倒立摆建模与控制终结报告(最终版)

目录

1 实验一：根轨迹方法控制实验................................................................................ 2

1.1 根轨迹校正 Simulink 软仿真 ...................................................................... 2

1.2 根轨迹校正硬件在环实时仿真...................................................................... 3

1.3 思考题.............................................................................................................. 4

2 实验二：频域响应方法控制实验............................................................................ 6

2.1 频域响应校正 Simulink 软仿真 .................................................................. 6

2.2 频域响应校正硬件在环实时仿真.................................................................. 7

2.3 思考题.............................................................................................................. 9

3 实验三：极点配置方法控制实验.......................................................................... 12

3.1 极点配置 Simulink 软仿真 ........................................................................ 12

3.2 极点配置硬件在环实时仿真........................................................................ 13

3.3 思考题............................................................................................................ 16

4 实验四：摆杆的自动起摆...................................................................................... 16

4.1实现思路......................................................................................................... 16

4.2 实验验证........................................................................................................ 16

5 实验总结.................................................................................................................. 17

倒立摆建模与控制

1 实验一：根轨迹方法控制实验

倒立摆模型的开环传递函数为：

G(s)=

设计的控制器的传递函数为： 0.02725 0.0159125s2-0.26705

106(s+4.1) s+20Gc(s)=

1.1 根轨迹校正 Simulink 软仿真

建立好倒立摆闭环控制系统的Simulink模型如下所示

图1.1 倒立摆根轨迹校正Simulink软仿真模型

在摆杆角度施加0.05 弧度信号，观察实验结果，对实验数据进行处理和分析，得到的阶跃响应曲线如下所示

图1.2 软仿真施加0.05 弧度信号后的阶跃响应

从图上可以得出稳态值y∞=0.09107，峰值ymax=0.09257，超调量σ=1.65% ts=0.335，满足设计要求

1.2 根轨迹校正硬件在环实时仿真

将设计好的控制器的开环传递函数

Gc(s)=106(s+4.1) s+20

输入到控制器模块“Controller K(s)”中，得到的在环仿真模型如下所示：

图1.3 倒立摆根轨迹方法控制系统硬件在环实时仿真模型

系统稳定后，在摆杆角度施加0.05 弧度信号得到的阶跃响应曲线如下所示

图1.4 在环仿真施加0.05 弧度信号后的阶跃响应

实验时测得稳定值y∞=0.08901，峰值ymax=0.09687，超调量σ=8.83%，调整时间ts=0.53，基本满足符合要求。

和软仿真的结果相比稳定值基本一致，峰值均有所增大，超调量和调整时间均有增大，应该是由系统参数有误差，以及实际的控制器是数字系统而非模拟系统等原因造成的，因为软仿真毕竟是理想情况，和在环仿真还是有一定的差异的。

1.3 思考题

（1） 试分析你设计的控制系统的静态误差。

答：对于给定的输入量，关于输入量的的静态误差只取决于系统的开环传递函数有关，设位置误差系数为

Kp=limGopen(s) s→0

则对于单位阶跃函数 est=即 1 1+Kp

Kp=limGopen(s)=lim106(s+4.1)0.02725∙=-2.2173 2s→0s→0s+200.0159125s-0.26705

静态误差为 est=

11==-0.82 1+Kp1-2.2173

（2） 你能设计一个控制器K(s)，使得校正后系统稳定且满足调整时间 t s ≤1s （2％的误差）、超调量σ≤30%的瞬态性能指标，同时满足位置误差常数K p ≥3的静态误差要求吗？（给出设计步骤和软仿真结果。）

答：实验中使用的控制器已满足了调整时间和超调量的要求，位置误差常数K p为-2.2173，与要求的3绝对值相差不是很大，但符号是反的，而调整时间和超调量的要求比较宽松，因此可以考虑将超前直接增加超前校正装置的增益Kc来实现。

取Kc=150，则

Kp=limGopen(s)=lims→0150(s+4.1)0.02725∙=3.1378 s→0s+200.0159125s2-0.26705

满足要求。

从根轨迹图上找出新的主导极点如图：

图1.5 1.3思考题根轨迹图

超调量为：9.43%

阻尼系数：0.601，可算得超调时间约为6/13.2=0.45s

均符合要求。

进行软仿真如图：

图1.6 1.3思考题软仿真模型

得到阶跃响应如图：

图1.7 思考题软仿真阶跃响应

过渡过程时间为0.45s

求。

0.08033-0.07338=9.47%

2 实验二：频域响应方法控制实验

倒立摆系统的开环传递函数为

G(s)=

0.02725 20.0159125s-0.26705

110(0.14s+1) 0.01s+1用频率响应方法设计的校正装置的传递函数为 Gc(s)=

2.1 频域响应校正 Simulink 软仿真

建立系统的Simulink软仿真模型如下所示

图2.1 倒立摆频率响应方法Simulink软仿真模型 在摆杆角度施加0.5弧度信号，得到的阶跃响应曲线如下所示

图2.2 软仿真摆杆角度施加0.5弧度信号时的阶跃响应曲线

实验时测得稳态值为y∞=0.05489，峰值ymax=0.06154，超调量σ=12%，调整时间ts=0.265，位置误差系数Kp=(

由经验公式σ%=0.05489-0.05-1)=10.2，调整时间ts=0.265s 0.052000=62.5︒>50︒ 12+202000φ-20求得相角裕量φ=

2.2 频域响应校正硬件在环实时仿真

将设计的控制器的传递函数输入到控制器模块，得到在环仿真模型如下所示

图2.3 倒立摆频率响应方法控制系统硬件在环实时仿真模型

在摆杆角度施加0.5弧度信号，得到的阶跃响应曲线如下所示

图2.4 在环真摆杆角度施加0.5弧度信号时的阶跃响应曲线 实验时测得静态位置误差系数Kp=(0.05498-0.05-1)=10.04，调整时间ts=0.37s。0.05

静态误差系数和仿真基本一致，调整时间略大，除了测量误差以外，还有实际系统与理想状况并不相同的原因。

2.3 思考题

（1） 你能运用频域响应法设计控制器K(s)，使得校正后的倒立摆系统稳定且满足静态位置误差常数K p ≥20 ，相角稳定裕量γ ≥50°吗？（给出设计步骤和软仿真结果）

由预习报告可知，该系统需要超前校正。

①满足静态位置误差常数KP的要求

设超前校正装置的传递函数为 Glead(s)=αTs+1

Ts+1 Kc1.7125 2s-16.7824在之前的系统传递函数的基础上增加比例系数Gpre(s)=

则校正后的开环传递函数为G(s)=Gpre(s)Glead(s)

limG(s)=lims→0s→0Kc1.7125αTs+1≥10 取Kc=210 2s-16.7824Ts+1

359 2s-16.7824则 Gpre(s)=

做出Gpre(s)的波特图

图2.5 2.3思考题波特图

从Gpre(s)的波特图可以看出，系统的相角裕量为0，设计要求的相角裕量错误！未找到引用源。，所以需要提供的超前角为50，为了留有余地，最大提前量暂取θm=60，

1+sinθm=13.9 1-sinθm

从图上可以看出剪切频率 ωc≈18rad/s 则 α=

考虑到超前校正带来的增益L=10lgαdB=11.43dB

所以取 ωm=29.43rad/s

由 ωm=1

T

得 T=0.009113859

s)=所以 Glea(d

③验证是否符合要求

做出校正后系统的波特图如下所示：

0.126682s6+1 0.0091138s5+91

图2.6 思考题校正后波特图

可以看出，系统的相角裕量约为58°，满足设计要求。

作出校正后的奈奎斯特图如下所示：

图2.7 2.3思考题校正后奈奎斯特图

从奈奎斯特图可以看出，传递函数的曲线逆时针绕点-1+j0一圈，说明校正后的系统稳定。

对系统进行软仿真，建立仿真模型如下所示：

图2.8 2.3思考题软仿真模型

在摆杆角度施加0.5弧度信号，得到的阶跃响应曲线如下所示

图2.9 2.3思考题校正后阶跃响应

位置误差系数Kp=(0.05245-0.05-1)=20.4>20，满足设计要求。 0.05

3 实验三：极点配置方法控制实验

3.1 极点配置 Simulink 软仿真

图3.1 极点配置软仿真模型

在小车位置施加0.2m 信号，观测倒立摆摆杆角度和小车位置的响应，记录实验数据，对系统的控制性能进行分析

图3.2 小车位置施加0.2m 信号后的阶跃响应

可以看出，位置信号的超调量σ=0，调整时间ts=1.96s，稳态输出x∞=0.2

摆杆角度施加0.02 弧度信号，观测倒立摆摆杆角度和小车位置的响应，记录实验数据，对系统的控制性能进行分析。

图3.3摆杆角度施加0.02 弧度信号后的阶跃响应

可以看出，位置信号的超调量σ=0，调整时间ts=2s，稳态输出x∞=-0.04512

3.2 极点配置硬件在环实时仿真

图3.4 倒立摆极点配置硬件在环仿真模型

在小车位置施加0.2m 信号，观测倒立摆摆杆角度和小车位置的响应，记录实验数据，对系统的控制性能进行分析；

图3.5 小车位置施加0.2m 信号后位置的响应

可以看出，位置信号的超调量σ=8.4%，调整时间ts=1.77s，稳态输出x∞=0.2，输出峰值xmax=0.2168

其角度的响应如下图所示：

图3.6 小车位置施加0.2m 信号后角度的响应

摆杆角度施加0.02 弧度信号，观测倒立摆摆杆角度和小车位置的响应，记录实验数据，对系统的控制性能进行分析。得到位置的响应如下图所示：

图3.6 小车摆杆施加0.02 弧度信号后位置的响应 角度的响应如下图所示：

图3.7 小车摆杆施加0.02 弧度信号后角度的响应

可以看出，位置信号的超调量σ=8.4%，调整时间ts=1.77s

3.3 思考题

（1） 倒立摆实验中我们只能直接获得摆杆角度和小车的位置这两个信号。实验中通过加入微分环节获得摆杆角速度和小车的速度。请问这种方法是否存在问题？你在实验中是怎么解决此问题的？

有问题。直接使用微分环节会引入噪声，导致倒立摆的震动。实验中并没有处理这一问题，但是实际上应该在微分环节后加上一个小的惯性环节进行滤波，来消除噪声的影响。

（2） 倒立摆实验中能够直接测量到的信号为摆杆角度和小车的位置。请设计一个全维状态观测器和一个最小维状态观测器，以获得系统的状态，评估带观测器的控制系统的响应特性（与直接的状态反馈比较）。

不会

4 实验四：摆杆的自动起摆

4.1实现思路

当摆杆在下面时，施加一个正弦信号使其摆动，如果信号频率接近倒立摆的固有频率，振幅将会越来越大，直到摆杆可以摆到一定的角度，此时将控制器切换为前一个实验所用的控制器，即可使倒立摆稳定下来。

4.2 实验验证

在实验三的基础上，修改Real Control模块内部，将switch1上原本接的常数0改为一个正弦波，幅值为0.7，频率为5rad/s，此外还将switch2上的常数由10改成14，两个开关的阈值由20度改成15度，修改后如图：

这里值得一提的是施加的正弦信号对频率很敏感，这里频率采用5rad/s是通过让倒立摆自由摆动，然后测得其频率认为是固有频率。做实验时发现采用4.9或者5.1都不能起摆，可见对频率值非常敏感。

图4.1 倒立摆自动起摆模型

运行硬件仿真，确实能够实现摆杆的自动起摆。

5 实验总结

倒立摆建模与控制实验是控制理论方面的一个经典实验，该实验综合考察了倒立摆的数学建模方法，同时涉及了传递函数的计算以及状态空间方程的计算。状态空间方程和后面的极点配置方法属于自控二的内容，虽然没有在课堂上学过，但是有了自控一的基础知识，学习起来相对较快，这对我们的自学能力也是一个很好的锻炼。

倒立摆建模与控制实验以获得的倒立摆的数学模型为基础，综合使用了根轨迹法、频率响应法、极点配置方法对开环系统进行校正设计，基本上涵盖了经典控制理论的几种重要的校正方法，对于我们加深理论知识的理解、提高动手能力有着很大的帮助。还记得以前上控理课的时候总觉得比较抽象，甚至会对控制理论有“不实用”的错误认识，通过这次实验，我们领略到了控制理论的神奇之处，认识到了控制理论在控制器设计和校正方面的巨大作用。这次实验可以说是对控制理论基础知识的一个较为全面的复习，对我们运用控制理论进行其他方面的设计有很大的借鉴作用。

选作实验的设置对于提高我们的创新能力以及活学活用能力有着很大的帮助，让倒立摆自行起摆这个选题既有一定的挑战性，但也不是很难，同时充满了趣味性，让我们在满足好奇心的同时学到了知识。

此次实验需要两个人配合完成，两个人之间的分工需要共同商定，这对于提高我们的团队合作能力有着很大的帮助。

最后，感谢老师的耐心指导！