2016高考复习概率与统计试题及详解
专题 概率和统计
1. 重庆市2013年各月的平均气温(
o
C )数据的茎叶图如下:
08
12
20319502
83
38
则这组数据的中位数是( )A 、19 B 、20 C 、21.5 D 、23
解:从茎叶图知所有数据为8,9,12,15,18,20,20,23,23,28,31,32,中间两个数为20,20,故中位数为20,选B ..
2. 袋中共有15个除了颜色外完全相同的球,其中有10个白球,5个红球。从袋中任取2个球,所取的2个球中恰有1个白球,1个红球的概率为( ) A .1 B. 解:从袋中任取2个球共有C 15
2
11105 C. D. 212121
11
=105种,其中恰好1个白球1个红球共有C 10C 5=50种,所以从袋中任
取的2个球恰好1个白球1个红球的概率为
5010
=,故选B . 10521
3. 投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为( ) (A )0.64(B )0.432(C )0.36(D )0.312 解:根据独立重复试验公式得,该同学通过概率为C 30.64. 设复数z A .
2
2
⨯0.4+0.63=0.648,故选A.
=(x -1) +yi (x , y ∈R ) ,若|z |≤1,则y ≥x 的概率为( )
B .
31+42π11-42π
C .
11-2π
D .
11+
2π
5. 某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为( )A .167 B .137 C .123 D .
93
解:该校女老师的人数是110⨯70%+150⨯
(1-60%)=137,故选B .
6. 我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为()石 A .134 B .169 C .338D .1365 解:依题意,这批米内夹谷约为
28
⨯1534=169石,选B. 254
( )-1,⋅⋅⋅,2x 10-1的标准 差为
7. 若样本数据x 1,x 2,⋅⋅⋅,x 10的标准差为8,则数据2x 1-1,2x 2(A )8 (B )15 (C )16 (D )32 解:设样本数据x 1,x 2,⋅⋅⋅,x
10,
=8,即方差DX =64,而数据2x 1-1,
2x 2-1,⋅⋅⋅,2x 10-1的方差D (2X -1) =22DX =22⨯64,
=16.
故选C. 若随机变量方差a
2
X 的均值EX 、方差DX
Y =aX +b 的均值aEX +b 、
DX
、标准差.
8. 设X N (μ1, 2
σ12) ,Y N (μ2, σ2) ,这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是( )
A .P (Y ≥μ2) ≥P (Y ≥μ1) B .P (X ≤σ2) ≤P (X ≤σ1)
C .对任意正数t ,P (X ≤t ) ≥P (Y ≤t ) D .对任意正数t ,P (X ≥t ) ≥P (Y ≥
t )
9. 为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据表:
15万元家庭年支出为( )A .11.4万元 B .11.8万元 C12.0万元 D12.2万元
解:由已知得x =
8.2+8.6+10.0+11.3+11.96.2+7.5+8.0+8.5+9.8
,y ==10(万元)=8
55
(万元),故a
ˆ=0.76x +0.4,当社区一户收入为15万=8-0.76⨯10=0.4,所以回归直线方程为y ˆ=0.76⨯15+0.4=11.8(万元), y
11
”的概率,p 2为事件“|x -y |≤”的概率,p 322
元家庭年支出为
10. 在区间[0,1]上随机取两个数x , y ,记p 1为事件“x +y ≥为事件“xy ≤
1
”的概率,则 ( ) 2
A .p 1
11
”,如图(1)阴影部分S 1,对事件“|x -y |≤”,如图(2)阴影22
1
”,如图(3)阴影部分S 3,由图知,阴影部分的面积从下到大依次是S 2
正方形的面积为1⨯1=1,根据几何概型公式可得p 2
p 1.
(1) (2) (3)
11. 已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N 一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( ) (附:若随机变量ξ服从正态分布N
(0,3),从中随机取
2
(μ, σ) ,则P (μ-σ
2
P (μ-2σ
(A )4.56% (B )13.59% (C )27.18% (D )
31.74%
12. 根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位:万吨)柱形图。以下结论不正确的是( )
2004年 2005年 2006年 2007年 2008年 2009年 2010年 2011年 2012年 2013年
A .逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B .2007年我国治理二氧化硫排放显现C .2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D .2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
解:由柱形图得,从2006年以来,我国二氧化硫排放量呈下降趋势,故年排放量与年份负相关,故选D . 13在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )A.2386 B.2718 C.3413 D.4772 附:若
X N (μ, σ2) ,则P (μ-σ
P (μ-2σ
解:根据正态分布的性质,P (0
x
1
P (-1
14在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示,若将运动员按成绩由好到差编为1
35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是
.
解由茎叶图可知,在区间[139, 151]人数为20,再由系统抽样性质可知人数为20⨯
7
=4人. 35
15赌博有陷阱.某种赌博每局的规则是:赌客先在标记有1,2,3,4,5的卡片中随机摸取一张,将卡片上的数字作为其赌金(单位:元);随后放回该卡片,再随机摸取两张,将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金(单位:元).若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金,则
Eξ1-Eξ2= (元).
16已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为
________.
解:x =
4+6+5+8+7+6
=6
6
17已知随机变量X 服从二项分布B
(n , p ),若E (X )=30,D (X )=20,则p =.
解:依题可得E (X )=np =30且D (X )=np (1-p )=20,解得p =
113,故应填入3
. 18如图,点
A 的坐标为(1,0) ,点C 的坐标为(2, 4) ,函数f (x )=x 2 ,若在矩形ABCD 内随
机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于 .
5
解由已知得阴影部分面积为4-⎰22751x dx =4-3=3
.此点取自阴影部分的概率等于
4=512.
19袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为________.
解从4只球中一次随机摸出2只,共有6种摸法,其中两只球颜色相同的只有1种,不同的共有5种,所以其概率为5
6
.
20. 某公司为了解用户对其产品的满意度,从
A ,B 两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满
意度评分如下: A 地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
(Ⅰ)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,得出结论即可);
A 地区
B 地区
4 5 6 7 8
9
(Ⅱ)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:
记时间C :“A地区用户的满意度等级高于B 地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C 的概率. 解:(Ⅰ)两地区用户满意度评分的茎叶图如下
A 地区
B 地区
4
3
6 4 2
6 8 8 6 4 3 9 2 8 6 5 1
7 5 5 2
5 6 7 8 9
6 8
1 3 6 4 2 4 5 5 3 3 4 6 9 3 2 1 1 3
通过茎叶图可以看出,A 地区用户满意度评分的平均值高于B 地区用户满意度评分的平均值;A 地区用户满意度评分比较集中,B 地区用户满意度评分比较分散.
21某银行规定,一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误,该银行卡将被锁定,小王到银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一,小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试. 若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定.(Ⅰ) 求当天小王的该银行卡被锁定的概率;
(Ⅱ) 设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X ,求X 的分布列和数学期望.
解:(Ⅰ)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A ,则P (A)可能的取值是1,2,3又P (X=1)列为
151
=, P (X=2)=? 665
5431
==(Ⅱ)依题意得,X 所有65421542
, P (X=3)=1=. 所以X 的分布6653
所以E(X)
=1?
112
2? 3? 6635
. 2
22. 若n 是一个三位正整数,且n 的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称n 为“三位递增数”(如137,359,567等). 在某次数学趣味活动中,每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数,且只能抽取一次. 得分规则如下:若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除,参加者得0分;若能被5整除,但不能被10整除,得-1分;若能被10整除,得1分. (I )写出所有个位数字是5的“三位递增数” ;(II )若甲参加活动,求甲得分X 的分布列和数学期望EX .
解:(I )个位数是5的“三位递增数”有:125,135,145,235,245,345;(II )由题意知,全部“三位递增烽”
的个数为
C =84
3
9
随机变量X 的取值为:0,-1,1,因此
C 832
P (X =0)=3=
C 93
2C 411211
, 所以X 的分布列为
P (X =-1)=3= , P (X =1)=1--=
C 91414342
因此EX =0⨯+(-1) ⨯+1⨯=
3144221
23已知2件次品和3件正品放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束. (Ⅰ)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;(Ⅱ)已知每检测一件产品需要费用100元,设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位:元),求X 的分布列和均值(数学期望).
故
X
的分布列为
EX =200⨯+300⨯+400⨯=350.
101010
24为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加. 现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名. 从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(I)设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A 发生的概率;
(II)设X 为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X 的分布列和数学期望.
2222
C 2C 3+C 3C 366
解(I)由已知,有P (A ) =所以事件发生的概率为. =A
C 8435354-k
C 5k C 3
(II)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4P (X =k )=(k =1,2,3,4) 4
C 8
所以随机变量
X
的分布列为
15
所以随机变量X 的数学期望E (X )=1⨯+2⨯+3⨯+4⨯=
1477142
25 端午节吃粽子是我国的传统习俗,设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观完全相同,从中任意选取3个。(1)求三种粽子各取到1个的概率;(2)设X 表示取到的豆沙粽个数,求X 的分布列与数学期望
故E(X)
. 5
=0?
71? 2? 151515
26某市A,B 两所中学的学生组队参加辩论赛,A 中学推荐3名男生,2名女生,B 中学推荐了3名男生,4名女生,两校推荐的学生一起参加集训,由于集训后队员的水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人,女生中随机抽取3人组成代表队 (1)求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率.
(2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛,设X 表示参赛的男生人数,求X 得分布列和数学期望.
解:(1)由题意,参加集训的男女生各有6名. 参赛学生全从B 中抽取(等价于A 中没有学生入选代表队)的
33
199C 3C 41
=概率为33=. 因此,A 中学至少1名学生入选的概率为1-. 100100C 6C 6100
13
C 3C 31C 3
2C 323
=,P (X =2) ==, (2)根据题意,X 的可能取值为1,2,3. P (X =1) =C 645C 64531
C 3C 1
P (X =3) =43=,所以X 的分布列为:
C 65
因此,X 的期望为E (X )
131
=1⨯+2⨯+3⨯=2.
555
27某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A , B 两种奶制品.生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨,使用设备1小时,获利1000元;生产1吨B 产品需鲜牛奶1.5吨,使用设备1.5小时,获利1200元.要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍,设备每天生产A , B 两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W (单位:吨)是一个随机变量,其分布列为
该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产,使其获利最大,因此每天的最大获利Z (单位:元)是一个随机变量.(Ⅰ)求Z 的分布列和均值;
(Ⅱ) 若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率.
第20题解答第20题解答
第20题解答
目标函数为 z =1000x +1200y . 当W =12时,(1)表示的平面区域如图1,三个顶点分别为
5z
将z =1000x +1200y 变形为y =-x +,当x =2.4, y =4.8时,A (0, 0), B (2.4, 4.8), C (6, 0).
61200
直线l :y =-
5z
在y 轴上的截距最大,最大获利Z =z max =2.4⨯1000+4.8⨯1200=8160.当x +
61200
(1)表示的平面区域如图2,三个顶点分别为A (0, 0), B (3, 6), C (7.5, 0).将z =1000x +1200y W =15时,变形为y =-
5z 5z
,当x =3, y =6时,直线l :y =-x +在y 轴上的截距最大,最大获利x +
6120061200
(1)表示的平面区域如图3,四个顶点分别为Z =z max =3⨯1000+6⨯1200=10200.当W =18时,
5z
,当x =6, y =4时,A (0, 0), B (3, 6), C (6, 4), D (9, 0). 将z =1000x +1200y 变形为y =-x +
61200
直线l :y =-
5z
在y 轴上的截距最大,最大获利Z =z max =6⨯1000+4⨯1200=10800.故最x +
61200
大获利Z 的分布列为
因此,E (Z ) =8160⨯0.3+10200⨯0.5+10800⨯0.2=9708.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,一天最大获利超过10000元的概率p 1=P (Z >10000) =0.5+0.2=0.7, 由二项分布,3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为p =1-(1-p 1) =1-0.3=0.973.
3
3
28设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T,T只与道路畅通状况有关,对其容量为100的样本进行统计,结果如下:
(I )求T的分布列与数学期望ET;(II )刘教授驾车从老校区出发,前往新校区做一个50分钟的讲座,结束后立即返回老校区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率. 解:(I )由统计结果可得T的频率分步为
以频率估计概率得T的分布列为
从
而
(
分
钟
)
ET =25⨯0.2+30⨯0.3
+35⨯0.4+40⨯0.1=32
故
P (A)=1-P(A)=0.91.
29某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x (单位:千元)对年销售量y (单位:t )和年利润z (单位:千元)的影响,对近8年的年宣传费x i 和年销售量理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
y i (i =1,2,···,8)数据作了初步处
表中w i =,w =
8
∑w
i =1
i
(Ⅰ)根据散点图判断,y=a+bx 与y =c +(给出判断即可,不必说明理由)
哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型?
(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立y 关于x 的回归方程;
(Ⅲ)已知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为z =0.2y -x. 根据(Ⅱ)的结果回答下列问题: (ⅰ) 年宣传费x =49时,年销售量及年利润的预报值是多少? (ⅱ) 年宣传费x 为何值时,年利率的预报值最大?
附:对于一组数据(u 1, v 1) , (u 2, v 2) ,……,(u n , v n ) , 其回归线v 分别为:
=α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计
=β
∑(u
i =1
n
n
i
=v -β u -u )(v i -v ) ,α
i
∑(u
i =1
-u ) 2
解:(Ⅰ)由散点图可以判断,
y =c +适合作为年销售
y 关于年宣传费用x 回归方程类型.
故宣传费用为
46.24千元时,年利润的预报值最大
30. A ,B 两组各有7位病人,他们服用某种药物后的康复时间(单位:天)记录如下:
A 组:10,11,12,13,14,15,16 B 组:12,13,15,16,17,14,a
假设所有病人的康复时间互相独立,从A ,B 两组随机各选1人,A 组选出的人记为甲,B 组选出的人记为乙.(Ⅰ) 求甲的康复时间不少于14天的概率; (Ⅱ) 如果a =25,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率;
(Ⅲ) 当a 为何值时,A ,B 两组病人康复时间的方差相等?(结论不要求证明)
解:(Ⅰ) 甲有7种取法,康复时间不少于14天的有3种取法,所以概率P =
3; 7
(Ⅱ) 如果a =25,从A ,B 两组随机各选1人,A 组选出的人记为甲,B 组选出的人记为乙共有49种取法,甲的康复时间比乙的康复时间长的列举如下:(13,12),(14,12),(14,13),(15,12),(15,
13),(15,14),(16,12)(16,13), (16,15),(16,14)有10种取法,所以概率P =
10
.(Ⅲ) 把B 组数49
=11或a =18
据调整为a ,12,13,14,15,16,17,或12,13,14,15,16,17,a ,可见当a 时,与A 组数据方差相等.(可利用方差公式加以证明,但本题不需要) 31某工厂36名工人的年龄数据如下表:
(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44,列出样本的年龄数据;
(2)计算(1)中样本的平均值和方差s ; (3)36名工人中年龄在2
-s 与+s 之间有多少人?所占的百分比是多少(精确到0.01%)?
∴ 年龄在x -s 与x +s 之间共有23人,所占百分比为
23
≈63.89%. 36
31某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额商品后即可抽奖,每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球,在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖;若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖.
(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率;(2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ,求X 的分布列和数学期望. 解:(1)记事件
,A 2={从乙箱中摸出的1个球是红球} B 1={顾A 1={从甲箱中摸出的1个球是红球}
,C ={顾客抽奖1次能获奖},由题意,A 1与A 2={顾客抽奖1次获二等奖}
客抽奖1次获一等奖},B 2相互独立,
A 1A 2与A 1A 2互斥,B 1与B 2互斥,且B 1=A 1A 2,B 2=A 1A 2+A 1A 2,C =B 1+B 2,
P (A 1) =
42
=105
P (A 2) =
51=102211
P (B 1) =P (A 1A 2) =P (A 1) P (A 2) =⨯=
525
P (B 2) =P (A 1A 2+A 1A 2) =P (A 1A 2) +P (A 1A 2) =P (A 1)(1-P (A 2)) +(1-P (A 1)) P (A 2)
21211=⨯(1-) +(1-) ⨯=52522
,故所求概率为
117P (C ) =P (B 1+B 2) =P (B 1) +P (B 2) =+=
5210
;(2)顾