取法下，截面有几种形状，最后总结三棱台截面情况。

学生首先给出取点位置：（图5）三点都在侧棱上；三点都在底面上（一面上两个，另一面上一个）；图4

棱上一个，底面上两个（一上，一下或两个在同一底面）；侧棱上两个，底面上一个。

作出三棱台，分别画出上述情况，并拖动原始点观察截面图的变化情况，最终得出三棱台截面的情况。当截面与三棱柱的侧棱不相交时，截面为四边形；当截面与三棱柱的侧棱相交时，截面为四边形或三角形。

2．类似探究四棱台，五棱台……（图6）

图5 图6

四棱台：截面可为六边形，五边形，四边形，三角形。

五棱台：截面可为七边形，六边形，五边形，四边形，三角形。

各小组可以对展示作品进行讨论，可以对作品提问，讨论（可以应用网络的讨论板块进行或直接的讨论），师生共同评价（或者先学生讨论，教师再总结）。学生在老师的帮助下，加深对知识的理解，从而得到启发，进行知识建构。

发散与推广

把问题向纵深推广：伴随正棱柱、正棱锥、正棱台底面边数的增加，多面体逼近旋转体，我们能够通过逼近的思想把旋转体的截面作出来呢？

旋转体，是母线饶轴旋转而来，故截面与旋转体侧面的交线即为母线与截面交点饶轴旋转而来，由此我们可以作出过母线上任意三点的旋转体的截面了。

我们以圆锥为例，作出圆锥截面，并探究截面的情形。

本课教学的主题是学生，这使学生在如何加工信息、怎样推理验证等方面得到锻炼，利于培养学生

探索能力，使学生既学到了知识，学到了科学的思想方法，又提高了能力；让学生从整个知识体系中去掌握知识点的来龙去脉，也就是把它的逻辑锁链搞清楚，并尝试从知识体系中寻找新的知识生长点！对同学们的表现进行评价，要及时表扬一些表现好的同学，同时鼓励其他同学，以提高同学们学习的积极性并知道他们进行新的探索，使学生产生后继学习的激情。

教学流程

给出学习目标