八年级数学上第一章 勾股定理教案

第一章 勾股定理

1. 探索勾股定理（第1课时）

一、学生起点分析

八年级学生已经具备一定的观察、归纳、探索和推理的能力．在小学，他们已学习了一些几何图形面积的计算方法（包括割补法），但运用面积法和割补思想解决问题的意识和能力还远远不够．部分学生听说过“勾三股四弦五”，但并没有真正认识什么是“勾股定理”．此外，学生普遍学习积极性较高，探究意识较强，课堂活动参与较主动，但合作交流能力和探究能力有待加强．

二、教学任务分析

本节课是义务教育课程标准实验教科书北师大版八年级(上) 第一章《勾股定理》第一节第1课时. 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的一种美妙关系，将形与数密切联系起来，在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用．本节是直角三角形相关知识的延续，同时也是学生认识无理数的基础，充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性、连续性．此外，历史上勾股定理的发现反映了人类杰出的智慧，其中蕴涵着丰富的科学与人文价值．

为此本节课的教学目标是：

1．用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用．

2．让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法．

3．进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力；进一步体会数学与现实生活的紧密联系．

4．在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐；通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化历史，激励学生发奋学习．

三、教学过程设计

本节课设计了五个教学环节：第一环节：创设情境，引入新课；第二环节：探索发现勾股定理；第三环节：勾股定理的简单应用；第四环节：课堂小结；第五环节：布置作业．

第一环节：创设情境，引入新课

内容：2002年世界数学家大会在我国北京召开，投影显示本届世界数学家大会的会标：

1

会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形，数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号．今天我们就来一同探索勾股定理．（板书课题）

意图：紧扣课题，自然引入，同时渗透爱国主义教育. 说明：激发起学生的求知欲和爱国热情.

第二环节：探索发现勾股定理

1．探究活动一

内容：投影显示如下地板砖示意图，引导学生从面积角度观察图形：

问：你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？ 学生通过观察，归纳发现：

结论1 以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．

意图：从观察实际生活中常见的地板砖入手，让学生感受到数学就在我们身边．通过对特殊情形的探究得到结论1，为探究活动二作铺垫.

说明：1．探究活动一让学生独立观察，自主探究，培养独立思考的习惯和能力；2．通过探索发现，让学生得到成功体验，激发进一步探究的热情和愿望. 2．探究活动二

内容：由结论1我们自然产生联想：一般的直角三角形是否也具有该性质呢？ （1） 观察下面两幅图： （2）

2

（2）填表：

（3）你是怎样得到正方形C 的面积的？与同伴交流．（学生可能会做出多种方法，教师应给予充分肯定．）

图1 图2 图3 学生的方法可能有： 方法一：

如图1，将正方形C 分割为四个全等的直角三角形和一个小正方形，

1

S C =4⨯⨯2⨯3+1=13．

2

方法二：

如图2，在正方形C 外补四个全等的直角三角形，形成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，S C =52-4⨯⨯2⨯

3=13．

方法三：

如图3，正方形C 中除去中间5个小正方形外，将周围部分适当拼接可成为正方形，如图3中两块红色（或两块绿色）部分可拼成一个小正方形，按此拼法，S

C =2⨯4+5=13．

（4）分析填表的数据，你发现了什么？ 学生通过分析数据，归纳出：

结论2 以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．

意图：探究活动二意在让学生通过观察、计算、探讨、归纳进一步发现一般直角三角形的性质．由于正方形C 的面积计算是一个难点，为此设计了一个交流环节

.

3

12

说明：学生通过充分讨论探究，在突破正方形C 的面积计算这一难点后得出结论2. 3．议一议

内容：（1）你能用直角三角形的边长a ，b ，c 来表示上图中正方形的面积吗？ （2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？

（3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度．2中发现的规律对这个三角形仍然成立吗？

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a ，b ，c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a 2+b 2=c 2．

数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理）

意图：议一议意在让学生在结论2的基础上，进一步发现直角三角形三边关系，得到勾股定理.

说明：1．让学生归纳表述结论，可培养学生的抽象概括能力及语言表达能力；2．通过作图培养学生的动手实践能力.

勾

弦股

第三环节：勾股定理的简单应用

内容：

例题 如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10m 处折断倒下，树顶落在离树根24m 处. 大树在折断之前高多少？

（教师板演解题过程） 练习：

1．基础巩固练习：

求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度（口答）：

2．生活中的应用：

小明妈妈买了一部29 in（74 cm）的电视机. 小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58

4

100

225

x

15

?

cm 长和46 cm宽，他觉得一定是售货员搞错了．你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？

意图：练习第1题是勾股定理的直接运用，意在巩固基础知识．

说明：例题和练习第2题是实际应用问题，体现了数学来源于生活，又服务于生活，意在培养学生“用数学”的意识．运用数学知识解决实际问题是数学教学的重要内容.

第四环节：课堂小结

内容： 教师提问：

1．这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？ 2．对这些内容你有什么体会？与同伴进行交流． 在学生自由发言的基础上，师生共同总结：

1．知识：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a ，b ，c 分

222

别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a +b =c ．

2．方法：（1） 观察—探索—猜想—验证—归纳—应用； （2）“割、补、拼、接”法.

3．思想：（1） 特殊—一般—特殊； （2） 数形结合思想．

意图：鼓励学生积极大胆发言，可增进师生、生生之间的交流、互动．

说明：通过畅谈收获和体会，意在培养学生口头表达和交流的能力，增强不断反思总结的意识.

第五环节：布置作业

内容：布置作业：1．教科书习题1.1.

2．观察下图，探究图中三角形的三边长是否满足a 2+b 2=c 2？

意图：课后作业设计包括了三个层面：作业1是为了巩固基础知识而设计；作业2是为了

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扩展学生的知识面；作业3是为了拓广知识，进行课后探究而设计，通过此题可让学生进一步认识勾股定理的前提条件．

说明：学生进一步加强对本课知识的理解和掌握．

五、教学设计反思

探索勾股定理（第2课时）

本节课的教学目标是：

1. 掌握勾股定理及其验证，并能应用勾股定理解决一些实际问题.

2. 在上节课对具体的直角三角形探索发现了勾股定理的基础上，经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想.

3. 在勾股定理的验证活动中，培养探究能力和合作精神；通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，增强爱国情感，并通过应用勾股定理解决实际问题，培养应用数学的意识.

用面积法验证勾股定理，应用勾股定理解决简单的实际问题是本节课的重点.

教学过程

本节课设计了七个教学环节：（一）复习设疑，激趣引入；（二）小组活动，拼图验证；（三）延伸拓展，能力提升 （四） 例题讲解，初步应用；（五） 追溯历史，激发情感；；（六） 回顾反思，提炼升华；（七） 布置作业，课堂延伸.

第一环节： 复习设疑，激趣引入

内容：教师提出问题：

（1）勾股定理的内容是什么？（请一名学生回答）

（2）上节课我们仅仅是通过测量和数格子，对具体的直角三角形探索发现了勾股定理，对一般的直角三角形，勾股定理是否成立呢？这需要进一步验证，如何验证勾股定理呢？事实上，现在已经有几百种勾股定理的验证方法，这节课我们也将去验证勾股定理.

意图：（1）复习勾股定理内容；（2）回顾上节课探索过程，强调仍需对一般的直角三角

形进行验证，培养学生严谨的科学态度；（3）介绍世界上有数百种验证方法，激发学生兴趣.

说明：通过这一环节，学生明确了：仅仅探索得到勾股定理还不够，还需进行验证. 当

6

学生听到有数百种验证方法时，马上就有了去寻求属于自己的方法的渴望.

第二环节：小组活动，拼图验证.

内容： 活动1： 教师导入，小组拼图.

教师：今天我们将研究利用拼图的方法验证勾股定理，请你利用自己准备的四个全等

的直角三角形，拼出一个以斜边为边长的正方形. （请每位同学用2分钟时间独立拼图，然后再4人小组讨论. ）

活动2：层层设问，完成验证一.

学生通过自主探究，小组讨论得到两个图形：

图1

图2

在此基础上教师提问：

（1）如图1你能表示大正方形的面积吗？能用两种方法吗？（学生先独立思考，再4人小组交流）；

（2）你能由此得到勾股定理吗？为什么？（在学生回答的基础上板书(a+b)2=4×ab+c2. 并得到a 2+b 2=c 2）

从而利用图1验证了勾股定理. 活动3 ： 自主探究，完成验证二.

教师小结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，联系整式运算的

有关知识，从理论上验证了勾股定理，你还能利用图2验证勾股定理吗？

（学生先独立探究，再小组交流，最后请一个小组同学上台讲解验证方法二） 意图：设计活动1的目的是为了让学生在活动中体会图形的构成，既为勾股定理的验证作铺垫，同时也培养学生的动手、创新能力. 在活动2中，学生在教师的层层设问引导下完成对勾股定理的验证，完成本节课的一个重点内容. 设计活动3，让学生利用另一个拼图独立验证勾股定理的目的是让学生再次体会数形结合的思想并体会成功的快乐.

说明：学生通过先拼图从形上感知，再分析面积验证，比较容易地掌握了本节课的重点内容之一，并突破了本节课的难点.

7

1

2

第三环节 延伸拓展，能力提升

1. 议一议:观察下图, 用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足a 2+b2=c2

2. 一个直角三角形的斜边为20cm , 且两直角边长度比为3:4，求两直角边的长。 意图：在前面已经讨论了直角三角形三边满足的关系，那么锐角三角形或钝角三角形

的三边 是否也满足这一关系呢？学生通过数格子的方法可以得出：如果一个三角形不是直角三角形，那么它的三边a , b,c 不满足a 2+b2=c2。通过这个结论，学生将对直角三角形三边的关系有进一步的认识，并为后续直角三角形的判别打下基础。

第四环节： 例题讲解 初步应用

内容：例题：飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩子头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？

意图：（1）初步运用勾股定理解决实际问题，培养学生应用数学的意识和能力；（2）体会勾股定理的应用价值.

说明：学生对这样的实际问题很感兴趣，基本能把实际问题转化为数学问题并顺利解决.

第五环节： 追溯历史 激发情感

活动内容：由学生利用所搜集的与勾股定理相关的资料进行介绍.

国内调查组报告：用图2验证勾股定理的方法，据载最早是三国时期数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，我国历史上将图2弦上的正方形称为弦图 .2002年的数学家大会（ICM-2002）在北京召开，这届大会会标的中央图案正是经过艺术处理的弦图，这既标志着中国古代的数学成就 ，又像一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学家们！

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国际调查组报告：勾股定理与第一次数学危机.

约公元前500年，毕达哥拉斯学派的弟子希帕索斯(Hippasus)发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线的长度是不可公度的. 按照毕达哥拉斯定理(勾股定理) ，若正方形边长是1，则对角线的长不是一个有理数，它不能表示成两个整数之比，这一事实不但与毕氏学派的哲学信念大相径庭，而且建立在任何两个线段都可以公度基础上的几何学面临被推翻的威胁，第一次数学危机由此爆发. 据说，毕达哥拉斯学派对希帕索斯的发现十分惶恐、恼怒，为了保守秘密，最后将希帕索斯投入大海.

不能表示成两个整数之比的数，15世纪意大利著名画家达. 芬奇称之为“无理的数”，无理数的英文“irrational”原义就是“不可比”. 第一次数学危机一直持续到19世纪实数的基础建立以后才圆满解决. 我们将在下一章学习有关实数的知识 .

趣闻调查组报告：勾股定理的总统证法.

在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景„„他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨．由于好奇心驱使他循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形„„

于是这位中年人不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下 的难题. 他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给 出了简洁的证明方法.

1876年4月1日，他在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法.

1881年，这位中年人—伽菲尔德就任美国第二十任总统. 后来，人们为

了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法.

说明：这个环节完全由学生来组织开展，教师可在两天前布置任务，让部分同学收集勾股定理的资料，并在上课前拷贝到教师用的课件中便于展示，内容可灵活安排.

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a b

意图：（1）介绍与勾股定理有关的历史，激发学生的爱国热情；（2）学生加强了对数学史的了解，培养学习数学的兴趣；（3）通过让部分学生搜集材料，展示材料，既让学生得到充分的锻炼，同时也活跃了课堂气氛.

说明：学生热情高涨，对勾股定理的历史充满了浓厚的兴趣，同时也为中国古代数学的成就感到自豪. 也有同学提出：当代中国数学成就不够强，还应发奋努力. 有同学能意识这一点，这让我喜出望外.

第六环节： 回顾反思 提炼升华

内容：教师提问：通过这节课的学习，你有什么样的收获？师生共同畅谈收获. 目的：（1）归纳出本节课的知识要点，数形结合的思想方法；（2）教师了解学生对本节课的感受并进行总结；（3）培养学生的归纳概括能力.

说明：由于这节课自始至终都注意了调动学生学习的积极性，所以学生谈的收获很多，包括利用拼图验证勾股定理中蕴含的数形结合思想，学生对勾股定理的历史的感悟及对勾股定理应用的认识等等.

第七环节： 布置作业，课堂延伸

内容：教师布置作业 1．习题1．2 1，2，3

2．上网或查阅有关书籍，搜集至少1种勾股定理的其它证法，至少1个勾股定理的应用

问题，一周后进行展评.

意图：（1）巩固本节课的内容. （2）充分发挥勾股定理的育人价值.

教学设计反思

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２. 一定是直角三角形吗

本节课的教学目标是：

1．理解勾股定理逆定理的具体内容及勾股数的概念；

2．能根据所给三角形三边的条件判断三角形是否是直角三角形； 3．经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力、归纳能力；

4．体验生活中的数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学、用数学的兴趣；

教学重点

理解勾股定理逆定理的具体内容。

教法学法

1．教学方法：实验—猜想—归纳—论证

本节课的教学对象是初二学生, 他们的参与意识较强, 思维活跃, 对通过实验获得数学结论已有一定的体验，但数学思维严谨的同学总是心存疑虑，利用逻辑推理的方式，让同学心服口服显得非常迫切，为了实现本节课的教学目标, 我力求从以下三个方面对学生进行引导:

(1)从创设问题情景入手, 通过知识再现, 孕育教学过程； (2)从学生活动出发, 通过以旧引新, 顺势教学过程； (3)利用探索, 研究手段, 通过思维深入, 领悟教学过程。

2．课前准备

教具：教材、电脑、多媒体课件。 学具：教材、笔记本、课堂练习本、文具。

教学过程设计

本节课设计了七个环节。第一环节：情境引入；第二环节：合作探究；第三环节：小试牛刀；第四环节：登高望远；第五环节：巩固提高；第六环节：交流小结；第七环节：布置作业。

第一环节：情境引入

内容：

情境：1．直角三角形中，三边长度之间满足什么样的关系？

2．如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是否就

是直角三角形呢？

意图：通过情境的创设引入新课，激发学生探究热情。

说明：从勾股定理逆向思维这一情景引入，提出问题，激发了学生的求知欲，为下一环节奠定了良好的基础。

第二环节：合作探究

内容1：探究

下面有三组数，分别是一个三角形的三边长a , b , c ，①5，12，13；②7，24，25；③8，15，17；并回答这样两个问题：

1．这三组数都满足a 2+b 2=c 2吗？

2．分别以每组数为三边作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？学生分为４人活动小组，每个小组可以任选其中的一组数。

意图：通过学生的合作探究，得出“若一个三角形的三边长a , b , c ，满足a 2+b 2=c 2，则这个三角形是直角三角形”这一结论；在活动中体验出数学结论的发现总是要经历观察、归纳、猜想和验证的过程，同时遵循由“特殊→一般→特殊”的发展规律。

说明：经过学生充分讨论后，汇总各小组实验结果发现：①5，12，13满足a 2+b 2=c 2，可以构成直角三角形；②7，24，25满足a 2+b 2=c 2，可以构成直角三角形；③8，15，17满足a 2+b 2=c 2，可以构成直角三角形。

从上面的分组实验很容易得出如下结论：

如果一个三角形的三边长a , b , c ，满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形 内容2：说理

提问：有同学认为测量结果可能有误差，不同意这个发现。你认为这个发现正确吗？你能给出一个更有说服力的理由吗？

意图：让学生明确，仅仅基于测量结果得到的结论未必可靠，需要进一步通过说理等方式使学生确信结论的可靠性，同时明晰结论：

如果一个三角形的三边长a , b , c ，满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形 满足a 2+b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数。

注意事项：为了让学生确认该结论，需要进行说理，有条件的班级，还可利用几何画板动画演示，让同学有一个直观的认识。

活动3：反思总结

提问：

1．同学们还能找出哪些勾股数呢？

2．今天的结论与前面学习勾股定理有哪些异同呢？

3．到今天为止, 你能用哪些方法判断一个三角形是直角三角形呢?

4．通过今天同学们合作探究，你能体验出一个数学结论的发现要经历哪些过程呢？ 意图：进一步让学生认识该定理与勾股定理之间的关系

第三环节：小试牛刀

内容：

1．下列哪几组数据能作为直角三角形的三边长？请说明理由。

①9，12，15； ②15，36，39； ③12，35，36； ④12，18，22

解答：①②

2．一个三角形的三边长分别是15cm , 20cm , 25cm ，则这个三角形的面积是（ ） A 250 cm 2 B 150cm 2 C 200 cm 2 D 不能确定

解答：B

3．如图，在∆ABC 中，AD ⊥BC 于D ，BD =9, AD =12, AC =20，则∆ABC 是（ ） A 等腰三角形 B 锐角三角形 C 直角三角形 D 钝角三角形

解答：C

） 4．将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是（

A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 不能确定

解答：A

意图：通过练习，加强对勾股定理及勾股定理逆定理认识及应用

说明：每题都要求学生独立完成（5分钟），并指出各题分别用了哪些知识。

第四环节：登高望远

内容：

1．一个零件的形状如图2所示，按规定这个零件中∠A , ∠DBC 都应是直角。工人师傅量得这个零件各边尺寸如图3所示，这个零件符合要求吗？

D

D 4

53

B

13

C

A

解答：符合要求 32+42=52，∴∠DAB =90︒ 又 52+122=132，∴∠DBC =90︒

2．一艘在海上朝正北方向航行的轮船，航行240海里时方位仪坏了，凭经验，船长指挥船左传90°，继续航行70海里，则距出发地250海里，你能判断船转弯后，是否沿正西方向航行？

C

解答：由题意画出相应的图形

AB=240海里,BC=70海里, ，AC=250海里; 在△ABC 中

AC 2-AB 2=2502-2402 =(250+240)(250-240)

=4900=702=BC 2即AB 2+BC 2=AC 2∴△ABC 是Rt △

答:船转弯后, 是沿正西方向航行的。

意图：利用勾股定理逆定理解决实际问题，进一步巩固该定理。

说明： 学生能用自己的语言表达清楚解决问题的过程即可；利用三角形三边数量关系

a 2+b 2=c 2判断一个三角形是直角三角形时，当遇见数据较大时，要懂得将a 2+b 2=c 2作适当

变形（c 2-b 2=a 2），以便于计算。

第五环节：巩固提高

内容：

1．如图4，在正方形ABCD 中，AB=4，AE=2，DF=1， 图中有几个直角三角形，你是如何判断的？与你的同伴交流。

解答：4个直角三角形，它们分别是△ABE 、△DEF 、△BCF 、△BEF 2．如图5，哪些是直角三角形，哪些不是，说说你的理由？

⑤

E

①

④

⑥

③

图4 图5

解答：④⑤是直角三角形，①②③⑥不是直角三角形 意图：

第一题考查学生充分利用所学知识解决问题时，考虑问题要全面，不要漏解；第二题在于考查学生如何利用网格进行计算，从而解决问题。

说明：

学生在对所学知识有一定的熟悉度后，能够快速做答并能简要说明理由即可。注意防漏解及网格的应用。

第六环节：交流小结

内容：

师生相互交流总结出：

1．今天所学内容①会利用三角形三边数量关系a 2+b 2=c 2判断一个三角形是直角三角形；②满足a 2+b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数；

2．从今天所学内容及所作练习中总结出的经验与方法：①数学是源于生活又服务于生活的；②数学结论的发现总是要经历观察、归纳、猜想和验证的过程，同时遵循由“特殊→一般→特殊”的发展规律；③利用三角形三边数量关系a 2+b 2=c 2判断一个三角形是直角三角形时，当遇见数据较大时，要懂得将a 2+b 2=c 2作适当变形，c 2-b 2=a 2便于计算。

意图：

鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获和感想，体会到勾股定理及其逆定理的广泛应用及它们的悠久历史；敢于面对数学学习中的困难，并有独立克服困难和运用知识解决问题的成功经验，进一步体会数学的应用价值，发展运用数学的信心和能力，初步形成积极参与

数学活动的意识。

说明：

学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获，总结出利用三角形三边数量关系a 2+b 2=c 2判断一个三角形是直角三角形从古至今在实际生活中的广泛应用。

第七环节：布置作业

课本习题1．3第1，2，4题。

教学反思：

附：板书设计

3. 勾股定理的应用

本节课的教学目标是：

1. 通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的空间观念．

2.在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想．

3.在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性．

利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题是本节

课的重点也是难点．

教法学法 1．教学方法

引导—探究—归纳

本节课的教学对象是初二学生，他们的参与意识教强，思维活跃，为了实现本节课的教学目标，我力求以下三个方面对学生进行引导：

（1）从创设问题情景入手，通过知识再现，孕育教学过程； （2）从学生活动出发，顺势教学过程；

（3）利用探索研究手段，通过思维深入，领悟教学过程．

2．课前准备

教具：教材、电脑、多媒体课件．

学具：用矩形纸片做成的圆柱、剪刀、教材、笔记本、课堂练习本、文具．

教学过程分析

本节课设计了七个环节．第一环节：情境引入；第二环节：合作探究；第三环节：做一做；第四环节：小试牛刀；第五环节：举一反三；第六环节：交流小结；第七环节：布置作业．

第一环节：情境引入

内容：

情景1：多媒体展示：

提出问题：从二教楼到综合楼怎样走最近？ 情景2：

如图：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B 处，恰好一只在A 处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A 处爬向B 处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？

意图：

通过情景1复习公理：两点之间线段最短；情景２的创设引入新课，激发学生探究热情．

说明：

从学生熟悉的生活场景引入，提出问题，学生探究热情高涨，为下一环节奠定了良好基础．

第二环节：合作探究

内容：

学生分为４人活动小组，合作探究蚂蚁爬行的最短路线，充分讨论后，汇总各小组的方案，在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法，通过具体计算，总结出最短路线．

意图：

通过学生的合作探究，找到解决“蚂蚁怎么走最近”的方法，将曲面最短距离问题转化为平面最短距离问题并利用勾股定理求解．在活动中体验数学建摸，培养学生与人合作交流的能力，增强学生探究能力，操作能力，分析能力，发展空间观念．

说明：

学生汇总了四种方案：

A

’

A

’

A

’

（1） （2） （3） （4）

学生很容易算出：情形（1）中A →B 的路线长为：AA ' +d ，

情形（2）中A →B 的路线长为：AA ' +

所以情形（1）的路线比情形（2）要短．

学生在情形（3）和（4）的比较中出现困难，但还是有学生提出用剪刀沿母线AA ’剪开圆柱得到矩形，情形（3）A →B 是折线，而情形（4）是线段，故根据两点之间线段最短可判断（4）较短，最后通过计算比较（1）和（4）即可．

如图：

（1）中A →B 的路线长为：AA ' +d ． （2）中A →B 的路线长为：AA ' +A ' B >AB ． （3）中A →B 的路线长为：AO +OB >AB ． （4）中A →B 的路线长为：AB ．

πd

2

得出结论：利用展开图中两点之间，线段最短解决问题．在这个环节中，可让学生沿母线剪开圆柱体，具体观察．接下来后提问：怎样计算AB ？

在Rt △AA′B中，利用勾股定理可得AB 2=A A '2+A ' B 2，若已

知圆柱体高为12cm ，底面半径为3cm ，π取3，则AB 2=122+(3⨯3) 2, ∴AB =15．

注意事项：本环节的探究把圆柱侧面寻最短路径拓展到了圆柱表面，目的仅仅是让学生感知最短路径的不同存在可能．但这一拓展使学生无法去论证最短路径究竟是哪条．因此教学时因该在学生在圆柱表面感知后，把探究集中到对圆柱侧面最短路径的探究上．

方法提炼：解决实际问题的关键是根据实际问题建立相应的数学模型，解决这一类几何型问题的具体步骤大致可以归纳如下： 1．审题——分析实际问题； 2．建模——建立相应的数学模型； 3．求解——运用勾股定理计算； 4．检验——是否符合实际问题的真实性．

第三环节：做一做

内容：

李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD 边和BC 边是否分别垂直于底边AB ，但他随身只带了卷尺，

（1）你能替他想办法完成任务吗？

（2）李叔叔量得AD 长是30厘米，AB 长是40厘米，BD 长是50厘米，AD 边垂直于AB 边吗？为什么？

（3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD 边是否垂直于AB 边吗？BC 边与AB 边呢？

解答：（2） AD 2+AB 2=302+402=2500

BD 2=2500

∴AD 2+AB 2=BD 2

∴AD 和AB 垂直．

意图：

运用勾股定理逆定理来解决实际问题，让学生学会分析问题，利用允许的工具灵活处理

问题．

第四环节：小试牛刀

内容：

1．甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先出发，他以6 km/h的速度向正东行走，1时后乙出发，他以5 km/h的速度向正北行走．上午10：00，甲、乙两人相距多远？

解答：如图:已知A 是甲、乙的出发点，10:00甲到达B 点，乙到达C 点．则: AB =2×6=12（km ） AC =1×5=5（km ） 在Rt △ABC 中:

BC 2=AC 2+AB 2=52+122=169=132．

∴BC =13（km ）．

A

即甲乙两人相距13 km．

2．如图，台阶A 处的蚂蚁要爬到B 处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离． 解答：∴AB 2=152+202=625=252.

32

20

B

3．有一个高为1.5 m ，半径是1m A 一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5 m ，问这根铁棒有多长？

解答：设伸入油桶中的长度为x m．

x 2=1.52+22．则最长时:

x =2.5．

∴最长是2.5+0.5=3（m ）． 最短时: x =1.5． ∴最短是1.5+0.5=2（m ）．

答:这根铁棒的长应在2～3m 之间． 意图：

对本节知识进行巩固练习，训练学生根据实际情形画出示意图并计算． 说明：

学生能独立地画出示意图，将现实情形转化为数学模型，并求解．

第五环节：举一反三

内容：

1．如图，在棱长为10 cm 的正方体的一个顶点A 处有一只蚂蚁，现要向顶点B 处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是1 cm/s，且速度保持不变，问蚂蚁能否在20 s内从A 爬到B ？

解：如图，在Rt △ABC 中: AB 2=AC 2+BC 2=102

+202=500．

∵500＞202 .

∴不能在20 s 内从A 爬到B .

2．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？

解答：设水池的水深AC 为x 尺，则这根芦苇长为 AD =AB =（x +1）尺，

在直角三角形ABC 中，BC =5尺. 由勾股定理得:BC 2+AC 2=AB 2. 即 52+ x 2=（x +1）2.

25+x 2= x 2+2x +1. 2x =24.

∴ x =12，x +1=13．

答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺． 意图：

第1题旨在对“蚂蚁怎样走最近”进行拓展，从圆柱侧面到棱柱侧面，都是将空间问题平面化；第2题，学生可以进一步了解勾股定理的悠久历史和广泛应用，了解我国古代人民的聪明才智；运用方程的思想并利用勾股定理建立方程．

说明：

学生能画出棱柱的侧面展开图，确定出AB 位置，并正确计算．如有可能，还可把正方体换成长方体进行讨论．

学生能画出示意图，找等量关系，设适当的未知数建立方程．

注意事项：对于普通班级而言，学生完成“小试牛刀”，已经基本完成课堂教学任务．因此本环节可以作为教学中的一个备选环节，共老师们根据学生状况选用．

第六环节：交流小结

内容：

师生相互交流总结：

1．解决实际问题的方法是建立数学模型求解．

2．在寻求最短路径时，往往把空间问题平面化，利用勾股定理及其逆定理解决实际问题． 意图：

鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获和感想，体会到勾股定理及其逆定理的广泛应用及它们的悠久历史．

说明：

学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获，总结出在寻求曲面最短路径时，往往考虑其展开图，利用两点之间，线段最短进行求解．并赞叹我国古代数学的成就．

第七环节：布置作业

1．课本习题1．4第1，2，3题．

2．如图是学校的旗杆，旗杆上的绳子垂到了地面，并多出了一段，现在老师想知道旗杆的高度，你能帮老师想个办法吗? 请你与同伴交流设计方案?

注意事项：作业2作为学有余力的学生的思考题．

教学设计反思

第一章 勾股定理

回顾与思考

本课时教学是复习课，强调让学生经历数学知识的形成与应用过程，鼓励学生自主探索与合作交流，以学生自主探索为主，并强调同桌之间的合作与交流，强化应用意识，培养学生多方面的能力．让学生通过动手、动脑、动口自主探索，感受数学的美，以提高学习兴趣．

为此，本节课的教学目标是：

①让学生回顾本章的知识，同时重温这些知识尤其是勾股定理的获得和验证的过程，体会勾股定理及其逆定理的广泛应用．

②在回顾与思考的过程中，提高解决问题，反思问题的能力．

③在反思和交流的过程中，体验学习带来的无尽的乐趣．通过对勾股定理历史的再认识，培养爱国主义精神，体验科学给人来带来的力量．

教学过程设计

本节课设计了六个环节．第一环节：情境引入；第二环节：知识结构梳理；第三环节：合作探究；第四环节：拓展提升；第五环节：交流小结；第六环节：布置作业．

第一环节 情境引入

勾股定理，我们把它称为世界第一定理．它的重要性，通过这一章的学习已深有体验，首先，勾股定理是数形结合的最典型的代表；其次，了解勾股定理历史的同学知道，正是由于勾股定理得发现，导致无理数的发现，引发了数学的第一次危机，这一点，我们将在《实数》一章里讲到，第三，勾股定理中的公式是第一个不定方程，有许许多多的数满足这个方程，也是有完整的解答的最早的不定方程，最为著名的就是费马大定理，直到1995年，数学家怀尔斯才将它证明．

勾股定理是我们数学史的奇迹，我们已经比较完整地研究了这个先人给我们留下来的宝贵的财富，这节课，我们将通过回顾与思考中的几个问题更进一步了解勾股定理的历史，勾股定理的应用． 目的：

通过对勾股定理历史及地位的解读，让学生了解知识脉络及前后联系，激发学习探究热情．

说明：

从历史的深度提出问题，学生探究热情高涨，为下一环节奠定了良好基础．

第二环节：知识结构梳理

本章知识要点及结构：

（第1—6题由学生独立思考完成，小组代表展示）

1．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用a , b 和c 分别表示直角三角形的直角边和斜边，那么__________=c ．

2．勾股定理各种表达式：

在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边也分别为a , b , c ，则c =_________，

b =_________，c =_________．

2

3．勾股定理的逆定理：

在△ABC 中，若a , b , c 三边满足___________，则△ABC 为___________． 4．勾股数：

满足___________的三个___________，称为勾股数．

5．几何体上的最短路程是将立体图形的________展开，转化为_________上的路程问题，再利用___________两点之间，___________解决最短线路问题．

6．直角三角形的边、角之间分别存在着什么关系？ （教师引导，小组讨论、总结）

从边的关系来说，当然就是勾股定理；从角度的关系来说，由于直角三角形中有一个特殊的角即直角，所以直角三角形的两个锐角互余．

直角三角形作为一个特殊的三角形．如果又有一个锐角是30︒，那么30︒的角所对的直角边时斜边的一半．

7．举例说明，如何判断一个三角形是直角三角形．

判断一个三角形是直角三角形可以从角、边两个方面去判断． （1）从定义即从角出发去判断一个三角形是直角三角形．

例如：①在△ABC 中，∠B =75︒，∠C =15︒，根据三角形的内角和定理，可得∠A =90︒，根据定义可判断△ABC 是直角三角形．

②在△ABC 中，∠A =

11

∠B =∠C ，由三角形的内角和定理可知，∠A =30︒，23

∠B =2∠A =60︒，∠C =3∠A =90︒，△ABC 是直角三角形．

（2）从边出发来判断一个三角形是直角三角形．其实从边来判断直角三角形它的理论依据就是判定直角三角形的条件（即勾股定理的逆定理）．

例如：①△ABC

的三条边分别为a =7，b =25，c =24，而

222222

a +c =7+24=625=25=b ，根据勾股定理的逆定理可知△ABC 是直角三角形，但这里

要注意的是b 所对的角∠B =90︒．

②在△ABC 三条边的比为a :b :c =5:12:13，△ABC 是直角三角形．

8．通过回顾与思考中的问题的交流，由同学们自己建立本章的知识结构图． （小组内展示自己总结的知识框图，相互交流完善知识框图；每个小组选取一名代表，展示本组的知识框图．）

直角三角形

直角三角形的判别→应用 目的：

复习与直角三有形有关的知识，加强知识的前后联系，把勾股定理及判定纳入直角三角形的知识体系中，把以前的零散的知识形成知识体系．通过学生相互交流，整理知识框图复习本章知识点，自觉内化到自身的知识体系中．

说明：学生有独立思考的空间，与有合作交流的舞台，动静结合，相得益彰．

{

三边的关系--勾股定理→历史、应用

第三环节：合作探究

内容：

探究一：利用勾股定理求边长

已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长的平方． 解：（1）当两直角边为3和4时，第三边长的平方为25；

（2）当斜边为4，一直角边为3时，第三边长的平方为7． 注意事项：

因学生习惯了“勾三股四弦五”的说法，即意味着两直角边为3和4时，斜边长为5．但这一理解的前提是3、4为直角边．而本题中并未加以任何说明，因而所求的第三边可能为斜边，但也可能为直角边．

探究二：利用勾股定理求图形面积： 1．求出下列各图中阴影部分的面积．

(1)

(2)

2

_ 3 ()

图（1）阴影部分的面积为＿＿＿＿；（答案：1） 图（2）阴影部分的面积为＿＿＿＿；（答案：81） 图（3）阴影部分的面积为＿＿＿＿；（答案：5）

2． 已知Rt △ABC 中，∠C =90︒，若a +b =14cm ，c =10cm ，求Rt △ABC 的面积．

解：S ∆ABC ==

11

ab =⨯2ab 24

1222

⎡(a +b ) -(a +b ) ⎤⎦4⎣122

⎤=⎡(a +b ) -c ⎦4⎣

1

=⨯(142-102) 4=24.

探究三：利用勾股定理逆定理判定△ABC 的形状或求角度

1. 在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，且(a +b ) (a -b ) =c

2

，则（ ）.

（A ）∠A 为直角 （B ）∠C 为直角 （C ）∠B 为直角 （D ）不是直角三角形 解： a 2-b 2=c 2，∴a 2=b 2+c 2．故选（A ）. 注意事项：

因为常见的直角三角形表示时，一般将直角标注为∠C ，因而有同学就习惯性的认为∠C 就一定表示直角，加之对本题所给条件的分析不缜密，导致错误. 该题中的条件应转化为

a 2-b 2=c 2，即a 2=b 2+c 2，因根据这一公式进行判断．

2．已知△ABC 的三边为a ，b ，c ，有下列各组条件，判定△ABC 的形状． （1）a =41，b =40，c =9；

2222

a =m -n ，b =m +n ，c =2mn （m >n >0）（2）．

解：（1）（2）均为直角三角形．

探究四：勾股定理及逆定理的综合应用：

B 港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60︒方向以每小时8 n mile 的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15 n mile的速度前进，2小时后，甲船到M 岛，乙船到P 岛，两岛相距34 n mile，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？

解：甲船航行的距离为BM=8⨯2=16（n mile）， 乙船航行的距离为BP=15⨯2=30（n mile）．

∵162+302=1156,342=1156，∴BM 2+BP 2=MP 2，

∴△MBP 为直角三角形，∴∠MBP =90︒，∴乙船是沿着南偏东30︒方向航行的． 注意事项：

勾股定理的使用前提是直角三角形，而本题需对三角形做出判断，判断的依据是勾定理的逆定理，其形式为“若a 2+b 2=c 2，则∠C =90︒．学生容易不先对三角形做出判断而直接应用勾股定理进行计算．

目的：

通过对四大问题的探究，培养同学们归纳知识的能力，并将各种数学基本思想方法渗透其中，如对数形结合思想的渗透，鼓励学生由代数表示联想到几何图形，由几何图形联想到有关代数表示，从而认识数学的内在联系．如对分类讨论的渗透，培养学生严谨的数学态度．

说明：

探究四综合运用勾股定理及其逆定理解决实际问题，这种贴近生活的实例，训练学生解决实际问题的能力，通过学生的解答和讨论，让学生自我解决疑难，既是对所学知识的巩固应用，又让学生体验成功的喜悦．

第四环节：拓展提升

内容：

我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由“弦图”变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S 1，S 2，S 3，若S 1+S2+S3=10，则S 2的值是 ．

目的：

学生可以进一步了解勾股定理的悠久历史和广泛应用，了解我国古代人民的聪明才智，在我们的数学史上，好多结论的发现都是这样一个过程，都是从几个或大量的特例中发现规律，大胆猜想出结论，然后以前面的理论作为基础，证明猜想，一个伟大的成果就诞生了，掌握这种研究数学的方法，大胆创新，刻苦钻研，说不一定你就是未来的商高，第二个赵爽．

说明：

运用勾股定理和方程思想解决实际问题，让学生体会生活中处处皆数学，并且使新知得到了巩固，能力得到了训练，认识得到了升华．

第五环节：交流小结

内容：

师生相互交流总结：

1. 本章知识要点及在学习中用到了哪些数学思想方法？

2．你在学习过程中是否积极参与？是否与同伴进行了有效的合作交流？ 目的：

鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获和感想，体会到勾股定理及其逆定理的广泛应用及它们的悠久历史．

说明：

学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获，总结解决问题的思路与方法，并赞叹我国古代数学的成就．

第六环节：布置作业

1．课本《复习题》．

2．思考题：一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH 的边长为2 m，坡角∠A =30︒，∠B =90︒，BC =6m ．当正方形DEFH 运动到什么位置，即当AE ＝ m 时，有DC 2=AE 2+BC 2．

（答案为：

14

．） 3

教学设计反思

附：板书设计