整系数多项式的因式分解问题

整系数多项式的因式分解问题

摘要：多项式理论是高等代数与解析几何的重要内容，是进一步学习代数学及其他数学分支的必要基础。多项式理论是整个高等代数与解析几何课程中一个相对独立而自成体系的部分，它不以高等代数与解析几何的其他章节的内容为基础，但却为高等代数与解析几何的其他部分提供理论依据。本文主要讨论整系数多项式的基本概念与性质，多项式的根及其值，和在有理数域上的因式分解问题。

关键词：多项式；因式分解；Eisenstein 判断法；多项式的根；有理数域。

引言：在Q 上讨论多项式的因式分解问题，我们已经论证了在有理数域Q 上和在整数环Z 上其可约性是一致的，即在整数环Z 上若

f (x ) =g (x ) h (x ) （1）

当然可以看成有理数域Q 上的多项式分解结果。反过来，（1）式中f (x ) 为整系数多项式，而

g (x ) 、h (x ) 是有理数域Q 上的多项式，那么通过g (x ) 、h (x ) 的系数处理可以使其成为整系数多项

式g 1(x ) 、h 1(x ) ，满足

f (x ) =g 1(x ) h 1(x )

，

因此在Q 上讨论因式分解问题往往给出的只是整数环Z 上的多项式。

一.Eisenstein 判断法的研究

此处介绍判断整系数多项式可约性的如下方法：

定理1.1 设

f (x ) =a n x n +a n -1x n -1+⋅⋅⋅+a 1x +a 0

是一个整系数多项式，若是能够找到一个素数p 。使

1）最高次项系数a n 不能被p 整除； 2）其余各项的系数都能被p 整除； 3）常数项a 0不能p 2整除， 那么多项式f (x ) 在有理数域不可约。

这一方法叫做Eisenstein 判断法。在判断一些多项式可约性及诸如无理数判断有其直接作用。

例1. 存在有理数域上的任意次不可约多项式。 事实上，下列整系数多项式

f (x ) =x n -2

不论其n 取任意正整数，都存在素数p=2满足Eisenstein 判断法的条件。

例2. 证明2是无理数。 （2）

2

上述（2）中取n=2，若2是有理数，则x -2在Q 上可约，与Eisenstein 判断结果矛盾。

由此，我们可以判断以下数均为无理数

2,

3, 5, 7, ⋅⋅⋅

2, 3, 5, 7, ⋅⋅⋅2, 3, 5, 7, ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

2⨯5,

2⨯7, ⋅⋅⋅

2⨯3,

2⨯3⨯5, 2⨯3⨯7, ⋅⋅⋅

2⨯3, 2⨯5, 2⨯7, ⋅⋅⋅2⨯3⨯5, 2⨯3⨯7, ⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

一般地，p 1p 2⋅⋅⋅p t (其中p 1, p 2, ⋅⋅⋅, p t 为互不相同的素数）均为无理数。事实上

f (x ) =x n -p 1p 2⋅⋅⋅p t

由Eisenstein 判断法可知不可约，若p 1p 2⋅⋅⋅p t 为无理数，则多项式可约，矛盾。 Eisenstein 判别法为我们判断一个多项式是否不可约提供一种手段，但它并非是多项式不可约的必要条，事实上可以用Eisenstein 判断法判断其不可约的多项式并不是很多，经行适当研究可以进一步发挥Eisenstein 判断法的作用。

关于变换的问题

例3. 设p 为一素数，多项式

f (x ) =x p -1+x p -2+⋅⋅⋅+x +1

叫做分圆多项式，试证明f (x ) 在有理数域上不可约。

直接用Eisenstein 判断法难以找到一个素数，而令x

=y +1，那么

f (x ) =f (y +1) =g (y ) =(y +1) p -1+(y +1) p -2+⋅⋅⋅+(y +1) +1

由于

(x -1) f (x ) =x p -1

即

p -12p -2p -1

yg (y ) =(y +1) p -1=y p +C 1y +C y +⋅⋅⋅+C p p p y

于是得到

g (y ) =y 因为

k C p =

p -1

p -2p -1

+C 1+⋅⋅⋅+C p （3） p y

p (p -1) ⋅⋅⋅(p -k +1)

，1≤k

k !

是一个整数，均能被p 整除，事实上，上式右端分子能被k ! 整除，k

k ! |(p-1) ⋅⋅⋅(p-k +1)

所以C p 是p 的倍数。这样，多项式（3）可以找到一个素数p ，p 不能整除（3）的最高次项的系数，可以整除（3）的其余系数，但常数项C p 那么

p -1

k

=p 不能被p 2整除，从而（3）在有理数域上不可约，

f (x ) 在有理数域上也不可约，因为如果在Q [x ]中存在f 1(x ) 、f 2(x ) 使

f (x ) =f 1(x ) f 2(x ) ，

那么

根据这个例子我们考虑以下两个问题：

1）f (x ) 在有理数域上的可约性与g (y ) =f (y +b ) 或者g (y ) =f (ay +b ) 在有理数域上的可约性是否一致？

2）当f (x ) 无法用Eisenstein 判断法判断其可约性时是否一定可以通过某种变换后可以使用Eisenstein 判断法进行判断？

我们先来看如下问题。

定理1.2 在有理数域上多项式f (x ) 与g (y ) =f (ay +b ) 可约性相同。

证明 设f (x ) 在有理数域上不可约，但g (x ) 在有理数域上可约，且设

g (x ) =f (ax +b ) =g 1(x ) g 2(x )

其中 ∂g i (x )

令x =

1b

y -，则 a a

f (y ) =g (

1b 1b 1b

y -) =g 1(y -) g 2(y -) ， a a a a a a

说明f (x ) 在有理数域上可约，矛盾。

反过来，g (y ) =f (ay +b ) 在有理数域上不可约，但f (x ) 可约，且设

f (x ) =f 1(x ) f 2(x )

其中∂f i (x )

f (ay +b ) =f 1(ay +b ) f 2(ay +b ) ，

即 g (y ) =f 1(y ) f 2(y ) ， 与g (x ) 不可约矛盾。

这个定理给我们采取变换后使用Eisenstein 判断法提供了理论保障，一些不能直接使用Eisenstein 判断法的多项式可采用适当的变换。

例4. 证明x +1在有理数域上不可约。 证明： 令x

4

=y +1，则

x 4+1=(y +1) 4+1=y 4+4y 3+6y 2+4y +2

取p=2，用Eisenstein 判断法即知

g (y ) =y 4+4y 3+6y 2+4y +2

4

不可约，从而x +1也不可约。

二．多项式的根及其值与因式分解

利用根研究多项式的因式分解在复数范围内是很常见的。 例5. 讨论x n -1的因式分解。 解： 在复数范围内，x n -1的n 个根是

εk =cos

2k π2k π

+i sin ， k =0, 1, ⋅⋅⋅, n -1， n n

n

所以 x -1=

n

∏(x -ε

k =0

n -1

k

)

在实数域上，当n 为奇数时，x 因此只有一个一次因式

-1只有一个实根ε0=1，

及

x -1，其余的均为二次不可约因式，由相互共轭的非实根εj

ε=εn -j (0

n -1

) ， 确定 2

ϕj (x ) =(x -εj )(x -εj ) =(x -εj )(x -εn -j ) =x 2-2x cos

n -12j =1

2j πn -1

+1(0

所以

x n -1=(x -1)

∏

(x 2-2x cos

=-1，

2j π

+1) n

当n 为偶数时，x n -1有两个实根：ε0因此只有两个一次因式

=1和εn

2

x -1和x +1，其余的均为二次不可约因式，由相互共轭的非实根εj 及

j =εn -j (0

n

) 确定 2

ϕj (x ) =x 2-2x cos

2j πn

+1, j =1, 2, ⋅⋅⋅, -1， n 2

所以

x n -1=(x -1)(x +1)

∏

j =1

n

-12

(x 2-2x cos

2j π

+1) n

再有理数范围内的分解式根据的不同要具体分析，但有

d n

定理2.1 x -1|x -1的充要条件是d |n

2d -1

证明 充分性 设d |n ，ε是一个d 次单位原根，即1, ε, ε, ⋅⋅⋅, ε是x

d

-1的所有根，

由于ε

d

=1，所以εn =1，于是

(εs ) n =(εn ) s =1s =1, s =0, 1, 2, ⋅⋅⋅d -1，

说明x -1的根全是x

d

n

-1的根，故

x d -1|x n -1

必要性 因为x

d

-1|x n -1，设ε是x d -1的一个原根

i 2π2π

ε=cos +i sin =e

d d

2π

d

因此(x -ε) |x

d

-1，从而(x -ε) |x n -1，说明

ε=(e

即d

n

i

2πd

) =e

n

i

2n πd

=cos

2n π2n π

+i sin =1， d d

|n ，证毕。

例

6.

设

P (x ) 、Q (x ) 、R (x ) 、S (x )

是整系数多项式，满足

P (x 5) +xQ (x 5) +x 2R (x 5) =(x 4+x 3+x 2+x +1) S (x )

，即

x -1

是

P (x ) 、Q (x ) 、R (x ) 的公因式。

解： 设

ε是x 5-1的原根，则ε, ε2, ε3, ε4是x 4+x 3+x 2+x +1的四个根，将ε, ε2, ε3带入

P (1) +εQ (1) +ε2R (1) =0P (1) +ε2Q (1) +ε4R (1) =0

P (1) +ε3Q (1) +ε6R (1) =0

本题所设的等式得

Q (1) 、R (1) 的齐次线性方程组，其系数行列式 这是关于P (1) 、

ε

ε2ε3

ε2ε4=(εi -εj ) ≠0

，

61≤i ≤j ≤3ε

∏

从而只有零解，即P (1) =Q (1) =R (1) =0，所以x -1|P (x ) , x -1|Q (x ) , x -1|R (x )

例7. 设f (x ) 是整系数多项式，试证：如果f (0) 和f (1) 都是奇数，那么f (x ) 不能有整数根。

证明： 若α是f (x ) 的一个整数根，有

f (x ) =(x -a ) f 1(x ) ，

f 1(x ) 是整系数多项式，于是

f (0) =-αf 1(0) ，

f (1) =(1-α) f 1(1) ，

因为α与1-α中有一个是偶数，所以f (0) 和f (1) 不可能都是奇数。

32

例8. 设f (x ) =x +bx +cx +d 是整系数多项式，如果bd +cd 是奇数，则f (x ) 在有理数

域上不可约。

证明： 如果f (x ) 在有理数域上可约，则在整数环上可约，于是存在整数

p , q , r ，使

f (x ) =(x +p )(x 2+qx +r ) =x 3+bx 2+cx +d

得到

⎧p +q =b ⎪

⎨pq +r =c ⎪pr =d ⎩

由bd +cd 为奇数推出b +c 和d 均为奇数，又由

b +c =p +q +pq +r =p +r +(1+p ) q

为奇数推出(1+不可约。

p ) q 为奇数，从而1+p 为奇数，由此又得p 为偶数，矛盾! 故f (x ) 在有理数域上

定理2.2 设f (x ) 是一个2n +1次整系数多项式，若f (x ) 在2n +1个以上的整数值上取值

1或-1，则在有理数域上不可约。

证明： 若f (x ) 可约，则存在整系数多项式g (x ) ，h (x ) 使

f (x ) =g (x ) h (x ) ，

不妨设0

因为f (x ) 在2n +1个整数点上取值1或-1，不妨设f (a 1) , f (a 2) , ⋅⋅⋅, f (a 2n +1) 的值均为1或-1，也即

f (a i )=g (a i ) h (a i ) =±1,

i =1, 2, ⋅⋅⋅, 2n +1 ，

因而g (a i ) 、h (a i ) 的值均为1或-1，也就是说多项式g (x ) +1或g (x ) -1总有一个存在多于n 的不同整数根，这与基本定理矛盾，所以f (x ) 在有理数域上不可约。

推论 设

f (x ) =(x -a 1)(x -a 2) ⋅⋅⋅(x -a n ) -1

则在有理数域上不可约。其中是两两互不相同的整数。

例9. 设

f (x ) =x 3-46x 2+171x -127，

试问在有理数域上f (x ) 是否可约？

解： 因为

g (x ) =x 3-46x 2+171x -126，用综合除法易知g (1) =g (3) =0，于是

g (x ) =(x -1)(x -3)(x -42) ，

f (x ) =g (x ) -1=(x -1)(x -3)(x -42) -1 ，

根据上述定理

f (x ) 在有理数域上不可约。

参考文献

[1]高等代数与解析几何（下册） 易忠 主编 清华大学出版社 [2]高等代数典型问题研究 蒋忠樟 著高等教育出版社

[3]高等代数 定理•问题•方法 胡适耕 刘先忠 编著 科学出版社