应用统计论文

西安理工大学

研究生课程论文/研究报告

课程名称： 应用统计

课程代号： 任课教师：论文/研究报告题目：

陶瓷材料的切口强度的概率分布及其Weibull 分布的统计性质

完成日期： 2013 年 11 月 25 日

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摘 要

陶瓷材料作为材料业的三大支柱之一，在日常生活及工业生产中起着举足轻重的作用。陶瓷又可分为结构陶瓷和功能陶瓷，结构陶瓷具有耐高温、耐磨损、耐腐蚀以及质量轻、导热性能好等优点; 功能陶瓷在力学、电学、热学、磁光学和其它方面具有一些特殊的功能，使陶瓷在各个方面得到了广泛应用。但陶瓷存在脆性(裂纹) 、均匀性差、韧性和强度较差等缺陷，因而使其应用受到了一定的限制。

氧化铝陶瓷是一种以氧化铝（AL 2O 3）为主体的材料，用于厚膜集成电路。氧

化铝陶瓷有较好的传导性、机械强度和耐高温性。需要注意的是需用超声波进行洗涤。氧化铝陶瓷是一种用途广泛的陶瓷。因为其优越的性能，在现代社会的应用已经越来越广泛，满足于日用和特殊性能的需要。

关键词：陶瓷, 弯曲强度, 切口强度, 统计特征参量, 概率分布，Weibull 分布，

最小二乘法

第一章 绪论

金属材料是最重要的工程材料，而在金属材料中，90%为钢铁，钢铁是应用最多的工程金属材料，钢铁基复合材料的发展为现代钢铁工业注入了新的活力，研制开发性能优良、价格低廉的铁基复合材料备受瞩目。上世纪九十年代是铁基复合材料飞跃发展并走向实用化的关键时期，特别是铸造法及原位反应技术的迅速发展，使钢铁基复合材料走向工业化成为可能。低密度、高刚度和高强度的增强体颗粒加入到钢铁基体中，在降低材料密度的同时，提高了它的弹性模量、硬度、耐磨性和高温性能，在刀具行业、耐磨零件等工业领域应用十分广泛。在钢铁基复合材料中，基于复合材料高强度、高比刚度、耐磨性和高温性能等方面的考虑，主要采用的高强度、高硬度、高熔点、高模量、低密度及耐磨性能优越的陶瓷颗粒为增强体[1]。

钢铁基复合材料有各种分类方式，按照材料使用用途分为结构复合材料和功能复合材料；按基体分为Mg 、Al 、Ti 、Cu 、Pb 、Ni 、Fe 基、金属间化合物基等复合材料；按增强体类型可分为连续纤维增强MMCs 、非连续增强MMCs 。连续纤维增强MMCs 是将低密度、高强度、高模量的各种纤维增强体与金属基体结合起来，通过优化设计纤维的排布方向、含量、方式等来获得高性能复合材料。由于连续纤维价格昂贵，加工温度高，制备难度大，且性能不稳定，阻碍了其实际应用发展。非连续增强MMCs 的增强体包括短纤维、晶须及颗粒，其中，颗粒增强金属基复合材料MMCp （(Particles Reinforced Metal Matrix Composite）因具有以下一些优势而逐渐受到关注：可采用传统金属加工设备完成制造，制备工艺相对简单，生产成本低廉；可设计性灵活，可以根据不同的使用性能要求来选择基体以及不同的颗粒作为增强体；所得的复合材料性能各向同性；当高强度、高熔点、低密度、细小的陶瓷颗粒弥散分布于金属基体中，在保证材料具有较好的韧性和高温性能的同时，可较大幅度地提高复合材料的强度、硬度和耐磨性能。可见，颗粒增强金属基复合材料在耐磨材料领域将会有很大的发展应用潜力。

第二章 陶瓷材料切口强度的概率分布

本文对Al 2O 3陶瓷的强度实验结果进行了进一步分析, 分析结果表明 陶瓷

的弯曲切口强度和弯曲断裂强度的实验结果同时服从正态分布、对数正态分布和两参数Weibull 分布。进而根据脆性材料切口强度表达式和概率论一般原理, 求得了切口强度和弯曲强度统计特征参量间的相互关系表达式, 并进行了验证。

强度是材料力学性能的一个基本指标, 也是构件设计中的一个重要参数。陶瓷等脆性材料, 由于缺乏塑性变形能力, 存在随机分布的内部或表面缺陷, 其强度具有很大的分散性[2,3]，因而, 在陶瓷等脆性材料力学性能评价及构件设计中, 不仅要研究材料的平均强度, 还要考虑其统计分布规律[4]。

关于脆性陶瓷的强度已经进行了许多研究，由于对脆而硬的陶瓷材料来说, 光滑的弯曲梁试样相对容易获得, 因而文献中通常采用这种试样来进行陶瓷材料的断裂强度试验, 并且断裂强度通常指弯曲强度, 普遍认为陶瓷断裂强度服从价分布, 但文献表明, 陶瓷材料弯曲强度也服从正态分布, 除此之外, 其他形式的概率分布函数也被用来描述脆性材料断裂强度的统计规律, 然而, 上述研究仅局限于光滑试样的断裂强度, 有关陶瓷材料切口强度及其概率分布的研究则较少。

由于连接和结构设计的需要, 一般构件总存在结构不连续处, 并可视为广义的“ 切口”切口的存在将引起应力集中, 因此研究并预测切口强度及其概率分布, 对于陶瓷构件的强度评价和可靠性评估是必不可少的, 但是除文献根据实验结果分析了陶瓷切口强度的统计特征外, 尚未见有公开文献讨论陶瓷材料切口强度的概率分布及其预测方法。

本文对陶瓷材料的断裂强度和切口强度的实验结果进行了进一步分析, 以确定其概率分布规律和相应的特征参量值, 进而根据脆性材料切口强度表达式和概率论一般原理获得了切口强度和弯曲强度概率分布特征参量间的相互关系。

2.1 陶瓷切口强度的概率分布

文献给出了陶瓷三点弯曲条件下切口强度的实验结果, 其统计分析结果表明, 陶瓷材料切口强度和弯曲强度均服从正态分布, 如图所示。

对上述实验数据的进一步分析表明, Al 2O 3Weibull 陶瓷弯曲强度和切口强度

也服从对数正态分布和服从Weibull 分布, 如图2,3所示, 其中失效概率用式所示的平均秩表示：

其中n 为实验数据的个数, i为该强度值按强度递增顺序排列后的序号。

从2可以看出， 陶瓷材料切口强度的对数lg σ

性的关系, 回归分析给出的lg σbN 和标准正态偏量u p 之间是线bN 和u p 之间的线性相关系数r, 除Kt=3.2，r=0.9时, 外, 均>0.975，远超过样本数为10、置信度为99%条件下, 通过相关检验所要求的起码值0.765，这表明陶瓷切口强度也服从对数正态分布, 表,1列出了氧化铝陶瓷切口强度对数正态分布的特征参量结果。

图3 中上述实验数据的Weibull 分布回归分析结果表明：lg σbN 和lnln （1-p ）之间的线性相关系数为0.9 ,但也大于起码值0.765。上述结果表明, 陶瓷切口强度也服从Weibull 分布, 其相应的特征参数列于表2：

应指出的是, 图2 、3 中Kt= 1.0 时的强度为光滑试样的弯曲断裂强度, 因此, 从本文的上述分析和文献的结果可以看出:不仅陶瓷切口强度, 而且光滑试样的弯曲断裂强度都服从正态分布、对数正态分布和Weibull 分布。

2.2 关于脆性陶瓷弯曲强度的概率分布

普遍认为脆性陶瓷的断裂强度服从Weibull 分布文献和本文则根据子样数较小(12 个左右) 条件下,A12O3 陶瓷的切口强度实验结果的统计分析发现, 陶瓷的弯曲强度也符合正态分布和对数正态分布。实际上, 如图7 所示, 当子样数达127 时 , 陶瓷材料弯曲强度的实验结果也同时服从正态分布、对数正态分布和Weibull 分布。

上述现象的原因,

首先在于这三种统计分布函数都具有良好的数据拟合能

力。

其次，现代数理统计学的逻辑基础是Popper 的证伪逻辑阵，所谓的“ 原假设通过检验” 只意味着在一定的误差范围和可信度条件下, 不能排斥原假设成立, 因此, 还允许接受其他不同的几种假设。目前, 还不能严格证明脆性材料的断裂强度服从哪一种统计分布最好, 只能根据拟合效果和应用条件选择合适的统计分布函数。本文的结果表明, 对数正态分布可相对较好地拟合陶瓷材料的弯曲强度实验结果。

2.3 关于脆性陶瓷切口强度的概率分布

从本文的分析可知, 切口的存在并没有使切口强度的概率分布函数不同于弯曲强度的概率分布函数, 既然弯曲强度可同时服从正态分布、对数正态分布和、Weibull 分布, 那么也就不能排除切口强度同样服从上述三种分布。

与弯曲强度的概率分布函数相比, 切口的存在只是改变了其中的特征参量值。所幸的是，切口强度概率分布函数的特征参量可以通过Kt 与弯曲强度相应的参量联系起来上述结果为根据光滑试样常规的弯曲强度实验结果预测切口强度的概率分布及其特征参量提供了可能, 这对于陶瓷构件的强度评价和结构设计具有重要意义。

从图中的线性相关系数可以看出:在文献所述的实验条件下, 对数正态分布可相对较好地拟合切口强度的实验数据。

2.4 结论

1. 对A12O 3陶瓷切口强度的实验数据的进一步分析表明, 在同一实验条件下, 陶瓷切口强度服从弯曲强度相同的概率分布, 切口强度和弯曲强度都同时服从正态分布、对数正态分布和Weibull 分布, 对数正态分布可对实验数据给出较好的拟合效果。

2. 切口强度和弯曲强度概率分布特征参量间存在如下的相互关系：

对于正态分布：

对于对数正态分布：

对于Weibull 分布:

3. 切口强度的概率分布密度函数可由弯曲强度的概率分布密度函数和应力集中系数Kt 共同确定。上述结果可用于陶瓷构件安全的可靠性评估, 并可推广到其他的脆性材料构件。

第三章 陶瓷材料Weibull 分布的统计性质

Weibull 分布参数的点估计是陶瓷材料断裂强度统计分析研究中的一项重要内容, 通常采用最小二乘法或极大似然法进行。尽管不同的点估计方法中所包含的数学处理过程各不相同, 但都属于一个根据有限容量样本估计无限容量总体分布参数问题。根据统计学原理, 用点估计方法估计总体参数时, 即使得到的是一个无偏、有效的估计量, 由于样本尤其是容量较小的样本，本身存在有一定的随机性, 由一个样本算得的点估计值也并不一定恰好就是总体分布参数的真值；而由不同样本获得的估计值之间也肯定会存在一些偏差。也就是说, 点估计值本身具有统计性质。

在过去的几十年中, 陶瓷材料Weibull 分布参数点估计值的统计性质已经得到了大量的研究, 这些研究包括点估计值的无偏性检验、强度样本容量对点估计结果的影响以及不同点估计方法所得结果间的对比等。在这些研究中, 关于点估计值的分布问题一直没能得到很好解决。曾经假定Weibull 模数点估计值近似服从正态分布, 并以此为基础对Weibull 分布参数最小二乘估计值的无偏性和有效性进行了研究。此后, 这一假定又陆续被一些学者用于各自的研究中。然而, 这些工作都没有就这一假定的合理性进行验证。相反, Khalili 等人则发现, 用正态分布描述Weibull 模数点估计值的分布是不准确的。考虑到Weibull 分布参数估计精度将直接对评价材料性能, 尤其是预测材料断裂寿命的可靠性产生影响, 本文将借助于Monte Carlo 数值模拟试验, 对陶瓷材料Weibull 模数最小二乘估计值的统计分布性质作出定量的描述。

3.1 Weibull模数的最小二乘估计

描述陶瓷材料断裂强度统计分布特征的Weibull 函数一般形式为：

式中, p为试样断裂强度不高于σ的概率σ0和m 分别称为Weibull 分布的尺度参

数和形状参数；其中m 通常又称为Weibull 模数。可以将上式改写为：

可以看出，lnln 1/（1-p ）击与ln σ 之间呈线性关系。这就是最小二乘法估计Weibull 模数的基础。进行最小二乘估计的具体步骤是:采用常规的测试技术测定一批共N 个试样的断裂强度, 将测试结果按由小到大顺序排列成一个序列:σ1

:

便得到N 个(Pi,σi) 数对；采用最小二乘法对这N 个(Pi,σi) 数对进行线性回归分析便方便地得到材料Weibull 分布参数m 和σ0 的最小二乘估计值m*和σ*。

3.2 数值模拟试验方法

服从任何一种统计分布的样本都可以根据其累积分布函数通过抽样的方法而获得。本研究根据这一原理, 采用计算机模拟技术生成了服从两参数Weibull 分布的陶瓷强度“ 测试值” 样本, 并对其进行了统计学分析。具体步骤如下：

(1) 采用计算机的标准随机数程序生成N 个(O ,l) 均匀随机数σi (1= 1 ,2 , „ ,N )；

( 2) 设定m 和σ0值后, 将各个αi 值作为P 值代入计算得到一组N 个随机数。i

( 1=1,2, „ ,N ), 从而得到一个容量为N 、且服从具有指定参数阴m, σi 的 两参数Weibull 分布的强度“ 测试值” 样本；

(3) 采用最小二乘法对样本的分布参数进行估计得到m 的估计值m*；

(4) 在保持m 和σ0固定的前提下, 将步骤(1 ) 一( 3 )重复n 次便得到一个容量

为n 的m*值样本, 计算了该样本的平均值及均方差；

式中,n 为所考虑的强度“ 测试值” 样本的数量。

(5 ) 分别改变强度“ 测试值” 样本容量N 以及Weibull 为布参数真值m ,σ0后, 重复步骤(l ) 一( 4 ),以分析N ,m 以及σ0对m* 统计性质的影响。顾唯明

曾经对由计算机模拟生成的服从Weibull 分布的随机数样本进行过分检验, 证实了这一方法的可靠性。

由计算机模拟生成强度“ 测试值” 样本, 与由实验直接获得样本相比较, 至少有两方面的优点。首先, 模拟样本分布参数的真值m 和σ0下文中将分别记为m tr 和σtr 以示区别) 均为已知, 这对于定量的统计分析无疑是极为有利的。其次, 模拟样本的生成快速、简便、可靠, 不仅实验成本显著降低, 而且由于避免了实际强度测试过程中可能存在的各种误差(如试样之间存在的尺子、表面机加工质量等方面的微小差异等) 对最终估计结果的影响问题, 实验精度将大大提高。

事实上, 在以往其他学者对Weibull 模数估计精度问题的研究中, 类似的计算机模拟技术已经得到了较为广泛的应用。

3.3 结论

(1) 随着强度测试值样本容量N 的增大, Weibull模数估计值样本的平均值越来越接近真值; 同时, 估计值样本标准差和最大值减小, 最小值增大, 说明强度测试值样本容量的增大有效地提高了点估计的精度。

(2) 在强度测试值样本容量较小的条件下, Weibull模数估计值不服从正态分布。

(3) 在强度测试值样本容量处于10-100 这一较宽范围内, Weibull模数估计值近似服从对数正态分布。

参考文献

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