一__高中数列知识点总结
一 高中数列知识点总结
1. 等差数列的定义与性质
定义:等差中项:
(为常数),成等差数列
前项和性质:(1)若(2
)数列
等差数列,公差为
;
是等差数列
,则
仍为等差数列,
仍为
(3)若三个成等差数列,可设为
(4)若(5)
是等差数列,且前项和分别为为等差数列
(
,则
为常数,是关于的常数项为0
的二次函数)
的最值可求二次函数
分界项,
的最值;或者求出
中的正、负
即:当,解不等式组可得达到最大值时的值.
当(6)项数为偶数
,由的等差数列
可得,有
达到最小值时的值.
,.
(7)项数为奇数的等差数列
,
有
,
,.
2. 等比数列的定义与性质
定义:(为常数,
),
.
等比中项:
成等比数列
,或
. 前项和:(要注意!)
性质:是等比数列
(1)若,则
(2)仍为等比数列, 公比为
.
注意:由
求
时应注意什么? 时,;
时,
.
二 解题方法
1 求数列通项公式的常用方法 (1)求差(商)法
例1:数列
,
,求
解
时,,∴ ①
时, ②
①—②得:
例2. 已知数列解:当n ≥2时,
,∴
前n 项和为
,∴
s
2
,满足n
s
2
=n +2n -1。求n
s n -1=(n -1)+2(n -1)-1
22
=n -2n +1+2n -2+1 =n
a =s -s
n
n
n -1
=2n -1
当n =1时,
n =1⎧2
; =∴=1+2-1=2a n ⎨a 1
⎩2n -1n ≥2
[练习]1、数列
2、已知数列
满足
前n 项和为
,求
s
n
,满足
s
n
=2n 2-5n ,求
(2)叠乘法
例1,数列
中,
,求
解:
,∴又,∴
.
(3)等差型递推公式
由
,求
,用迭加法
时,∴
两边相加得
[练习]数列中,,求
()
(4)等比型递推公式
(
为常数,
)
可转化为等比数列,设
令列
,∴,∴是首项为为公比的等比数
∴,∴
例1、a n +1=2a n +3 , a 1=2,求{a n }通项公式。 例2、a n +1=3a n +n +1,a 1=1,求{a n }通项公式。 例3、a n +1=2a n +2n +2,a 1=3,求{a n }通项公式。 例4、a n +1=2a n +3n ,a 1=1,求{a n }通项公式。
(5)倒数法
例题、
,求
由已知得:,∴
∴为等差数列,,公差为,∴,
∴
(6)二级递推数列
a n +2=pa n +1+qa n
n
, 等价于
x 2=px +q ,解出方程的两个根x 1, x 2,得出
n
,再根据a 1, a 2的值求出λ1, λ2。 a n =λ1⋅x 1+λ2⋅x 2
例:已知数列满足a n +2=-3a n +1+4a n , a 1=1, a 2=4。求{a n }通项公式。
解:令x =-3x +4,得x 1=1, x 2=-4
∴a n =λ1⋅1n +λ2⋅(-4),代入a 1, a 2得:λ1=
n
2
83, λ2= 520
∴a n =
83n
+(-4)。 520
对于特殊的p +q =1型,还可以用第二种方法:
a n +2-a n +1=-4(a n +1-a n ),∴{a n +1-a n }是以首项为3,公比为-4的等比数列。
即a n +1-a n =3⋅(-4)
n -1
,再根据叠加法求出{a n }。
(7)含有平方项
例 已知数列满足 a n +1=a n ,a 1=3,求{a n }通项公式。
2
解 两边同取对数得:log 3a n +1=2log 3a n
∴{log 3a n }是以1为首项,2为公比的等比数列。 练习:已知a n +1=a n +2a n , a 1=2,求{a n }通项公式。
2
2 求数列前n 项和的常用方法 (1) 裂项法
把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项.
如:是公差为的等差数列,求
解:由
∴
[练习]求和:
(2)错位相减法
若可由
如:
为等差数列,,求
为等比数列,求数列
的公比.
①—②
①
(差比数列)前项和,
,其中为
②
时,,时,
(3)倒序相加法
把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加.
相加
[练习]已知,则
三 方法总结及题型大全
数列求和的常用方法
一、直接(或转化)由等差、等比数列的求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.
等差数列求和公式:
2、等比数列求和公式:
4、
例1(07高考山东文18)设知
,且
的等差数列.
求数列
的前项和
.
是公比大于1的等比数列,构成等差数列.
为数列
的前项和.已
(1)求数列(2)令
练习:设Sn =1+2+3+…+n,n ∈N *, 求
二、错位相减法
例2(07高考天津理21)在数列其中
.
的通项公式; 的前项和
;
是等差数列,
中,
的最大值.
,
(Ⅰ)求数列(Ⅱ)求数列
例3(07高考全国Ⅱ文21
)设
,
,
是各项都为正数的等比数列,且
(Ⅰ)求,的通项公式;
(Ⅱ)求数列三、倒序相加法
的前n 项和.
例4(07豫南五市二联理22. )设函数的图象上有两点P1(x1, y1)、P2(x2, y2),
若, 且点P 的横坐标为.
(I )求证:P 点的纵坐标为定值,并求出这个定值;
(II )若
四、裂项求和法
(1)
(2)
(3)(4)a n =
1
=n +1-n
n +1+n
(5)a n =ln 1+
⎛⎝1⎫
⎪=ln (n +1)-ln n n ⎭
例5 求数列
例6(06高考湖北卷理17
)已知二次函数
,数列
上。 (Ⅰ)求数列
的通项公式;
的前n 项和为
,点
的前n 项和.
的图像经过坐标原点,其导函数为
均在函数
的图像
(Ⅱ)设最小正整数m ;
,是数列的前n 项和,求使得对所有都成立的
五、分组求和法
例7、数列{a n }的前n 项和
,数列{b n }满
.
(Ⅰ)证明数列{a n }为等比数列;(Ⅱ)求数列{b n }的前n 项和T n 例8、求 例9 求 类型1
之和.
(
)
①f (n ) =d , 则{a n }为等差数列,a n =a 1+(n -1) d 。
②f (n ) =kn +b 例 a n +1=a n +2n -1,a 1=2,求{a n }表达式。
a n +1-a n =2n -1
解 : a n -a n -1=2(n -1)-1
a n -1-a n -2=2(n -2)-1
a 3-a 2=2⨯2-1a 2-a 1=2⨯1-1
∴a n -a 1=1+3+5+ +(2n -3) =
(n -1)[1+(2n -3)]=(n -1)2
2
∴a n =(n -1)+2
2
练习:已知a n -a n -1=
1
n +1,a 1=1,求{a n }通项公式。 2
例:已知数列满足,,求。
解:由条件知:分别令
,代入上式得
个等式累加之,即
所以
,
类型2
解法:把原递推公式转化为,利用累乘法(逐商相乘法) 求解。
例:已知数列满足,,求。
解:由条件知之,即
,分别令
,代入上式得个等式累乘
又,
例:已知,
,求。
。
类型3
(其中p ,q 均为常数,
)。
例:已知数列解:设递推公式
故递推公式为
中,,
可以转化为
, 令
,求.
即
.
, 且
,则
. 所以, 所以
类型4
常数) 。
是以
.
为首项,2为公比的等比数列,则
(其中p ,q 均为常数)。(, 其中p ,q, r 均为
解法:一般地,要先在原递推公式两边同除以,得:
引入辅助数列
(其中),得:再待定系数法解决。
例:已知数列中,, ,求。
解:在两边乘以得:
令,则, 解之得:所以
类型5 递推公式为
(其中p ,q 均为常数)。
其中s ,t
满足
解法一(待定系数法)
:先把原递推公式转化为
解法二(特征根法) :对于由递推公式方程时,数列
,叫做数列的通项为
的特征方程。若
,
给出的数列
是特征方程的两个根,当
决定(即把
,
,其中A ,B
由
和
时,数列
和
,代入
的通项为
,代入
:
,得到关于A 、B 的方程组);当
,其中A ,B
由
决定(即把
,得到关于A 、B 的方程组)。
,
,得
解法一(待定系数——迭加法):
数列
,求数列
的通项公式。由
,且。
则数列是以为首项,为公比的等比数列,于是
。
把代入,得,,
,
。把以上各式相加,得
。
。
解法二(特征根法):数列的特征方程是:
:。
,
, 。又由,于是
故
例:已知数列中,
与
, ,
)
,求。
类型6 递推公式为的关系式。(或
解法:这种类型一般利用
消去
进行求解。
或与
与
消去
例:已知数列式
.
前n 项和. (1)求与的关系;(2)求通项公
类型
7 例:设数列解:设
:
,求,将
.
代入递推式,得
„(1)则代入(1)得
2. 在等差数列
中, 有关
的最值问题——常用邻项变号法求解:
, 又
,故
(1)当>0,d
(2)当0时,满足的项数m 使得取最小值。
在解含绝对值的数列最值问题时, 注意转化思想的应用。
3. 数列求和的常用方法:公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。 注意事项
1
.证明数列
是等差或等比数列常用定义,即通过证明
或
而得。
2.在解决等差数列或等比数列的相关问题时,“基本量法”是常用的方法,但有时灵活地运用性质,可使运算简便,而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。
3.注
意
与之间关系的转化。如
:
=
,
=.
【问题1】等差、等比数列的项与和特征问题
例1. 数列
的前项和记为
的各项为正,其前项和为
的前项和为
,且对任意正整数,的前项和为
, 对数列,且
(Ⅰ)求,又
的通项公式;(Ⅱ)
成等比
等差数列数列,求
例2. 设数列。(1)求数列
,从第几项起
?
的通项公式?(2)设数列
例 4。已知数列数
列
中,
是其前项和,并且
,求证:数
列
,⑴设
是等比数列;⑵设数列
,求证:数列
和。
解:
是等差数列;⑶求数列的通项公式及前项