(文章)几何题中常用辅助线的作法
几何题中常用辅助线的作法
稍微复杂一点的几何问题，总要添加辅助线，通过恰当的辅助线，我们可以较快地寻求证题的途径和方法，减少弯路，本文就初中几何常用的辅助线作一小结，并分别举例说明.
一、连结
即连结已知两点得到线段，这是几何中最基本，最常用的辅助线，通过连结两点可得三角形或四边形，如连结圆心和切点可得垂直关系，连结等腰三角形的顶点与底边中点可得垂直与平分.
例1 如图1，等腰△ABC 中，D 为底边BC 的中点，
DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，
求证：DE=DF.
证：连结AD. ∵AB=AC,D为底边BC 的中点，
∴AD 平分∠BAC.
又∵DE ⊥AB,DF ⊥AC, ∴DE=DF
例2 如图2，已知⊙O 1与⊙O 相交于A 、B, 从⊙O
上一点P 作直线PA 、PB 分别交⊙O 1于C 、D ，PE 是⊙O
的切线.
求证：PE ∥DC.
证：连结AB 。∵PE 为切线，∴∠EPC ＝∠ABP.
∵ ，∴∠ABP=∠C ，
∴∠EPC=∠C ，∴PE ∥DC.
评注：相交两圆的公共弦对两圆中角的沟通作用很
大，故在两圆相交的问题中，通常要尝试连结公共弦这
条辅助线.
二、延长（或截取）
一般在证明两线段和（或差）等于第三条线段时，
或者几条线段之间的关系时，都采用截长补短法，这里
主要渗透了化归思想.
例3 已知P 是△ABC 中∠A 的外角平分线上任一
点，求证：AB ＋AC ＜PB+PC.
证：如图3，延长BA 至D ，使AD=AC，连结PD ，则
△APD ≌△APC ，所以PD=PC,在△BPD 中，有BD ＜PB ＋PD ，
∴AB ＋AC ＜PB+PC.
例4 如图4，在正方形ABCD 中，E 、F 是BC 、CD
边上的两点，∠EAC=
45°，求证：EF=BE＋DF.
证：延长CD 至G ，使DG=BE.
∵AB=AD,∠B=∠ADG=Rt∠，
∴△ABE ≌△ADG ，∴AE=AG,∠BAE=∠DAG.
∵∠BAE+∠FAD=45°，∴∠FAD+∠DAG=45
°，∴∠
EAF=∠FAG=45°，
∴△AEF ≌△AFG ，∴FG=EF，∴EF=FD+DG=FD+BE.
三、平移
即作平行线，利用线段的平行移动，可以构造许多可以利用的基本图形，如相似三角形、平行四边形等等，其缜密的思路有很强的启发性.
例5 如图5，已知AD 是△ABC 的平分线.
DB AB =. DC AC
DB AB =分析：要证，一般只要证BD 、DC 与AB 、AC ，DC AC 求证：
或BD 、AB 与DC 、AC ，所在的三角形相似，现在B 、C 、D 三点共
线，需要考虑用别的途径换比，在结论中，AC 恰好是BD 、DC 、
AB 的第四比例项，所以考虑过C 作CE ∥AD 交BA 的延长线于E.
从而得到BD 、DC 、AB 的第四比例项，这样只需要证明AC=AE就
可以了，请同学们自己完成本题证明.
例6 已知，如图6，点D 、E 分别在BC 、AB 边上，AD 、
交于F ，AE:EB=1:3,BD:DC=2:1.
求：CE 相AF EF +的值. FD FC
解：作DG ∥CE 交AB 于G ；作EH ∥BC 交AD 于H ，则
AF EF +. FD EG
BG BD AE 1AE ==2, =, ∴=1. ∴GE DC BE 3EG
EF 1AF EF 3=, ∴+同理：=. FC 2FD FC 2
四、作垂线
在圆中，遇到与弦有关的问题时，常常要过圆心作弦的垂线，以及证明一条直线是圆的切线时，要过圆心作直线的垂线. 在等腰三角形中，作底边的高线，可利用等腰三角形三线合一的性质，等等. 例7 已知⊙O 的半径OA=1,弦AB 、AC 的长分别是2、, 求∠BAC 的度数.
分析：如图7，由半径OA=1，弦AB 、AC 的长分别是2、
联想到过O 作弦AC 、AB 的垂线，同时考虑到AB 、AC 与OA 的
关系，需分类讨论，故本题有两解.
简解：如图7所示，易求∠CAD=30°，∠OAC=30°.
当AC 、AB 位于OA 的同侧时，有∠BAC=15°；当AC 、AB
OA 两侧时，有∠BAC=75°.
五、作切线
一般是两圆相切时，常作出过切点的公切线.
例8 如图8，⊙O 1与⊙O 2内切于点P ，⊙O 1的弦AB
于⊙O 2于点
C,PA
、
PB
分别交于⊙O 2点E 、F,
求证：PC 平分∠APB. 3，位置位于切
证：作两圆的公切线PT, 连结CE, 则∠B=∠TPA, ∠ECP=∠TPA
∵AB 是⊙O 2的切线，∴∠BCP=∠CEP.
∴∠APC ＝∠BPC ，即PC 平分∠APB.
本题证法很多，请同学们考虑其他证法，当两圆相切时，过切点作两圆的公切线，能将圆周角和弦切角进行转换来证题，这种转化的思想要认真体会并能灵活运用.
六、补圆
例9 如图9，△ABC 中，AD 平分∠BAC 交BC 于D.
求证：AD =AB ·AC-BD ·CD
证：作△ABC 的外接圆⊙O ，延长AD 交⊙O 于E, 连接
BE, 由相交弦定理，得A D ·DE=BD·CD.
在△ABE 和△ADC 中，∠BAD=∠CAD, ∠E=∠C, ∴△
ABE ∽△ADC.
∴2AE AB ，∴AD ·AE=AB·AC, ∴AD(AD+DE)=AB·AC, AC AD
2∴AD =AB ·AC-AD ·DE= AB ·AC-BD ·CD.
七、旋转变换
运用旋转变换，能使已知或所求的部分线
基本图形中，从而简便地解决问题.
例10 如图10，P 是等边三角形ABC 内
PA=2,PB=2,PC=4,求△ABC 的边长.
解：将△BPA 绕点B 逆时针旋转60°，
则BA 与BC 重合，BP 移到BM 处，PA 段集中到一个一点，移到MC 处， ∴BM=BP，MC=PA，∠PBM=60°，△BPM 是等边三角形，∴PM=PB=23. 在△MCP 中，PC=4，MC=PA=2，PM=2，∴PG =PM＋MC 且PC=2MC，∴△MCP 为Rt △，且∠CMP ＝90°。∠CPM ＝30°.
又∵△MBP 是等边三角形，∠BPM=60°, 故∠BPC=90°，∴△CBP 是 Rt △. ∴BC ＋PB ＋PC =（23）＋4=28，∴BC=2.
评注：运用旋转应注意：（1）确定旋转中心；
（
2）确定旋转图形；（3）确定旋转的角度和方向，一般情况下，条件中有共点且相等的线段，可以考虑利用旋转变换.
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