圆锥曲线大题专题训练
圆锥曲线大题专题训练
1.如图,曲线G 的方程为y 2=2x (y ≥0) .以原点为圆心.以t (t >0) 为半径的圆分别 与曲线G 和y 轴的正半轴相交于点A 与点B .直线AB 与x 轴相交于点C . (Ⅰ)求点A 的横坐标a 与点C 的横坐标 c 的关系式
(Ⅱ)设曲线G 上点D 的横坐标为a +2, 求证:直线CD 的斜率为定值.
1. 解:
(Ⅰ)由题意知,A (a .
22
因为O A =t ,所以a +2a =t .由于t >
0,故有t =
=2x
(1) y t =1.
a c
0) 的坐标知,直线BC 的方程为由点B (0,t ) ,C (c ,
x c
+
又因点A 在直线BC
上,故有
a c
+
t
=1,将(1
)代入上式,得+=1,
解得c =a +2+
(Ⅱ)因为D (a +2,所以直线CD 的斜率为
a +2-c
k C D =
===-1.
所以直线CD 的斜率为定值.
2.设F 是抛物线G :x =4y 的焦点.
-4) 作抛物线G 的切线,求切线方程; (I )过点P (0,
2
(II )设A ,B 为抛物线G 上异于原点的两点,且满足FA FB =0,延长A F ,BF 分别交
抛物线G 于点C ,D ,求四边形ABCD 面积的最小值.
2
⎛x 0⎫x x
2. 解:(I )设切点Q x 0⎪.由y '=,知抛物线在Q 点处的切线斜率为0,故所求切
4⎭22⎝
线方程为y -
x 04
2
=
x 02
(x -x 0) . 即y =
x 02
x -
x 44
2
-4) 在切线上.
. 因为点P (0,
所以-4=-
x 04
2
,x 0=16,x 0=±4.所求切线方程为y =±2x -4.
2
(II )设A (x 1,y 1) ,C (x 2,y 2) .
由题意知,直线AC 的斜率k 存在,由对称性,不妨设k >0.
1) ,所以直线AC 的方程为y =kx +1. 因直线AC 过焦点F (0,
点A ,C 的坐标满足方程组⎨
⎧y =kx +1,⎩x =4y ,
2
得x -4kx -4=0,
2
⎧x 1+x 2=4k ,
由根与系数的关系知⎨
x x =-4. ⎩12
AC =
=
1k
=4(1+k ) .
1k
x +1.
2
因为AC ⊥BD ,所以BD 的斜率为-
⎛
同理可求得B D =4 1+
⎝
,从而BD 的方程为y =-
22
⎛1⎫⎫4(1+k )
. = -⎪⎪2⎪k k ⎝⎭⎭
S ABC D =
12
AC BD =
8(1+k )
k
2
22
=8(k +2+
2
1k
2
) ≥32.
当k =1时,等号成立.所以,四边形ABCD 面积的最小值为32.
3.如图,有一块半椭圆形钢板,其长半轴长为2r ,短半轴长为r ,计划将此钢板切割成等腰梯形的形状,下底AB 是半椭圆的短轴,上底CD 的端点在椭圆上,记CD =2x ,梯形面积为S .
(I )求面积S 以x 为自变量的函数式,并写出其定义域; (II )求面积S 的最大值.
A 3.解:(I )依题意,以AB 的中点O 为原点建立直角坐标系
O -xy (如图),则点C 的横坐标为x .
点C 的纵坐标y 满足方程
x r
22
+
y
22
4r
=1(y ≥0) ,
解得y =
r )
S =
12
(2x +2r )
=2(x +r ) {x 0
(II )记f (x ) =4(x +r ) 2(r 2-x 2) ,0
r 2
12r .
⎛1⎫
2⎝2⎭
2
=.
2当00;当
r
因此,当x =
12
r 时,S
即梯形面积S
2
.
2
0) ,AB 4.如图,矩形ABCD 的两条对角线相交于点M (2,
1) 在A D 边所边所在直线的方程为x -3y -6=0点T (-1,
在直线上.
(I )求A D 边所在直线的方程; (II )求矩形ABCD 外接圆的方程;
0) ,且与矩形ABCD 外接圆外切,求动圆P 的圆心轨迹方程.(III )若动圆P 过点N (-2,
4. 解:(I )因为AB 边所在直线的方程为x -3y -6=0,且A D 与AB 垂直,所以直线A D
1) 在直线A D 上,所以A D 边所在直线的方程为的斜率为-3.又因为点T (-1,y -1=-3(x +1) .即3x +y +2=0.
(II )由⎨
⎧x -3y -6=0,⎩3x +y +2=0
-2) , 解得点A 的坐标为(0,
0) .所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心.
因为矩形ABCD 两条对角线的交点为M (2,
又AM ==ABCD 外接圆方程为(x -2) +y =8.
22
(III )因为动圆P 过点N ,所以P N 是该圆的半径,又因为动圆P 与圆M 外切,
所以PM =PN +
PM -PN =
故点P 的轨迹是以M ,
N 为焦点,实轴长为
因为实半轴长a =
,半焦距c =
2.所以虚半轴长b =
=
从而动圆P
的圆心的轨迹方程为
x
2
2
-
y
2
2
=1(x ≤.
5.已知函数y =kx 与y =x 2+2(x ≥0) 的图象相交于A (x 1,y 1) ,B (x 2,y 2) ,l 1,l 2分别是y =x 2+2(x ≥0) 的图象在A ,B 两点的切线,M ,N 分别是l 1,l 2与x 轴的交点. (I )求k 的取值范围;
(II )设t 为点M 的横坐标,当x 1
(III )试比较O M 与O N 的大小,并说明理由(O 是坐标原点).
⎧y =kx ,⎩y =x +2
2
5.解:(I )由方程⎨
消y 得x -kx +2=0.
2
①
依题意,该方程有两个正实根,
⎧∆=k 2-8>0,故⎨解得k >
x +x =k >0,
⎩12
(II )由f '(x ) =2x ,求得切线l 1的方程为y =2x 1(x -x 1) +y 1, 由y 1=x 1+2,并令y =0,得t =
2
x 12
-
1x 1
x 1,x 2是方程①的两实根,且x 1
x 2,故x 1=
k -2
=
k >
x 1是关于k 的减函数,所以x
1的取值范围是(0.
t 是关于x
1的增函数,定义域为(0,所以值域为(-∞,0) ,
(III )当x 1
x 12
+
1x 1
.
类似可得O N =
x 22
-
1x 2
.O M -O N =-
x 1+x 2
2
+
x 1+x 2x 1x 2
.
由①可知x 1x 2=2.从而OM -ON =0.
当x 2
0) ,直线l :x =-1,P 为平面上的动点,过点P 作l 的垂线,垂足为点6.如图,已知F (1,
Q ,且Q P Q F =F P F Q .
(Ⅰ)求动点P 的轨迹C 的方程;
(Ⅱ)过点F 的直线交轨迹C 于A ,B 两点,交直线l 于点M
(1)已知M A =λ1AF ,M B =λ2BF ,求λ1+λ2的值;
(2)求M A M B 的最小值.
6. 解:(Ⅰ)设点P (x ,y ) ,则Q (-1,y ) ,由Q P Q F =F P F Q 得: (x +1,0) (2,-y ) =(x -1,y ) (-2,y ) ,化简得C :y =4x .
2
(Ⅱ)(1)设直线AB 的方程为:x =m y +1(m ≠0) .
⎛⎝
2⎫
⎪, m ⎭
设A (x 1,y 1) ,B (x 2,y 2) ,又M -1,-
⎧y 2=4x ,联立方程组⎨,消去x 得:y 2-4m y -4=0,∆=(-4m ) 2+12>0,
⎩x =m y +1,
⎧y 1+y 2=4m ,
⎨
y y =-4.⎩12
由M A =λ1AF ,M B =λ2BF 得: y 1+
2m
=-λ1y 1,y 2+
2m y 1
2m
=-λ2y 2,整理得:
2m y 2
λ1=-1-,λ2=-1-
,
2⎛11⎫24m 2y 1+y 2
∴λ1+λ2=-2-+=-2-=-2-=0. ⎪
m ⎝y 1y 2⎭m -4m y 1y 2
解法二:(Ⅰ)由Q P Q F =F P F Q 得:F Q (P Q +P F ) =0,
∴(P Q -P F ) (P Q +P F ) =0,
2 2
∴PQ -PF =0, ∴PQ =PF .
所以点P 的轨迹C 是抛物线,由题意,轨迹C 的方程为:y =4x .
2
(Ⅱ)(1)由已知M A =λ1AF ,M B =λ2BF ,得λ1 λ2
M A λ1
则:=-
M B λ2
A F .…………① B F
过点A ,B 分别作准线l 的垂线,垂足分别为A 1,B 1,
M A A A 1A F
则有:==.…………②
M B B B 1B F
A F λ1A F
由①②得:-=,即λ1+λ2=0.
λ2B F B F
(Ⅱ)(2
)解:由解法一,M A M B ==(1+m ) y 1y 2-y M (y 1+y 2) +y M
2
2
2
y 1-y M y 2-y M
=(1+m ) -4+
2
2m
⨯4m +
4m
2
4⎫2⎛
=(1+m ) 4+2⎪
m ⎭
⎝
=16. =4(2+m +
2
⎛) ≥42+ 2 m ⎝1
当且仅当m =
2
1m
2
,即m =±1时等号成立,所以M A M B 最小值为16.
7.在平面直角坐标系xO y
,已知圆心在第二象限、半径为C 与直线y =x 相切
x a
22
于坐标原点O .椭圆+
y
2
9
=1与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.
(1)求圆C 的方程;
(2)试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ,使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长,若存在,请求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由. 7. 解:(1)圆C :(x +2) 2
+(y -2) =8;
2
(2)由条件可知a=5,椭圆
x
2
25
+
y
2
9
=1
,∴F (4,0),若存在,则F 在OQ 的中垂线上,
又O 、Q 在圆C 上,所以O 、Q 关于直线CF 对称;
13
直线CF 的方程为y-1=-
(x -1)
, 即x +3y -4=0,设
⎧y
=3⎪⎪x
Q (x,y ),则⎨
⎪x +3y -4=0⎪⎩224⎧
x =⎪⎪5
,解得⎨
⎪y =12⎪5⎩
所以存在,Q 的坐标为(
412
, ) 。 55
8.在平面直角坐标系xO y
中,经过点(0且斜率为k 的直线l 与椭圆个不同的交点P 和Q . (I )求k 的取值范围;
x
2
2
+y =1有两
2
(II )设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A ,B ,是否存在常数k ,使得向量
O P +O Q 与AB 共线?如果存在,求k 值;如果不存在,请说明理由.
8.解:(Ⅰ)由已知条件,直线l
的方程为y =kx +
x
2
代入椭圆方程得
2
+(kx +
⎛12⎫22
=
1.整理得 +k ⎪x ++1=0 ①
⎝2⎭
2
直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于∆=8k -4
2
2
⎛⎝
⎛1
2⎫2
+k ⎪=4k -2>0,
⎝2⎭
解得k
或k >
.即k
的取值范围为 -∞,-
⎫
⎪⎪2⎭⎛⎫
. +∞ ⎪ 2⎪
⎝⎭
(Ⅱ)设P (x 1,y 1) ,Q (x 2,y 2) ,则OP +OQ =(x 1+x 2,y 1+y 2) ,
1+2k
2
由方程①,x 1+x 2=-. ②
又y 1+y 2=k (x 1+x 2) + ③
,B (0,,1) A B =(. 而A
所以O P +O Q 与AB 共线等价于x 1+x 2=y 1+y 2) ,
将②③代入上式,解得k =
2
.
由(Ⅰ)知k
2
或k >
2
,故没有符合题意的常数k .
2
2
2) 且9.在平面直角坐标系xO y 中,已知圆x +y -12x +32=0的圆心为Q ,过点P (0,
斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A ,B . (Ⅰ)求k 的取值范围;
(Ⅱ)是否存在常数k ,使得向量OA +OB 与P Q 共线?如果存在,求k 值;如果不存在,
请说明理由.
0) ,过P (0,2) 且斜率为k 9.解:(Ⅰ)圆的方程可写成(x -6) 2+y 2=4,所以圆心为Q (6,
的直线方程为y =kx +2.代入圆方程得x 2+(kx +2) 2-12x +32=0, 整理得(1+k 2) x 2+4(k -3) x +36=0. ① 直线与圆交于两个不同的点A ,B 等价于
∆=[4(k -3) ]-4⨯36(1+k ) =4(-8k -6k ) >0,
3
⎛3⎫
2
2
2
2
解得-
(Ⅱ)设A (x 1,y 1) ,B (x 2,y 2) ,则OA +OB =(x 1+x 2,y 1+y 2) ,
由方程①,x 1+x 2=-
4(k -3) 1+k
2
② 又y 1+y 2=k (x 1+x 2) +4. ③
2) ,Q (6,0) ,P Q =(6,-2) . 而P (0,
所以OA +OB 与P Q 共线等价于(x 1+x 2) =6(y 1+y 2) ,
将②③代入上式,解得k =-
⎛3⎝4
⎫⎭
34
.
0⎪,故没有符合题意的常数k . 由(Ⅰ)知k ∈ ,
2
10.在平面直角坐标系xO y 中,过定点C (0,p ) 作直线与抛物线x =2py (p >0)相交
于A ,B 两点.
(I )若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点,求△ANB 面积的最小值;
(II )是否存在垂直于y 轴的直线l ,使得l 被以AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存在,求出l 的方程;若不存在,说明理由.
x
-p ) ,可设A (x 1,y 1) ,B (x 2,y 2) ,
10. 解法1:(Ⅰ)依题意,点N 的坐标为N (0,
x 直线AB 的方程为y =k +
⎧x 2=2p ,y
p 与x =2p y 联立得⎨,消去y 得
x .p ⎩y =k +
2
x -2pkx -2p =0.
22
2
由韦达定理得x 1+x 2=2pk ,x 1x 2=-2p . 于是S △A B N =S △B C N +S △A C N
1
=2p x 1-x 2.
2
=p x 1-x 2=
==2p
2
2
∴当k =
0时,(S △ABN ) min =.
(Ⅱ)假设满足条件的直线l 存在,其方程为y =a ,
AC 的中点为O ',l 与AC 为直径的圆相交于点P ,Q ,P Q 的中点为H ,
⎛x 1
y +p ⎫1
⎪.
22⎝⎭
则O 'H ⊥P Q ,Q '点的坐标为
∵O 'P =
12A C =y 1+p 2
2
=
=12
,
O 'H =a -
2a -y 1-p ,
2
∴P H
2
=O 'P -O 'H =
14
(y 1+p ) -
22
14
(2a -y 1-p ⎫⎛
= a -⎪y 1+a (p -a ) ,
2⎭⎝
2
∴P Q
⎡⎛p ⎫⎤2
=(2P H ) =4⎢ a -⎪y 1+a (p -a ) ⎥.
2⎭⎣⎝⎦=0,得a =
令a -
p 2
p 2
,此时PQ =p 为定值,故满足条件的直线l 存在,其方程为y =
p 2
,
即抛物线的通径所在的直线.
解法2:(Ⅰ)前同解法1,再由弦长公式得
AB =
1-x 2=
=
=2
又由点到直线的距离公式得d =
.
从而S △A B N =d ·A B =22
2
11
=2p
2
∴当k =
0时,(S △ABN ) min =.
2
(Ⅱ)假设满足条件的直线l 存在,其方程为y =a ,则以AC 为直径的圆的方程为
(x -0)(x -x 1) -(y -p )(y -y 1) =0,
将直线方程y =a 代入得x -x 1x +(a -p )(a -y 1) =0, 则△=x 1-4(a -p )(a -y 1) =4⎢ a -
⎣⎝
2
2
⎡⎛
p ⎫⎤y +a (p -a ) ⎪1⎥. 2⎭⎦
设直线l 与以AC 为直径的圆的交点为P (x 3,y 3) ,Q (x 4,y 4) ,
=
则有P Q =x 3-x 4=令a -
p 2
=0,得a =
p 2
,此时PQ =p 为定值,故满足条件的直线l 存在,其方程为y =
p 2
,
即抛物线的通径所在的直线.
11.已知双曲线x -y =2的左、右焦点分别为F 1,F 2,过点F 2的动直线与双曲线相交于A ,B 两点.
(I )若动点M 满足F 1M =F 1A +F 1B +F 1O (其中O 为坐标原点),求点M 的轨迹方程;
(II )在x 轴上是否存在定点C ,使C A ·C B 为常数?若存在,求出点C 的坐标;若不存
2
2
在,请说明理由.
11.解:由条件知F 1(-2,0) ,F 2(2,0) ,设A (x 1,y 1) ,B (x 2,y 2) .
解法一:(I )设M (x ,y ) ,则则F 1M =(x +2,y ) ,F 1A =(x 1+2,y 1) , F 1B =(x 2+2,y 2) ,F 1O =(2,0) ,由F 1M =F 1A +F 1B +F 1O 得 ⎧x +2=x 1+x 2+6,⎧x 1+x 2=x -4,
即⎨ ⎨
y =y +y y +y =y ⎩12⎩12
于是AB 的中点坐标为
⎛x -4y ⎫
⎪. 2⎭⎝2
y
当AB 不与x 轴垂直时,
y 1-y 2x 1-x 2
=
x -42
2
=-2
2
y x -8
,即y 1-y 2=
y x -8
(x 1-x 2) .
又因为A ,B 两点在双曲线上,所以x 1-y 1=2,x 2-y 2=2,两式相减得
(x 1-x 2)(x 1+x 2) =(y 1-y 2)(y 1+y 2) ,即(x 1-x 2)(x -4) =(y 1-y 2) y .
22
将y 1-y 2=
y x -8
(x 1-x 2) 代入上式,化简得(x -6) -y =4.
22
0) ,也满足上述方程. 当AB 与x 轴垂直时,x 1=x 2=2,求得M (8,
所以点M 的轨迹方程是(x -6) -y =4.
0) ,使CA CB 为常数. (II )假设在x 轴上存在定点C (m ,
22
当AB 不与x 轴垂直时,设直线AB 的方程是y =k (x -2)(k ≠±1) . 代入x -y =2有(1-k ) x +4k x -(4k +2) =0.
4k
2
2
2
2
2
2
2
2
则x 1,x 2是上述方程的两个实根,所以x 1+x 2=
k -1
,x 1x 2=
4k +2k -1
2
2
,
于是CA CB =(x 1-m )(x 2-m ) +k 2(x 1-2)(x 2-2) =(k +1) x 1x 2-(2k +m )(x 1+x 2) +4k +m
2
2
2
2
=
(k +1)(4k +2)
k -12(1-2m ) k +2
k -1
2
2
2
22
-
4k (2k +m )
k -1
2
22
+4k +m
22
=+m =2(1-2m ) +
2
4-4m k -1
2
+m .
2
因为CA CB 是与k 无关的常数,所以4-4m =0,即m =1,此时CA CB =-1. -当AB 与x 轴垂直时,点A ,
B 的坐标可分别设为(2
,(2,
-此时C A C B =(1 (1,
=-1.
,
0) ,使CA CB 为常数. 故在x 轴上存在定点C (1,
⎧x 1+x 2=x -4,⎩y 1+y 2=y
解法二:(I )同解法一的(I )有⎨
当AB 不与x 轴垂直时,设直线AB 的方程是y =k (x -2)(k ≠±1) . 代入x 2-y 2=2有(1-k 2) x 2+4k 2x -(4k 2+2) =0.
4k
2
2
则x 1,x 2是上述方程的两个实根,所以x 1+x 2=
k -1
.
⎛4k 2⎫4k
y 1+y 2=k (x 1+x 2-4) =k -4⎪=2.
⎝k -1⎭k -1
由①②③得x -4=
4k
2
2
k -1
.…………④ y =
4k k -1
2
.……………⑤
当k ≠0时,y ≠0,由④⑤得,
x -4y
=k ,将其代入⑤有
4⨯y =
x -4y
22
(x -4) y
=-1
4y (x -4) (x -4) -y
2
2
.整理得(x -6) 2-y 2=4.
0) ,满足上述方程. 当k =0时,点M 的坐标为(4,
0) ,也满足上述方程. 当AB 与x 轴垂直时,x 1=x 2=2,求得M (8,
故点M 的轨迹方程是(x -6) -y =4.
0) ,使CA CB 为常数, (II )假设在x 轴上存在定点点C (m ,
4k k
22
22
当AB 不与x 轴垂直时,由(I )有x 1+x 2=以下同解法一的(II ).
-1,x 1x 2=
4k +2k -1
2
2
.
12.已知双曲线x -y =2的右焦点为F ,过点F 的动直线与双曲线相交于A ,B 两点,
0) . 点C 的坐标是(1,
22
(I )证明C A ·C B 为常数;
(II )若动点M 满足CM =CA +CB +CO (其中O 为坐标原点),求点M 的轨迹方程. 0) ,设A (x 1,y 1) ,B (x 2,y 2) . 12.解:由条件知F (2,
-(I )当AB 与x 轴垂直时,可设点A ,
B 的坐标分别为(2
,(2,
,
-此时C A C B =(1 (1,
=-1.
当AB 不与x 轴垂直时,设直线AB 的方程是y =k (x -2)(k ≠±1) . 代入x 2-y 2=2,有(1-k 2) x 2+4k 2x -(4k 2+2) =0.
4k
2
2
则x 1,x 2是上述方程的两个实根,所以x 1+x 2=
k -1
,x 1x 2=
4k +2k -1
2
2
,
于是CA CB =(x 1-1)(x 2-1) +y 1y 2=(x 1-1)(x 2-1) +k 2(x 1-2)(x 2-2)
=(k +1) x 1x 2-(2k +1)(x 1+x 2) +4k +1
2
2
2
=
(k +1)(4k +2)
k -1
2
22
-
4k (2k +1)
k -1
2
22
+4k +1=(-4k -2) +4k +1=-1.
222
综上所述,CA CB 为常数-1.
(II )解法一:设M (x ,y ) ,则C M =(x -1,y ) ,CA =(x 1-1,y 1) ,
0) ,由CM =CA +CB +CO 得: CB =(x 2-1,y 2) ,C O =(-1,⎧x -1=x 1+x 2-3,⎧x 1+x 2=x +2,
即⎨ ⎨
y =y +y y +y =y ⎩12⎩12
于是AB 的中点坐标为
⎛x +2y ⎫
⎪. 22⎭⎝
y
当AB 不与x 轴垂直时,
y 1-y 2x 1-x 2
=
x +22
2
=-2
2
y x -2
,即y 1-y 2=
y x -2
(x 1-x 2) .
又因为A ,B 两点在双曲线上,所以x 1-y 1=2,x 2-y 2=2,两式相减得
(x 1-x 2)(x 1+x 2) =(y 1-y 2)(y 1+y 2) ,即(x 1-x 2)(x +2) =(y 1-y 2) y .
22
将y 1-y 2=
y x -2
(x 1-x 2) 代入上式,化简得x -y =4.
22
0) ,也满足上述方程. 当AB 与x 轴垂直时,x 1=x 2=2,求得M (2,
所以点M 的轨迹方程是x -y =4.
⎧x 1+x 2=x +2,⎩y 1+y 2=y
22
解法二:同解法一得⎨
……………………………………①
当AB 不与x 轴垂直时,由(I ) 有x 1+x 2=
4k
2
2
k -1
.…………………②
⎛4k 2⎫4k
y 1+y 2=k (x 1+x 2-4) =k -4⎪=2.………………………③
k -1k -1⎝⎭
由①②③得x +2=
4k
2
2
k -1
.………④ y =
4k k -1
2
.……………⑤
当k ≠0时,y ≠0,由④⑤得,
x +2y
=k ,将其代入⑤有
4⨯y =
x +2y
22
(x +2) y
=-1
4y (x +2) (x +2) -y
2
2
.整理得x 2-y 2=4.
0) ,满足上述方程. 当k =0时,点M 的坐标为(-2,
0) ,也满足上述方程. 当AB 与x 轴垂直时,x 1=x 2=2,求得M (2,
故点M 的轨迹方程是x -y =4.
,0) 和B (1,0) 的距离分别为d 1和d 2,13.设动点P 到点A (-1
22
∠APB =2θ,且存在常数λ(0
2
y
(1)证明:动点P 的轨迹C 为双曲线,并求出C 的方程;
(2)过点B 作直线交双曲线C 的右支于M ,N 两点,试确定λ的
范围,使OM ON =0,其中点O 为坐标原点.
2
2
2
13.解法一:(1)在△PAB 中,AB =2,即2=d 1+d 2-2d 1d 2cos 2θ,
4=(d 1-d 2) +
4d 1d 2sin θ,即d 1-d 2=
2
2
, =
故点P 的轨迹C 是以A ,
B 为焦点,实轴长2a =
x
2
方程为:
1-λ
-
y
2
λ
=1.
(2)设M (x 1,y 1) ,N (x 2,y 2)
1) ,N (1,-1) 在双曲线上.
①当MN 垂直于x 轴时,MN 的方程为x =1,M (1,
即
11-λ
-
1
λ
=1⇒λ+λ-1=0⇒λ=
2
2
,因为0
1,所以λ=
2
.
②当MN 不垂直于x 轴时,设MN 的方程为y =k (x -1) .
2
⎧x 2y
-=1⎪222
⎤2由⎨1-λ得:⎡λ⎣λ-(1-λ) k ⎦x +2(1-λ) k x -(1-λ)(k +λ) =0,
⎪y =k (x -1) ⎩
2
⎤≠0, λ-(1-λ) k 由题意知:⎡⎣⎦
所以x 1+x 2=
-2k (1-λ)
2
λ-(1-λ) k
2
2
,x 1x 2=
-(1-λ)(k +λ)
2
λ-(1-λ) k
k λ
2
2
2
2
.
于是:y 1y 2=k (x 1-1)(x 2-1) =
λ-(1-λ) k
.
因为OM ON =0,且M ,N 在双曲线右支上,所以
λ(1-λ) ⎧2
⎧x 1x 2+y 1y 2=0λ⎧λ(1-λ) k =2⎪>⎪⎪⎪2λ+λ-1
⇒⎨⇒⎨λ+λ-11-λ⇒⎨x 1+x 2>0
⎪x x >0⎪k 2>λ⎪λ2+λ-1>0
⎩⎩12
⎪1-λ⎩
2
23
12
23
.
λ
2
14.已知正三角形OAB 的三个顶点都在抛物线y =2x 上,其中O 为坐标原点,设圆C 是
△OAB 的内接圆(点C 为圆心)
(I )求圆C 的方程;
(II )设圆M 的方程为(x -4-7cos θ) +(y -7sin θ) =1,过圆M 上任意一点P 分别作
圆C 的两条切线PE ,PF ,切点为E ,F ,求CE CF 的最大值和最小值.
2
⎛y 12⎫⎛y 2⎫
,y 1⎪, ,y 2⎪,由题设知
14. (I )解法一:设A ,B 两点坐标分别为 ⎝2⎭⎝2⎭
22
=2
2
= 解得y 1=y 2=12,
,B (6,
-或A (6,
-,B (6. 所以A (6
0) ,则r =设圆心C 的坐标为(r ,
2
2
23
⨯6=4,所以圆C 的方程为
············································································································· 4分 (x -4) +y =16. ·
解法二:设A ,B 两点坐标分别为(x 1,y 1) ,(x 2,y 2) ,由题设知
x 1+y 1=x 2+y 2.又因为y 1=2x 1,y 2=2x 2,可得x 1+2x 1=x 2+2x 2.
2
2
2
2
2222
即(x 1-x 2)(x 1+x 2+2) =0.
由x 1>0,x 2>0,可知x 1=x 2,故A ,B 两点关于x 轴对称,所以圆心C 在x 轴上.
⎛3⎝2
⎫⎫3
于是有解得r =4,r ⎪,
⎪=2⨯r ,⎪⎪2⎭2⎝2⎭2
0) ,设C 点的坐标为(r ,则A
点坐标为
2
2
r 所以圆C 的方程为(x -4) +y =16. ··············································································· 4分 (II )解:设∠ECF =2a ,则
2
C E C F =|C E | |C F | cos 2α=16cos 2α=32cos α-16. ············································ 8分
在Rt △PCE 中,cos α=
x |PC |
=
4|PC |
,由圆的几何性质得
|P C |≤|M C |+1=7+1=8,|P C |≥|M C |-1=7-1=6,
16所以≤cos α≤,由此可得 -8≤C E C F ≤-.
239 16则CE CF 的最大值为-,最小值为-8.
9
1
2
15. 已知椭圆
x
2
3
+
y
2
2
=1的左、右焦点分别为F 1,F 2.过F 1的直线交椭圆于B ,D 两点,
过F 2的直线交椭圆于A ,C 两点,且AC ⊥BD ,垂足为P .
x 03
2
(Ⅰ)设P 点的坐标为(x 0,y 0) ,证明:
+
y 02
2
(Ⅱ)求四边形ABCD 的面积的最小值. 15. 证明:
(Ⅰ)椭圆的半焦距c =
=1,
2
2
由AC ⊥BD 知点P 在以线段F 1F 2为直径的圆上,故x 0+y 0=1,
x 23
2
所以,
+
y 02
2
≤
x 02
2
+
y 02
2
=
12
(Ⅱ)(ⅰ)当BD 的斜率k 存在且k ≠0时,BD 的方程为y =k (x +1) ,代入椭圆方程
x
2
3
+
y
2
2
=1,并化简得(3k +2) x +6k x +3k -6=0.
2222
设B (x 1,y 1) ,D (x 2,y 2) ,则
6k
2
2
x 1+x 2=-
3k +2
,x 1x 2=
3k -63k +
2
2
2
B D =
x 1-x 2=
=
3k +2
;
因为AC 与BC 相交于点P ,且AC 的斜率为-
1⎫
2+1⎪k ⎭所以,A C =. =12k +33⨯2+2
k
1k
,
四边形ABCD 的面积
S =
12
B D A C =
24(k +1)
2
2
2
2
(3k +2)(2k +3)
≥
2
24(k +1)
22
2
=
9625
⎡(3k +2) +(2k +3) ⎤⎢⎥
2⎣⎦
2
.
当k =1时,上式取等号.
(ⅱ)当BD 的斜率k =0或斜率不存在时,四边形ABCD 的面积S =4. 综上,四边形ABCD 的面积的最小值为
9625
2
.
=4相切.
16.在直角坐标系xO y 中,以O
为圆心的圆与直线x -(1)求圆O 的方程;
(2)圆O 与x 轴相交于A ,B 两点,圆内的动点P 使PA PO PB 成等比数列,求
P A P B 的取值范围.
16.解:(1)依题设,圆O 的半径r 等于原点O
到直线x -
即
r =
4=2. 得圆O 的方程为x +y =4.
2
2
=4的距离,
(2)不妨设A (x 1,0) ,B (x 2,0) ,x 1
2
A (-2,0) ,B (2,0) .
设P (x ,y ) ,由PA PO PB 成等比数列,得
=x +y , 即 x -y =2.
2222
222
P A P B =(-2-x ,-y ) (2-x ,-y ) =x -4+y =2(y -1 ) .
22
⎧⎪x +y
由于点P 在圆O 内,故⎨ 由此得y 2
22⎪⎩x -y =2.
0) . 所以P A P B 的取值范围为[-2,
17. 已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3,
最小值为1.
(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;
(Ⅱ)若直线l :y =kx +m 与椭圆C 相交于A ,B 两点(A ,B 不是左右顶点),且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点,求证:直线l 过定点,并求出该定点的坐标. 17. (本小题满分12分)
解:(Ⅰ)由题意设椭圆的标准方程为
x a
22
+
y b
22
=1(a >b >0) ,
由已知得:a +c =3,a -c =1,∴a =2,c =1,∴b =a -c =3.
x
2
222
∴椭圆的标准方程为
4
+
y
2
3
=1.
⎧y =kx +m ,
⎪
(Ⅱ)设A (x 1,y 1) ,B (x 2,y 2) ,联立⎨x 2y 2
+=1. ⎪
3⎩4
得(3+4k ) x +8m kx +4(m -3) =0,
⎧
⎪∆=64m 2k 2-16(3+4k 2)(m 2-3) >0,即3+4k 2-m 2>0,则⎪
8m k ⎪
x +x =-,⎨122
3+4k ⎪
2
⎪4(m -3)
. ⎪x 1 x 2=2
3+4k ⎩
2
2
222
又y 1y 2=(kx 1+m )(kx 2+m ) =k x 1x 2+m k (x 1+x 2) +m =
3(m -4k ) 3+4k
2
22
,
0) , 因为以AB 为直径的圆过椭圆的右焦点D (2,
∴k AD k BD =-1,即
y 1
x 1-2x 2-2
y 2
=-1,
∴y 1y 2+x 1x 2-2(x 1+x 2) +4=0, 3(m -4k ) 3+4k
2
22
∴
2
+
4(m -3) 3+4k
2
2
2
+
16m k 3+4k
2
+4=0,
∴9m +16m k +4k =0.
解得:
m 1=-2k ,m 2=-
2k 7
,且均满足3+4k -m >0,
22
0) ,与已知矛盾; 当m 1=-2k 时,l 的方程为y =k (x -2) ,直线过定点(2,
当m 2=-
2k 7
时,l 的方程为y =k x -
⎝⎛2
⎛
2⎫⎛2⎫,直线过定点0⎪. ⎪ ,7⎭7⎝⎭
所以,直线l 过定点,定点坐标为 18.已知椭圆C :
x a
22
⎫,0⎪. ⎝7⎭
3
+
y b
22
=1(a >b >
0) ,
.
(Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,坐标原点O 到直线l
积的最大值.
⎧c ⎪=
18.解:(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c
,依题意⎨a 3
⎪
⎩a =2
,求△AOB 面
∴b =1,∴所求椭圆方程为
x
2
3
+y =1.
2
(Ⅱ)设A (x 1,y 1) ,B (x 2,y 2) . (1)当AB ⊥
x 轴时,AB =(2)当AB 与x 轴不垂直时, 设直线AB 的方程为y =kx +m .
.
=
2
,得m =
2
34
(k +1) .
2
把y =kx +m 代入椭圆方程,整理得(3k 2+1) x 2+6km x +3m 2-3=0,
-6km 3k +1
2
∴x 1+x 2=
2
,x 1x 2=
3(m -1) 3k +1
2
2
2
.
∴A B
2
2
⎡36k 2m 212(m -1) ⎤
-=(1+k )(x 2-x 1) =(1+k ) ⎢⎥ 222
3k +1⎦⎣(3k +1)
2
=
12(k +1)(3k +1-m )
(3k +1)
2
2
222
=
3(k +1)(9k +1)
(3k +1)
2
2
22
=3+
12k
4
22
9k +6k +1
=3+
2
129k +
1k 3
2
(k ≠0) ≤3++6
122⨯3+6
=4.
当且仅当9k =
综上所述AB
2
1k
2
,即k =±时等号成立.当k =
0时,AB =
max
=2.
12
2
2
∴当A B 最大时,△
AOB 面积取最大值S =⨯A B
m ax
⨯=.
19. 设F 1、F 2分别是椭圆
x
2
4
+y
2
=1的左、右焦点.
(Ⅰ)若P 是该椭圆上的一个动点,求PF 1·PF 2的最大值和最小值;
(Ⅱ)设过定点M (0, 2) 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ,且∠AOB 为锐角(其中O 为坐标原点),求直线l 的斜率k 的取值范围. 19. 解:
(Ⅰ)解法一:易知a =2, b =1, c =所以F 10, F 2
(
)0,设P (x , y ),则
)
PF 1⋅PF 2=x , -y ,
(
)x , -y =x +y -3=x +1-
)
222
x
2
4
-3=
14
(3x
2
-8)
P 因为x ∈[-2, 2],故当x =0,即点为椭圆短轴端点时,PF 1⋅PF 2有最小值-2
当x =±2,即点P 为椭圆长轴端点时,PF 1⋅PF 2有最大值1
解法二:易知a =2, b =1, c =
F 10, F 2
(
)2
0,设P (x , y ),则
2
)
P F 1⋅P F 2=P F 1⋅P F 2⋅cos ∠F 1P F 2=P F 1⋅P F 2⋅
P F 1
2 +P F 2-F 1F 2
2P F 1⋅P F 2
=
1⎡
x +⎢2⎣
(
2
+y +x -
2
(
2
222⎤
+y -12=x +y -3(以下同解法一)
⎥⎦
(Ⅱ)显然直线x =0不满足题设条件,可设直线l :y =kx -2, A (x 1, y 2), B (x 2, y 2),
⎧y =kx -2
⎪⎛21⎫2
y ,整理得: k +⎪x +4kx +3=0 联立⎨x 2,消去2
4⎭+y =1⎝⎪
⎩4
∴x 1+x 2=-
4k k +⎛⎝
2
14
, x 1⋅x 2=
2
3k +
14
由∆=(4k )-4 k +
2
1⎫2
k >-k
得:或 ⨯3=4k -3>0⎪
224⎭
又00⇔OA ⋅OB >0
∴OA ⋅OB =x 1x 2+y 1y 2>0
2
又y 1y 2=(kx 1+2)(kx 2+2)=k x 1x 2+2k (x 1+x 2)+4=
3k
2
2
k +
14
+
-8k k +
2
2
14
+4=
-k +1k +
2
2
14
∵
2
3k +
14
+
-k +1k +
2
2
14
>0,即k
2
故由①、②得-2
2
或
2
20. 设椭圆
x a
22
+
y b
22
=1(a >b >0) 的左、右焦点分别为F 1,F 2,A 是椭圆上的一点,
13
AF 2⊥F 1F 2,原点O 到直线AF 1的距离为O F 1.
(Ⅰ)证明a =;
2
2
2
(Ⅱ)求t ∈(0,b ) 使得下述命题成立:设圆x +y =t 上任意点M (x 0,y 0) 处的切线交
21
椭圆于Q 1,Q 2两点,则O Q 1⊥O Q 2.
20. (Ⅰ)证法一:由题设AF 2⊥F 1F 2及F 1(-c ,0) ,F 2(c ,0) ,不妨设点A (c ,y ) ,其中
c a
22
y >0,由于点A 在椭圆上,有+
y b
22
=1,
a -b a
2
22
+
y b
2
22
=1,
⎛b 2⎫解得y =,从而得到A c ⎪,
a ⎭a ⎝
b
直线A F 2的方程为y =
2
2
b
2
2ac
(x +c ) ,整理得
b x -2acy +b c =0.
由题设,原点O 到直线AF 1的距离为
c 3=
2
2
2
13
O F 1,即
2
,
22
将c =a -b 代入原式并化简得a =
2b ,即a =
.
⎛b 2⎫
证法二:同证法一,得到点A 的坐标为 c ⎪,
a ⎭⎝
过点O 作O B ⊥AF 1,垂足为H ,易知△F 1BC ∽△
F 1F 2A B O O F 1
=F 2A F 1A
13
O F 1,所以
由椭圆定义得AF 1+AF 2=2a ,又B O =
13=F 2A F 1A
=
F 2A 2a -F 2A a 2
,
解得F 2A =,而F 2A =
b
2
a
,得
b
2
a
=
a 2
,即a =.
222
(Ⅱ)解法一:圆x +y =t 上的任意点M (x 0,y 0) 处的切线方程为x 0x +y 0y =t .
2
当t ∈(0,b ) 时,圆x +y =t 上的任意点都在椭圆内,故此圆在点A 处的切线必交椭圆
22
222
于两个不同的点Q 1和Q 2,因此点Q 1(x 1,y 1) ,Q 2(x 2,y 2) 的坐标是方程组
⎧x 0x +y 0y =t 2 ①⎪
的解.当y 0≠0时,由①式得 ⎨2
22
⎪⎩x +2y =2b ②
y =
t -x 0x y 0
2
2
⎛t 2-x 0x ⎫22代入②式,得x +2 ⎪=2b ,即
y 0
⎝⎭(2x 0+y 0) x -4t x 0x +2t -2b y 0=0,
2
2
2
2
4
2
2
于是x 1+x 2=
2
4t x 02x +y
220
20
2
,x 1x 2=
2t -2b y 02x +y
20
20
422
t -x 0x 1t -x 1x 2
y 1y 2=y 0y 1=
422
⎡t -x t (x +x ) +x x 1x 2⎤ 01202⎣⎦y 0
1
2422
⎫4t x 01⎛4222t -2b y 0
=2 t -x 0t +x ⎪ 02222
y 0⎝2x 0+y 02x 0+y 0⎭
=
t -2b x 02x 0+y 0
2
2
422
.
若O Q 1⊥O Q 2,则
x 1x 2+y 1y 2=
2t -2b y 02x 0+y 0
2
2
422
22
+
t -2b x 02x 0+y 0
2
422
22
=
3t -2b (x 0+y 0)
2x 0+y 0
2
2
4
4222
22
=0.
所以,3t -2b (x 0+y 0) =0.由x 0+y 0=t ,得3t -2b t =0.在区间(0,b ) 内此方
3
4222
程的解为t =.
当y 0=0时,必有x 0≠0,同理求得在区间(0,
b ) 内的解为t =
3
b .
另一方面,当t =
3
b 时,可推出x 1x 2+y 1y 2=0,从而O Q 1⊥O Q 2.
23
综上所述,t =
3
b ∈(0,b ) 使得所述命题成立.
21. 如图,直线y =kx +b 与椭圆
x
2
4
+y =1交于A ,B 两点,记△AOB 的面积为S .
2
(I )求在k =0,0
21. (Ⅰ)解:设点A 的坐标为(x 1,b ) ,点B 的坐标为(x 2,b ) ,
x
2
2
由
4
=±, +b =
1,解得x 1,
2
所以S =
12
b x 1-
x 2=2b ≤b +1-b =1.
2
22
当且仅当b =时,S 取到最大值1.
⎧y =kx +b ,⎪⎛21⎫22
k +x +2kbx +b -1=0, (Ⅱ)解:由⎨x 2得 ⎪2
4⎭+y =1,⎝⎪
⎩4
14+k
2
∆=4k -b +
1,|A B |=
22
|x 1-
x 1|=
=2. ②
设O 到AB 的距离为d ,则d =
2S |A B |
=
1,又因为d =
|b |
所以b =k +1,代入②式并整理,得
k -k +
4
2
22
1
4
故直线AB 的方程是
y =
2x +
2
=0,解得k
2
=
12
,b =
2
32
,代入①式检验,∆>0,
或y =
2
x -
2
或y =-
2
24
x +
2
,或y =-
2
x -
2
0) ,右准线l 的方程为:x =12. 22.如图,中心在原点O 的椭圆的右焦点为F (3,
(1)求椭圆的方程;
(Ⅱ)在椭圆上任取三个不同点P 1,P 2,P 3,使∠P 1FP 2=∠P 2FP 3=∠P 3FP 1,
证明:
1F P 1
+
1F P 2
+
1F P 3
为定值,并求此定值.
x a
22
22. 解:(I )设椭圆方程为+
y b
22
题(22)图
=1.
0) ,故半焦距c =3. 因焦点为F (3,
又右准线l 的方程为x =
a
2
c
,从而由已知
a
2
c
=12,a =36,
2
答(22)图
因此a =
6,b =故所求椭圆方程为
=x
2
=
36
+
y
2
27
=1.
(II )记椭圆的右顶点为A ,并设∠AFP i =αi (i =1,2,3),不失一般性, 假设0≤α1
2π3
,且α2=α1+
2π3
,α3=α1+
4π3
c a
.
=12
又设点P i 在l 上的射影为Q i ,因椭圆的离心率e =
⎛a 2
F P i =P i Q i e = -c -F P i cos αi
c ⎝
⎫
⎪e ⎭
,从而有
=
12
,,23.) (9-F P i cos αi ) (i =1
解得因此
1F P 1
1F P i
=
2⎛1
1+cos αi 9⎝2⎫
23) . ⎪ (i =1,,
⎭
+
1F P 2
+
1F P 3
=
2⎡1⎛2π⎫4π⎛⎛3+cos α+cos α++cos α+⎢1 1⎪ 1 9⎣2⎝3⎭3⎝⎝⎫⎫⎤
⎪⎪⎥,
⎭⎭⎦
25
而cos α1+cos α1+
⎝
⎛
2π⎫4π⎛
+cos α+⎪ 1
3⎭3⎝2=
⎫
⎪ ⎭
2
=cos α1-
1F P 1
121
cos α1-
1F P 3
α1-23
12
cos α1+α1=0,
故+
F P 2
+为定值.
23.如题21图倾斜角为α的直线经过抛物线y 2=
8x 且与抛物线交于A ,B 两点.
(Ⅰ)求抛物线的焦点F 的坐标及准线l 的方程; (Ⅱ)若α为锐角,作线段AB 的垂直平分线 m 交x 轴于点P ,证明FP -FP cos 2α为定值,
并求此定值.
2
23. (I )解:设抛物线的标准方程为
y =2px ,则2p =8⎛p ⎫
0) , 0⎪的坐标为(2,因此焦点F ,
2⎝⎭
又准线方程的一般式为x =-
p 2
.
从而所求准线的方程为x =-2.
(II )解法一:如答21图作AC ⊥l ,BD ⊥l , 垂足分别为C ,D ,则由抛物线的定义知
FA =AC ,FB =BD .
记A ,B 的横坐标分别为x A ,x B , 则F A =A C =x A +
p 2
=F A cos α+
p 2+p 24
.
1-cos α
4
类似地有FB =4-FB cos α,解得F B =.
1+cos α
=FA cos α+4,解得F A =
记直线m 与AB 的交点为E ,则FE =FA -AE =FA -
FA +FB
2
=
12
(FA -FB )
26
=
1⎛44⎫4cos α
. - ⎪=2
2⎝1-cos α1+cos α⎭sin α
所以F P =
F E cos α
=
4sin α
4
2
.
故FP -FP cos 2α=
sin α
2
(1-cos 2α) =
4·2sin αsin α
2
2
=8.
解法二:设A (x A ,y A ) ,B (x B ,y B ) ,直线AB 的斜率为k =tan α,则直线方程为
y =k (x -2) .
将此式代入y =8x 得k x -4(k +2) x +4k =0,故x A +x B =
x A +x B
2
2
22222
4(k +2)
k
2
2
.
记直线m 与AB 的交点为E (x E ,y E ) ,则x E -
4
=
2(k -2)
k
2
,y E =k (x E -2) =
4k
,
2
1⎛2k +4⎫
故直线m 的方程为y -=- x -⎪, 2
k k ⎝k ⎭
令y =0,得点P 的横坐标x p =
2k +4k
2
2
+4,故FP =x P -x E =
2
4(k +1) k
2
2
=
4sin α
2
.
从而FP -FP cos 2α=
4sin α
2
(1-cos 2α) =
4 2sin αsin α
2
=8为定值.
27