关于SARS病毒传播的数学模型
第22卷第2期 毕节师范高等专科学校学报 2004年6月
JOURNALOFBIJIETEACHERSCOLLEGE
关于SARS病毒传播的数学模型
t 李 伟
(毕节师专数学系,贵州 毕节 551700)
摘 要:
根据SARS病毒传播的特性,建立了SARS病毒传播的常微分方程模型。利用数学软件
Matlab求解了此建立的SARS病毒传播的常微分方程模型,画出了有关的图形。利用相轨线性质,讨论了SARS病毒传播的常微分方程模型解的有关性质,描述了SARS病毒传播的整个过程,预测了SARS病毒传播的高峰期,对SARS病毒传播的预防控制提供了有关的数学模型理论。
关键词:数学模型;相轨线;特征指数;阈值
中图分类号:O141.4 文献标识码:A 文章编号:1672-0296(2004)02-0046-07
OnMathematicalModeloftheSpreadofSARSVirus
LiWei
(DepartmentofMathematics,BijieTeachersCollege,Bijie,551700,Guizhou)
Abstract:AccordingtothespreadcharacteristicsofSARSvirus,thispaperestablishestheordinarydifferentialequationmodelsofthespreadofSARSvirus,whosesolutionsareobtainedandgraphesconcernedaredrawnbymathe-maticalsoftware,Matlab,takingadvantageofthequalitiesofphasetrajectory,discussesthecharacteristicsconcernedthesolution,describesthewholeprocessofthespreadofSARSvirus,forecaststhepeakperiodofthespreadandprovidestherelevantmathematicalmodeltheoryaboutthepreventionandcontrolofthespreadofSARSvirus.
Keywords:MathematicalModel;PhaseTrajectory;CharacteristicExponent;ThresholdValue
1、问题提出
数学模型是指通过抽象和简化,使用数学语言对实际现象的一个近似的刻画,以便于人们更深刻地认识所研究的对象。它是应用数学知识和计算机解决实际问题的一种有效的重要工具。文[2]研究了数学建模竞赛对提高学生综合素质的作用。文[3]研究赛程编排的数学模型。本文拟对SARS病毒的传播的数学模型建立进行研究。
对于传染病模型,可以在较一般的情况下,分析受感染人数的变化规律。由于人们不可能通过试验来取得传染病流行的数据,实际的传染病流行的观测往往也不完整和不充分,通常主要是依据机理分析的方法来建模,利用有关计算机的知识求解。
SARS(SevereAcuteRespiratorySyndrome),即严重急性呼吸道综合症,俗称:非典型肺炎,是21世纪初在世界范围内传播的一种疾病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济和人民的生活带来了很大的影响,我们从中得到了很多的经验和教训,认识到定量地研究传染病的传播的规律,为预防和控制传染病蔓延创造条件的重要性。
SARS在爆发初期,由于存在潜伏期,公众对SARS病毒传播速度认识不足,感染者迅速增加,公众
作者简介:李伟(1975) ),男,毕节师专数学系助教,大学本科。主要研究方向:数学建模。
[1]
出现恐慌现象。人们对SARS的发病率进行各种不同的揣测,如/抽烟者不患病0,/女性发病率低0,/青年人容易患病0等皆为主观臆断。现在,SARS疾病得到了有效控制,SARS疫情已经平息。但不能保证已把它/斩草除根0,也不能确保它不会卷土重来。从疫情控制及疾病防治措施来看,目前在医疗上仍然没有一种更有效的预防和治疗方法。故,从结果来看,最直接、最简单、最有效的方法还是/早发现、早隔离、早收治0,即以预防和控制为主。因此,对SARS病毒传播的预防控制进行理论分析具有重要的现实意义和一定的理论意义。文[5]综述了SARS病毒的研究进展。本文拟利用数学模型对SARS病毒的传播进行研究。
2、已有模型的分析
当传染病流行时,要及时采取措施。如果流行时间过长,将给国家带来更大的损失。如果控制措施不合理,也将给国家带来损失。问题是如何设计优化方案,使流行病期间传染人数最少,国家经济损失最小。
关于SARS病毒传播的数学模型http:PPmcm.edu.cn给出如下模型:
假定初始时刻的病例数为N0,平均每病人每天可传染K个人(K一般为小数),平均每个病人可以直接感染他人的时间为L天。则在L天之内,得到模型:
N(t)=N0(1+K)
t
t
[6]
[4]
从模型N(t)=N0(1+K)
可以看出,如果不考虑传染期的限制,病例数将按指数增长,考虑传染期后变化将偏离指数增长,增长速度会减慢,即是此模型对早期疾病来说具有比较好的适用性,有一定的借鉴价值,随着病情的蔓延。通过模型逐步调整K值,拟合数据在短期的剧烈调整之后,进入一个对疫情控制较好的常态。此模型虽只适用于早期,但对于以后各种病毒模型的建立提供了有益的参考。
3、模型的建立与求解
为方便起见,首先给出如下符号说明:
i(t):为第t天已受传染SARS病毒的总人数;i(0)=i0:为初始时刻受传染SARS病毒的人数;N:某地区的总人数;K:传染系数;
r(t):第t天病愈后免疫力的人数(包括死亡的人数);模型一:
假设(1)i(t)为第t天被感染的总人数;
(2)设k0为平均每病人一天可传染的人数;在t到t+$t时间内增加的受感染人数为
i(t+$t)-i(t)=k0i(t)$t
(1)
于是容易得到常微分方程模型
[7]
:
=K0i(t)d(t) i(0)=i0
(2)
易知,(2)的解为
i(t)=i0e0
kt
(3)
其图形如下:
(3)式表明:SARS病毒传播按指数函数增加。这个结果与SARS病毒初期吻合,在一般情况下,SARS初期传播速度快,被感染人按指数函数增长,当ty]时,i(t)y]。但与SARS病毒后期的实际情况不相符合,这是因为在病人有效接触的人群中,有健康人也有病人,而其中只有健康人才可以被传染为病人。为了改进上述模型,得出下面的方案二。模型二:
模型一中的假设k0为常数与事实不相符合,在不同时期传染情况不一样。所以,假设:(1)s(t)表示t天时易受感染的人数(健康者),i(t)表示t天时已受感染的总人数(病人)。(2)每个被感染者在单位时间t(每天)内传染的人数与健康者成正比,即k0=ks(t);(3)设该地区的人口总数为N,被感染者在传染期内不会死亡,即有s(t)+i(t)=N;由上述假设可得微分方程为:
=ks(t)i(t)dt
s(t)+i(t)=Ni(0)=i0
对(4)分离变量可解得
1+
i(t)~t和
--1ei0
kNt
(4)
i(t)=(5)
~i的图形分别如图2和图3所示。dt
由图可知:i(t)=时,有最大值。
2dt
由(5)解得
2
=dt
kN1+
N
-1e-kNti0-kNt
-1ei0
(6)
2
N令=0可得,当tm=lni-1时,取到最大值。
KN0dtdtmaxdt
当ty]时,i(t)yN。
由此可知,tm与传染系数K和该地区人口总数的乘积成反比,当K或N增加时,tm变小,即感染高峰期来临较快,这与实际情况相吻合。SARS病毒传染达到高峰期,tm是人们关注的时刻,当K变小即
提高预防水平,采取适当的预防措施或采取严格隔离措施,提高医疗水平,严格控制该地区人口流动,控制感染者与健康者的日接触率是延续SARS病毒高峰期到来的关键,能够确定出传染系数K,即可预测出SARS传染病高峰tm到来的时间,这对于预防SARS是非常有益的。模型三:
上述模型二的缺点是当ty]时,i(t)yN,这与实际不符,其主要原因是假设被感染者在传染期内不会死亡。事实上,虽然对大多数人来说,有些身体抵抗力强、意志坚强者都治愈,但也有少数人死亡。为此,我们如下修改假设:
(1)假设感染过而治愈者具有长期免疫力,不考虑长期反复传染的情形,健康者感染后立即成为可传染者。在此情况下,把整个地区的人分为3类:
第一类为能传染其他人的感染者,用i(t)表示t时刻这类人数;第二类为易受感染可成为感染者的人,用s(t)表示t时刻的这类人数;第三类为除前两类以外的其他人,包括感染后死亡、病愈后具有长期免疫力,不再受感染等的人,用r(t)表示t时刻这类人数。
(2)在讨论期内该地区人口总数N保持不变,即不考虑人口出生、死亡、流动等情况;(3)由第一类向第二类转变的速率与第一类的人数成正比。
k0
(称为传染率)s(t) l=i(t)(l称为排除率)
d()
dt=li(t)记:k=则可得到:
s(t)i(t)-dtdt
(7)
(8)
=--dtdtdt
设初始条件i(0)=i0,s(0)=s0,则r(0)=r0=N-i0-s0,故有
di(t)
=Ks(t)i(t)-li(t)dt
dt=-Ks(t)i(t)
=li(t)dt
i(0)=i0,s(0)=s0,r(0)=N-s0-i0
(9)
方程(9)难以求出准确解,可先作数值计算。
数值计算:为了计算方便,可视s(t)和i(t)为在总人数中所占比例,故,在(9)中,设k=0.02,Q=0.5,i(0)=0.01,s(0)=0.80,用MATLAB软件编程如下:
function y=ill(t,x)
a=1;b=0.5;
*****
y=[ax(1)x(2)-bx(2),-ax(1)x(2)];ts=0:50;
x0=[0.01,0.80]
[t,x]=ode45(cillc,ts,x0;[t,x]plot(x(:1),t,x(:2)),grid,pauseplot(x(:2),x(:,1)),grid.输出结果如下表:
ti(t)s(t)ti(t)s(t)
10.29660.9800100.14370.1145
20.18020.9525150.07270.0543
30.15150.9019200.05070.0434
40.10460.8169250.06030.0408
50.11740.6927300.03430.0399
60.11230.5348350.05000.0398
70.11010.3995400.03210.0394
8
0.07080.2839450.04340.0390
90.10980.1493
[8]
表1
图4是i~s的图形,称为相轨线。
[9]
相轨线分析:由于s(t)和i(t)的解析式无法求出,可先求出i(t)与s(t)的关系后再加以讨论i(t)与s(t)的性质。
在相平面s~i上,相轨线定义域为
D={(s,i)|sE0,iE0,s+iF1}
由(9)中第一、第二两个方程消去dt可得:
=-1+k#sds
令Q=k称其为特征指数(对同一地区、同一传染病Q为常数)。则=-1dss
所以有:
i(s)=Qln
-s+s0+i0s0
(10)
(10)表示的曲线即为相轨线,如图5
所示。
由图5可以看出:
(1)不论相轨线从何点出发,它终将与s轴相交,即病人终将消失;(2)最终未被感染的健康者的比例是s](ty]时的极限值);(3)若s0>Q,则i(t)先增加,当s=Q时,i(t)达到最大值
s0
)(11)然后,i(t)减小且趋于零,s(t)则单调减小至s]。如图5中由p1(s0,i0)出发的轨线。
im=s0+i0-Q(1+ln
(4)若s0FQ,则,i(t)单调减小至零,s(t)单调减小至s]。如图5中由P2(s0,i0)出发的轨线。由此可知,只有当感染者的人数超过阈值Q时,传染病才会蔓延,当人口密度高,感染者密度大,市
民缺少必要的预防措施,对病人采取隔离治疗不良,人口接触率大,排除率