第04讲第二章数列极限定义证明
第一章函数与极限§1.1 函数 §1.2 极限§1.2 极限 一、数列的极限 二、函数的极限 …一、数列的极限1、概念的引入 2、数列的定义数列的几何意义.数列是整标函数数列的单调性. 数列的有界性.xn f ( n) ( n ).3、数列的极限{ xn } n , xn a (cons .) 称a为数列{ xn }的极限.nlim xn ax n a ( n ).a 收敛数列 lim xn 发散数列 n a n { 2 } 无穷发散振荡发散 {sin n} ( 1)n1 lim 1 1 n n xn 1 ( n ).当 n 无限增大时, 数列 xn 无限接近于 某一确定的数值 a 如何用数学语言描述?刻化两个数的接近程度: 绝对值1 ( 1) n1 n 1 1 xn 1 1 1 ( 1) n n n( 1)n1 xn 1 n1 1 1 1 , 给定 ,由 , 只要 n 100 时, 有 x n 1 100 100 n 1001 给定 , 只要 n 1000时, 有 x n 1 1 , 1000 10001 1 , 给定 , 只要 n 10000 时 , 有 x n 1 10000 10000引入符号 N 和 来刻化引入符号 N 和 来刻化无限增大和无限接近!( 1)n1 xn 1 n 1 任意给定 0, 只要 n N 时, 有 x n 1 成立 . 则只要n无限增大,xn 就会与1无限靠近。n N 确保xn 1 当 n 无限增大时, 数列 xn 是否无限接近 于某一确定的数值 a ? 如果是, 如何用数学语言描述?3、数列的极限定义 如果对于任意给定的正数 (不论它多么 小),总存在正数 N ,使得对于 n N 时的一切 x n , 不等式 x n a 都成立,那么就称常数 a 是{xn} 的极限,或者称数列 x n 收敛于 a ,记为lim x n a ,n 或 x n a ( n ).不等式 x n a 刻划了 x n与a的无限接近 ;N与任意给定的正数 有关 . N定义 : lim x n a n 0, N 0, 使n N时, 恒有 x n a .几何解释:a2aax 2 x1 x N 1x N 2 x3x当n N时, 所有的点 x n 都落在 (a , a )内, 只有有限个 (至多只有 N个 ) 落在其外.一、数列的极限1、概念的引入 2、数列的定义 3、数列的极限lim x n a n 0, N 0, 使n N时, 恒有 x n a .( 1)n1 我们可以用定义来证明数列以a为极限。 xn 1 nn ( 1) n1 1. 练习1 证明 lim n n证n ( 1) n1 1 1 ∵ xn 1 n n1 要 x n 1 , 只要 , 取N [1], n n ( 1) n1 则当n N时, 就有 1 n 0,n ( 1) n1 即 lim 1. n nP22例题1( 1)n1 证明 lim 0. n n1 证明 lim 0. n nn 证明 lim 1. n n 1数列极限按定义的验证步骤:1 >0oo(给 )2 由不等式 xn a , 找N .3 确 定 a是 xn 的 极 限o练习2 证明 limnn2 n 122 1.2 n 1∵ xn 1 n2 n 11 n 122 2 2 n 1 ( n 1) n 12n 12n 22 , 0, 要 x n 1 , 只要 n1 2 取N [ 1], 当n N时 , 有n2 n 121 成立,故命题得证.练习3 证明 lim 证 ∵ xn 1n2 n 6 n 52 1.n n2 n 6 n2 51 n1 n2 5n n n22 n 0, 要 x n 1 ,2 只要 , n2 2 n n6 取N [ ], 当n N时 , 就有 1 2 n 5注: 用定义证明数列极限存在时,关键是从主要不等式出发,由>0,找到使主要不等式成立的 N(并不在乎N是否最小).练习4 证明 lim1n n 12 0.1 n 120 1 ( n 1)2 ,n11 11 , 2 n 1 , nn1 n 例2证明 lim C C .n(P22LT2) 0,xn C C C 0 , n N , 都有 C C 成立例3证明 lim q n 0 q 1. (P22nLT3)证明 (1) q 0 . (2) 0lg N [ ], lg q0 q , n 要 xn 0 q , lg q lg ,n n lg q lg lg n lg q例4 证:证明 limn na 1, 其中 a 0.n 0, 要使na 1 . a 1, 0 a 1,ln a 即: n , ln(1 )a 1 ,a 1 ,若a 1,a 1 ,nln a ], 取 N1 [ ln(1 )若0 a 1, 1 a ,nna 1 ,ln a 即: n , ln(1 )ln a ], 取 N2 [ ln(1 )就有 a 1 ,nlim n a 1.n (P23LT4)例4证明 limn na 1, 其中 a 0.n证: 0,要使na 1 ,na 1 . 0 a 1, a 1,若a 1, 只要 a 1 ,ln a ], 取 N1 [ ln(1 )nln a , a 1 , 即 : n ln(1 )a 1 0 a 1n若0 a 1, 只要 1 a ,ln a ], 取 N2 [ ln(1 )ln a , a 1 , 即 : n ln(1 )a 1 0 1 a就有 a 1 ,nlim n a 1.n 例4证明 limn na 1, 其中 a 0.n证: 任给0 , 要使na 1 ,na 1 . 0 a 1, a 1,ln a , 若a 1, 只要 a 1 , a 1 , 即 : n ln(1 ) 0 a 1 ln a ], 取 N1 [ ln(1 ) 若0 a 1, 只要 1 n a , n a 1 , 即 : n ln a , ln(1 ) 0 1 a ln a ], 取 N2 [ ln(1 )就有na 1 , lim n a 1.n 另证例4.证明 lim n a 1. 其中a 0为常数.n证: (1) 设 a = 1, 结论显然成立. (2) 设 a > 1, 令 n a 1 n ( n 0), 从而1 2 2 n n a (1 n )n 1 C n n Cn n ... C n n> 1+ nn a 1 得 n . nna 1 n,(2) 设 a > 1, … >0,n令 n a 1 n ( n 0),a1 , na 1 na 1 a 1 要使 a 1 , 只须 , 即n 即可. n na 1 取N ,则 当 n N时 ,有 na 1 .故limn na 1( 其 中 a 1).1 (3) 设 0 > 0, N, 当n>N时, 有 n a即另证例4.n1 1 . ana 1na .na 1 n a . (因 0 nlimn a 1.(0 a 1).综合(1、2、3)得limn na 1.( a 0).(2) 设 a > 1, … 还可以 用有理化的方法.n n 1 n 2lim n a 1. a 0.nb 1 (b 1)(bnb ... b 1)a 1 n a 1.( n a 1)[( n a )n1 ( n a )n 2 ... 1] ( n a )n1 ( n a )n 2 ... 1(分母都用1代).a 1 n以下同上面的“另证例4”中的第(2)步.令 n a 1 n ( n 0), >0,na 1 na1 , na 1 a 1 要使 a 1 , 只须 , 即n 即可. n na 1 取N ,则 当 n N时 ,有 na 1 .故limn na 1( 其 中 a 1). N定义 : lim x n a n 0, N 0, 使n N时, 恒有 x n a .求解过程中关键是找到N (ε)(确实存在)。 如何找到这样的N ? 求解不等式 xn a 则当n>N时, xn anlim xn alim x n a n 0, N 0, 使n N时, 恒有 x n a .1) 的绝对任意性和相对固定性。2)N ( ) 的相应性(和不唯一性)。3)xn a 的多样性。4)n是大于N的所有自然数。5) a 是 数 列 x n 的 极 限 , 是 __ 量 , N , n, x n 是 __ 量 。6)几何意义。 7)数列极限的等价定义: 0若在U(a , )之外数列 xn 至多只有有限项,则称数列 xn 收敛于极限a .lim xn a 0, N 0, 使 n N 时, 恒有 xn a .n 1 证明 lim .0. n nn 证明 lim 1. n n 1证明 lim C C .n证明 lim q n 0. q 1.nlimn na1 , 其 中 a 0.练习5 设x n 0, 且 lim x n a 0, 求证 lim x n a .n n 证 a 0,lim xn a , ∵ n N 使得当n N 时恒有 xn a a ,从而有 xn a xn a xn a axn a aa 当n N 时恒有xn xn a xn xn a aa a故数列{ xn },对任意 小的正数ε找到了 N limn xn a .一、数列的极限1、概念的引入 2、数列的定义 3、数列的极限4、 N 定义证明数列极限为aP66 XT1.2 2.(1, 3, 4) 3.一、数列的极限1、概念的引入 2、数列的定义 3、数列的极限nlim xn a 0, N 0, 使n N 时, 恒有 xn a .4、 N 定义证明数列极限为a5、 收敛数列的性质5、收敛数列的性质定理1. 若数列收敛, 则其极限唯一. 反证: 设 x 收敛, 但极限不唯一, n 即, xn a, 且xn b, (n), ab.ab , 设a > b, 取 21, 当n>N1时,nab | xn a | , 2lim xn a 0, N 0, 使n N时, 恒有 xn a .nlim xn a 0, N 0, 使n N时, 恒有 xn a .由 lim xn aab , 1, 当n>N1时, | xn a | , n 2 lim xn b N , 当 n >N 时, | x b | a b n 2 2 n 2取N=max{N1, N2}, 则当n>N时, 上两式同时成立. 有 a b | a b | | a xn xn b | | a xn | | xn b |ab ab ab 2 2x y x y .矛盾, 故极限唯一.5、 收敛数列的性质 (P24) (1) 唯一性若数列{xn}收敛,则其极限值惟一.(2) 有界性收敛的数列必定有界.(3) 保序性x y x y .定理2. 若{ xn } 收敛, 则 { xn } 有界. 证:a–1 lim xn a . 设n (a a+1 M)x对 =1, N,当n>N 时, 有|xna||xn| = |xn-a+a| |xna|+|a| 定理2. 若{ xn } 收敛, 则 { xn } 有界. 逆命题不成立, 如xn=(1)n有界, 不收敛!有界数列收敛数列101x是发散的.@求证定理2.若{ xn } 收敛, 则 { xn } 有界.lim yn 0证明 lim xn yn 0 设数列 x n 有界,又 n n 证:由已知数列{xn}有界=> M>0 nN, |xn|≤M 0, N, n>N,|yn|故有x n yn 0 x n yn M M lim xn yn 0n5、 收敛数列的性质 (1) 唯一性若数列{xn}收敛,则其极限值惟一.(2) 有界性收敛的数列必定有界.(3) 保序性定理3.设 lim xn a , lim yn b, 且a b,n n则正整数N , 当n N 时, 有xn yn .证: bnab 2ab 2axlim xn a ,ab 对 0, 2ab , 正整数N 1 , 当n N 1时, 有 | xn a | 2ab | xn a | , 2即 从而ab xn 2ab ab xn a . 2 2… (1)因 lim yn b . 正整数 N 2 , 当 n N 2时 ,n ab 有 | yn b | . 2 ab 从而 yn . … (2) 2 取 N = max{N1, N2}, 则当 n > N时, (1), (2)同时成立,即 xn > yn. bab 2ax定理3. 设 lim xn a , lim yn b, 且a b,n n则正整数N , 当n N 时, 有xn yn .lim x n a , 而a>0 推论1. (保号性定理) 若 n (aN时, 有xn>0 (xna 证明 设a>0,由数列极限定义,对 0 2 正整数N>0, 当n>N时,有 a xn a 2 a a 从而 xn a 0 2 2定理3. 设 lim xn a , lim yn b, 且a b,n n则正整数N , 当n N 时, 有xn yn .推论2. 设 lim xn a , lim yn b, 且若正整数N ,n n当 n N 时 , 有 x n yn ,则必有a b.反证: 设 a N1时, 有xn N2 ( N)时, 有 xnxn a , 而a>0 推论1. (保号性定理) 若 lim n (aN时, 有xn>0 (xnxn a , 若正整数N, 当n>N时, 有 xn0 推论3: lim n 则 a0即 lim xn 0 ( lim xn 0)n nxn a , 若正整数N, 当n>N时, 有 xn0 推论3: lim n 则 a0 注: 即使xn>0, 也能推出a0, 即, lim xn 0n1 比如, xn 0, n1 lim 0 n n5、 收敛数列的性质 (1) 唯一性若数列{xn}收敛,则其极限值惟一.(2) 有界性收敛的数列必定有界.(3) 有序性推论…