一元二次方程答案

2011年全国各地中考数学试卷试题分类汇编—— 一元二次方程

2

x -x 1x 2+x 2=1-a ，ax -(3a +1) x +2(a +1) =0有两个不相等的实根x 1、x 2，x １（2011湖北荆州，9，3分）关于的方程且有1

则a 的值是

A ．1 B ．－1 C ．1或－1 D ． 2 【答案】B

２ （2011福建福州，7，4分）一元二次方程

x (x -2) =0根的情况是（ ）

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A

３（2011山东滨州，3，3分）某商品原售价289元, 经过连续两次降价后售价为256元, 设平均每次降价的百分率为x, 则下面所列方程中正确的是( ) A.

289(1-x )=256

2

B.

256(1-x )=289

2

C. 289(1-2x)=256 D.256(1-2x)=289 【答案】A

2

x +(m -2) x +m +1=0有两个相等的实数根，则m 的值是（ ）

４（2011山东威海，9，3分）关于x 的一元二次方程

A ．0

B ．8

C

．4±

D ．0或8

【答案】D

５（2011四川南充市，6，3分） 方程(x+1)(x－2)=x+1的解是（ ）

（A ）2 （B ）3 （C ）－1，2 （D ）－1，3 【答案】D

６（2011台湾台北，20）若一元二次方程式

ax (x ＋1) ＋(x ＋1)(x ＋2) ＋bx (x ＋2) ＝2的两根为0、2，则

a ＋4b

之值为何？

A ．2 B ．5 C ．7 D ． 8 【答案】B

７（2011台湾台北，31）如图(十三) ，将长方形ABCD 分割成1个灰色长方形与148个面积相等的小正方形。根据图，若灰色长方形之长与宽的比为5：3，则

AD ：AB ＝？

A ．5：3 B ．7：5 C ．23：14 D ．47：29 【答案】D

８（2011江西，6，3分）已知x=1是方程x2+bx-2=0的一个根，则方程的另一个根是（ ） A.1 B.2 C.-2 D.-1 【答案】C

13. （2011甘肃兰州，1，4分）下列方程中是关于x 的一元二次方程的是【答案】C

x 2+

A ．

1=0x 2

B ．ax

2

+bx +c =0 C ．(x -1)(x +2) =1

D ．

3x 2-2xy -5y 2=0

９（2011山东济宁，5，3分）已知关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0有一个根是－a(a≠0)，则a －b 的值为 A ．－１ B ．0 C ．1 D ．2 【答案】A

１０（2011山东潍坊，7，3分）关于x 的方程x A . k 为任何实数，方程都没有实数根

B . k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根 C . k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根

D. 根据 k 的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种 【答案】B

2mx +nx +k =0(m ≠0) 有两个实数根，则下列关于判别式 的判断正x １１（2011四川成都，6,3分）已知关于的一元二次方程

2

+2kx +k -1=0的根的情况描述正确的是（ ）

确的是（ ） (A)

(C)

n 2-4mk 0 (D) n 2-4mk ≥0

【答案】C

１２．（ 2011重庆江津， 9，4分）已知关于x 的一元二次方程(a－1)x2－2x+1=0有两个不相等的实数根, 则a 的取值范围是( ) A.a2 C.a

１３. （2011江苏南通，7，3分）已知3是关于x 的方程x2－5x ＋c ＝0的一个根，则这个方程的另一个根是 －2

B. 2

C. 5

D. 6

【答案】B

１４（2011四川绵阳12，3）若x1,x2 （x1 ＜x2) 是方程(x -a)(x-b) = 1(a

１５ （2011四川凉山州，6，4分）某品牌服装原价173元，连续两次降价

x 后售价价为127元，下面所列方程中正确的是（ ）

A ．C ．

173(1+x )=127173(1-x )=127

2

2

B ． D ．

173(1-2x )=127

127(1+x )=173

2

【答案】C

１６. （2011湖北黄石，9，3分）设一元二次方程（x-1）（x-2）=m(m>0)的两实根分别为α，β，则α，β满足 A. 12 【答案】D 二、填空题

22x -x -a +5=0的一个根，则a 的值为

______１. （2011山东滨州，14，4分）若x=2是关于x 的方程

222x x x +x x +x -1=01212２（2011山东德州14,4分）若，是方程的两个根，则=__________．

【答案】3

３（2011甘肃兰州，19，4分）关于x

2

a (x +m ) +b =0的解是

的方程

x1=－2，x2=1（a ，m ，b 均为常数，a ≠0），则方程

a (x +m +2) 2+b =0的解是 。

【答案】x1=－4，x2=－1

４. （2011广东株洲，13，3分）孔明同学在解一元二次方程x2-3x+c=0时，正确解得x1=1，x2=2，则c 的值为 ． 【答案】2

５. （2011江苏苏州，15,3分）已知a 、b 是一元二次方程x2－2x －1=0的两个实数根，则代数式（a －b ）（a ＋b －2）＋ab 的值等于________. 【答案】-1

６．（2011江苏宿迁,16,3分）如图，邻边不等的矩形花圃ABCD ，它的一边AD 利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m ．若矩形的面积为4m2，则AB 的长度是 m （可利用的围墙长度超过6m ）．

【答案】1

11

+2

x -6x -5=0a b 的值是____________． ７. （2011四川宜宾,12,3分）已知一元二次方程的两根为a 、b ，则

6-

【答案】5

８. （2011四川宜宾,15,3分）某城市居民最低生活保障在2009年是240元，经过连续两年的增加，到2011年提高到345. 6元，则该城市两年来最低生活保障的平均年增长率是_______________． 【答案】20%

2x +mx -6=0的一个根为2, 则m=_____,另一根是_______. ９. (20011江苏镇江,12,2分) 已知关于x 的方程

答案：1，-3 三、解答题

1. （2011安徽芜湖，20，8分）

如

（

x 2+17）cm ，正六边形的边长为（x 2+2x ）cm (其中x >0) . 求这两段铁丝的总长

.

【答案】

解: 由已知得，正五边形周长为5（x

2

+17）cm ，正六边形周长为6（x 2+2x ）cm. …2分

2

5x 因为正五边形和正六边形的周长相等，所以（

整理得x

2

+17）=6（x 2+2x ）. ………………3分

2

+12x -85=0, 配方得（x +6）=121，解得x 1=5，x 2=-17(舍去). ………6分

（5故正五边形的周长为5⨯

2

+17）=210(cm). …………………………………………7分

又因为两段铁丝等长，所以这两段铁丝的总长为420cm.

答：这两段铁丝的总长为420cm. ……………………………………………8分

2. （2011山东日照，20，8分）为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2011年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2012年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．

(1)求每年市政府投资的增长率；

(2)若这两年内的建设成本不变，求到2012年底共建设了多少万平方米廉租房． 【答案】（1）设每年市政府投资的增长率为x ， 根据题意，得：2+2（1+x）+2（1+x）2=9.5，

-3±9+4⨯1. 75

2整理，得：x2+3x-1.75=0， 解之，得：x=，

∴x1=0.5 x2=-0.35（舍去），答：每年市政府投资的增长率为50%；

2

=38

（2）到2012年底共建廉租房面积=9.5÷8（万平方米）．

3. （2011四川南充市，18，8分）关于的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2。 （1）求k 的取值范围；

（2）如果x1+x2－x1x2＜－1且k 为整数，求k 的值。 【答案】解：∵（1）方程有实数根 ∴⊿=22-4（k+1）≥0 解得 k ≤0

K 的取值范围是k ≤0

（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=-2, x1x2=k+1 x1+x2-x1x2=-2,+ k+1

由已知，得 -2,+ k+1＜-1 解得 k ＞-2 又由（1）k ≤0 ∴ -2＜k ≤0

∵ k 为整数 ∴k 的值为-1和0.

4. （2011浙江衢州，21,8分）某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利于每盆的株数构成一定的关系. 每盆植入3株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆没增加1株，平均单株盈利就减少0.5元. 要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？ 解：设每盆花苗增加x 株，则每盆花苗有得

(x +3)株，平均单株盈利为(3-0.5x )元，由题意，

(x +3)(3-0.5x )=10.

2

化简，整理，的x -3x +2=0.

解这个方程，得

x 1=1, x 2=2.

答：要使得每盆的盈利达到10元，每盆应该植入4株或5株.

5. （2011浙江义乌，19，6分）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元. 为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施. 经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件．设每件商品降价x 元. 据此规律，请回答： （1）商场日销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含x 的代数式表示）；

（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？ 【答案】（1） 2x 50－x

（2）由题意得：（50－x ）（30＋2x ）=2100 化简得：x2－35x+300=0

解得：x1=15， x2=20

∵该商场为了尽快减少库存，则x=15不合题意，舍去. ∴x=20 答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元.

6. （2011江苏苏州，22,6分）已知|a-1|+

a

+2=0，求方程x

+bx=1的解.

【答案】解：由|a-1|+

+2=0，得a=1，b=-2.

1由方程x

-2x=1得2x2+x-1=0

1

解之，得x1=-1，x2=2

.

1

经检验，x1=-1，x 2=2

是原方程的解.

７. （2011四川广安，27，9分）广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售。 （1）求平均每次下调的百分率。

（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？ 【答案】解：（1）设平均每次下调的百分率x ，则 6000（1－x ）2=4860

解得：x1=0.1 x2=1.9（舍去） ∴平均每次下调的百分率10%

（2）方案①可优惠：4860×100×（1－0.98）=9720元 方案②可优惠：100×80=8000元 ∴方案①更优惠

22

x x -3x 1-3x 2-2=0. x +2(a -1) x +a -7a -4=0的两根为x 1、x 2，

８．（2011四川乐山23，10分）已知关于x 的方程且满足12

(1+

求

4a +2

) ⋅a 2-4a 的值。

【答案】

22

x +2(a -1) x +a -7a -4=0有两根x 1, x 2 x 解：∵关于的方程

⎧x 1+x 2=2-2a

⎪⎪2

⎨x 1⋅x 2=a -7a -4⎪2⎪∆=4(a -1)-4a 2-7a -4≥0⎩∴

()

即：a ≥-1

∵

x 1x 2-3x 1-3x 2-2=0

x 1⋅x 2-3(x 1+x 2)-2=0

2a -7a -4-3(2-2a )=0 ∴

解得∵a ∴a

a 1=-3, a 2=4

≥-1 =4

4⎫4+246⎛4a +21+=⋅=2 ⎪⋅(1+2) ⋅

34a -4a ，得：⎝16-4⎭4把a =4代入

９. （2011山东东营，22，10分）(本题满分10分) 随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多的进入普通家庭，成为居民消费新的增长点。据某市交通部门统计，2008年底全市汽车拥有量为15万辆，而截止到2010年底，全市的汽车拥有量已达21.6万辆。

求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率；

（2）为了保护环境，缓解汽车拥堵状况，从2011年起，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2012年底全市汽车拥有量不超过23.196万辆；另据估计，该市从2011年起每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%。假定在这种情况下每年新增汽车数量相同，请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆。

【答案】解：（1）设该市汽车拥有量的年平均增长率为x ，根据题意，得

15（1+x ) 2=21.6 解得x 1=0.2=20%,x 2=-2.2（不合题意，舍去）

（2）设全市每年新增汽车数量为y 万辆，则2011年底全市的汽车拥有量为（21.6×90%+y）万辆，2012年底全市的汽车拥有量为（（21.6×90%+y）×90%+y）万辆。

根据题意得：（21.6×90%+y）×90%+y≤23.196 解得y ≤3

答:该市每年新增汽车数量最多不能超过3万辆。

1０. （2010湖北孝感，22，10分）已知关于x 的方程x2－2（k －1）x+k2=0有两个实数根x1，x2. （1）求k 的取值范围；（4分） （2）若

x 1+x 2=x 1x 2-1

，求k 的值. （6分）

22

[-2(k -1)]-4k ≥0，解得 ≥0【答案】解：（1）依题意，得即

k ≤

1

2.

2

x +x =2(k -1), x x =k 1212（2）解法一：依题意，得.

以下分两种情况讨论： ①当解得

x 1+x 2≥0时，则有x 1+x 2=x 1x 2-1，即2(k -1) =k 2-1 k 1=k 2=1

1

2

k ≤

∵

∴

k 1=k 2=1不合题意，舍去

2

2(k -1) =-k -1)(x +x =-x x -1x +x

解得

k 1=1, k 2=-3

1

2，∴k =-3.

k ≤

∵

综合①、②可知k=﹣3. 解法二：依题意可知

x 1+x 2=2(k -1) .

k ≤

由（1）可知

12

∴

2(k -1)

2

-2(k -1) =k -1 ∴

解得

k 1=1, k 2=-3

1

2，∴k =-3.

k ≤

∵

1１. （2011湖北宜昌，22，10分）随着经济的发展，尹进所在的公司每年都在元月一次性的提高员工当年的月工资. 尹进2008 年的月工资为2000 元，在2010 年时他的月工资增加到2420 元，他2011年的月工资按2008 到2010 年的月工资的平均增长率继续增长. (1)尹进2o11年的月工资为多少?

(2)尹进看了甲、乙两种工具书的单价，认为用自己2011年6 月份的月工资刚好购买若干本甲种工具书和一些乙种工具书，当他拿着选定的这些工具书去付书款时，发现自己计算书款时把这两种工具书的单价弄对换了，故实际付款比2o11年6月份的月工资少了242 元，于是他用这242 元又购买了甲、乙两种工具书各一本，并把购买的这两种工具书全部捐献给西部山区的学校. 请问，尹进总共捐献了多少本工具书?

【答案】解:（1）设尹进2008到2010年的月工资的平均增长率为x, 则,2000（1＋x ）2＝2420． (1分) 解 得 ，x1＝－2.1, x2＝0.1, (2分 )x1＝－2.1与题意不合，舍去. ∴尹进2011年的月工资为2420×(1＋0.1)=2662元. (3分)

（2）设甲工具书单价为m 元，第一次选购y 本. 设乙工具书单价为n 元，第一次选购z 本. 则由题意， 可列方程: m ＋n ＝242， ① (4分) ny ＋mz ＝2662， ② (6分)

my ＋nz ＝2662－242． ③ (7分)(②, ③任意列对一个给2分; ②, ③全对也只给3分) 由②＋③，整理得，（m ＋n ）（y ＋z ）＝2×2662－242， (8分) 由①, ∴242（y ＋z ）＝2×2662－242，∴ y＋z ＝22－1＝21．(9分)

答：尹进捐出的这两种工具书总共有23本.(10分) (只要得出23本，即评1分) 12．（2010 四川南充）关于x 的一元二次方程x （1）求k 的取值范围．

（2）请选择一个k 的负整数值，并求出方程的根． 【答案】解：（1）方程有两个不相等的实数根，∴ 即

2

-3x -k =0有两个不相等的实数根．

(-3) 2-4(-k ) ＞0．

4k >-9，解得，k >-

9

． 4

……（4分）

（2）若k 是负整数，k 只能为－1或－2． ……（5分） 如果k ＝－1，原方程为

x 2-3x +1=0．

解得，x 1

=

x 2=

2

……（8分）

（如果k ＝－2，原方程为x

-3x +2=0，解得，x 1=1，x 2=2．）

=5，若关于x 的方程x 2+(b +2)x +6-b =0有两个相

13．（2010 重庆江津）在等腰△ABC 中，三边分别为a 、b 、c ，其中a 等的实数根，求△ABC 的周长．

【答案】解：根据题意得：△=

(b +2)

2

-4(6-b )

=b 2+8b -20=0

解得：b

=2 或b =-10（不合题意，舍去）

∴b =2………………………………………………………………………………４分

（1）当c =b =2时，b +c =4

（2）当c =a =5时， a +b +c =12……………………６分

14. (2010年浙江省绍兴市) 某公司投资新建了一商场, 共有商铺30间. 据预测, 当每间的年租金定为10万元时, 可全部租出. 每间的年

租金每增加5 000元, 少租出商铺1间. 该公司要为租出的商铺每间每年 交各种费用1万元, 未租出的商铺每间每年交各种费用5 000元. （1）当每间商铺的年租金定为13万元时, 能租出多少间？

（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时, 该公司的年收益（收益＝租金－各种费用）为275万元？ 解：（1）∵ 30 000÷5 000＝6, ∴ 能租出24间. （2）设每间商铺的年租金增加x 万元, 则 （30－

x x x

）×（10＋x ）－（30－）×1－×0.5＝275， 0. 50. 50. 5

2 x 2－11x ＋5＝0， ∴ x ＝5或0.5， ∴ 每间商铺的年租金定为10.5万元或15万元.

15．（2010年安徽中考）在国家下身的宏观调控下，某市的商品房成交价由今年3月分的14000元/m 下降到5月份的12600元/m

⑴问4、5两月平均每月降价的百分率是多少？（参考数据：

2

2

. 9≈0. 95）

2

⑵如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7月分该市的商品房成交均价是否会跌破10000元/m ？请说明理由。 （1）解：设4、5月份平均每月降价的百分率为x ，根据题意得

14000(1-x ) 2=12600

化简得(1-x ) 解得x 1

2

=0.9

=0.05, x 2≈1.95(不合题意, 舍去)

16 象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分. 如果平局，两个选手各记1分，领司有四个同学统计了中全部选 手的得分总数，分别是1979，1980，1984，1985. 经核实，有一位同学统计无误. 试计算这次比赛共有多少个选手参加.

解 设共有n 个选手参加比赛，每个选手都要与(n －1) 个选手比赛一局，共计n (n －1) 局，但两个选手的对局从每个选手的角度各自

统计了一次，因此实际比赛总局数应为

12

n (n －1) 局. 由于每局共计2分，所以全部选手得分总共为n (n －1) 分. 显然(n －1) 与n 为相邻的自

然数，容易验证，相邻两自然数乘积的末位数字只能是0，2，6，故总分不可能是1979，1984，1985，因此总分只能是1980，于是由n (n －1) ＝1980，得n 2－n －1980＝0，解得n 1＝45，n 2＝－44（舍去）. 答 参加比赛的选手共有45

17. 春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图1对话中收费标准.

某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元. 请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？

解 设该单位这次共有x 名员工去天水湾风景区旅游. 因为1000×25＝25000＜27000，所以员工人数一定超过25人. 则根据题意，得[1000－20(x －25)]x ＝27000.

整理，得x 2－75x +1350＝0，解这个方程，得x 1＝45，x 2＝30. 当x ＝45时，1000－20(x －25) ＝600＜700，故舍去x 1； 当x 2＝30时，1000－20(x －25) ＝900＞700，符合题意. 答：该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游.

18. 将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形. （1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少? （2）两个正方形的面积之和可能等于12cm 2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由. 解（1）设剪成两段后其中一段为x cm ，则另一段为（20－x ）cm.

⎛x ⎫则根据题意，得 ⎪

⎝4⎭

2

⎛20-x ⎫+ ⎪⎝4⎭

2

＝17，解得x 1＝16，x 2＝4，

当x ＝16时，20－x ＝4，当x ＝4时，20－x ＝16， 答 这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm 和16cm.

（2）不能. 理由是：不妨设剪成两段后其中一段为

⎛y ⎫⎛20-y ⎫

y cm ，则另一段为（20－y ）cm. 则由题意得 ⎪+ ⎪

⎝4⎭⎝4⎭

22

＝12，整理，得

y 2－20y +104＝0，移项并配方，得(y －10) 2＝－4＜0，所以此方程无解，即不能剪成两段使得面积和为12cm 2.