概率论与数理统计第一章答案

单元测验

一、填空题

1. 20名运动员中有两名国家队队员，现将运动员平均分成两组，则两名国家队队员分在不同组的概率为10. 19

2. 52. 一个袋中有50个乒乓球，其中20个红球，30个白球，今两人从袋中各取一球，然后不放回，则第二人取到红球的概率为

3. 设A , B 是随机事件，P (A )=0.7,P (B )=0.5,P (A –B )=0.3,则P (AB P (B -A ) =0.1, P (|) =2. 34. 已知P (A ) =1112, P (B |A ) =, P (A |B ) =, P (A ⋃B ) =. 23235. 设A , B 相互独立，P (A ) =0.6，0

二、选择题

1. 0

(A) 事件A 与B 互不相容; (B) 事件A 与B 相互独立;

(C) 事件A 与B 相互对立; (D) 事件A 与B 互不独立.

2. 随机事件 A , B 相互独立 P (A ) =11，P (B ) =，则A 和B 中仅有一个发生的概率为( C ) 23

1

(A)5

6; (B)211

3; (C)2; (D)3.

3. 随机事件A , B 互斥，且P (A ) >0, P (B ) >0，则下列式子成立的是 ( D )

(A) P (A |B ) =P (A ) ; (B) P (B |A ) >0;

(C) P (AB ) =P (A ) P (B ) ; (D) P (B |A ) =0.

4. P (A ) =0.6，P (B ) =0.8，P (B |A ) =0.8，则有( C )

(A) 事件A 与B 互不相容; (B) 事件A 与B 互逆;

(C) 事件A 与B 相互独立; (D) A ⊃B .

5. 设A , B , C 是两两相互独立且三个不可能同时发生的事件，P (A )=P (B )=P (C )=x ，则使得P (A ⋃B ⋃C ) 取得最大值的x 为(

(A) 1

2; (B)1; (C) 11

3; (D)4.

三. 已知40件产品中3件是次品，从中随机抽取2件，求其中至少有一件是次品的概率.

解 设A=“至少有一件是次品”, P (A ) =1-P () =1-C 2

3719

C 2=

40130

四. 设A , B , C 是三事件，且P (A )=P (B )=P (C )= 1

4，P (AB )=P (BC )=0, P (AC )=1

8，求

(1) A , B , C 至少有一个发生的概率；

(2) A, B , C 都不发生的概率.

解 (1)

2 A )

P (A ⋃B ⋃C ) =P (A ) +P (B ) +P (C ) -P (AB ) -P (AC ) -P (BC ) +P (ABC ) =

(2) P () =P (A ⋃B ⋃C ) =1-5 853= 88

五. 某人忘记了电话号码的最后一位数字，因而他随意地拨号，求他拨号不超过3次而接通所需电话的概率？

解 设A =“不超过3次接通”, A i =“第i 次接通”，则i =1,2,3, A =A 1⋃1A 2⋃12A 3

P (A ) =P (A 1) +P (1A 2) +P (12A 3) =1919813+⨯+⨯⨯= [1**********]

六. 两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.03，第二台出现废品的概率为0.02，加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台多一倍.

(1) 求任意取出一个零件是合格品的概率；

(2) 如取出一个零件是废品，求它是第二台机床加工的概率.

解 设A =“零件是第一台机床生产”, B=“零件是合格品” (1)P (B ) =P (B |A ) P (A ) +P (B |) P () =(1-0.03) ⨯

(2)P (|) =21+(1-0.02) ⨯=0.973 33P () P (|) P () ==0.25； P () 1-P (B )

七. 已知甲袋中装有8只黑球，乙袋中装有8只白球，4只黑球，从乙中任取一球放入甲中，然后从甲中任取一球放入乙中，称为一次交换，求经过8次交换后甲袋中有8只白球的概率.

解 设A =“甲袋中有8只白球”，A i =“第i 次从乙中取一白球放入甲中，然后从甲中取一黑球放入乙中”

887711(8!)2

八. 从1, 2, 3, 4中任取一个数，记为P (A ) =P (A 1A 2 A 8) =P (A 1) P (A 2|A 1) P (A 8|A 1A 2 A 7) =(⨯)(⨯) (⨯) =129129129(12⨯9) 8

X ，再从1, „, X 中任取一个数，记为Y , 则Y 为2的概率是多少.

3

解

P (Y =2) =P (X =2) P (Y =2|X =2) +P (X =3) P (Y =2|X =3)

13+P (X =4) P (Y =2|X =4) =48

九. 设A , B , C 相互独立，证明：

(1) A 与B ⋃C 相互独立；

(2) A与B -C 相互独立.

证明：(1)

P [A (B ⋃C )]=P (AB ) +P (AC ) -P (ABC )

=P (A ) P (B ) +P (A ) P (C ) -P (A ) P (BC )

=P (A )[P (B ) +P (C ) -P (BC )]

=P (A ) P (B ⋃C )

(2)P [A (B -C )]=P (A (B -BC )) =P (AB ) -P (ABC ) =P (A ) P (B ) -P (A ) P (BC ) =P (A ) P (B -C )

4