工程力学题库

2-2 杆AC、BC在C处铰接，另一端均与墙面铰接，如图所示，F1和F2作用在销钉C上，F1=445 N，F2=535 N，不计杆重，试求两杆所受的力。

F1

解：(1) 取节点C

AC、BC都为二力杆，

(2) 列平衡方程：

F4

F=0

F⨯+FACsin60o-F2=0∑y1

53

F=0 F⨯-FBC-FACcos60o=0 ∑x1

5

∴FAC=207 N FBC=164 N

AC与BC两杆均受拉。

2-3 水平力F作用在刚架的

B点，如图所示。如不计刚架重量，试求支座A和D 处的约束力。

解：(1) 取整体ABCD为研究对象，受力分析如图，画封闭的力三角形：

(2) F

FD

F A

D

FFFFF

=D=A==D=1BCABAC21

2-4 在简支梁AB的中点C作用一个倾斜45o的力F，力的大小等于20KN，如图所示。若梁的自重不计，试求两支

座的约束力。

解：(1) 研究AB，受力分析并画受力图：

(2) 画封闭的力三角形：

FA

e

d

相似关系： 几何尺寸：

FBF

∆CDE≈∆cde ∴

FFF

=B=A CDCEED

CE=

求出约束反力：

11BD=CD ED===222

FB=FA=

CE1

⨯F=⨯20=10 kN

2CD

ED⨯F=20=10.4 kN

CD

CE

α=45o-arctan=18.4o

CD

3-5 四连杆机构在图示位置平衡。已知OA=60cm，BC=40cm，作用BC上的力偶的力偶矩大小为M2=1N.m，试求

作用在OA上力偶的力偶矩大小M1和AB所受的力FAB所受的力。各杆重量不计。

B

解：(1) 研究BC杆，受力分析，画受力图：

FB

列平衡方程：

∑M=0 F

(2) 研究AB（二力杆），受力如图：

可知：

B

⨯BCsin30o-M2=0

M21

FB===5 N

BCsin30o0.4⨯sin30o

''FA=FB=FB=5 N

(3) 研究OA杆，受力分析，画受力图：

列平衡方程：

F

A

∑M=0 -F

A

⨯OA+M1=0

∴ M1=FA⨯OA=5⨯0.6=3 Nm

4-1 试求题4-1图所示各梁支座的约束力。设力的单位为kN，力偶矩的单位为kN⋅m，长度单位为m，分布载荷集

度为kN/m。(提示：计算非均布载荷的投影和与力矩和时需应用积分)。

解：

(c)：(1) 研究AB杆，受力分析，画出受力图(平面任意力系)；

(2) 选坐标系Axy，列出平衡方程；

∑M

B

(F)=0: -FAy⨯3-3+⎰2⨯dx⨯x=0

2

FAy=0.33 kN

∑F

y

=0: FAy-⎰2⨯dx+FBcos30o=0

2

FB=4.24 kN

∑F

x

=0: FAx-FBsin30o=0

FAx=2.12 kN

(e)：(1) 研究CABD杆，受力分析，画出受力图(平面任意力系)；

q

(2) 选坐标系Axy

∑F

0.80

x

=0: FAx=0

∑MA(F)=0: ⎰20⨯dx

⨯x+8+FB⨯1.6-20⨯2.4=0

FB=21 kN

∑F

约束力的方向如图所示。

y

=0: -⎰20⨯dx+FAy+FB-20=0

0.8

FAy=15 kN

4-5 AB梁一端砌在墙内，在自由端装有滑轮用以匀速吊起重物D，设重物的重量为G，又AB长为b，斜绳与铅垂

线成α角，求固定端的约束力。

解：(1) 研究AB杆(带滑轮)，受力分析，画出受力图(平面任意力系)；

Fx

(2) 选坐标系Bxy，列出平衡方程；

∑F

∑F

y

x

=0: -FAx+Gsinα=0

FAx=Gsinα

FAy=G(1+cosα)

=0: FAy-G-Gcosα=0

∑M

约束力的方向如图所示。

B

(F)=0: MA-FAy⨯b+G⨯R-G⨯R=0

MA=G(1+cosα)b

4-20 AB、AC、DE三杆连接如题4-20图所示。DE杆上有一插销F套在AC杆的导槽内。求在水平杆DE的E端有

一铅垂力F作用时，AB杆上所受的力。设AD=DB，DF=FE，BC=DE，所有杆重均不计。

解：(1) 整体受力分析，根据三力平衡汇交定理，可知B点的约束力一定沿着BC方向；

(2) 研究DFE杆，受力分析，画出受力图(平面任意力系)；

(3) 分别选F点和B点为矩心，列出平衡方程；

∑M∑M

F

(F)=0: -F⨯+FDy⨯=0

FDy=F

B

(F)=0: -F⨯ED+FDx⨯DB=0

FDx=2F

(4) 研究ADB杆，受力分析，画出受力图(平面任意力系)；

(5) 选坐标系Axy，列出平衡方程；

∑M

'

(F)=0: FADx⨯AD-FB⨯AB=0

FB=F

∑F

x

'

=0: -FAx-FB+FDx=0

FAx=F

∑F

y

'

=0: -FAy+FDy=0

FAy=F

6-18 试求图示两平面图形形心C的位置。图中尺寸单位为mm。

(a) (b)

解:(a) (1) 将T形分成上、下二个矩形S1、S2，形心为C1、C2； (2) 在图示坐标系中，y轴是图形对称轴，则有：xC=0

(3) 二个矩形的面积和形心；

S1=50⨯150=7500 mm yC1=225 mmS2=50⨯200=10000 mm yC2=100 mm

(4) T形的形心；

2

2

xC=0yC

Sy=

S

iii

7500⨯225+10000⨯100

==7500+10000

(b) (1) 将L形分成左、右二个矩形S1、S2，形心为C1、C2；

(3) 二个矩形的面积和形心；

S1=10⨯120=1200 mm2 xC1=5 mm yC1=60 mmS2=70⨯10=700 mm xC2=45 mm yC2=5 mm

(4) L形的形心；

2

xCyC

Sx=

SSy=

S

iiii

i

==

1200⨯5+700⨯45

=19.74 mm

1200+7001200⨯60+700⨯5

=39.74 mm

1200+700

i

8-5 图示阶梯形圆截面杆，承受轴向载荷F1=50 kN与F2作用，AB与BC段的直径分别为d1=20 mm和d2=30 mm ，

如欲使AB与BC段横截面上的正应力相同，试求载荷F2之值。

解：(1) 用截面法求出1-1、2-2截面的轴力；

FN1=F1 FN2=F1+F2

(2) 求1-1、2-2截面的正应力，利用正应力相同；

FN150⨯103

σ1===159.2MPa

A1

⨯π⨯0.0224FN250⨯103+F2

σ2===σ1=159.2MPa

1A22⨯π⨯0.034

∴F2=62.5kN

8-6 阶梯状直杆受力如图所示。已知AD段横截面面积AAD=1000mm，DB段横截面面积ADB=500mm，材料的弹性模量

E=200GPa。求该杆的总变形量ΔlAB。

2

2

解:由截面法可以计算出AC，CB段轴力FNAC=-50kN（压），FNCB=30kN（拉）。

8.10 某悬臂吊车如图所示。最大起重荷载G=20kN，杆BC为Q235A圆钢，许用应力[σ]=120MPa。试按图示位置设

计BC杆的直径d。

8-14 图示桁架，杆1与杆2的横截面均为圆形，直径分别为d1=30 mm与d2=20 mm，两杆材料相同，许用应力[σ]=160 MPa。该桁架在节点A处承受铅直方向的载荷F=80 kN作用，试校核桁架的强度。

FAB 解：(1) 对节点A受力分析，求出AB和AC两杆所受的力；

(2) 列平衡方程 F∑

∑F

解得：

xy

=0 -FABsin300+FACsin450=0=0 FABcos30+FACcos45-F=0

21+3

FAB=

(2) 分别对两杆进行强度计算；

F=58.6kN

FAC=41.4kN

σAB=σAC

FAB

=82.9MPaA1

[σ]

F

=AC=131.8MPaA2

[σ]

所以桁架的强度足够。

8-15 图示桁架，杆1为圆截面钢杆，杆2为方截面木杆，在节点A处承受铅直方向的载荷F作用，试确定钢杆的

直径d与木杆截面的边宽b。已知载荷F=50 kN，钢的许用应力[σS] =160 MPa，木的许用应力[σW] =10 MPa。

解：(1) 对节点A受力分析，求出AB和AC两杆所受的力； FAB

F

AC

FAC==70.7kN FAB=F=50kN

(2) 运用强度条件，分别对两杆进行强度计算；

σAB

σAC

FAB50⨯103==≤[σS]=160MPa d≥20.0mm

A1

πd24

FAC70.7⨯103==≤[σW]=10MPa b≥84.1mm2

A2b

所以可以确定钢杆的直径为20 mm，木杆的边宽为84 mm。

8-16 图示螺栓受拉力F作用。已知材料的许用切应力[τ]和许用拉应力[σ]的关系为[τ]=0.6[σ]。试求螺栓直

径d与螺栓头高度h的合理比例。

8-18 矩形截面的木拉杆的接头如图所示。已知轴向拉力F=50kN，截面宽度b=250mm，木材的顺纹许用挤压应力

[σbs]=10MPa，顺纹许用切应力[τ]=1MPa。求接头处所需的尺寸l和a。

8-20 图示联接构件中D=2d=32mm，h=12mm，拉杆材料的许用应力[σ]=120MPa，[τ]=70MPa，[σbs]=170MPa。试求

拉杆的许用荷载

[F]

8-31 图示木榫接头，F=50 kN，试求接头的剪切与挤压应力。

解：(1) 剪切实用计算公式：

50⨯103

τ===5 MPa

As100⨯100

(2) 挤压实用计算公式：

FQ

Fb50⨯103

σbs===12.5 MPa

Ab40⨯100

8-32 图示摇臂，承受载荷F1与F2作用，试确定轴销B的直径d。已知载荷F1=50 kN，F2=35.4 kN，许用切应力[τ]

=100 MPa，许用挤压应力[σbs] =240 MPa。

D-D

2

解：(1) 对摇臂ABC进行受力分析，由三力平衡汇交定理可求固定铰支座B的约束反力；

FB==35.4 kN

(2) 考虑轴销B的剪切强度；

FB

FQτ==≤[τ] d≥15.0 mm

AS1πd2

4

考虑轴销B的挤压强度；

σbs=

(3) 综合轴销的剪切和挤压强度，取

FbF

=B≤[σbs] d≥14.8 mm Abd⨯10d≥15 mm

8-33 图示接头，承受轴向载荷F作用，试校核接头的强度。已知：载荷F=80 kN，板宽b=80 mm，板厚δ=10 mm，

铆钉直径d=16 mm，许用应力[σ]=160 MPa，许用切应力[τ] =120 MPa，许用挤压应力[σbs] =340 MPa。板件与铆钉的材料相等。

10

解：(1) 校核铆钉的剪切强度；

1FFQ

τ===99.5 MPa≤[τ]=120 MPa 1AS

πd24

(2) 校核铆钉的挤压强度；

1FbFσbs===125 MPa≤[σbs]=340 MPa

Abdδ

(3) 考虑板件的拉伸强度；

对板件受力分析，画板件的轴力图；

F

校核1-1截面的拉伸强度

x

3F

Fσ1=N1==125 MPa≤[σ] =160 MPa A1(b-2d)δ

校核2-2截面的拉伸强度

σ1=

FN1F

==125 MPa≤[σ] =160 MPa A1(b-d)δ

所以，接头的强度足够。

9-4 某传动轴，转速n=300 r/min(转/分），轮1为主动轮，输入的功率P1=50 kW，轮2、轮3与轮4为从动轮，输

出功率分别为P2=10 kW，P3=P4=20 kW。 (1) 试画轴的扭矩图，并求轴的最大扭矩。

(2) 若将轮1与论3的位置对调，轴的最大扭矩变为何值，对轴的受力是否有利。 4

P

11

解：(1) 计算各传动轮传递的外力偶矩；

M1=9550

P1

=1591.7Nm M2=318.3Nm M3=M4=636.7Nm n

(2) 画出轴的扭矩图，并求轴的最大扭矩；

T(Nm)

Tmax=1273.4 kNm

(3) 对调论1与轮3，扭矩图为；

T(Nm)

955

Tmax=955 kNm

所以对轴的受力有利。 9-5 阶梯轴AB如图所示，AC段直径d1=40mm，CB段直径d2=70mm，外力偶矩MB=1500N·m，MA=600N·m， MC=900N·m，

/

G=80GPa，[τ]=60MPa，[υ]=2（º）/m。试校核该轴的强度和刚度。

12

9-7 图示圆轴AB所受的外力偶矩Me1=800N·m，Me2=1200N·m，Me3=400N·m，G=80GPa，l2=2l1=600mm [τ]=50MPa，

/

[υ]=0.25（º）/m。试设计轴的直径。

9-16 图示圆截面轴，AB与BC段的直径分别为d1与d2，且d1=4d2/3，试求轴内的最大切应力与截面C的转角，

并画出轴表面母线的位移情况，材料的切变模量为G。

解：(1) 画轴的扭矩图；

T

x

13

(2) 求最大切应力；

τABmax=

TAB2M2M13.5M

===3

WpABπd2πd13π()316163TM16M

τBCmax=BC==3

WpBCπd32πd216

比较得

τmax=

(3) 求C截面的转角；

16M

3

πd2

ϕC=ϕAB+ϕBC=

TABlABTBClBC

+=GIpABGIpBC

2Ml1⎛4d⎫Gπ 2⎪32⎝3⎭

4

+

Ml16.6Ml

=4

Gd42Gπd232

9-18 题9-16所述轴，若扭力偶矩M=1 kNm，许用切应力[τ] =80 MPa，单位长度的许用扭转角[θ]=0.5 0/m，切变模

量G=80 GPa，试确定轴径。 解：(1) 考虑轴的强度条件；

τABmax

τBCmax

(2) 考虑轴的刚度条件；

2M2⨯1⨯106⨯16=≤[τ] ≤80 d1≥50.3mm3

1πd31πd116

6

M1⨯10⨯16=≤[τ] ≤80 d2≥39.9mm3

πd32πd216

θABθBC

MTAB18002⨯106⨯321800=⨯≤[θ] ⨯⨯103≤0.5 d1≥73.5 mm 34GIpABπ80⨯10⨯πd1πMTBC18001⨯106⨯3218003=⨯≤[θ] ⨯⨯10≤0.5 d2≥61.8 mm 34GIpBCπ80⨯10⨯πd2π

(3) 综合轴的强度和刚度条件，确定轴的直径；

d1≥73.5mm d2≥61.8mm

11-6 图示悬臂梁，横截面为矩形，承受载荷F1与F2作用，且F1=2F2=5 kN，试计算梁内的最大弯曲正应力，及该

应力所在截面上K点处的弯曲正应力。

1

z

14

解：(1) 画梁的剪力图、弯矩图

(2) 最大弯矩（位于固定端）：

M

x

Mmax=7.5 kN

(3) 计算应力： 最大应力：

σ

max

K点的应力：

MmaxMmax7.5⨯106====176 MPa

bh240⨯802WZ

66

Mmax⋅yMmax⋅y7.5⨯106⨯30

σK====132 MPa33

bh40⨯80IZ

1212

11-8 矩形截面简支梁受载如图所示，试分别求出梁竖放和平放时产生的最大正应力。

11-9 简支梁受载如图所示，已知F=10kN，q=10kN/m，l=4m，a=1m，[σ]=160MPa。试设计正方形截面和矩形截面

（h=2b），并比较它们截面面积的大小。

15

11-15 图示矩形截面钢梁，承受集中载荷F与集度为q的均布载荷作用，试确定截面尺寸b。已知载荷F=10 kN，

q=5 N/mm，许用应力[σ] =160 Mpa。

B

解：(1) 求约束力：

A R

(2) 画出弯矩图：

M

x

(3) 依据强度条件确定截面尺寸

16

σmax

Mmax3.75⨯1063.75⨯106===≤[σ]=160 MPa

bh24b3Wz

66

解得： b≥32.7 mm

15-9 图示矩形截面压杆，有三种支持方式。杆长l＝300 mm，截面宽度b＝20 mm，高度h＝12 mm，弹性模量E

＝70 GPa，λp＝50，λ0＝30，中柔度杆的临界应力公式为

σcr＝382 MPa – (2.18 MPa)λ

A-A

z

(a) (b)

(c)

解：(a)

(1) 比较压杆弯曲平面的柔度：

Il

μl

yIz i

yiz λy=

μi λz=

y

iz

∴λy

λz

长度系数： μ=2

λl

y=

μi=

y

==173.2 (2) 压杆是大柔度杆，用欧拉公式计算临界力；

2P=σπEπ2⨯70⨯109

cr(a)

cr⨯A=λ2⨯A=173.2

2

⨯0.02⨯0.012=5.53 kN y(b)

(1) 长度系数和失稳平面的柔度：

μ=1λμl

y=

i=

y

==86.6(2) 压杆仍是大柔度杆，用欧拉公式计算临界力；

P=σA=π2Eπ2⨯70⨯109

cr(b)

cr⨯λ2⨯A=86.62

⨯0.02⨯0.012=22.1 kN

y(c)

(1) 长度系数和失稳平面的柔度：

17

μ=0.5λy=

μl

iy

=

==43.3(2) 压杆是中柔度杆，选用经验公式计算临界力

Pcr(c)=σcr⋅A=(a-bλ)A=(382-2.18⨯43.3)⨯106⨯0.02⨯0.12

=69.0kN

三种情况的临界压力的大小排序：

∴Pcr(a)

15-3 图示两端球形铰支细长压杆，弹性模量E＝200Gpa，试用欧拉公式计算其临界载荷。

(1) 圆形截面，d=25 mm，l=1.0 m；

(2) 矩形截面，h＝2b＝40 mm，l＝1.0 m；

解：(1) 圆形截面杆：

两端球铰： μ=1，

π2EIπ2200⨯109⨯1.9⨯10-8

I= =1.9⨯10 m ∴Pcr1===37.8 kN 22

64(μl)(1⨯1)

-8

4

πd4

(2) 矩形截面杆：

两端球铰：μ=1， Iy

π2EIyπ2⨯200⨯109⨯2.6⨯10-8hb3 -8 4

∴Iy==2.6⨯10 m ∴Pcr2===52.6 kN 22

12(μl)(1⨯1)

15-9 图示矩形截面压杆，有三种支持方式。杆长l＝300 mm，截面宽度b＝20 mm，高度h＝12 mm，弹性模量E

＝70 GPa，λp＝50，λ0＝30，中柔度杆的临界应力公式为

σcr＝382 MPa – (2.18 MPa)λ 试计算它们的临界载荷，并进行比较。

A-A

解：(a)

(a)

z

18

(b)

(c)

(1) 比较压杆弯曲平面的柔度：

Iy∴λy

长度系数： μ

=2

Iz iyiz λy=

μl

iy

λz=

μl

iz

λz

λy=

μl

iy

=

==173.2 (2) 压杆是大柔度杆，用欧拉公式计算临界力；

Pcr(a)

π2Eπ2⨯70⨯109

=σcr⨯A=2⨯A=⨯0.02⨯0.012=

5.53 kN

λy173.22

(b)

(1) 长度系数和失稳平面的柔度：

μ=1λy=

μl

iy

=

==86.6(2) 压杆仍是大柔度杆，用欧拉公式计算临界力；

Pcr(b)

π2Eπ2⨯70⨯109

=σcr⨯A=2⨯A=⨯0.02⨯0.012=22.1 kN

2

λy86.6

(c)

(1) 长度系数和失稳平面的柔度：

μ=0.5λy=

μl

iy

=

==43.3(2) 压杆是中柔度杆，选用经验公式计算临界力

Pcr(c)=σcr⋅A=(a-bλ)A=(382-2.18⨯43.3)⨯106⨯0.02⨯0.12

=69.0kN

三种情况的临界压力的大小排序：

∴Pcr(a)

15-10 图示压杆，截面有四种形式。但其面积均为A＝3.2×10 mm2， 试计算它们的临界载荷，并进行比较。弹性模

量E＝70 GPa。

z

(b) (a)

解：(a)

(c)

19

(1) 比较压杆弯曲平面的柔度：

IyIz iyiz λy=

μl

i λz=

μl

y

iz

∴λy

λz

矩形截面的高与宽：

A=2b2=3.2⨯10mm2 ∴

b=4 mm 2b=8 mm

长度系数：μ

=0.5

λμl

l0.5y=

i=

y

b=⨯3

0.004

=1299 (2) 压杆是大柔度杆，用欧拉公式计算临界力：

P=σ⋅A=π2Eλ=π2⨯70⨯109-6

cr(a)

cr2⋅A2

⨯3.2⨯10⨯10=14.6 N y1229

(b)

(1) 计算压杆的柔度： 正方形的边长：a2=3.2⨯10mm2,∴

a=42mm

长度系数：μ

=0.5

λμl

ly=λz=

i

=

a==918.6 (2) 压杆是大柔度杆，用欧拉公式计算临界力：

P=σπ2Eπ2⨯70⨯109-6

cr(b)

cr⨯A=λ2⨯A=918.6

2

⨯3.2⨯10⨯10=26.2 N(c)

(1) 计算压杆的柔度： 圆截面的直径：

14

πd2

=3.2⨯10 mm2 ∴d=6.38 mm 长度系数：μ=0.5

λy=λμl

z=

i

=

4μl4⨯d=0.5⨯3

6.38⨯10

-3=940.4 (2) 压杆是大柔度杆，用欧拉公式计算临界力：

2P=σπEπ2⨯70⨯109-6

cr(c)

cr⨯A=λ2⨯A=940.4

2

⨯3.2⨯10⨯10=25 N (d)

(1)计算压杆的柔度：

空心圆截面的内径和外径：

1

4

π[D2-(0.7D)2]=3.2⨯10 mm2 ∴D=8.94 mm 长度系数：μ=0.5

20

i===4 μlλy=λz====550

i(2) 压杆是大柔度杆，用欧拉公式计算临界力；

Pcr(d)

π2Eπ2⨯70⨯109=σcr⋅A=2⋅A=⨯3.2⨯10⨯10-6=73.1 N 2

λ550

四种情况的临界压力的大小排序：

∴Pcr(a)

15-11 细长木柱截面直径为15cm,长度l =7m,材料弹性模量E =10GPa,两木柱一个两端固定，一个一

端固定一段铰接，试求两木柱的临界力、临界应力和柔度。

解： μa=0.5μb=0.7

πd4π⋅154

Ia=Ib===2485cm4

6464

Fcra=Fcrb=

π2EIa

μal2

=

π2⨯10⨯109⨯2485⨯10-8

0.5⨯72

=2⨯105N =1.02⨯105N

π2EIb

μbl2

=

π2⨯10⨯109⨯2485⨯10-8

0.7⨯72

2485

=3.75cm πd24

ia=ib=

Ia

=A

λa=λb=

σcra

μal0.5⨯7

==93.3 -2ia3.75⨯10μbl0.7⨯7==130.7 ib3.75⨯10-2

Fcra2⨯105===11.31MPa Aπd2

4

21

σcrb

Fcrb1.02⨯105===5.77MPa 2

Aπd

4

15-12 图示压杆，横截面为b⨯h的矩形， 试从稳定性方面考虑，确定h/b的最佳值。当压杆在x–z平面内失稳时，

可取μy＝0.7。

解：(1) 在x–z平面内弯曲时的柔度；

iy=

=μyl0.7⨯l λy=i==y

(2) 在x–y平面内弯曲时的柔度；

i==λμzl1⨯lz=

z=i==z(3) 考虑两个平面内弯曲的等稳定性；

λz=

λy

= ∴=1.429

22