集合知识点总结

第一章 集合

一、集合 1、集合的概念

集合：一般地，把一些能够确定的不同的对象看出一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成

的集合（或集），通常用大写英文字母

A , B , C ... 表示。

集合的元素：构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员），

通常用小写写英文字母a , b , c ... 表示。

∉ 2、元素与集合的属于关系：∈、

A 的元素，就说a 属于A ，记作：a ∈A ，读作“a 属于A ”

若a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作：a ∉A ，读作“a 不属于A ”。 3、空集∅：不含任何元素的集合叫做空集，记作∅。

4、集合元素的基本性质：确定性、互异性、无序性。

5、集合的分类：有限集：含有有限个元素的集合；无限集：含有无限个元素的集合。 6、常用数集的表示------------牢记，熟记

自然数集（非负整数集）N ；正整数集N +或N ；整数集Z ；有理数集Q ；实数集R ；正实数集R ，均是无限集。 二、集合的表示法

1、列举法：适用于有限集，且元素个数不多，或者是无限集，元素个数较多，但呈现一定规律，列出几个元素作为代表，其余用“⋅⋅⋅”代替。 2、描述法：

元素的特征性质：如果在集合I 中，属于集合素都不具有性质

*

+

若a 是集合

A 的任意一个元素都具有性质p (x )，而不属于A 的元

p (x )，则p (x )叫做集合A 的一个特征性质。

p (x )是集合A 的一个特征性质，集合A 可以表示为{x ∈I |p (x )}，它表示的集合A 为在集合I

中具有性质

p (x )的所有元素构成的。

R 可以省略。

注意：若元素的范围为R 时，∈

★经典例题： 例1. 现已知一个集合为

, 10, -【x ≠1{1, x , x }，则实数x 满足的条件为 。

2

】

解：由于元素的互易性，因此得到关系x ≠1; x

例2. 用适当的符号填空：

2

≠1; x ≠x 2，从而解得x ≠1, -1,0。

0 ∈ {0}；0 ∉ ∅；∅ ∈ {∅}；0 ∉ N +；{0} ≠ ∅。

例3. 给定集合A 、B ，定义A *B ={x x =m -n , m ∈A , n ∈B }。若A ={4,5,6}，

【15】 B ={1,2,3}，则集合A *B 的所有元素之和为 。解：题意为从集合

A 中任意选取一个元素，与集合B 中的任意一个元素作差，所得元素为集合A *B 的

元素，这里要注意元素的互异性。

故x =4-1,4-2,4-3,5-1,5-2,5-3,6-1,6-2,6-3=1,2,3,4,5

即

例4. 设集合

A *B ={1,2,3,4,5}，元素之和为15。

A ={2,3, a 2+2a -3}, B ={a +3, 2}若已知5∈A ，且5∉B ，求实数a 。 A ，故有a 2+2a -3=5，解得a =-4或2。

≠2。因此a =-4。

解：由于5∈

但题目要求5∉B ，因此a +3≠5，即a

例5. 实数集（1）若2∈（2）集合

A 满足条件：1∉A ，若a ∈A ，则A ，求A ；

1

∈A 。 1-a

A 能否为单元素集合？若能，求出A ；若不能，说明理由；

1

（3）求证：1-∈A 。

a

11∈A 。因此2∈A ，则有=-1∈A 。 解：（1）由题意知，若a ∈A ，则

1-a 1-2

由-1∈

A ，则

1111⎫1⎧=∈A 。由∈A ，则=2∈A 。因此A =⎨2, -1, ⎬

121-(-1) 22⎭⎩1-2

12

。整理得到a -a +1=0， 1-a

验证∆=1-4

1

∈A 。 （3）由于题意有若a ∈A ，则

1-a

11a -11∈A 时，可有因此当==1-∈A 。

11-a a a 1-1-a

（2）若让集合

A 为单元素集合，必须满足a =

例6. 以下集合各代表什么： ①M ②

={m m =2k , k ∈Z }——偶数

X ={x x =2k +1, k ∈Z }——奇数 ={y y =4k +1, k ∈Z }——奇数

={(x , y ) y =x +1, x ∈R }——点集（有序数对集合）

③Y ④P

几何意义：满足直线

y =x +1图像上所有的点；

y =x +1的解。

1】 3

代数意义：满足二元一次方程

例7. 若集合A =

{x x

1】 9

2

+(a -1) x +b =0}中，仅有一个元素a ，则a = 【

b = 【

解：题意可只两个条件，其一是仅有一个元素，即方程只有一个解。其二为单元素即为a 。

因此得到两个关系式：将a 代入方程有a 从中求出a

例8. 已知集合A =（1）若

2

+(a +1)a +b =0和∆=(a -1)-4b =0，

2

11=, b =。 39

{x ax

2

-3x +2=0}，其中a 为常数，且a ∈R 。

A 是空集，求a 的范围；

（2）若A 中只有一个元素，求a 的范围；

（3）若A 中至多只有一个元素，求a 的范围。

解：（1）因为

A 是空集，则必须要求方程ax 2-3x +2=0无实根，即∆=9-8a

因此a （2）若

>

9

8

。

A 中只有一个元素，此时需要讨论a 是否为0。

2

当a =0时，方程为-3x +2=0，解得x =，符合题意；

3

当a

≠0时，方程为ax 2-3x +2=0，要求∆=9-8a =0，即a =

=0或

98

。

综上所述，a （3）若

9。 8

A 中至多只有一个元素，即有一个元素，或没有。只要综合（1）（2）的答案即可。故a 的取

9

值范围是a =0或a ≥。

8

三、子集和真子集

A 中的任何一个元素都是集合B 的元素，则集合A 叫做集合B 的子集。

记作：A ⊆B 或B ⊇A

读作“A 包含于B ” 或“B 包含A ”

1、子集：集合

若集合P 中存在着不是集合Q 的元素，则集合P 不是集合Q 的子集。 记作：P 或Q P 注意：（1）自身性：

A ⊆A ，任何集合是它本身的子集。

（2）规定：∅

⊆A ，空集是任何子集的真子集。

（3）∈与⊆区别： ∈是从属关系，表示元素与集合之间的关系，

2、真子集：若集合

⊆是包含关系，表示集合与集合之间的关系。

A 是集合B 的子集（简化：若A ⊆B ，数学语言的简洁），并且集合B 中至少含有

一个元素不属于集合A ，则集合A 是集合B 的真子集。

记作：

读作“

A B 或

B A

A 真包含于B ” 或“B 真包含A ”

注意：（1）空集∅是任何非空集合的真子集。

=∅

（2

）A ⊆B A =B

B

3、韦恩图：

包含关系的传递性

A ⊆B , B ⊆C ，则A ⊆C ； 维恩图表示

A ⊂B , B ⊂C ，则A ⊂C

≠

≠

≠

集合N +, N , Z , Q , R 之间的关系，用维恩图表示

4、个数规律：（card (A ) 表示集合A 的元素个数）

5、集合相等：

A ⊆B , B ⊆A ，则A =B

★经典例题：

例1. 判断下列集合是否为同一个集合 ①

A ={1,2}, B ={(1,2)} --------------不是，一个是点集，一个是数集

A ={x ∈N |0

② ③

A ={y |y =2x +1}, B ={(x , y )|y =2x +1}----------不是，一个是点集，一个是数集

④

A ={x |x >5}, B ={y |y >5}------------是，元素相同，均是实数，与代表元素无关

例2. 用适当的符号填空：

∅⊆{a }；{a }⊂{a , b }；{a }⊆{a }；∅⊂{a }；

≠

≠

{1, 2, 3, 4∅⊆∅ {1,2,3}⊂}；≠

例3. 若集合A =解：依题B

{1,3, x }, B ={x 2,1}，且B ⊆A ，则x =0

或

⊆A ，则x 2=x ，或x 2=

3，解出x =0,1,

由于元素具有互异性，故舍去1。

例4. 已知集合A =

B ，则实数a 的取值集合为{x 1≤x 【

{a a ≥4}】

解：步骤：①在数轴上画出已知集合；

②由x a ，则往右画），进而开始实验； ③得到初步试验结果； ④验证端点。

试验得到：a

≠

>4，当a =4时，由于A 集合也不含有4，故满足A ⊂B 。

综上所述，例5. 满足解：因为

{a a ≥4}。

{1}⊆M ⊂{1, 2,3}的集合M 为【{1}, {1,2}, {1,3}】

≠

{1, 2,3} {1}⊆M ，因此M 中必须含有1这个元素。又知道M ⊂≠

（{1, 23, {1}, {1,2}, {1,3}。

故得到

}不满足真子集的要求）

四、集合的运算

1、交集：一般地，对于两个给定集合

集。核心词汇：共有。

A , B ，由属于A 又属于B 的所有元素构成的集合，叫做A , B 的交

A B

读作“A 交B ”

记作：

A ={1,2,3,4,5}, B ={3,4,5,6,8}，A B =

{3,4,5}

交集为∅

2、交集的性质：

A B =B A A A =A ； A ∅=∅A =∅

如果A ⊆B ，则A B =A 。

3、并集：一般地，对于两个给定集合

心词汇：全部。

A , B ，由两个集合的所有元素构成的集合，叫做A , B 的并集。核

A B

读作“A 并B ”

记作：

{1,3,5}{2,3,4,6}={2,3,4,5,6}

只要是线下面的部分都要！

4、并集的性质：

A A B =B A A =A ；

A ∅=∅A =A

如果A ⊆B ，则A B =B

5、补集：如果给定的集合A 是全集U 的一个子集，由U

U 中的补集。核心词汇：剩余。

记作“ðU A ” 读作：“

6、补集的性质：

中不属于

A 的所有元素构成的集合，叫做A 在

A 在U

中的补集”

A ðU A =U A ðU A =∅

痧U (U A )=A

★经典例题： 例一、已知集合M

则解：M

例二、设集合M

则M

={0,1,2,4,5,7}, N ={1,4,6,8,9}, P ={4,7,9}，

(M N )(M P )等于 【{1,4,7}】

N )

⋂N ={1,4}, M ⋂P ={4,7}，故(M (M P )={1,4,7}。

={m ∈Z |-3

N = 【{-101，，}】

解：首先观察，两个集合均为数集，代表元素的不同不影响集合本身。其次范围均为整数， 故M 例三、

={-2, -1,0,1}, N ={-1,0,1,2,3}，因此取交集后，得到的结果应为{-101，，}。 A ={x |-1≤x

则实数a 的取值范围是 【a

≥3】

解：步骤：①在数轴上画出已知集合；

②由x a ，则往右画），进而开始实验； ③得到初步试验结果；

④验证端点。

试验得到的结果为a

例四、求满足M 【

>3，验证端点，当a

综上所述，a 的取值范围是a ≥3。

=3时，由于A 集合不含有3，满足交集为∅。

⊆{a 1，a 2，a 3，a 4}，且M {a 1，a 2，a 3}={a 1，a 2}的集合M 。

{a 1, a 2}或{a 1, a 2, a 4}】

解：由于M

又有M

例五、集合

{a 1，a 2，a 3}={a 1，a 2}，则可以推得M 中必有a 1, a 2，没有a 3。

⊆{a 1，a 2，a 3，a 4}，则M ={a 1, a 2}或M ={a 1, a 2, a 4}

A ={0,2, a }, B ={1, a 2}, 若A B ={0,1,2,4,16}, 则a 的值为4】

2

⎧a 2=16

解：∵A ={0,2, a }, B ={1, a }, A B ={0,1,2,4,16}∴⎨∴a =4

⎩a =4

例六、设集合U

y +1⎫⎧

={(x , y ) y =x -1}, A =⎨(x , y )=1⎬，则C U A ={(0, -1)}】

x ⎩⎭

解：

y +1y +1⎫⎧

=1的无数点，其中x ≠0, y ≠-1。 A =⎨(x , y )=1⎬表示平面上满足直线x x ⎩⎭

又U

={(x , y ) y =x -1}表示平面上满足直线y =x -1上的全部点，故补集为{(0, -1)}，这组

有序数对。

例七、已知集合 求实数解：观察

A ={x x 2+px -2=0}, B ={x x 2-x +q =0}，且A ⋃B ={-2,0,1}，

p , q 的值。【q =0, p =1】

A 集合，可知0∉A ，又有A ⋃B ={-2,0,1}，则0∈B 。

2

将0代入x

-x +q =0，得到q =0，反解x 2-x =0，得到x =0或1。

由于

A ⋃B ={-2,0,1}，B ={0,1}，则-2∈A 。

2

将-2代入x

例八、已知集合

【a 解：①当B ②当

+px -2=0，解得p =1。

A ={-2}, B ={x x 2+ax +a 2-12=0}，若A ⋂B =B ，求实数a 的取值范围。

≥4或a

=∅时，方程x 2+ax +a 2-12=0无解，∆4或a

时，方程

B ≠∅

x 2+ax +a 2-12=0

有一个解，

∆=0

，同时将

-2

代入

x 2+ax +a 2-12=0，解得a =4；

综上所述a 的取值范围为a

≥4或a