高考数学得分技巧(学生用)
高考数学得分技巧
第1讲 选择题的解题方法与技巧
题型一 直接对照法
例1 设定义在R 上的函数f (x ) 满足f (x )·f (x +2) =13,若f (1)=2,则f (99)等于 ( )
132
A .13 B .2 C. 2 D. 131
变式训练1 函数f (x ) 对于任意实数x 满足条件f (x +2) =f (x ) ,若f (1)=-5,则f (f (5))的值为( )
11
A .5 B .-5 C. 5 D .-5x 2y 2
例2 设双曲线a -b =1的一条渐近线与抛物线y =x 2+1只有一个公共点,则双曲线的离心率为 ( )
55 A. 4 B .5 C. 2 5
x 2y 2
变式训练2 已知双曲线C :a b 1(a >0,b >0),以C 的右焦点为圆心且与C 的渐近线相切的圆的半径是 ( )
A .a
B .b
ab
a +b
题型二 概念辨析法
例3 已知非零向量a =(x 1,y 1) ,b =(x 2,y 2) ,给出下列条件,①a =k b (k ∈R) ;
222②x 1x 2+y 1y 2=0;③(a +3b ) ∥(2a -b ) ;④a ·b =|a ||b |;⑤x 1y 2+x 22y 1≤2x 1x 2y 1y 2.
其中能够使得a ∥b 的个数是( ) A .1
B .2
C .3
D .4
变式训练3 关于平面向量a ,b ,c ,有下列三个命题:
①若a ·b =a ·c ,则b =c . ②若a =(1,k ) ,b =(-2,6) ,a ∥b ,则k =-3. ③非零向量a 和b 满足|a |=|b |=|a -b |,则a 与a +b 的夹角为60°. 则假命题为 A .①②
(
)
C .②③
D .①②③
B .①③
题型三 数形结合法
例4 用min{a ,b ,c }表示a ,b ,c 三个数中的最小值.设f (x ) =min{2x ,x +2,10
-x }(x ≥0) ,则f (x ) 的最大值为
A .4
( )
C .6
D .7
B .5
变式训练4 (2010·湖北)设集合则A ∩B 的子集的个数是
A .4 A .0
⎧⎪x 2y 2⎪
A =⎨(x ,y ) ⎪4161
⎪⎪⎩
⎫⎪
⎬,B =⎪⎭
{(x ,y )|y =3x },
( )
C .2
D .1 )
B .3
例5 函数f (x ) =1-|2x -1|,则方程f (x )·2x =1的实根的个数是(
B .1
2
C .2 D .3
变式训练5 函数y =|log1x |的定义域为[a ,b ],值域为[0,2],则区间[a ,b ]的长度b -a 的最小值是 ( )
A .2
3
B. 2
C .3
3D. 4题型四 特例检验法
→→
例6 已知A 、B 、C 、D 是抛物线y =8x 上的点,F 是抛物线的焦点,且F A +FB →→→→→→
+FC +FD =0,则|F A |+|FB |+|FC |+|FD |的值为 ( ) A .2 B .4 C .8 D .16 变式训练6 已知P 、Q 是椭圆3x 2+5y 2=1上满足∠POQ =90°的两个动点,则11
( ) +OP OQ 等于
834
A .34 B .8 C. 15 D. 225 例7 数列{a n }成等比数列的充要条件是 ( )
2
A .a n +1=a n q (q 为常数) B .a 2a n +2≠0 n +1=a n ·C .a n =a 1q n -1(q 为常数) D .a n +1=a n ·a n +2
a 2n 4n -1S 2n 变式训练7 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a =,则S 的值( )
2n -1n n
A .2 B .3 C .4 D .8
题型五 筛选法
例8 方程ax 2+2x +1=0至少有一个负根的充要条件是( ) A .0
D .0
变式训练8 已知函数f (x ) =mx 2+(m -3) x +1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点右侧,则实数m 的取值范围是 (
)
A .(0,1) B .(0,1] C.(-∞,1) D .(-∞,1]
题型六 估算法
⎧x ≤0
例9 若A 为不等式组⎨y ≥0
⎩y -x ≤2
3
A. 4
B .1
表示的平面区域,则当a 从-2连续变化到1
时,动直线x +y =a 扫过A 中的那部分区域的面积为
7
C. 4
( )
D .2
变式训练9 已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且AB =BC =CA =2,则球面面积是( )
16
A. 9
8
B. 3 C.4π
D. 64
π 9
第2讲 填空题的解题方法与技巧
题型一 直接法
例1 在等差数列{a n }中,a 1=-3,11a 5=5a 8-13,则数列{a n }的前n 项和S n 的最小值为________.
变式训练1 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,已知a 2=3,a 6=11,则S 7=_______.
题型二 特殊值法
例2 已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且满足(sin A -sin C )(a +c )
=sin A -sin B ,则C =_______.
b
变式训练2 在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,如果a 、b 、c
cos A +cos C
成等差数列,则______
1+cos A cos C
→
例3 如图所示,在△ABC 中, AO 是BC 边上的中线,K 为AO 上一点,且OA =→→→→2AK , 过点K 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ,若AB =mAM ,AC
→
=nAN ,则m +n =________.
→→→
变式训练3 设O 是△ABC 内部一点,且OA +OC =-2OB ,则△AOB 与△AOC 的面积之比为______.
题型三 图象分析法(数形结合法)
1
例4 已知方程(x -2x +m )(x -2x +n ) =0的四个根组成一个首项为4的等差数
2
2
列,则|m -n |的值等于________.
变式训练4 已知定义在R 上的奇函数f (x ) 满足f (x -4) =-f (x ), 且在区间[0,2]上是增函数,若方程f (x ) =m (m >0),在区间[-8,8]上有四个不同的根x 1,x 2,x 3,x 4,则x 1+x 2+x 3+x 4=________.
f (x )
例5 函数y =f (x ) 的图象如图所示,其定义域为[-4,4],那么不等式sin x 0的解集为___________________________. 变式训练5 不等式(|x |- 题型四 等价转化法
2
⎧x -4x +6, x ≥0
例6 设函数f (x ) =⎨,若互不相等的实数x 1,x 2,x 3满足f (x 1)
3x +4, x
=f (x 2) =f (x 3) ,则x 1+x 2+x 3的取值范围是________.
ax -11
变式训练6 已知关于x 的不等式
x +1
a 的值为________.
ax -11
变式训练6 已知关于x 的不等式
x +1
a 的值为________.
题型五 构造法
π
2sin(x +4+2x 2+x
例7 函数f (x ) =M ,最小值为m ,则M +m =_____.
2x +cos x
sin x 1
变式训练7 已知函数f (x ) =sin x cos x +3,若f (lg a ) =4,则f (lg ) 的值等
cos x a
于________.
例8 已知a 、b 是正实数,且满足ab =a +b +3,则a +b 的取值范围是__________.
变式训练8 若抛物线y =-x 2+ax -2总在直线y =3x -1的下方,则实数a 的取值范围是________
π)·sin x
第3讲 解答题答题模板
模板1 三角函数的单调性及求值问题
π1
例1 已知函数f (x ) =cos 2(x 12) ,g (x ) =1+2x .
(1)设x =x 0是函数y =f (x ) 图象的一条对称轴,求g (x 0) 的值; (2)求函数h (x ) =f (x ) +g (x ) 的单调递增区间. 答题模板
第一步:三角函数式的化简,一般化成y =A sin(ωx+φ) +h 的形式或y =A cos(ωx+φ) +h 的形式.
第二步:由三角函数值求角;由角求三角函数值.
第三步:由sin x 、cos x 的单调性,将“ωx+φ”看作一个整体,转化为解不等式问题.
第四步:明确规范表述结论.
第五步:反思回顾.查看关键点、易错点及解题规范.
如本题中,由x 0求g (x 0) 时,由于x 0中含有变量k ,应对k 的奇偶进行讨论.
模板2 由数列的前n 项和S n 与通项a n 的关系求通项a n
例2 已知数列{a n }的各项均为正数,S n 为其前n 项和,对于任意的n ∈N *,满足关系式2S n =3a n -3.
(1)求数列{a n }的通项公式;
1
(2)设数列{b n }的通项公式是b n =n 项和为T n ,求证:对于任
log 3a n ·log 3a n +1
意的正整数n ,总有T n
第一步:令n =1,由S n =f (a n ) 求出a 1.
第二步:令n ≥2,构造a n =S n -S n -1,用a n 代换S n -
S n -1(或用S n -S n -1代换a n ,这要结合题目特点) ,由递推关系求通项. 第三步:验证当n =1时的结论适合当n ≥2时的结论. 第四步:写出明确规范的答案.
第五步:反思回顾.查看关键点、易错点及解题规范.本题的易错点,易忽略对n =1和n ≥2分两类进行讨论,同时忽视结论中对二者的合
模板3 函数的单调性、最值、极值问题
32
例3 已知函数f (x ) =ax -2x +1(x ∈R) ,其中a >0.
(1)若a =1,求曲线y =f (x ) 在点(2,f (2))处的切线方程;
11
(2)若在区间[-2,2]上,f (x )>0恒成立,求a 的取值范围. 答题模板
第一步:确定函数的定义域.如本题函数的定义域为R. 第二步:求f (x ) 的导数f ′(x ). 第三步:求方程f ′(x ) =0的根.
第四步:利用f ′(x ) =0的根和不可导点的x 的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间,并列出表格.
第五步:由f ′(x ) 在小开区间内的正、负值判断f (x ) 在小开区间内的单调性. 第六步:明确规范地表述结论.
第七步:反思回顾.查看关键点、易错点及解题规范.如本题中f ′(x ) =0的根
1
为x 1=0,x 2=a . 要确定x 1,x 2与区间端点值的大小,就必须对a 进行分类讨论.这就是本题的关键点和易错点.
3
第4讲:答题规范
一、概念、符号应用要规范
1⎧⎪x x
例1 若函数f (x ) =⎨1x
(⎪⎩3, x ≥0
阅卷现场
1
,则不等式|f (x )|≥3的解集为___________.
甲:
乙:
丙:
丁:
二、结论表示要规范
x 22
例2直线l 与椭圆4y =1交于P 、Q 两点,已知直线l 的斜率为1,则弦PQ 的中点的轨迹方程是_____________. 阅卷现场
x y
例3 设A 1、A 2是椭圆9+41的长轴的两个端点,P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点,则直线A 1P 1与A 2P 2的交点P 的轨迹是____________________. 阅卷现场
22
三、书写格式要规范
例4 如图所示,在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱) ABC -A 1B 1C 1中,E ,F 分别是A 1B ,A 1C 的中点,点D 在B 1C 1上,A 1D ⊥B 1C . 求证: (1)EF ∥平面ABC ;
(2)平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C
.
阅卷现场
四、解题步骤要规范
π
例5 已知向量a =(sin θ,-2) 与b =(1,cos θ) 互相垂直,其中θ∈(0,2. 10π
(1)求sin θ和cos θ的值;(2)若sin(θ-φ) =100