论有效应力原理与有效应力_杜修力
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第XX 卷 第XX 期 岩 土 工 程 学 报 Vol.XX No.XX 年XX 月 Chinese Journal of Geotechnical Engineering XXX.
论有效应力原理与有效应力
杜修力,张 佩,许成顺,路德春
(北京工业大学城市与工程安全减灾教育部重点实验室,北京 100124)
摘 要:有效应力原理是土力学区别于一般固体力学的基础,是土力学的核心基石。Terzaghi 有效应力原理从提出至今就一直饱受争议,特别是有关Terzaghi 有效应力的近似性问题是争议的焦点。本文从有效应力原理的任务出发,阐明有效应力原理的内涵是土体可量测荷载效应—外荷载间的一般规律。指出有效应力的作用是联接土体强度、变形等可量测荷载效应与外荷载间的纽带,定义对土体强度特性和变形行为等可量测荷载效应产生直接影响的土体应力为有效Terzaghi 有效应力原理近似性的原因。提出了强度相关有效应力和变形相关有效应力(Terzaghi强度准则,推导了土体抗剪强度与Terzaghi 关键词
中图分类号:TU43 文献标识码:A 文章编号:作者简介:杜修力(1962- ) E-mail: [email protected]
Abstract : The principle of mechanics, which becomes the fundamental difference
approximation of Terzaghi stress principle. Then, the physical meaning of effective stress related to strength and deformation are given respectively, presenting the general law of effective stress-strength or effective stress-deformation. Based on Mohr-Coulomb strength theory, the relationship between effective stress related to strength and shear strength is established. Key words : principle of effective stress; effective stress; effective stress related to strength; effective stress related to deformation; Terzaghi effective stress
0 引 言
Terzaghi(1923)[1]基于工程实践经验提出了饱和土有效应力原理,并在第一届国际土力学和基础工程大会上[2]对有效应力原理做了清晰的阐述:
“The stress in any point of a section through a mass of soil can be computed from the total principal stresses , σ1, σ2, σ3, which act in this point. If the voids of the soil are filled with water under a stress u ,
the total principal stresses consist of two parts. One part, u , acts in the water and in the solid in every direction with equal intensity. It is called the neutral stress (or the pore water pressure). The
───────
基金项目:国家自然科学基金创新研究群体项目 (51421005);长江学者和创新团队发展计划项目(IRT13044);国家自然科学基金面上项目(51578026)
收稿日期:2016–06–27
XXXX 岩 土 工 程 学 报 年
'=σ1-u , σ2'=σ2-u , and σ3'=σ3-u balance σ1
represents an excess over the neutral stress u , and it has its seat exclusively in the solid phase of the soil.”
“The fraction of the total principal stresses will be called the effective principal stresses……A change in the neutral stress u produces practically no volume change and has practically no influence on the stress conditions for failure…Porous materials (such as sand, clay, and concrete) react to a change of u as if they were incompressible and as if their internal friction were equal to zero. All the measurable effects of a change of stress,
resistance are ', σ2' stresses σ1
of the stability of Terzaghi 在《Terzaghi 自从Terzaghi 一直受到争议[4-27]者从有效应力物理含义的不同理解出发,得到了大量不同的有效应力计算表达式σ'=σ-ηp ,式中σ为总应力,p 为孔压,η为修正系数,见表1所示。而大多数土力学研究者毫不怀疑Terzaghi 有效应力计算公式的正确性,认为提出质疑者是不了解由松散颗粒集合体组成的土体介质与其它固体介质性质上的差异性。但另一方面,在推导Terzaghi 有效应力计算公式时,土力学与岩土工程学者们仍然绕不开假定条件的引入,使得Terzaghi 有效应力计算公式事实上成为了近似,从而使问题的争论变得更加复杂。近期,也有一些土力学研究者从试验的角度发现饱和土体的强度会受到高孔隙水压力或反压的影响[27-34],这实际上又从另一个角度质疑了Terzaghi 有效应力原理的准确
性。鉴于有效应力原理在土力学中特殊的重要地位,笔者认为有必要厘清这一问题,从而使土力学的基石变得更为稳固,也可以籍此揭示和解释一些新问题。
表1 参数η的取值 Table 1 Value of parameterη
η 研究者
Terzaghi(1923,1936)[1-2], Skempton(1960)[4],
Oka(1996)[5], Li(2007, 2011)[6-7], Shao(2011)[8], Lu et al(2013)[9], Hoffman(1928)[10], 1
1 有效应力及有效应力原理
为厘清这一问题,笔者认为还是应该回到Terzaghi 对有效应力原理的原始阐述上来。首先必须搞清楚的问题是Terzaghi 提出有效应力原理的目的是什么?实际上,这一问题在他本人对有效应力原理的作用叙述上已做了十分清晰的表述,那就是有效应力是荷载作用下影响土体可量测荷载效应的独立变量。也就是说,有效应力是联接土体强度、变形等可量测荷载效应与外荷载间的纽带或“桥梁”。
对于理想的单相连续固体介质,固体介质中的本征应力(真实应力),也即是名义应力或总应力,固体介质的强度、变形与外荷载间的关系较为直观,用固体介质中的应力表述即可。对于多孔固体介质,特别
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是充满气-液混合体的多孔固体介质,由于介质中存在固相、气相、液相等多相介质应力,且存在复杂的各相介质间的相互作用,各相介质中的本征应力一般并不等于其名义应力,总应力也不简单是各相名义或本征应力之和。特别是对于多孔固体介质是非连续的颗粒集合体情况,由于颗粒体接触界面的存在,问题就变得更为复杂,其单位截面面积上的接触应力与颗粒介质中的应力也不相同。对于这种充满气-液混合体的颗粒集合型多孔固体介质,由于多种应力和颗粒间接触应力以及相互间耦合关系的存在,固体骨架的强度、变形与外荷载间的关系到底应该通过什么样的应力来建立就变得复杂多了。
Terzaghi 有效应力原理的提出正是考虑到了这一复杂性,注意到土体强度、变形不能简单用土体总应力来表述,也即是土体的强度、变形和外荷载间的关系应该是用与土体强度、变形直接关联的应力来表述,为此,他提出了有效应力的计算表达式。认为定义的有效应力就是与土体强度、变形均直接关联的。遗憾的是,Terzaghi 忽视了土体的强度和变形等荷载效应粒间为“点”接触的特殊情况除外),Santamarina [35]指出“the impact external forces, particle-level forces on soil behavior 。因
决于作用在其剪切破坏面上的法向力,复杂受力情况下,它还受到中主应力[36-38]和静水压力[39-41]的影响,前者体现了应力诱导各向异性特征并与剪切破坏面的定义关联,后者反映了材料特性的差异并可由法向应力表述,这两种应力实际上都不是独立的。因此,问题实质就归结为如何确定剪切破坏曲面和相应的法向应力了,这与外荷载的作用方式和大小直接关联。如何确定剪切破坏面的问题实际上也是一个非常复杂的问题,目前一般有理论假定和经验判断两种方法,本文将不讨论这一问题。当然,材料的强度还与材料黏聚、摩擦特性等物性参数以及温度、湿度等环境条件引起的材料物理化学特性相关,这些也不是本文要讨论的内容。对于无流体压力作用的干燥性土体,虽然
它们是散体材料的集合体,但本质上仍然是固体材料,因此,它们的强度特性应该服从于一般固体材料的强度理论,也即它们的破坏形式本质上仍为剪切破坏。对于有流体压力存在的气-液混合土体,由于流体不能承受剪力,所以,土体的剪切强度仍然就只与作用在土体剪切破坏面上的法向应力相关,按照破坏路径的最小能量耗散原理,外荷载下形成的剪切破坏曲面通常将选择土颗粒间的接触曲面,也就是说这个曲面上的土颗粒间的法向接触力的合力就是与土体强度关联的自变量了。这就意味着,土体剪切破坏面上土颗粒间的法向接触力是建立土体剪切强度与外荷载间的那座“桥梁”,
对土骨架产生类似于一种附加外荷载的影响,导致对土体变形产生影响,这实际上也是一种对土体变形产生的间接效应。第三种是流体压力作用在可压缩土颗粒上产生的变形。第一种间接效应影响部分比较直观较易分离,但第二种间接效应影响部分比较复杂,它涉及到固体骨架与流体压力间的相互作用,这也是研究者和工程技术人员一直没有很好理解这一问题的原因。由于土颗粒的变形相对于土骨架的变形小得多,因此土力学中常将土颗粒视为不可压缩,从而忽略了第三种变形,为简单起见,本文后面的讨论中采纳了这一观点。由上面的叙述还可见,无孔隙流体压力存在时,土骨架本身承担的那部分外荷载直接决定了土体的变形,而由于流体压力存在分担的部分外荷载和改变土颗粒接触力产生的附加外荷载作用效应是土体变形的间接影响因素,也就是说当能够将对土体变形产生直接影响的应力从土体所承担的总外荷载中分离出来时,它就是建立土体变形与外荷载间的那座“桥梁”。对土体变形间接产生影响的那两种因素则可依据混合体平衡和流体连续性条件来确定。因此,对于有孔隙流体压力存在的土体变形与外荷载的关系仍然应
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该是由无流体压力存在时土骨架承担的外荷载来表述的。本文后面的推导可以看到,无流体压力存在时土体截面单位面积内土骨架承担的外荷载等于孔隙流体压力存在时的土体截面单位面积所承担的总外荷载与同面积孔隙流体压力之差。这与Terzaghi 有效应力计算公式给出的值完全相同,它与土体截面单位面积内土颗粒间的法向接触力的区别在于后者考虑了孔隙流体压力的影响,当假定土颗粒间为“点”接触时,这种影响理论上就不存在了。有关Terzaghi 有效应力计算公式值的含义在邵龙潭[8]、路德春等[9]的文章中也有讨论,结论与本文分析完全一致。本文这里明确指出Terzaghi
有效应力计算公式定义的有效应力是仅与土体变形关联的。
如上所述,无论是土颗粒间的法向接触力或是土骨架上承担的外荷载都是真实存在的力,由于相应的应力表述都是采用的土体的单位面积截面,因此,它们事实上都是名义应力,而非本征应力,有关这一问题的争议应该是可以明晰了。
对于Terzaghi 有效应力计算公式的近似性问题,笔者的理解是:(1)按照Terzaghi 数土力学工作者坚持Terzaghi 因所在。(2)一个近似的结果。
持续至今的争论。其根源在于有效应力原理忽视了土体的强度、“桥梁”应该是不同的,他简单地用一个有效应力来表述多个关系,而这多个关系的内涵和表达式都是不同的。
基于上述分析,本文总结:
(1) 影响土体强度特性的应力是土体剪切破坏面上土颗粒间的法向接触应力,影响土体变形行为的土体应力是与土骨架承担的外荷载对应的应力。这两种应力物理概念上是完全不同的,一般情况下,它们也是不相等的。从建立土体强度-外荷载、变形-外荷载间关系的目的而言,它们的作用效果是同样的,因此,都应称为有效应力。本文定义对土体强度特性和变形行为等可量测荷载效应产生直接影响的土体应力为有效应力。由于影响土体强度特性和变形行为等可量测荷载效应的土体应力是不同的,因此,有效应力不是
唯一的。
(2) 有效应力原理是指,土体可量测荷载效应(如:强度、变形等) –外荷载间的一般规律。由于这种一般规律是通过有效应力作为自变量来确定的,因此,它被称之为有效应力原理。值得指出的是,有效应力原理只是建立土体可量测荷载效应-外荷载间的一般规律,而不是建立具体的关系,具体关系的建立还得考虑材料的物性参数和受荷、温度、湿度等环境条件引起的材料物理化学特性变化以及混合体平衡、连续和各相间的相互作用等。
综上,有效应力不是唯一的,它们是土体中真实
(a) 接触方式为点接触
∑A
ci
∑A
ci
(b) 接触方式为面接触
图1 孔隙流体作用下接触面上应力分析
Fig.1 Contact force analysis with applied pore fluid pressure
土体是由土骨架、孔隙水及孔隙气组成的松散集合体,孔隙水和孔隙气形成混合流体(下面均简称为流体)并充填于土骨架的孔隙中。在外荷载作用时,土体骨架与流体共同承担外荷载,并且存在相互作用。流体对土骨架的作用体现为作用在土骨架上的孔压,它不仅影响了土颗粒中的介质应力,而且一般情况下会通过影响颗粒间的接触力改变其接触状态。孔隙流
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体作用对土颗粒接触力的影响,因土颗粒接触方式的不同而产生差异。
图1为在孔隙流体作用下,土体中的颗粒在不同接触方式时的简化分析模型。当土颗粒间的接触方式为点接触时,如图1.(a ) 所示,流体压力p 均匀地作用在土骨架中每个土颗粒的外表面。对于整个土骨架和每个土颗粒,流体压力都是一组自相平衡的应力。此时,流体压力的存在不影响土颗粒间的接触力,土单
P vi 也就是土体元的任一截面中土颗粒间的接触力
骨架承担的外荷载F sk ,
同形成的。
∑
a x
a
土颗粒 气液混合体
体系平衡,图2 土体示意图
Fig. 2 Schematic diagram of saturated soils
∑P
vi
=F sk +式中,如图2积,A m 积之和在a-a ∑P vi 和。
– a 义表述形式。
如图2过土颗粒及气液混合流体。截面a – a面积为A ,其中土颗粒的截面积为A s ,流体的截面积为A m ,即A =A s +A m 。截面x –x (剪切破坏面)为截面a -a 上的土颗粒与上层颗粒或下层颗粒的接触点或接触面构成的曲面。
土体孔隙中的流体压力为p ,为各向等值应力。截面a – a 上的荷载包括两部分:
(1)流体承担的荷载A m p ; (2)土颗粒承担的荷载
如图3所示,第i 个土颗粒承担的荷载为P svi ,它是由截面x –x 中接触点或接触面处的接触荷载在法向的分量P vi 和作用在土颗粒表面的流体压力p 共
P
svi 2
—在截面a–a上,由流体引起的作用在土颗
粒中的荷载;
将式(3)两边同时除以A ,得 σ=
A m
-1)
A A
=σI '+p +αc (n -1) p (4)
vi
P
+p +p αc (
∑P
svi
。
由式(4)和强度相关有效应力的定义可知,∑P vi A 就是强度相关有效应力σI '。式(4)中,
'(1-n ) ,a c '为n =m A ,为土体的孔隙率;αc =a c
土力学教材中定义的颗粒接触面积系数。将式(4)进行变化,可得到如下形式:
σI '=σ-p +αc (1-n ) p (5)
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式(5)即为与强度相关的有效应力的计算表达式。它不仅与外荷载相关,而且与土体的孔隙率和颗粒接触面积比相关。当土颗粒间的接触方式假定为点接触时,由式(5)可知,它就是Terzaghi 给出的有效应力表达式。
强度相关的有效应力σI '是由土骨架承担的外荷载和流体压力共同决定的,体现出外荷载和流固耦合作用对土体的综合影响。用强度相关的有效应力σI '替代连续介质力学中的应力,就可以采用与单相连续介质力学理论相同的方式,建立适用于流体饱和土强度的关系,其一般关系可以表示为
也即是要在土体承担的总外荷载中扣除流体直接和间接承担的外荷载部分。土体的变形包含土骨架的变形和土颗粒的变形两部分。忽略流体压强作用引起的土颗粒本身的体积变化,仅考虑土骨架的变形,下面将介绍变形相关有效应力与土体变形的关系,在此前先讨论它的计算方法。由式(3)和(2)得:
σA =∑P svi +A m p
=∑P svi 1+∑P svi 2+A m p
=∑P vi +(A -A m )(1-
τ=f (σ')
(6)
式(6)若采用摩尔-有:
∑A
ci
p +A m p
式中,τf 指标。将式(5) τf =c '+将式(8)τf =c '+(σ令tan β'=α为:
τf =c '从式(8)-(10)αc (1-n ) tan ϕ'但当(σ-p ) tan ϕ体剪切强度的影响也是难以忽视的。
图4 土体中的任一微元体 Fig. 4 A tiny body of soil
4 变形相关有效应力及其计算表达式
',其物理含义为单位面变形相关的有效应力σII
积截面土体中土颗粒骨架直接承担的那部分外荷载,
∂σx ∂τxy ∂τxz
++=0 , (14) ∂x ∂y ∂x
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∂τxy ∂x
+
∂σy ∂y ∂τyz
+
∂τyz ∂z
=0 , (15)
'=2G (εz +σIIz
μ
εv ) 1-2μ, (31)
, (32) , (33)
∂τxz ∂σ
++z =0 , (16) ∂x ∂y ∂z
对于饱和流体土体,包括土骨架系统和孔隙水,
土体骨架能同时承担剪应力和正应力,孔隙水只能承担各向同性的正应力,不承受剪应力,根据与变形相关有效应力计算表达式,可得
τxy =G γxy =τyx
τyz =G γyz =τzy
τzx =G γzx =τxz 。 (34)
式中εv =εx +εy +εz ,G 为剪切变形模量,μ为土体的泊松比。
将式(23) - (28)代入式(29) - (34)后,再代入式(20) - (22)
'+p , (17) σx =σIIx
'+p , (18) σy =σIIy
'+p , (19) σz =σIIz
将(17) - (19)分别带入式(14) - (16),则土体的平衡
方程可转化为:
εv ∂p +G ∇2u -=0 (35) ∂x ∂p 2v -=0 (36) ∂y εv ∂p ) +G ∇2w -=0 (37) -μ∂z ∂z
∂2∂2∂2
为拉普拉斯算子,∇=2+2+2;
∂x ∂y ∂z
2
'∂τxy ∂τxz ∂p ∂σIIx
++=∂x ∂y ∂z ∂x , '∂τxy ∂σIIy ∂τ∂p ++yz =∂x ∂y ∂z ∂y ∂τxz ∂σ'∂++IIz =∂x ∂y ∂z ∂为:
∂τyz
v
y (24)
w z = (25)
∂z ∂v
γxy =, (26)
∂y ∂x ∂v ∂w γyz =+, (27)
∂z ∂y ∂u ∂w γxz =+, (28)
∂z ∂x
式中,u 、v 、w 为x 、y 、z 方向土体位移。
x ∂εv k x ∂p k y ∂p k z ∂p
+++=0 (38) 222∂t γw ∂x γw ∂y γw ∂z
式中,k x 、k y 、k z 为x 、y 、z 方向的渗透系数,γw 为水的重度,t 为时间。
由式(35) – (37)再结合具体的初-边值条件即可获得土体的变形。
考察土体变形求解推导的整个过程,可以看到式(13)定义的有效应力是连接土体变形和外荷载的唯一桥梁。除初-边值和外荷载条件外,土体变形不仅与土体骨架的变形模量参数相关,而且与流体连续方程中的各物理参数相关,也即反映了孔隙流体与土体骨架的相互作用。换句话讲,土体骨架变形除取决于初-边值、外荷载条件和本身的变形特性外,孔隙流体压力与土体骨架的相互作用也是土体骨架变形的一个影响因素。通常情况下,土颗粒的体积变形相对于土体整体变形是非常小的,可以忽略不计,所以可认为土颗粒是不可压缩的,土体的变形完全是由孔隙的改变引起的。当要考虑土颗粒本身的变形时,问题将变得复杂化。
线性情况下可假设土体骨架变形服从胡克定律,则土体应力应变关系为
'=2G (εx +σIIx
μ
εv ) , (29) 1-2μ
μ
'=2G (εy +σIIy εv ) , (30)
1-2μ
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5 结论
本文分析了有关Terzaghi 有效应力原理争议的原因,从有效应力的作用和有效应力原理的任务出发开展了相关讨论,明晰了有效应力定义和有效应力原理的内涵。进一步,基于流固耦合作用分析,分析了孔隙流体压力对土颗粒接触力的影响机理,主要结论如下:
(1) 分析了Terzaghi 有效应力近似性的原因,指出建立土体不同的可量测效应(如:强度、变形等) -外荷载的关系时应采用不同的有效应力。
(2) 明确了有效应力定义,指出有效应力不是唯一的。阐述了有效应力原理是指,用有效应力的方式来表述土体可量测效应(如:强度、变形等)-外荷载间的一般规律。
(3) 基于土体剪切破坏曲面对应的平截面上的法向应力和摩尔-库伦强度准则推导出流体饱和土强度准则为τf =c '+(σ-p ) tan ϕ'+p tan β'。
(4) 从土体变形求解过程出发,阐述了土体中任一平截面单位面积土骨架所承担的外荷载(变形相关
'=σ-p ) 与变形的一般关系。 有效应力σII
(5) '为点接触时,σI '=σII
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