[三维设计](新课标)2016届高考数学5年真题备考题库 第三章 第6节 简单的三角恒等变换 理(含解析)

第3章 三角函数、解三角形 第6节 简单的三角恒等变换

1＋sin β⎛π⎛π1．(2014·课标Ⅰ，8,5分) 设α∈ 0，，β∈ 0，，且tan α＝2⎭2⎭cos β⎝⎝( )

π

A ．3α－β2π

C ．3α＋β2

π

B ．2α－β＝

2π

D ．2α＋β＝

2

sin α1＋sin β

解析：选B 由条件得，即sin αcos β＝cos α(1＋sin β) ，sin(α

cos αcos β－β) ＝cos α＝sin

⎛πα⎫，因为－π

π

所以2α－β＝，故选B.

2

2．(2014·江苏，5,5分) 已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ

φ的值是________．

3

⎛π1⎫⎛2π⎫1

解析：由题意可得两个函数图象有一个交点坐标是 ，⎪，所以sin ＋φ⎪＝，又

⎝32⎭⎝3⎭2

π

0≤φ

6

π答案：6

⎛π⎛5π23．(2014·广东，16,12分) 已知函数f (x ) ＝A sin x ＋ ，x ∈R ，且f ＝

3⎭⎝⎝12⎭2

(1)求A 的值；

⎛π⎫⎛π⎫(2)若 f (θ) －f (－θ) 3，θ∈ 0，⎪，求f θ⎪.

2⎭⎝⎝6⎭⎛π⎫⎛5π32，

解析：(1)∵f (x ) ＝A sin x ＋⎪，且f ＝

3⎭⎝⎝12⎭2

∴A sin

⎛5ππ＝32A sin 3π32A ＝3.

42⎝123⎭2

π⎫⎛π⎫⎛(2)由(1)知f (x ) ＝3sin x ＋⎪，∵f (θ) －f (－θ) ＝3，∴ 3sin θ＋⎪－

3⎭3⎭⎝⎝π31⎛1⎫⎛3⎫⎛3sin －θ＋＝3，展开得3 sin θ＋θ⎪－3 cos θ－sin θ⎪＝3，化

3⎭⎝22⎝2⎭⎝2⎭

简得sin θ＝

3. 3

6⎛π∵θ∈ 0，，∴cos θ＝.

2⎭3⎝

⎡⎛π⎫ππ⎫⎛π⎫∴f θ⎪＝3sin ⎢ －θ⎪＋＝3sin θ⎪＝3cos θ6.

⎭3⎦⎝6⎭⎝2⎭⎣⎝6

4．(2014·湖北，17,11分) 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h) 的变化近似满足函数关系：f (t ) ＝10－π12－π

12

，t ∈[0,24)．

(1)求实验室这一天的最大温差；

(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？ 解：(1)因为f (t ) ＝10－2 ⎛3⎝2

cos π12t 12π12t ⎫⎪⎛π

π⎭＝10－2sin ⎝12＋3⎭，

又0≤t ＜24，

π3ππ7π⎛π

π⎫12t ＋3

当t ＝2时，sin

⎛π⎝12＋π3⎭

＝1；

当t ＝14时，sin ⎛ π

π⎝12

t 3⎭＝－1.

于是f (t ) 在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.

故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. (2)依题意，当f (t )>11时实验室需要降温． 由(1)得f (t ) ＝10－2sin ⎛π⎝12

＋π3⎭，

故有10－2sin ⎛π⎝12

＋π3⎭>11，

即sin

⎛π⎝12

＋π3⎭

又0≤t

612＋3

在10时至18时实验室需要降温．

5．(2013浙江，5分) 已知α∈R ，sin α＋2cos α10

2

，则tan 2α＝( A. 4

3 B. 34C 34

D 43

)

解析：选C 本题考查对任意角三角函数(正弦、余弦、正切) 的定义、同角三角函数的基本关系以及二倍角的正弦、余弦、正切公式的理解，考查考生灵活运用公式以及运算的能力．

法一：(直接法) 两边平方，再同时除以cos α，得3tan α－8tan α－3＝0，tan α＝12tan α33或tan α＝－，代入tan 2α＝，得到tan 2α＝－. 2

31－tan α4

法二：(猜想法) 由给出的数据及选项的唯一性，记sin α＝

310

，cos α＝

1102

2

sin α＋2cos α10

符合要求，此时tan α＝3，代入二倍角公式得到答案C. 2

π1⎛6．(2013新课标全国Ⅱ，5分) 设θ为第二象限角，若tan θ，则sin θ＋4⎭2⎝cos θ＝________.

解析：本题考查同角三角函数关系式以及两角和三角函数公式的基本运用，意在考查考生灵活运用知识解决问题的能力以及合理选取解法的能力．

π⎫1π5⎛⎛法一：由θ在第二象限，且tan θ＋⎪＝sin θ，因而sin θ

4⎭24⎭5⎝⎝π⎫10⎛＋cos θ2 sin θ＋⎪＝－4⎭5⎝

π⎫1tan θ＋11⎛法二：如果将tan θ＋⎪＝利用两角和的正切公式展开，则，求得tan 4⎭21－tan θ2⎝113

θ＝－. 又因为θ在第二象限，则sin θ，cos θ＝－，从而sin θ＋cos θ

31010＝－

21010

5105

答案：－

⎛π⎫则tan

7．(2013四川，5分) 设sin 2α＝－sin α，α∈ ，π⎪，2α的值是________．

⎝2⎭

解析：本题考查同角三角函数的基本关系与倍角公式，意在考查考生的运算能力及符号1

取舍的判断能力．因为sin 2α＝－sin α，所以2sin αcos α＝－sin α，cos α＝－.

2π2π4π⎫又α∈π⎪，所以α＝tan 2α＝tan 3.

33⎝2⎭

3

⎛π8．(2013广东，12分) 已知函数f (x ) ＝2cos x －，x ∈R .

⎝12⎭

⎛π(1)求f －的值； ⎝6⎭

π⎫3⎛3π⎫⎛(2)若cos θ＝θ∈ 2π⎪，求f 2θ＋⎪. 3⎭5⎝2⎭⎝

解：本题考查特殊角的三角函数值，同角三角函数的基本关系、二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力．

⎛π⎛ππ⎫(1)f －2cos －⎪＝

⎝6⎭⎝612⎭

π⎛π2cos －＝1.

4⎝4⎭

ππππ⎛⎛(2)f (2θ＋) ＝2 cos 2θ＋－2cos 2θ＋＝cos 2θ－sin 2θ.

312⎭4⎭3⎝⎝34⎛3π⎫因为cos θθ∈ 2π⎪，所以sin θ55⎝2⎭

24722

所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝－，cos 2θ＝cos θ－sin θ＝－.

2525π7⎛24⎫17⎛所以f 2θ＋＝cos 2θ－sin 2θ＝－－ －⎪＝3⎭25⎝25⎭25⎝

9．(2013重庆，12分) 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a ＋b ＋2ab ＝c . (1)求C ；

32cos α＋A cos α＋B 2

(2)设cos A cos B ＝tan α的值． 2

5cos α5解：本题主要考查解三角形问题，意在考查考生对公式的运用能力． (1)因为a ＋b 2ab ＝c ，

2

2

2

2

2

2

a 2＋b 2－c 2－2ab 2

由余弦定理有cos C ＝.

2ab 2ab 2

3π

故C ＝4(2)由题意得

sin αsin A －cos αcos A sin αsin B －cos αcos B 2

2

cos α5因此(tan αsin A －cos A )(tan αsin B －cos B ) ＝

2

2

， 5

2 5

tan αsin A sin B －tan α(sin A cos B ＋cos A sin B ) ＋cos A cos B ＝

tan αsin A sin B －tan αsin(A ＋B ) ＋cos A cos B 2

2

. ① 5

3ππ2

因为C ＝，所以A ＋B ＝，所以sin(A ＋B ) ＝

442因为cos(A ＋B ) ＝cos A cos B －sin A sin B ， 即

322sin A sin B ＝ 52

3222解得sin A sin B ＝＝.

5210由①得tan α－5tan α＋4＝0， 解得tan α＝1或tan α＝4.

ππ37

10．(2012山东，5分) 若θ∈]，sin 2θ＝，则sin θ＝( )

4283

A. 5C. 7

4

4B. 53D. 4

2

πππ

解析：因为θ∈[，]，所以2θ∈π]，所以cos 2θ

4221193222

1－sin 2θ＝－. 又cos 2θ＝1－2sin θsin θ＝，所以sin θ＝.

8816411．(2012辽宁，5分) 已知sin α－cos α＝，α∈(0，π) ，则tan α＝( ) A ．－1 2

2

B ．－

2 2

C. D ．1

π3π

解析：由sin α－cos α2sin (α－) 2，α∈(0，π) ，解得α＝443π

以tan α＝1.

4

答案：A

1

12．(2012江西，5分) 若tan θ＋＝4，则sin 2θ＝( )

tan θ1

A. 51C. 3

1B. 4

1D. 2

11＋tan θ

解析：法一：∵tan θ＋＝＝4，

tan θtan θ∴4tan θ＝1＋tan θ， ∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝

2sin θcos θ2tan θ2tan θ1

222

sin θ＋cos θ1＋tan θ4tan θ2

2

2

1sin θcos θ12

法二：∵tan θ＋＋＝＝tan θcos θsin θcos θsin θsin 2θ21

∴4，故sin 2θ＝.

sin 2θ2答案：D

π4π

13．(2012江苏，5分) 设α为锐角，若cos(α＋) sin(2α＋) 的值为

6512________．

π4π3π24

解析：因为α为锐角，cos(α＝sin(α＋，sin 2(α＋) ＝，

6565625π7πππ2172

cos 2(α＋＝，所以sin(2α＋) ＝sin[2(α＋) －＝＝.

[1**********]0

172

50

π

14．(2012广东，12分) 已知函数f (x ) ＝2cos(ωx ＋)(其中ω>0，x ∈R ) 的最小正周

6期为10π.

(1)求ω的值；

π56516

(2)设α，β∈[0]，f (5α＋) ＝－f (5β－π) ＝，求cos(α＋β) 的值．

235617解：(1)∵f (x ) ＝2cos(ωx ＋

π2π1

) ，ω>0的最小正周期T ＝10π＝，∴ω＝. 6ω5

1π

(2)由(1)知f (x ) ＝2cos(＋) ，

56

π5π65π16

而α，β∈[0，]，f (5α＋＝－，f (5β－＝，

23561715ππ615ππ16

∴2cos[(5α＋＝－，2cos[(5β－) ＋]＝，

536556617π38

即cos(α＝－cos β＝，

25173415

于是sin αcos α＝，sin β＝，

5517

4831513

∴cos(α＋β) ＝cos αcos β－sin αsin β＝×＝－.

51751785

15．(2011江苏，14分) 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . (1)若sin(A π

6＝2cos A ，求A 的值；

(2)若cos A 1

3

b ＝3c ，求sin C 的值．

解：(1)由题设知sin A cos ππ

6＋cos A sin 6＝2cos A .

从而sin A 3cos A ，所以cos A ≠0，tan A ＝3. 因为0＜A ＜π，所以A ＝π

3

(2)由cos A 13b ＝3c 及a 2＝b 2＋c 2

－2bc cos A ，

得a 2

＝b 2

－c 2

.

故△ABC 是直角三角形，且B ＝π

2.

所以sin C ＝cos A ＝1

3

.

16．(2011辽宁，5分) 设sin(π1

4＋θ) 3，则sin2θ＝( )

A 7

9 B ．－19

C. 1

9

D. 79

解析：sin2θ＝－π2π

12722θ) ＝2sin (4＋θ) －1＝2×(3) －1＝－9.

答案：A

1＋tan

α

17．(2010新课标全国，5分) 若cos α＝－4

25，α是第三象限的角，则1－tan

α

＝( 2A 12 B. 12C ．2

D ．－2

解析：∵cos α＝－4

5且α是第三象限的角，

∴sin α3

5

，

)

cos α2＋sin

α21＋tan αcos ααα∴22sin

1－tan α＝22

2cos α2－sin α2α2α2

cos

α2 cosαsin α2

＝22

α2sin α2α2sin α2

＝

1＋sin α

cos 2α2sin

2

α

2

＝1＋sin α1－3

5cos α1

－42

5答案：A

18．(2010福建，5分) 计算sin43°cos13°－cos43°sin13°的结果等于( A. 1

32

B. 3C. 2

2

D.

32

解析：sin43°cos13°－cos43°sin13° 1

2答案：A

)