浅谈三角函数值域(最值)的几种求法
三角函数值域（最值）的几种求法
有关三角函数的值域（最值）的问题是各级各类考试考察的热点之一，这类问题的解决涉及到化归、转换、类比等重要的数学思想，采取的数学方法包括易元变换、问题转换、等价化归等常用方法。掌握这类问题的解法，不仅能加强知识的纵横联系，巩固基础知识和基本技能，还能提高数学思维能力和运算能力。
一、 合理转化，利用有界性求值域
例1、求下列函数的值域：
（1）y =1+sin x cos x （2）y =
cos x -3
cos x +3
（3）y =sin 2x +2sin x cos x +3cos 2x （4）y =3sin(x +解析：（1）根据sin x cos x ≤
π
) +4cos(x +)
44
π
1113
sin 2x ≤可知：≤y ≤ 2222
13(1+y )
，由cos x ≤1可得：-2≤y ≤-
21-y
2
（2）将原函数的解析式化为：cos x =
(3)
原函数解析式可化为：y =1+sin 2x +2cos x =2+sin 2x +cos 2x =2+x +
π
4
) 可得：
2y ≤2
（4
）根据a sin x +b cos x x +φ) ∈⎡可得：-5≤y ≤5
⎣二、单调性开路，定义回归
例2、求下列函数的值域： （1
）y =
（2
）y （3
）y =cos x x x ∈⎢
⎛⎝⎡π2π⎤⎫
, ⎥⎪ （4
）y =
⎣63⎦⎭
1解析：（1）由-1≤sin x ≤知：
0≤≤
2（2）由-
π
2
≤-1≤sin x ≤1≤
π
2
, 有cos1≤cos （sin x ）≤1≤≤1
ππ2πππ5π
（3）y=2sin(x +) 由≤x ≤≤x +≤由正弦函数的单调性：1≤y ≤2
663366(4)y ==[0,2]
三、 抓住结构特征，巧用均值不等式
9x 2sin 2x +4
例3、若0
x sin x
解析：由00, 根据均值不等式：
4 f (x ) =9x sin x +≥=12
x sin x 44
当9x sin x =即x 2sin 2x =时，f (x ) min =12
x sin x 9
sin β
已知=cos(α+β), 其中α、β为锐角，求tan β的最大值 例4、sin α
解析：由sin β=sin [(α+β) -α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=sin αcos(α+β) 即sin(α+β)cos α=2sin αcos(α+β), 有tan(α+β) =2tan α于是：tan β=tan [
(α+β) -α]=
tan(α+β) -tan αtan α
==2
1+tan αtan(α+β) 1+2tan α
1+2tan αtan α
≤4
当
11=2tan α即
tan 2α=时，有（tan β）=max
tan α24
四、易元变换，整体思想求解
例5、求函数y =sin x +cos x +sin x cos x 的值域
π1π1⎡π⎤解法一：
y =x +) +sin 2x =x +) -⎢1-2sin 2(x +) ⎥
4242⎣4⎦
ππ1
=sin 2(x +) +x +) -
442
⎡π=⎢sin(x +) +-1
42⎣⎦
2
π1
当
sin(x +) =1时，y max =42
2
t ,sin x cos x =-1解法二：设sin x +cos x =t ，则t =x +) ∈⎡4⎣2
t 2-11
∴y =t +=(t +1) 2-1，t ∈⎡
⎣22
1
故当t =, 有y max =2
π
解法三、构造对偶式转化为某一变量的二次函数在闭区间内求最大值设sin x =m +n ,cos x =m -n , 则sin x +cos x =2m ,sin x cos x =m 2-n 2⎡1
由sin 2x +cos 2=1，得m 2+n 2=, m ∈⎢-222⎣⎦
⎡1
∴y =sin x +cos x +sin x cos x =2m +m 2-n 2=2m 2+2m -, m ∈⎢-222⎣⎦故当m =
1
y max =2
五、方程架桥，问题转化
例6：求函数y =
2+sin x
解析：将问题转化为求一元二次方程在闭区间上有解的充要条件： 原函数解析式转化为：sin 2x +(4-y )sin x +3-2y =0 令t =sin x , 则t ≤1
(1+sin x )(3+sin x )的最大值、最小值。
∴t 2+t +3-2y =0在[-11，上有解, 故有：]
∆=(4-y ) 2-（43-2y ）≥04-y
-1≤-≤1
2f (-1) ≥0f (1)≥0
解得：0≤y ≤
8
3
或f (-1) f (1)≤0
六、运用模型、数形结合
2-sin x
的值域。
2-cos x
解析：函数的值域可看作求过点P(2,2)的单位圆切线的斜率k 的最大、最小值例8：求函数y =
设切线PA 的方程为：y-2=k(x-2)即：kx-y-2k+2=0 设原点到切线的距离d, 则d=1 即：=1即3k 2-8k +3=0解得：
⎡44+⎢33⎣⎦