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第二章2Z变换的定义

02-24

2. Z变换的定义及收敛域

1. Ｚ变换的定义

对于一个序列x(n)，它的Z变换定义为

X(z)

n

x(n)zn

其中Z为一个复变量，上式定义的Z变换称为双边Z变换或标准Z变换。序列的Z变换实质上是以序列x(n)为加权系数的z的幂级数之和。

如n的取值范围0到+，则序列的单边Z变换为

X(z)

n

x(n)z

n

序列的单边Z变换是以序列x(n)为加权系数的z的负幂项的级数之和。 2．从抽样吸纳后的拉普拉斯变化引出Z变换 连续信号x(t)冲激抽样信号可表示为：

xs(nTs)x(t)(tnTs)x(nTs)(tnTs)

n

n

对xs(nTs)取拉普拉斯变换，得

X(s)xs(nTs)edtx(nTs)(tnTs)edt

st

st





n



n

x(nTs)esnTsX(esTs)

令zesTs，并将T归一化为1，x(nTs)简写为x(n) 则同样可得到离散信号的 z 变换：X(z)

n

x(n)z

n

对比： 拉普拉斯变换

Z变换 对应离散信号

sj,(2f是相对连续系统和连续信号的角频率） 则zesTse(j)TseTsejTs， 令reTs,， Ts2ffs是相对于离散系统和离散信号的圆周频率（rad）， 则zre。将zre代入X(z)

X(z)

j

j

n

x(n)z

]ejn

n

可得：

n

x(n)(re

jn

)=

n

n

[x(n)r

n

上式表明，只要x(n)r满足绝对可和的收敛条件，即

n

x(n)rn，则x(n)

的Z变换存在。这样，一个序列x(n)的Z变换可视为该序列乘以一实加权序列rn后的傅里叶变换，即X(z)[x(n)rn] 如果r=1，则zre|r1e，X(e)的傅里叶变换（DTFT） s平面与z平面的映射关系

j

j

j

n

x(n)e

jn

这时Z变换演化为离散序列

1

(1) 0，则r1，在z平面内，单位元外。 (3) 0，则r=1，在z平面内，单位元周。

许多常用的离散信号的Z变化都可由Z变换的定义求出，如， （1）单位抽样信号的Z变换：X(z)（2）单位阶跃序列的Z变换

X(z)u(n)z

n0

n

n

(n)z

n

1

zn，表明X(z)为z的无穷级数的和，如z1，则上式级

n0

数收敛，其结果为：X(z)

1z

 1

1zz1

Z变换的收敛域

一个序列的Z变换，只有当定义中的级数和收敛才有意义。对于使级数的和收敛的所有z值的集合称为x(n)的Z变换的收敛域（ROC）。

X(z)

n

x(n)z

n

n

[x(n)r

n

]ejn （zrej，X(z):级数收敛）

条件：除 x(n) 外，还取决于 r 的取值

注意：是r是z的模，所以 ROC 具有 “圆”，或“环”的形状，如z1。 即：RzR

例：求x(n)anu(n)的Z变换 解：X(z)az

n0

nn

(az1)n，if

n0

az11,thatis

zaROC

X(z)

1z

X(z)，

1az1za

z

ROC: za za

可见：不同的x(n)，其Z变换有可能具有相同的形式，区别在于各自的ROC， 为保证逆Z变换求出的序列是唯一的，则必须指明其收敛域。 离散序列Z变换收敛的一般情况

类似地，序列x(n)anu(n1)的Z变换为X(z)

设x(n)在区间N1~N2内有值，即X(z)

nN1

x(n)z

N2

n

，

当N1和N2取不同值时，x(n)可以是有限长序列、右边序列、左边序列及双边序列。

（1）x(n):nN1N2，N10,N20,N2N1，右边有限长序列

X(z)

nN1

x(n)znx(N1)

N2

11

ROC: |z|0 x(N)2N1N2

zz

（2） x(n):nN1N2, N10,N20, ROC:0|z| (z0,z)

为双边有限长序列。

（3） x(n):nN1，ROC:|z|R1 为右边无限长序列 （4）x(n):nN1，ROC:|z|R2 为左边无限长序列

（5）x(n):n，ROC: R1|z|R2 为双边无限长序列。

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