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第二章 极限

从方法论来说，数学分析区别于初等数学的显著标志是用极限的方法来研究函数，并且数学分析中几乎所有的概念都离不开极限. 因此，认识极限的概念，对我们来说非常重要.

第一节 数列的极限

一、数列极限的定义

由中学数学已经知道，数列可以看作定义域为正整数集或它的有限子集的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值. 而数列中我们最关心的是收敛数列以及它的极限. 我们先来认识一个有关数列的例子：

古有“一尺之锤，日取其半，万世不竭. ”意思是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限的进行下去.

这个例子实质上涉及了一个数列

1111⎧1⎫⎪

， 2，3 ，„ ，n ，„ 或⎪⎨⎬.

⎪2⎩2⎪⎭222

n

1⎪

不难看出，数列⎪⎨n ⎬的通项将随着n 的无限增大而逐渐地接近于常数0. 我们将具有这

⎪⎩2⎪⎭

⎧⎫

种特性的数列称为收敛数列，0叫做该数列的极限. 收敛数列的这一特性也可理解为：“要使

a n 与某个常数a 差的绝对值任意小，只要n 充分大便可”.

下面我们给出一般收敛数列及其极限的概念.

定义2-1 设{a n }是一数列，a 为常数. 若对任意给定的ε>0，总存在某个自然数N , 使得n >N 时，都有a n -a

①

lim a n =a

n →∞

读作“当n 趋于无穷大时，a n 趋于a , 也可记作a n →a （n →∞）.

若数列{a n }不存在极限，则称这个数列不收敛或者数列{a n }发散. 数列{a n }的极限是a ，用逻辑符号可简要表示为：

lim a n =a ⇔∀ε>0, ∃N ∈N +, ∀n >N , 有a n -a

这便是数列极限的ε-N 定义，它由大数学家柯西(Cauchy)给出，以后我们将经常使用极限① 本应写为

lim a n =a ，但为了书写方便，我们常把n →+∞简单写作n →∞

n →∞

的ε-N 定义.

对于数列极限的定义，读者应注意以下几点：

1. ε的定义在于衡量a n 与a 的接近程度，ε越小，表示它们的接近程度越好. 然而，ε虽有它的任意性，但一经给出，又可视为确定的. 因为只有对确定的然数N .

2. 定义中“使得n >N 时，都有a n -a 0，在以a 为中心以ε为半径的邻域U (a , ε) 或开区间（a -ε, a +ε），数列{a n }中所有下标大于N 的项a N +1, a N +2, „，它们在数轴上所对应的点，都位于U (a , ε) 或开区间（a -ε, a +ε）内，至多有N 个点a 1, a 2, , a N 在此邻域之外.

3. 关于某个数列的收敛与否、收敛于哪个数，注意以下符号表示：

ε，才能找到相应的自

lim a n =a ⇔∀ε>0, ∃N ∈N +, ∀n >N , 有a n -a

lim a n ≠a ⇔∃ε0>0, ∀N ∈N +, n 0>N , 有a n 0-a ≥ε0. n →∞

数列{a n }收敛⇔∃a ∈R , ∀ε>0, ∃N ∈N +, ∀n >N , 有a n -a 0, ∀N ∈N +, ∃n 0>N , 有a n -a ≥ε0.

0注 lim a n ≠a 并不等于说数列{a n }发散.

n →∞

下面举例说明怎样根据数列的ε-N 定义来验证数列的极限. 例1 证明lim

n

=1.

n →∞n +3

证明 任意ε>0, 要使不等式

n 3-1=

成立，则N >

⎡3⎤

-3. 取N =⎢⎥+1, 其中[x ]表示x 的整数部分，于是ε⎣ε⎦

3

n 3⎡3⎤n

∀ε>0, ∃N =⎢⎥+1∈N +, ∀n >N , 有-1=

n →∞n +3n +3n +3⎣ε⎦

3n 2

=3. 例2 证明lim 2

n →∞n -4

3n 21212

分析 由于2-3=2≤(n ≥3), （1）

n -4n -4n

因此，对任给的ε>0，只要

12

3n 2

2-3

n -4

即当n >

12

ε

时，（2）式就成立. 又由于（1）式是在n ≥3的条件下成立的，故应取

N =max ⎨3,

⎧12⎫

⎬. ⎩ε⎭

证明 ∀ε>0, 取N =max ⎨3,

⎧12⎫

⎬，由分析知，∀n >N , 有 ⎩ε⎭

3n 2

2-3

-4n

3n 2

于是 lim =3. 2

n →∞n -4

注 本题在求N 时，采取了适当放大的方法，这样求N 较方便. 例3 证明常数列{a n =c }的极限是c , 即lim c =c .

n →∞

证明 ∀ε>0, n ∈N +, 有

a n -c =c -c =0

n →∞

例4 证明lim q =0, q

n →∞

n

证明 当q =0时，∀n ∈N +, q =0, 这是常数列. 由例3知， lim q =0.

n →∞

n

n

当00（限定0

q -0=q

n

n

成立，解n >

⎡ln εln ε

(lnε

⎥. 于是， ⎦

⎡ln ε

∀ε>0, ∃N =⎢

⎣ln q ⎤n

⎥∈N +, ∀n >N , 有q -0

n

n →∞

lim q =0. 例5 证明数列(-1) 发散.

分析 只需证明∀a ∈R ，都不是数列(-1) 的极限. 证明 ∃ε0=1, 分两种情况：

当a ≥0, ∀N ∈N +, ∃n 0（奇数）>N , 有 (-1)-a =-1-a =1+a ≥ε0. 当a N , 有 (-1)-a =-a =1+(-a ) >ε0. 即数列(-1) 发散.

n 0n 0

{

n

}

{

n

}

{

n

}

二、收敛数列的性质及四则运算

为了更深入地研究数列极限，我们先来学习一些数列极限的性质. 定理2-1（唯一性）若数列{a n }收敛，则它的极限唯一.

证明 假设a 与b 都是数列{a n }的极限，则由极限的定义可知，对任给的ε>0，必定分别存在正数N 1、N 2, 使得

当n >N 1时有a n -a N 2时有a n -b N 时，就有 a -b =(a n -b ) -(a n -a ) ≤a n -b +a n -a

定理2-2（有界性）若数列{a n }收敛，则数列{a n }为有界数列. 即∃M >0, 使得对一切

n ∈N +，有a n ≤M .

证明 设lim a n =a ，取ε=1, 由极限定义，∃N ∈N +, ∀n >N , 有

n →∞

a n -a

即 a -1

取M =max a 1, a 2, , a N , a -1, a +1, , 则对∀n ∈N +, 有a n ≤M . 即数列{a n }有界.

注 （1）定理2.2的逆否命题是：若数列{a n }无界，则数列{a n }发散. 它们是等价命题.

（2）数列有界仅是数列收敛的必要条件. 换句话说，数列有界未必收敛. 例如，数列

{}

{(-1) }有界，但它发散.

n

定理2-3（保序性）设数列{a n }和{b n }分别收敛于a 和b , 且a

N ∈N +, ∀n >N , 有a n

证明 取ε=

b -a

, 由已知lim a n =a 和lim b n =b , 可得

n →∞n →∞2

b -a b -a a +b

, 从而a n N 1, 有a n -a

, 从而b n >b -=∃N 2∈N +, ∀n >N 2, 有b n -b

取N =max {N 1, N 2}, ∀n >N , 有 a n

a +b

由定理2-3，可以得到下面的推论：

推论1 若lim a n =a 和lim b n =b ，且∃N ∈N +, ∀n >N , a n ≤b n , 则a ≤b .

n →∞

n →∞

证明 用反证法. 假设b N , 有

n →∞

12

, b n =. n n

a n

定理2-4（夹逼性）若三个数列{a n }, {b n }, {c n }从某项开始有a n ≤b n ≤c n , n >n 0, 且

lim a n =lim c n =a , 则lim b n =a .

n →∞

n →∞

n →∞

证明 ∀ε>0, 由lim a n =a ，可得

n →∞

∃N 1∈N +, ∀n >N 1, 有a n -a 又由lim c n =a , 可得∃N 2∈N +, ∀n >N 2, 有 c n -a n →∞

取N =max {N 0, N 1, N 2}, 则∀n >N , ，有 a -ε

n →∞

该定理告诉我们，若两个数列“夹着一个数列共同趋于一个极限，则夹着的数列也必定趋于这个极限. 因此在以后求一些数列极限时，可适当构造两个数列，只要这两个数列夹着原数列趋于一个共同的极限，那么就可得到原数列的极限.

例6

求lim .

n →∞

解

=

.

不妨取a n =0, b n =理2.4可知，

c n =显然有a n ≤b n ≤c n , 且lim a n =lim c n =0, 由定

n →∞n →∞ lim b n =lim =0.

n →∞

n →∞

三、收敛数列的四则运算

定理2-5 若数列{a n }和{b n }都是收敛数列，则数列{a n ±b n }, {a n ⋅b n }也是收敛数列，且

lim (a n ±b n ) =lim a n ±lim b n

n →∞

n →∞

n →∞

lim (a n ⋅b n ) =lim a n ⋅lim b n .

n →∞

n →∞

n →∞

证明 设lim a n =a ，lim b n =b . 由极限定义，∀ε>0,

n →∞

n →∞

∃N 1∈N +, ∀n >N 1, 有a n -a

与 ∃N 2∈N +, ∀n >N 2, 有b n -b

取N =max {N 1, N 2}, 则当n >N 时，上述两不等式同时成立，由此有

1. (a n +b n ) -(a +b ) =(a n -a ) +(b n -b ) ≤a n -a +b n -b

n →∞

n →∞

n →∞

同理可证 lim (a n -b n ) =a -b =lim a n -lim b n .

n →∞

n →∞

n →∞

2. a n b n -ab =(a n b n -a n b ) +(a n b -ab ) ≤a n b n -a n b +a n b -ab ≤a n b n -b +b a n -a 由收敛数列的有界性定理，∃M >0, 对∀n ∈N +, 有 a n ≤M . 于是，∀n >N , 有

a n b n -ab

n →∞

n →∞

n →∞

定理2-6 若数列{a n }和{b n }都收敛，且b n ≠0, lim b n ≠0, 则数列⎨

n →∞

⎧a n ⎫

⎬也收敛，即 ⎩b n ⎭

lim a n

a n

lim =n →∞

n →∞b n lim b n

n →∞

证明 设lim a n =a ，lim b n =b ≠0，由极限定义，∀ε>0,

n →∞

n →∞

∃N 1∈N +, ∀n >N 1, 有a n -a

与 ∃N 2∈N +, ∀n >N 2, 有b n -b

b

>0, ∃N 3∈N +, ∀n >N 3，有 已知lim b n ≠0, 取ε0=

n →∞2

b n -b

b 2

b b =， 22

从而b n =b n -b +b ≥b -b n -b >b -

或

1b n

2 b

∃N =max {N 1, N 2, N 3}, ∀n >N , 同时有

a n -a

1b n

2. b

于是，∀n >N , 有

11a n a

-=a n b -b n a =a n b -ab +ab -b n a b b b b n b n b n

1b n b

2b

2

≤

(b a n -a +a b n -b )

其中

2b

2

(a +b ) 是正常数，即

a n

a n a lim n →∞

== lim . b lim b n n →∞b n

n →∞

从定理2-5和2-6可以看出，：两个收敛数列的四则运算与极限的运算可以交换次序.

2n 2+3n -2

例7 求lim . 2

n →∞n +1

2n 2+3n -22

解 将分式分子和分母同除以，再根据定理2.5、2.6有 n 2

+1n

3232

2+-(2+-) lim

2n 2+3n -2n 2n →∞n 2

=lim =lim 2n →∞n →∞n +11+2lim (1+2)

n →∞n n

32

lim 2+lim -lim 2n →∞n →∞n n →∞ =

lim1+lim 2n →∞n →∞n 2

=

1

=2 例8 求lim (

n →∞

3n +1n +1

⋅) . n n

解 由定理2.5、2.6可得， lim (

3n +1n +13n +1n +1

⋅) =lim ⋅lim

n →∞n →∞n n n n →∞n

11

=lim (3+) ⋅lim (1+)

n →∞n n →∞n

11

=(lim 3+lim )(lim 1+lim )

n →∞n →∞n n →∞n →∞n

=3⋅1 =3.

本题也可用例7的解法，请读者尝试去完成.

n

+3n 2例9 求lim n +1. n +1

n →∞2+3

⎛2⎫

解 由例4可知lim ⎪=0, 于是,

n →∞⎝3⎭

n

⎡⎤2n

+1⎥3⎢

n n 3⎢⎥2+3=⎣⎦

lim lim n +1 n →∞2n +1+3n +1n →∞⎡⎤ 2⎛⎫n +1

3⎢ ⎪+1⎥

⎢⎥⎣⎝3⎭⎦

n

()

=

2n ⎤⎡lim () +13⎢⎥⎣⎦13

n →∞

n +1

⎡2lim ⎢() n ←∞

⎣310+11=⋅=30+13

⎤ +1⎥⎦

四、数列极限存在的条件

定理2.2明确告诉我们：收敛数列一定有界，而有界数列不一定收敛. 那么附加什么条件时一个有界数列就收敛呢？下面我们讨论极限的存在性问题.

首先我们讨论单调数列的极限. 所谓单调数列，其定义域单调函数相仿. 若数列各项满足关系式

a n ≤a n +1(a n ≥a n +1)

则称数列{a n }为递增（递减）数列. 递增数列和递减数列统称为单调数列.

关于单调数列的极限存在问题有如下定理：

定理2-7（单调有界定理）任何有界的单调数列一定有极限.

证明 不妨设{a n }为递增有上界数列. 由确界定理，数列{a n }有上确界，令

a =sup {a n }，下面证明a 就是数列{a n }的极限.

事实上，任给ε>0，按上确界的定义，存在数列{a n }中某个项a N ，使得a -ε0存在自然数N , 使得当n ≥N 时有a -ε

n →∞

下面我们举例来说明它的应用. 例10 设

a n =1+

12

α

+

13

α

+ +

1n

α

, n =1,2,

若实数α≥2，证明数列{a n }收敛.

证明 显然{a n }是递增的数列. 所以只需证{a n }有上界. 事实上 a n ≤1+

12

+2

1111

+ +≤1+++ + 22

1⋅22⋅3n (n -1) 3n

1

11111

=1+(1-) +(-) + +(-)

223n -1n

1

=2-

n

于是由单调有界定理，数列{a n } 收敛.

单调有界定理只是数列收敛的充分条件. 要判别任意一个数列的敛散性有下面重要的定理：

定理2-8（柯西收敛准则）数列{a n }收敛⇔∀ε>0, ∃N ∈N +, ∀m , n >N , 有 a n -a m

柯西收敛准则指出：数列收敛等价于数列中充分远的任意两项的距离能够任意小. 与数列极限的ε-N 定义相比较，柯西收敛准则把原来的a n 与a 的关系换成了a n 与a m 的关系，其优点在于无需借助数列以外的数a ，只要根据数列自身各项之间的相互关系就可以判别它的敛散性.

柯西收敛准则的否定叙述也可以用来判别某个数列的发散. 现将该准则的正反叙述对比如下：

数列{a n }收敛⇔∀ε>0, ∃N ∈N +, ∀m , n >N , 有a n -a m 0, ∀N ∈N +, ∃m 0, n 0>N , 有a n -a m ≥ε0

00

例11 证明:若a n =1-

12

+2

13

n -1

+ +(-1) 2

1n

2

(n ∈N ) , 则{a n }收敛.

证明 任意ε

则当m >n >N 时，恒有 >

0, 取N =，a m -a n =(-1)

n

111

+ +(-1) m -12

(n +1) m n

由柯西收敛准则知{a n }收敛.

例12 证明：若x n =1+证明 取ε0=

111

++ +(n ∈N ) ，则{x n }不收敛. 23n

1

, 对∀N ，取n =N +1, m =2n , 2

x m -x n =

11n 1+ +>= n +12n 2n 2

由柯西收敛准则知{x n }发散.

第二节 函数的极限

一、函数极限的定义

在上一节我们讨论了数列的极限，现在来讨论另一类极限，即函数的极限. 对于函数

y =f (x ), 我们主要考虑这样的问题：当自变量趋于某个点a 时，因变量y 是否相应地趋

于某个定值A .

先看这样一个问题：求抛物线y =2x 2在其上一点P (1,2)的切线方程.

由解析几何知，曲线在点P 的切线是过点P 的割线PQ 当点Q 沿曲线无限接近于点P 时的极限位置. 如图2-1：

图2-1

设过点P (1,2)的切线斜率是k , 切线方程就是 y -2=k (x -1)

怎样求切线斜率k 呢？在抛物线y =2x 2上点p 附近任取一点Q ，设点Q 的横坐标是

x (x ≠1) , 点Q 的坐标是Q (x ,2x 2) . 已知割线PQ 的斜率

y -22x 2-2

= k 1= x -1x -1

因为点Q 不同于点P ，即x ≠1，所以

2x 2-22(x +1)(x -1) k 1===2(x +1)

x -1x -1

当点Q 沿抛物线y =2x 2无限趋近于点P 时，即当x 无限趋近于1时，割线PQ 的斜率

2x 2-22x 2-2

k 1==2(x +1) 无限趋近于4，即过点P 的切线斜率k =4. 就是所谓函数的

x -1x -1

“极限”（当x 无限趋近于1时）. 于是，过点P 的切线方程是

y -2=4(x -1) 或4x -y -2=0

2x 2-22x 2-2何谓“当x 无限趋近于1时，函数趋近于4”？这就是说，与4的距

x -1x -1

2x 2-2

离-4能任意小，并保持任意小，只需x 与1的距离x -充分小. 例如：

x -1

112x 2-21对，能够做到-4=2x -

12x 2-21对3，能够做到即可. -4=2x -1

2⨯x -11010101

ε2x 2-2

一般地，对∀ε>0, 能够做到-4=2x -1

2x -1

2x 2-2

这句话的文字叙述稍加改动，就是“当x 无限趋近于1时，函数趋近于4”的定量

x -1

叙述：

∀ε>0, ∃δ=

ε

2

>0, ∀x :0

2x 2-2

-4

下面给出一般的函数f (x ）（当x →x 0时）的极限定义：

定义2-2 设函数f (x ）在点x 的某个去心邻域U (x 0)内有定义，A 是常数. 若对

o

∀ε>0, ∃δ>0, ∀x :0

f (x ) -A

则称f (x ）当x 趋于x 0时极限存在，且以A 为极限，记作 lim f (x ) =A 或f (x ) →A (x →x 0)

x →x 0

这一定义亦被称为函数在一点极限的ε-δ定义.

关于定义的理解应注意两点：

（1）定义中只要求函数f (x ）在x 0的某一去心邻域有意义，这里只要求“去心”意即不考虑f (x ）在点x 0处的函数值是否有定义. 换句话说f (x ）在点x 0处的极限仅与函数f (x ）在x 0的附近的x 的函数值f (x ）的变化有关，而与f (x ）在x 0的情况无关.

（2）定义中的δ，相当于数列极限ε-N 定义中的N ，它依赖于ε，但也不是由

ε所

唯一确定. 一般来说，ε越小，δ也相应地要小一些. ε和δ有类似于数列极限定义中的非0常数倍变形，如2ε,

εδ

, 等.

22

另外，从几何意义上来讲，函数极限的ε-δ表明：在平面直角坐标系xoy 的y 轴上取以A 为中心，ε为半径的一个开区间(A -ε, A +ε) ，在x 轴上存在一个以x 0为中心，δ为半径的开区间(x 0-δ, x 0+δ)，对位于(x 0-δ, x 0+δ)的任意x ，所对的函数值都落在

(A -ε, A +ε) 所表示的带形区域之内，但点(x 0, f (x 0)) 可能例外（或无意义）. 如图2-2

图2-2

有些函数在其定义域上某些点处，它的左侧与右侧所用的表示其对应法则的解析式不同

（如分段函数），或函数仅在其某一侧有定义，这时函数在这些点上的极限问题只能单侧的加以讨论.

函数的单侧极限有如下定义：

定义2-3 设函数f (x ）在a 右侧（左侧）有定义，A 是常数. 若对

∀ε>0, ∃δ>0, x ∀a :x

f (x ) -A

则称函数f (x ) 在x 趋于a +(a _) 时右（左）极限存在，并以A 为右（左）极限，记作 lim f (x ) =A 或f (a +0) =A

+

x →

a a

lim f (x ) =A 或f (a -0) =A

-

x →

关于函数f (x ) 在x →a 时的极限与它在点a 的左右极限之间的关系有如下定理： 定理2-9 lim f (x )=A ⇔lim f (x ) =lim f (x ) =A

+-

x →a

x →a

x →a

证明 必要性(⇒)已知lim f (x )=A ，即

x →a

∀ε>0, ∃δ>0, ∀x :0于是，

∀ε>0, ∃δ>0, ∀x :a -δf (x ) -A

即 lim f (x ) =lim f (x ) =A . +-

充分性（⇐）已知x →a

x →a a

lim f (x ) =lim f (x ) =A x →

+

x →a -

，即对

⎧∃δ1>0, ∀x :a -δ1∀ε>0, ⎨ 有f (x ) -A

⎩∃δ2>0, ∀x :a 取δ=min {δ1, δ2}. 于是∀ε>0, ∃δ>0, ∀x :0

x →a

定理2-9不仅可以用于说明所讨论的函数极限是否等于A ，而且也常用来证明某些函数极限的不存在. 如函数

⎧x 2, x ≥0f (x ) =⎨

⎩x , x

在x →0+和x →0-时，f (0+0) =f (0-0) =0，故 lim f (x ) =0

x →0

而像符号函数f (x ) =sgn x 在x →0+和x →0-时分别有

f (0+0) =1, f (0-0) =-1,

故lim sgn x 不存在.

x →0

下面通过具体的实例说明怎样应用ε-δ定义证明函数的极限. 例1 证明lim (2x +3) =5.

x →1

证明 ∀ε>0, 要使不等式

(2x +3) -5=2x -

ε

2

. 取δ=

ε

2

. 于是，

∀ε>0, ∃δ=

ε

2

>0, ∀x :0

x →1

即 lim (2x +3) =5

例2 证明lim x sin

x →0

1

=0. x

证明 已知对任意满足x x ≠0的x ，有 sin

{}

1

≤1 x

11

∀ε>0, 要使不等式x sin -0=x sin ≤x

x x

1

∀ε>0, ∃δ=ε>0, ∀x :0

x

即 lim x sin

x →0

1

=0. x

例3 证明lim

x →0

x (x -1) 1

=. 2

-12x

分析 当x ≠1时，∀ε>0, 解

x -x (x -1) 1

-=

找δ有困难. 因为函数

x (x -1)

在1的极限只与1的附近x 有关，所以可限定x 的变化范围. 2x -1

如限定0

1

放大求解.

2x +1

证明 限定0

∀ε>0, 要使不等式

x -11x (x -1) 1

-=

x -122x +12

成立，则有x -

x (x -1) 1

-

x 2-12

即 lim

x →0

x (x -1) 1

=. 2

-12x

例4 设g (x ) =

11+10

1

x

，证明：

（1）lim g (x ) =0； （2）lim g (x ) =1.

x →0+

x →0-

证明 （1）∀x >0, ∀ε>0, 要使不等式

g (x ) -0=

成立，解得x

11+10

1x

lg(-1)

11

，（限定0

1

）. 取δ=2

ε

lg(-1)

11

，

ε

于是，∀ε>0, ∃δ=

lg(-1)

11

>0, ∀x :0

ε

即 lim g (x ) =0.

x →0+

（2）∀x 0, 要使不等式

g (x ) -1=

11+10

1x

=1-

11+10

1x

成立，解得x >

1lg

1-ε

，（限定0

1

），取δ=-2

1lg

1-ε

.

于是，∀ε>0, ∃δ=-

1lg

1-ε

>0, ∀x :-δ

即 lim g (x ) =1.

x →0-

由于lim g (x ) ≠lim g (x ) ，依据定理2-9，函数g (x ) 在0不存在极限.

+-

x →0

x →0

应用极限的ε-N 定义，还可以很容易推出以下两个常用的结论： lim c =c ， lim x =a .

x →a

x →a

二、函数极限的性质与四则运算法则

函数极限的许多性质、四则运算都与数列极限有类似之处. 本节仅就经常碰到的函数极限lim f (x ) 给出与收敛数列相类似的一些定理及其证明.

x →a

定理2-10（唯一性）若函数f (x ）在a 存在极限，则它的极限是唯一的.

定理2-11（局部有界性）若函数f (x ）在点a 有极限，则在点a 的某去心邻域内有界. 即:

若lim f (x ) =A , 则∃M >0, ∃δ0>0, ∀x :0

x →a

f (x ) ≤M .

证明 已知lim f (x ) =A ，即

x →a

∃ε0>0, ∃δ0>0, ∀x :0

∀x :0

f (x ) =f (x ) -A +A ≤f (x ) -A +A 0, ∃δ0>0, ∀x :0

定理2-12（局部保序性）若lim f (x ) =A ，lim g (x ) =B , 且A >B , 则存在δ>0，当

x →a

x →a

0

f (x ) >g (x ) . 证明 由ε0=

A -B

>0，可得 2

lim f (x ) =A ，∃δ1>0, ∀x (0

x →a

A +B

又由lim g (x ) =B ，∃δ2>0, ∀x (0

x →a

从而 g (x )

A +B

2

取δ=min {δ1, δ2}, 当0

A +B

x →a

推论1 若lim f (x ) =A ，lim g (x ) =B ，且∃δ0>0,, ∀x :0

x →a

f (x ) ≤g (x ) （或f (x ) ≥g (x )), 则A ≤B (或A ≥B ).

证明 只证A ≤B 的情况. 应用反证法，假设B

∃δ>0(δ≤δ0), ∀x :0

推论2 （保号性）若lim f (x ) =A , 且A 0, ）则∃δ0>0, ∀x :0

x →a

有f (x ) 0）.

证明 在定理2-12中，取g (x ) =0, 有lim g (x ) =0. 于是，

x →a

∃δ0>0, ∀x :00）.

定理2-13（夹逼性）若lim f (x ) =lim g (x )=A ，且存在a 的某去心邻域U (a )，使

x →a

x →a

o

得对一切x ∈U (a )，有

f (x ) ≤h (x ) ≤g (x ) (1) 则 lim h (x ) =a .

x →a

o

证明 由ε-N 定义，任给正数

ε，分别存在正数δ, δ

1

2，当

0

A -ε

g (x )

于是，令δ=min {δ1, δ2}，则当0

A -ε定理2-14（四则运算法则）若极限lim f (x ) 与lim g (x ) 都存在，则函数f ±g , f ⋅g 在

x →a

x →a

x →a 时极限也存在，且

(1)lim [f (x ) ±g (x ) ]=lim f (x ) ±lim g (x ) ；

x →a

x →a

x →a

(2)lim [f (x ) ⋅g (x ) ]=lim f (x ) ⋅lim g (x ) ；

x →a

x →a

x →a

又若lim g (x ) ≠0，则

x →a

f

g

在x →a 时极限存在，且有

f (x ) f (x ) lim x →a

(3) lim . =

x →a g (x ) lim g (x )

x →a

这个定理的证明可以仿照数列极限中相应定理的证明方法，请读者作为练习自行完成. 利用函数极限的四则运算法则，我们可以从几个简单的函数极限出发，计算较复杂函数的极限.

例5 求lim (x tan x -1) .

x →

π

4

解 由于x tan x -1=有

x sin x

-1及前面的结论lim c =c ，lim x =a ，按四则运算法则

x →a x →a cos x

lim x lim sin x

lim (x tan x -1) =

x →

x →

π

4

x →

π

4

π

4

lim cos x

x →

-lim 1

x →

π

π4

4

π

=-1=-1

4⋅

例6 求lim(

x →-1

π

13-3). x +1x +1

解 当x +1≠0时，有

13（x +1）(x -2) x -2-3== 32

x +1x +1x +1x -x +1

所以

lim (

x →-1

13x -2

-3) =lim

x →-12x +1x +1x -x +1

x →-1

2

=

lim x -lim 2

x →-1x →-1

x →-1

x →-1

lim x -lim x +lim1

=

-1-2

=-1

(-1) -(-1) +1

三、函数极限存在的条件

与数列极限存在的条件一样，我们将从函数值的趋势来判断它的极限的存在性. 定理2-15(海涅定理)

lim f (x ) =A ⇔ 对任意数列 {a n }, a n ≠a , 且 lim a n =a , 有

x →a

n →∞

lim f

n →∞

(a n ) =A . (x ) =A ，即

证明 必要性（⇒）已知lim f

x →a

∀ε>0, ∃δ>0, ∀x :0

对任意数列

{a n }, a n ≠a , 且lim a n =a

n →∞

根据数列极限的定义，对上述

δ>0, ∃N ∈N +, ∀n >N , 有

0

N , 有f (a n ) -A

n →∞

即 lim f (a n ) =A .

(x ) ≠A . 根据函数极限的否定叙述:

充分性（⇐）应用反证法. 假设lim f

x →a

∃ε0>0, ∀δ>0, ∃x :0

取 δ1=1, ∃a 1:0

11

δ1=, ∃a 2:0

22

„„

11

δ1=, ∃a n :0

n n

于是构造出一个数列{a n }, a n ≠a ，因为δn = lim a n =a .

n →∞

1

→0(n →∞) , 所以 n

显然，lim f

n →∞

(a n ) ≠A ，这与已知条件矛盾.

x →a

即 lim

f (x ) =A .

应用海涅定理，判别函数在某一点不存在极限比较方便. 根据原命题与其逆否命题的等价性, 我们可以得出如下推论：

推论1 若存在某个数列{a n }, a n ≠a ，且lim 存在极限，则函数f (x ) 在a 也不存在极限.

推论2 若存在某两个数列{a n }与{b n }，a n ≠a , lim a n =a 与b n ≠a , lim b n =a , 且

n →∞

n →∞

n →∞

a n =a ，而它的函数值数列{f (a n ) }不

lim f (a n )=c 与lim f (b n )=d ，而c ≠d ，则函数f (x )在a 不存在极限. n →∞n →∞

例7 证明极限lim sin

x →0

1

不存在. x

证明 有推论2，取a n =

12n π+

2

, b n =

12n π-

2

, n ∈N +，显然a n ≠0, lim a n =0，

n →∞

b n ≠0, lim b n =0.

n →∞

由于f (a n )=sin 2n π+

⎛⎝

π⎫

π⎫⎛

=1, f =sin 2n π-()b n ⎪ ⎪=-1 2⎭2⎝⎭

从而，lim f (a n )=1,lim f (b n )=-1.

n →∞

n →∞

于是，函数函数f (x )=limsin

x →0

1

在0不存在极限. x

关于函数极限存在还有如下的柯西收敛准则：

f (x )存在⇔∀定理2-16 极限l i m ε

x →a

0>, δ∃0>x , '∀x ', ''a -:0x

0

f (x ')-f (x '')

证明 必要性（⇒）设li m f (x )=A ，即∀ε>0, ∃δ>0, ∀x :0x -x →a

f (x )-A

f (x ')-A

充分性（⇐）已知∀ε>0, ∃δ>0, ∀x 'x , '':0x 'δ

f (x ')-f (x '')

取某个数列

{a n }

，且l i m a n =a a n , ≠a 根据数列极限定义，对上述

n →∞

δ>0, ∃N ∈N +, ∀n 1, n 2>N , 同时有

0

f a n 1-f a n 2

()()

{

}

根据数列柯西收敛准则，数列f (a n )收敛. 设 lim f (a n )=A （下证lim f (x )=A ，

n →∞x →a

从而lim f (x )存在）.

x →a

已知∀ε>0, ∃δ>0, ∀x , y :0

又由lim f (a n )=A ，对上述δ>0, ∃n 0∈N +, 有0

n →∞

f a n 0-A

f (x )-f a n 0

()

()

n 0

于是，有f (x )-A ≤f (x )-f a n 0+f a n 0-A

x →a

()()

柯西收敛准则也常被用来证明某些函数的极限不存在，此时有如下描述：

极限lim f (x )不存在⇔∃ε0>0, ∀δ>0, ∃x ', x '':0

x →a

f (x ')-f (x '')≥ε0

如在上例中，我们可取ε0=1，对任何δ>0, 令x '=

1

和x ''=n π

1n π+

2

，只要n >

1

δ

，

就有x ', x ''∈U (0, δ)，而且有

o

sin

11-sin =1=ε0 x 'x ''1

不存在. x

从而也说明f (x )=limsin

x →0

第三节 两个重要的极限

一、lim

sin x

=1

x →0x

证明 如图2-3，

图2-3

AB 是以点O 为中心，半径为1的圆弧. 过A 作圆弧的切线与OB

的延长线交于点C ，连接AB . 设∠DOB =x (rad ) ，则0

π

2

时，显然有

∆AOB 面积

即

111

sin x

以sin x >0除之，得

1

由于

x 1sin x

sin x π

为偶函数，根据偶函数性质，上式对-

x →0x 2

sin x

=1.

x →0x

数极限的夹逼性定理可知

lim

1

二、lim(1+) x =e

x →∞x

证明 先证x →+∞的情况:

∀x >1，有[x ]≤x

1+

111

x x +1x 由幂函数（底数大于1）的严格增加性，有

(1+

1[x ]11x +1

)

x x +1x 1[x ]+11

) =lim(1+) n +1

n →∞n x 11=lim(1+) n (1+) n →∞n n =e

又因为 lim(1+

x →∞

1n +1

)

1[x ]1n lim(1+) =lim(1+) =lim =e

x →∞n →∞n →∞n +1x +11+

n +1

1x

根据夹逼性定理有 lim(1+) =e .

x →∞x

再证x →-∞的情况，令x =-y ，则当x →+∞时，y →+∞,

(1+

有 lim (1+) =lim (1-

x →-∞

y →+∞

1x

x

1-y y y ) =lim ()

y →+∞y y -1

=lim (1+

y →+∞

1y -11) (1+) y -1y -1

=e

于是，

1

lim(1+) x =e . x →∞x

该极限还可以换作如下形式:

1

α→0

lim(1+α) α=e .

因为，令α=

1

，则x →∞与α=0是等价的，所以 x

1

1x

lim(1+) =lim(1+α) α. x →∞α→0x

以上极限lim

sin x 1

=1和lim(1+) x =e 是数学分析中非常重要的两个极限，许多公式

x →0x →∞x x

sin 3x

.

x →0sin 2x

的导出都离不开它们，请牢记.

例1 求极限lim

sin 3x

⋅3x

sin 3x

解 lim =lim x →0sin 2x x →0sin 2x

⋅2x 2x sin 3x lim 3x →0= 2lim x →02x

=

3 2

例2 求lim

1-cos x

.

x →0x 2

x x

sin

1-cos x =1() 2 解 由于=x 2x 22x

2

x sin

1-cos x 1) 2 所以 lim =lim (x →0x →02x 2

2x sin 1) 2 =lim(2x →0x

2

1=. 2

2sin 2

例3 求lim(1+2x ) .

x →0

1x

1

⎡⎤

解 lim(1+2x ) =lim ⎢(1+2x ) 2x ⎥

x →0x →0

⎣⎦

1

x

2

=e 2

例4 求lim(1-x ) .

x →0

1x

1

⎡⎤

解 lim(1-x ) =lim ⎢(1-x ) -x ⎥

x →0x →0

⎣⎦

1

x

-1

=lim

x →0

1(1-x ) lim1

x →0

1-x

=

x →0

lim(1-x ) =1. e

1-x

第四节 无穷小量与无穷大量

一、无穷小量

定义2-4 若lim f (x ) =0，则称函数f (x )(x →a ) 是无穷小量.

x →a

该定义实质上指出了︰无穷小量是以零为极限的变量，这里的极限过程x →a 可以扩

充到x →a ，x →a ，x →+∞，x →-∞，x →∞等情形. 例如

当x →0时，函数x ，sin x ，1-cos x 都是无穷小量. 当x →∞时，函数

2

+-

1sin x ，，都是无穷小量. x 2x

当n →∞时，数列⎨⎬，⎨

⎧1⎫⎩n ⎭⎧1⎫⎧n ⎫

，⎨2⎬都是无穷小量. n ⎬2n +1⎭⎩⎭⎩

注 说某一变量是无穷小量必须注明是在什么极限状态下的无穷小量. 如y =cos x 在x →

π

时为无穷小量，因为lim cos x =0, 但在x →0时，就不是无穷

π2x →

2

小量，因为lim cos x ≠0.

x →0

根据极限的定义或四则运算法则，不难得出，无穷小量有如下一些性质︰

性质1 若函数f (x ) 与g (x )(x →a ) 都是无穷小量，则函数f (x ) ±g (x )(x →a ) 仍为无穷小量.

性质2 若函数f (x )(x →a ) 是无穷小量，函数g (x ) 在a 的某去心邻域有界，则函数

f (x ) g (x )(x →a ) 仍为无穷小量.

如当x →0时，x 是无穷小量，而sin

2

112

为有界量，故lim x sin =0

x →0x x

性质3 极限lim f (x ) =A ⇔f (x ) -A 在x →a 仍为无穷小量.

x →a

二、无穷小量阶的比较

无穷小量是以零为极限的变量，但它们收敛于零的速度也有快有慢，下面我们考察

f (x )

在这一极限过程中的变化情况. g (x )

设x →a 时，f (x ) 与g (x ) 均为无穷小量. 1. 若lim

x →a

f (x )

=0, 则表示当x →a 时，f (x ) 趋于零的速度比g (x ) 快，我们称当g (x )

x →a 时，f (x ) 关于g (x ) 是高阶无穷小量（或g (x ) 关于f (x ) 是低阶无穷小量）. 记作

f (x ) =o (g (x ))

(x →a )

例如 lim

1-cos x

=lim

x →0x →0x

2sin 2

x

x

=0

可表示为 1-cos x =ο(x )

(x →0)

特别地，当g (x ) ≡1时，f (x ) (x →a ) 为无穷小量，可记作

f (x ) =ο(1) (x →a )

2. 若存在A >0，当x 在a 的某个去心邻域中，成立

f (x )

≤A g (x )

则称当x →a 时，

f (x )

是有界量，记为 g (x )

f (x ) =O (g (x )) (x →a )

例如 当x →0时，x sin

1x sin x 与x 都是无穷小量，且≤1，从而有表示式 x x

x sin

1

=O (x ) (x →0) x

若又存在a >0，当x 在a 的某个去心邻域中，成立

a ≤

f (x )

≤A g (x )

则称当x →a 时，f (x ) 与g (x ) 是同阶无穷小量.

显然，若lim

x →a

f (x )

=b ≠0，则f (x ) 与g (x ) 必是同阶无穷小量，此时f (x ) 与g (x ) 趋g (x )

于零的速度“差不多”.

例如 lim

1-cos x

=lim 2x →0x →0x

2sin 2

x 2sin x

2

x x ) 2

=2lim(

14x →0

=

1 2

所以1-cos x 与x 在x →0时为同阶无穷小量.

2

) (x →a ) 时，也有f (x ) =O (g (x )) (x →a ) ，而且常用甚至当f (x ) =ο(g (x )

f (x ) =O (1) (x →a )

表示f (x ) 是在某U (a )内的一个有界量.

3. 若lim

x →a

o

f (x )

，此时称f (x ) 与=1，则表示f (x ) 与g (x ) 趋于零的速度“基本相同”

g (x )

g (x ) 为等价无穷小量. 记作

f (x ) g (x ) (x →a )

上式也可写成f (x ) =g (x ) +ο(g (x )) (x →a ) , 它表示当x →a 时，f (x ) 与g (x ) 并不一定相等，两者相差一个关于g (x ) 的高阶无穷小量.

例如 lim

sin x

=1，说明sin x 与x 在x →0时为等价无穷小量，可表示为

x →0x

sin x x (x →0) 或 sin x =x +ο(x ) (x →0)

需要注意的是，记号“ο”、“

ο”和“ ”都是相对于一定极限过程的，一般来说，

在使用时应附上记号“(x →a ) ”，以说明相应的极限过程，只有在意义明确不会发生误解的前提下才能省略.

三、无穷大量

对于无穷大量的研究与无穷小量相对应. 定义2-5 设函数f (x ) 在

U (a )

o

有定义，若对于任给的正数B 存在某一正数δ，使得

当0B ，则称函数f (x ) (x →a ) 是无穷大量，有时也称函数

f (x ) 在a 的“极限”是无穷大，表示为

lim f (x ) =∞或f (x ) →∞(x →a )

x →a

若将上述定义中的不等式f (x ) >B 分别改为

f (x ) >B 或f (x )

则分别称函数f (x ) (x →a ) 是正无穷大与负无穷大，并分别表示为

lim f (x ) =+∞ 或f (x ) →+∞(x →a )

x →a

与 lim f (x ) =-∞ 或f (x ) →-∞(x →a )

x →a

在这三个“无穷大”的定义中，将x →a 换为x →a ，x →a ，x →+∞，x →-∞，，请读者自行写出. x →∞以及n →∞可定义不同形式的“无穷大”

证明函数是无穷大，其证法与函数极限存在证明相同. 例1 证明lim

x →5

+-

1

=∞. x -5

证明 ∀B >0，要使不等式

11

=>B x -5x -5

成立，解得x -5

11

. 取δ=，于是

B B

11>0，∀x :0B ，即 B x -5

lim

x →5

∀B >0，∃δ=

1

=∞. x -5

例2 证明lim

x →0

1

=+∞. 2x

1

>B

x 2

证明 ∀B >0，要使不等式

成立，解得x

.

取δ=，于是 1

>0, ∀

x :0B ，即

x lim

x →0

∀B >

0，∃δ=

1

=+∞. 2x

x

例3 证明lim a =+∞， a >1.

x →+∞

证明 ∀B >0 (B >1) ，要使不等式 a >B

成立，解得x >lg a B . 取A =lg a B >0，于是

x

∀B >0，∃A =lg a B >0，∀x >A ，有a x >B ，即

x →+∞

lim a x =+∞.

两个无穷大量趋于∞的速度也有快慢之分，与无穷小量有类似的定义. 特别地，设f (x )

与g (x ) 均为x →∞时的无穷大量，若

f (x ) f (x )

在某U (∞)内满足a ≤≤A ，则称f (x ) g (x ) g (x )

与g (x ) 为x →∞时的同阶无穷大量，对于x 的其它趋向也同样可以定义同阶无穷大量.

需要注意的是，在进行无穷大量阶的比较时，习惯上不使用记号“ο”但仍使用记号“O ”和“ ”.

根据无穷大量的定义，不难得出, 无穷大量有如下性质︰

性质1 若函数f (x ) 与g (x )(x →a ) 都是无穷大量，则函数f (x ) g (x )(x →a ) 仍是无穷大量.

性质2 若函数f (x ) (x →a ) 是无穷大量，函数g (x ) 在a 的某去心邻域

(a , η) 有

︒

界，则f (x ) +g (x )(x →a ) 也是无穷大量.

注意 两个无穷大量的代数和可能不是无穷大. 例如，指数函数a 与

-a x

x

(x →+∞, a >1) 都是无穷大，但它们的和a x +(-a x )=0(x →+∞, a >1) 不是无穷大，

而是无穷小.

性质3 若函数f (x ) (x →a ) 是无穷小量（或无穷大量），且f (x ) ≠0，则函数

1

(x →a ) (x →a ) 是无穷大量（或无穷小量）. f (x )

根据性质3，对无穷大量的研究往往可以归结为对无穷小量的讨论. 习题二

1. 判断下列几种叙述是否与lim a n =a 等价，并说明理由：

n →∞

(1)∀ε

>0, ∃N ∈N +, ∀n ≥N , 有a n -a ≤ε；

1； k

(2)∀k ∈N +, ∃N k ∈N +, ∀n ≥N k , 有a n -a

(3)∀k ∈N +, 只有有限个a n 位于区间 a -

⎛⎝11⎫

, a +⎪之外； k k ⎭

（4）有无限多个ε>0，对每个ε, ∃N (ε) ∈N +, ∀n >N (ε), 有a n -a 0，有无穷多个a n ，使a n -a

5n 2n

=-5； （1）lim =1； （2）lim 2

n →∞7n -n n →∞n +1

（3）lim sin

n →∞

π

n

=0；

(4) lim =0.

n →∞

3. 证明：数列2-(-1)

{

n

}发散.

n →∞

4. 证明：若lim a n =0，则lim a n =a ，反之是否也成立呢？请举例说明.

n →∞

5. 证明：若lim b n =b ，则lim b n =b 2.

n →∞

n →∞

2

6. 证明：若数列{x n }有界，且lim y n =0，则lim x n y =0.

n →∞

n →∞

n

7. 求下列极限：

32

1000n n +3n +1

（1）lim ； （2）lim 3；

n →∞4n +2n +3n →∞2n +1

（3）lim

1+2n n

2

n →∞

； （4

）n →∞

； 5

1115++ +) ； （6）lim (1+) ； （5）lim (

n →∞n →∞1⋅22⋅3n (n +1) 1111n

=-（提示：） （提示：lim (1+) =e ）

n →∞n n (n +1) n n +1

132n -1) n ) . （7）lim (+2+ +； （8

）lim n

n →∞2n →∞22

8. 证明：若a n >

0, 且=r

n n →∞

9. 应用柯西收敛准则证明下列数列（只给出通项）的收敛性. (1) a n =a 0+a 1q + +a n q , 其中0

n

111

++ +； 1! 2! n !

(3) a n =

sin1sin 2sin n

+2+ +n . 222

x →a

x →a

10. 用极限定义证明：若lim f (x )=b ,lim g (x )=c , 则 lim ⎡⎣f (x )-g (x )⎤⎦=b -c .

x →a

11. 设f 为定义在[a , +∞]上的递增函数，证明：lim f (x )存在的充要条件是f (x )在

x →∞

[a , +∞)上有上界.

12. 证明：若lim f (x )=a 与lim g (x )=b , 则lim f (x )g (x )=ab .

x →∞

x →∞

x →∞

13. 写出极限lim f (x )存在的柯西收敛准则及其否定叙述，并证明：

x →∞

（1）当x →+∞时，函数

cos x

存在极限. x

（2）当x →+∞时，函数sin x 不存在极限.

14．证明：若函数f (x )在R 上是周期函数，且lim f (x )=0，则∀x ∈R ，有f (x )=0.

x →∞

15. 求下列极限：

2

3⎫⎛1x +x +1

（1）lim ； （2）； lim -3⎪x →∞22-5x →1 1-x 1-x ⎭x ⎝

x +h )(（3）lim

h →0

3

-x 3

h

； （4

）x →4

；

（5

）lim

x →∞

.

16．求下列极限:

x

3； （1）lim x sin ； （2）lim

x →∞x →04x x

sin x -sin a cos x

（3）lim ； （4）lim ；

πx →a x -a x →

2x -

2

sin

（5

）lim .

x →01-cos x

17．求下列极限: （1）lim(1+

x →∞

1x

) ； （2）lim(1+tan x ) cot x ；

x →0x +3

21+x 1

) x ； （4）lim(1-) -x ； （3）lim(

x →∞x →01-x x

（5）lim (1+)

x →+∞

k

x

mx

（k , m 为整数）.

18．已知下列极限，确定a 与b ：

x 2+1b

-ax -b ) =0 ； （2

）lim （1）lim(=1。 2x →∞x +1x →1x -1

19. 用不等式将下列符号的意义叙述出来:

f (x ) =+∞. （1）lim f (x ) =∞； （2）lim g (x ) =-∞； （3）lim +

x →-∞

x →+∞

x →a

20. 证明︰（1）2x -x 2=O (x ) ，(x →0) ； （2

1=ο(1)，(x →0) ；

（3）(1+x ) =1+nx +ο(x ) ，(x →0) ； （4）sin 21. 证明：（1）lim

n

21

=O () ，(x →∞) . x x

3x +1

=∞； （2）lim ln x =+∞； 2x →+∞x →0x

（3）lim tan x =+∞.

π

x →() -

2

22. 证明：f (x ) g (x )(x →a ) ⇔f (x ) -g (x ) =ο(g (x )) . 23. 证明：若lim P (x ) =+∞，lim Q (x ) =A ，则

x →a

x →a

lim [P (x ) +Q (x ) ]=+∞.

x →a

24. 试确定α的值，使下列函数与x ，当x →0时是同阶无穷小量. （1）sin 2x -2sin x ； （2）

α

1

-(1-x ) ；

1+x

；

25. 证明：lim f (x ) =+∞⇔任意数列a n }，且lim a n =+∞，有lim f (a n ) =+∞.

x →+∞

n →∞

n →∞

{