考点12函数的新定义问题
考点12 函数的新定义问题——解定义型函数问题的策略
定义型函数,是指给出阅读材料,设计一个陌生的数学情景,定义一个新函数,并给出新函数所满足的条件或具备的性质;或者给出已知函数,再定义一个新概念(如不动点),把数学知识与方法迁移到这段阅读分析材料,捕捉相关信息,通过归纳、探索,发现解题方法,然后解决问题。由于这类题立意新,构思巧,既考查学生的阅读理解能力,数学语言转化能力,又考查学生分析问题和解决问题的能力,以及探究能力和创新能力,因此,经常出现在数学竞赛试题中。下面例谈该类题型的解题策略。 1、联想背景
有些题目给出新函数是以熟知的初等函数如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等为背景定义的,可以通过阅读材料,分析有关信息,联想背景函数及其性质,进行类比,捕捉解题灵感,然后解决问题。
, ∞上) 的增函数,且对一切x >0均有例1、若f (x ) 为定义在(0+
x
f () =f (x -) f ( y ) y
1
(1)求f (1)的值;(2)若f (6)=1,解不等式f (x +3) -f ()
x
分析:不难发现,f (x ) 是以对数函数y =log 6x 为背景定义的,类比函数y =log 6x 的性质,问题就容易解决。 解:(1)令x =y >0,则有f (1)=0
x
(2)由f () =f (x ) -f (y ) ,f (6)=1得
y 1
f (x +3) -f () =f [x (x +3)]
x
x 2+3x
)
⎧
⎪x >0
因为f (x ) 在(0,+∞) 上是增函数,所以⎪
⎪
x +3>0⎨
⎪x 2+3x ⎪
解得:0
⊗a 和b 例2(2011天津)对实数,定义运算“”:a ⊗b =⎨设函数
b , a -b >1. ⎩
2
。若函数y =f (x ) -c 的图象与x 轴恰有两个公共点,f (x ) =(x -2) ⊗(x -1), x ∈R
则实数c 的取值范围是B
A .(-1,1]⋃(2,+∞) C .(-∞, -2) ⋃(1,2]
B .(-2, -1]⋃(1,2] D .[-2,-1]
2、巧妙赋值
如果题目所定义的新函数满足的条件是函数方程,可采用赋值法,即令x ,y 为特殊值,或为某一范围内的值,求得特殊函数值,或函数解析式,再结合掌握的数学知识与方程法来解决问题。
例2、已知函数f (t ) 对任意实数x ,y 都有
f (x +y ) =f (x ) +f (y ) +3xy (x +y +2) +3,f (1)=1。 (1)若t ∈N ,试求f (t ) 的表达式; (2)满足条件f (t ) =t 的所有整数能否构成等差数列?若能构成等差数列求出此数列;若不能构成等差数列,请说明理由。
(3)若t ∈N ,且t ≥4时,f (t ) ≥mt 2+(4m +1) t +3m 恒成立,求出m 的最大值 分析:在条件所给的函数方程中,令y =1,就有f (x +1) -f (x ) =3x 2+9x +4,
利用f (t ) =∑[f (x +1) -f (x )]+f (1)可求得f (t ) ;令x =y =0得f (0)=-3,再令
x =1
t -1
t ∈Z -,则-t ∈N ,由f (t -t ) =f (t ) +f (-t ) -6t 2+3=-3可得f (t ) 在t ∈Z -时的解析式,问题也就容易解决了。 解:(1)因为f (x +y ) =f (x ) +f (y ) +3xy (x +y +2) +3,令y =1, 得f (x +1) -f (x ) =3x 2+9x +4,
当t ∈N 时,f (t ) =∑[f (x +1) -f (x )]+f (1)=t 3+3t 2-3
x =1t -1
(2)令x =y =0,得f (0)=f (0)+f (0)+0+3,所有f (0)=-3
当t ∈Z -时, -t ∈N ,由f (t -t ) =f (t ) +f (-t ) -6t 2+3=-3结合(1)得:
f (t ) =-f (-t ) +6t 2-6=-[(-t ) 3+3(-t ) 2-3]+6t 2-6=t 3+3t 2-3, 所以f (t ) =t 3+3t 2-3, t ∈Z
由f (t ) =t 得,t 3+3t 2-3=t ,即(t 2-1)(t +3) =0 即t 1=1,t 2=-1,t 3=-3,满足t 1+t 3=2t 2
故t 1,t 2,t 3构成等差数列:1,-1,-3或-3,-1,1
(3)当t ∈N 时,f (t ) =t 3+3t 2-3,由f (t ) ≥mt 2+(4m +1) t +3m 恒成立知 t 3+3t 2-t -3≥m (t 2+4t +3) ,即(t -1)(t +1)(t +3) ≥m (t +1)(t +3) 因为t ≥4时,所以(t +1)(t +3) >0,
从而,t -1≥m 恒成立,故m ≤3,即m 的最大值为3。 3、紧扣定义
对于题目定义的新函数,通过仔细阅读,分析定义以及新函数所满足的条件,围绕定义与条件来确定解题的方向,然后准确作答。
例3、对于函数y =f (x ) (x ∈D ) 若同时满足下列条件:
(Ⅰ) f (x ) 在定义域内单调递增或单调递减;(Ⅱ) 存在区间[a , b ]⊆D ,使f (x ) 在[a , b ]上的值域为[a , b ],那么y =f (x ) (x ∈D ) 叫闭函数。 (1)求闭函数y =-x 3符合条件(Ⅱ) 的区间[a , b ];
(2)判断函数f (x ) =2x -lg x 是否为闭函数并说明理由; (3
)若y =k k 的取值范围。
⎧b =-a 3
3
解:(1)易知y =-x 为[a , b ]上的减函数,所以,⎨ 3
⎩a =-b
注意到a
116101
=f (x 2) , ,x 2=,则f (x 1) =
10100510故f (x ) 不是(0,+∞) 上的增函数,
所以f (x ) 不满足条件(Ⅰ) ,不是闭函数;
取x 1=
(3
)设函数y =k (Ⅱ) 的区间[a , b ],
⎧⎪a =k 则⎨,即a , b
是方程x =k ⎪⎩b =k 因此命题等价于关于x 的方程:
x 2-(2k +1) x +k 2-2=0在满足x ≥2且x ≥k 的条件下有两个不等的实根,
2k +1⎧
>-2⎪2
①当k ≤-2时,则⎪ 22
(2k +1) -4(k -2) >0⎨
⎪22+2(2k +1) +k 2-2≥0⎪⎩
99
解得:k >-,所以-
44
②当k >-2时,则⎪
2k +1
>k 2
⎪22
⎨(2k +1) -4(k -2) >0⎪k 2-k (2k +1) +k 2-2≥0⎪⎩⎧
解得:-
9
-2 4
9
综上所述,所以实数k 的取值范围为:(-, -2]
4
4、构造函数
有些定义型函数可看成是由两个已知函数构造而成。
例4、对于函数f (x ) ,若存在x 0∈R ,使f (x 0) =x 0成立,则称x 0为f (x ) 的不动
点。如果函数f (x ) =ax 2+bx +1(a >0) 有两个相异的不动点x 1和x 2
1
(1)若x 1
2
(2)若x 1
解:(1)设函数g (x ) =f (x ) -x =ax 2+(b -1) x +1,且a >0 因为x 1
x =m =-
是
) x +x -2=
,
b 1b -1
=(--=x 1+x -x x >x +x -2a a a 2
又x 1x 2>x 1,
11111
于是,m ==(x 1+x 2) -x 1x 2
22222
1
故
(2)由方程g (x ) =f (x ) -x =ax 2+(b -1) x +1可知
1
>0,即x 1和x 2同号,x 1≠0 a
①若02, x 1x 2=
所以,g (2)
(b -1) 24
-=4,
又(x 2-x 1) =2
a a
2
所以,2a +1= (Ⅱ)
1
联立(Ⅰ)(Ⅱ)解得b
4
②若-2
7
联立(Ⅱ)(Ⅲ)解得b >
4
17
综上所得,b 的取值范围为:(-∞, ) (, +∞)
44
考点12 函数的新定义问题 练习
1. 若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,则函数解析式为y=-x2, 值域为{-1,-9}的“同族函数”共有( )
A.9个 B 。8个 C 。5个 D 。4个
解析:函数y=-x2, 值域为{-1,-9},可知自变量x 从1,-1,±1中任取一个,和从3,-3,±3中任取一个构成函数,故满足条件的“同族函数”有3×3=9个。
2. 若直角坐标平面内两点P 、Q 满足条件:①P 、Q 都在函数f(x)的图象上;②P 、Q 关于原点对称,则称点对(P,Q)是函数f(x)的一个“友好点对”(点对(P,Q)与(Q,P)看作同一个“友好点对”) 。已知函数
2
⎪2x +4x +1, x
解析:本题若直接求解显然不行,不妨作出函数f(x)=2x2+4x+1,(x
2
与f(x)(x ≥0) 有两个交点,故f(x)的“友好点对”有两个。
3,(2010湖南卷) 用min{a,b}表示a,b 俩数中的最小值,若函数f(x)= min{|x|,|x+t|}的图象 关于直线x=-对2称, 则t=_________________
解析:在同一坐标系中,分别作出函数
y =x 与y =x +t
1
的图像,由图像知f(x)的图像为图中的实线部
-t +0分(A-B-C-O-E)。由于f(x) 的图象 关于直线x=-对称,于是
=-1, ∴t =1。 评注:本题主要考查绝对值函数的图像的做法以及函数图像的对称问题。求解本题应首先作出f(x)的图像(两
函数图像中较低的部分) ,再利用对称性,由中点坐标公式求出t 值。
4. 已知函数f(x)是[a,b]上的连续函数,定义:g1(x)=min{f(t)|a≤t ≤x}(x ∈[a,b]),g 2(x)=max{f(t)|a a ≤t ≤x}( x ∈[a,b]).其中,min{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D 上的最小值,man{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D 上的最大值。若存在最小正整数k, 使得g 2(x)—g 1(x) ≤k(x-a)对任意的x ∈[a,b]成立,则称函数f(x)为[a,b]上的“k 阶回归函数”。
(Ⅰ)若f(x)=cosx, x∈[0, π],试写出g 1(x),g 2(x)的表达式;
(Ⅱ)已知函数f(x)=x2, , x ∈[-1,4],试判断f(x)是否为[-1,4]上的“k 阶回归函数”。如果是,求出对应的k; 如果不是,请说明理由;
⎧x 2, x ∈[-1, 0)
解析: (Ⅰ)由题意可知g 1(x)=cosx,x ∈[0, π], g(x)=1,x ∈[0, π]. (Ⅱ)g 1(x)=⎨
⎩0, x ∈[0, 4]
⎧1-x 2, x ∈[-1, 0)
⎧1, x ∈[-1, 1]⎪2
g (x)=, ⎨2 g(x)—g 1(x)=⎨1, x ∈[0, 1)当x ∈[-1, 0)时,1-x ≤k (x +1),所
⎩x , x ∈[1, 4]⎪x 2, x ∈[1, 4]
⎩
以k ≥1-x , k ≥2;当x ∈[0, 1)时,1≤k (x +1),所以k ≥x 所以k ≥1;当x ∈[1, 4]时,+1
2
2
2
综上所述k ≥ x 2≤k (x +1)所以k ≥x +1, ∴k ≥55
即存在k =4,使得f(x)是[-1,4]上的“4阶回归函数”。
2
评注:本题主要考查新定义函数题问题以及分类讨论思想。
5. 符号[x]表示不超过x 的最大整数,如[2.3]=2,[-1.3]=-2,定义函数{x}=x+[x],那么下列命题中所有正确命题的序号为________。①函数{x}的定义域是R ;②函数{x}的值域是R ; ③方程{x}=
[0, 1)时,[x]=0,{x}=x ∈[0, 1),当x ∈[1, 2)时,[x]=1,{x}=
x+[x]∈[2, 3),于是函数为增函数可见并不存在x 使得{x}∈[因此函数{x}的值域不为R ,②不正确;1, 2),
解析:显然①是成立的;对于②,当x ∈对于③,由②的判定过程可知方程{x}=
3
2
3有唯一解;④函数{x}是周期函数;⑤函数{x}是增函数。
无解,③不正确;对于④,由于{x}为增函数,因此不可能为周期
函数,④不正确;对于⑤,易知x 和[x]均为关于x 的增函数,因此{x}= x+[x] 为增函数,⑤正确。故答案填上①⑤。
评注:一般地,对于含[x]的函数常把定义域分解为 ⋃6. 给出定义:若m-1[-1, 0) [0, 1) [1, 2) 分段讨论求解。又如
1函数f(x)= x-[x]性质的判定,只须分段讨论画图即可。
1(其中m 为整数) ,则m 叫做离实数x 最近的整数,记作{x}=m,在此基础上
];②函数y=f(x)
给出下列关于函数f(x)=|x-{x}|四个命题: ①函数y=f(x)的定义域为R ,值域, 为[0,
的图象关于直线[-2
x =
k 2
(k ∈Z )对称;③函数
2
y=f(x)是周期函数,最小正周期为1;④函数y=f(x)在
,
2
]上是增函数。其中正确的命题的序号是______。
f(x)的对称轴是x =k (k ∈Z ),正确;对于③,2
2
解析: 对于①,f(x)=|x-{x}|=|x-m|由m-
f(x-k)=|x-k-({x}-k)|=|x-{x}|= f(x)所以f(x+1)=|(x+1)-{x+1}|=|(x+1)-({x}+1)|= f(0)=0,f(
12
|x-{x}|=
12
f(x)
12
正确;对于④, 因为
)=
12
,f(-
12
)=
12
, 所以函数y=f(x)在[-, ]上不是单调函数,错误。所以是正确的命题的
序号①②③。 7.下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R 的映射过程: 区间(0,1)中的实数m 对应数轴上的点M ,如图1;将线段AB 围成一个圆,使两端点A 、B 恰好重合,如图2;再将这个圆放在平面直角坐标系中,使其圆心
在y 轴上,设A 的坐标为(0,1),图3中直线AM 与x 轴交于点N (n,0), 则m 的象就是n ,记作f(m)=n.
A(B)
0图1
m
1
图2
图3
(1) 方程f(x)=0的解是x=__;(2)下列说法中正确命题的序号是__。①f(
③f(x)在定义域上单调递增;④f(x)的图象关于点(解析:(1)显然当点M 为AB 中点时,f(x)=0,此时x=分之一圆周上,此时点N 在x 轴的负半轴,即得f(
1111)=1; ②f(x)是奇函数;
,0) 对称。
1. (2)当m=时,对应的圆上的点M 位于四
)=-1,即①不正确,显然该函数的定义域不关于
2
原点对称,即该函数既不是奇函数也不是偶函数,即②也不正确;由图象作图即可知,该函数在定义域上单调递增,即③正确;由图象作图即可知函数f(x)的图象关于点(
,0) 对称。综上可得正确的
命题的序号是③④。
评注:本题主要考查新定义型映射下函数的建模问题,将线段、圆、解析几何中的坐标系、函数建立此类映射关系是此题命题的一大创新。
8. 设函数f(x)的定义域为D ,若存在非零实数l 使得对于任意x ∈M(M⊆
D ), 有x+l ∈D, 且f(x+l ) ≥
f(x),则称f(x)为M 上的l 高调函数。如果定义域为[-1,+∞) 的函数f(x)=x2为[-1,+∞) 上的m 高调函
数。那么实数m 的取值范围是________.如果定义域为R 的函数f(x)是奇函数,当x ≥0时,f(x)=|x-a2|-a2,
且f(x)为R 上的4高调函数,那么实数a 的取值范围是
________.
2
2
2
解析: 定义域为[-1,+∞) 的函数f(x)=x2为[-1,+∞) 上的m 高调函数,则f(x+m)=(x+m)≥x 在[-1,+∞) 上恒成立,即m 2+2mx≥0在[-1,+∞) 上恒成立, 所以2m ≥0且2m ×(-1)+m≥0, 解之得m ≥2. 由定义域为R 的函数f(x)是奇函数,当x ≥0时,f(x)=|x-a2|-a2可得,当x
3
D , 使f(x)在[a,b]上的值域是[a,b]。那么把y=f(x)( x ∈D) 称为闭函数。(1)求闭函数y=-x符合条件②的区间[a,b];(2)判定函数f(x)=3x+1, x ∈(0, +∞)是否为闭函数? 设明理由;(3)若f(x)=k+x +2是闭函数,求实数k 的取值范围. 分析; 根据闭函数定义,建立关于a,b 的方程组,再解方程组可求得区间[a,b];举例判定(2),对于(3)要使方程组有解,消元后分离参数,将k 的取值范围转化为函数图象交点问题。
⎧b =-a 3⎪3
解析:(1)由y=-x在[a,b]上为减函数,得⎨a =-b ,可得a=-1,b=1.所以所求区间为[-1,1].(2)
⎪a
3
取x 1=1,x2=10可得f(x)不是减函数;取x 1=10,x 2=100可得f(x)不是增函数,所以f(x)不是闭函数。
⎧⎪a =k +a +2(3)设函数符合条件②的区间为[a,b],则⎨。故a,b 是方程x=k+x +2的两个实
⎪⎩b =k +k +2
根,即k=x-x +2令t=x +2(t≥0), k=t-2-t=(t-) -9(t≥0), 即y=k与y=(t-) -9(t2424≥0) 由两个交点,作出图象可知-9
2
2
2
点评:(1)是验证。(2)是探究,否定一个命题只需直接构造反例。(3)的求解充分体现等价转化的数学思想,数性结合思想,提升了问题的综合性。对于求参数值的问题,一般利用方程思想求解;对于求参数取值范围问题,一般利用函数思想或不等式思想求解。
变式题:试探究是否存在实数k ,使函数g(x)=x2+k是(-∞,0)上的闭函数? 若存在,求实数k 的取值范围;不存在,请说明理由。(答案:k∈(-1,-34
))
a 2
10. 函数f(x)的定义域为D ,若满足:①f(x)在D 内是单调函数,②存在[
x
]⊆D 使得f(x)在[a , b , b ]222
上的值域为[a,b],那么函数y=f(x)为“优美函数”,若函数y=logc (c-t)(t>0,c≠1) 是“优美函数”,则t 的取值范围是______。
x
a
2
2b
解析:因为f(x)= logc (c-t) 是增函数,则f(
a
)= logc (c -t)=a,且f(
2
a
2
)= logc (c -t)
a
b
=b,得到c -t=c 和c -t=c ,所以c 、c 是方程x -x+t=0的两根,故c 得到t ∈
a
b
b a
(0, )。 4
c =t>0且△=1-4t>0,
b
11. 定义:如果数列{an }的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长,则称{an }为“三角形”数列。
对于“三角形”数列{an },如果函数y=f(x)使得b n =f(an ) 仍为一个“三角形”数列,则称y=f(x)是数
+
列{an }的“保三角形函数”,(n∈N ).
x
(1)已知{an }是首项为2,公差为1的等差数列,若f(x)=k(k>1) 是数列{an }的“保三角形函数”,求实数k 的取值范围.;
(2)已知数列{cn }的首项为2010,S n 是数列{cn }的前n 项和,且满足4S n+1-3S n =8040,求证: {cn }是“三角形”数列;
2
(3)根据“保三角形函数”的定义,对函数h(x)=-x+2x,x∈[1,A],和数列1,1+d,1+2d, (d>0)提出一个正确的命题,并说明理由。
解析: (1)显然a n =n+1, a n +an+1> a n+2, 对任意正整数都成立,即{an }是“三角形”数列。因为k>1,显然有f(an ) f(an+2) 得k + k > k , 解得k
n+1
n+2
n+3
1+. (2)由
4S n+1-3S n =8040得4S n -3S n-1=8040,两式相减得4c n+1-3c n =0,所以c n = 2010
n -1
显然c >c(3)4
n
n+1
>cn+2,因为c n+1+cn+2=2010
2
n +13n -1
=2010⨯(34)n +2010(3))> c , 所以是“三角1644
n
形”数列。(3)探究过程: 函数h(x)=-x+2x,x∈[1,A],是数列1,1+d,1+2d,
(d>0)的“保三角形函数”,必须满足三个条件:①1,1+d,1+2d(d>0) 是“三角形”数列,所以1+1+d>1+2d,即0
由于h(x)=-x+2x,x∈[1,A],是单调递减函数,所以h(1+d)+h(1+2d)> h(1),解得0
2
55
.
评注:本题综合考查了数列,函数,不等式知识及其运用,新定义、新概念创新是主旋律。创新是一个民族的灵魂,在高考卷中常以1~2道小题或1道大题检阅学生的创新思维,它需要理解题中新颖的信息、情景与设问,发现已知条件中的规律,转化为熟悉的数学知识与数学方法求解,从而提高创新思维能力。
⎧x , x ≥y ⎧y , x ≥y
12.(2014年浙江) 记max{x , y }=⎨,min{x , y }=⎨,设a , b 为平面向
⎩y , x
量,则(c )
A. min{|a +b |,|a -b |}≤min{|a |,|b |} B. min{|a +b |,|a -b |}≥min{|a |,|b |}
,|a -b |2}≥|a |2+|b |2 2222
D. min{|a +b |,|a -b |}≤|a |+|b |
C. min{|a +b |
2
13. (2014年山东)已知函数y =f (x )(x ∈R ) ,对函数y =g (x )(x ∈I ),定义g (x )关
于f (x )的“对称函数”为函数y =h (x )(x ∈I ),y =h (x )满足:对任意x ∈I ,两个点
(x , h (x )), (x , g (x ))
关于点
(x , f (x ))
对称,若h (x )是g (
x )=
关于
“对称函数”,且h (x )>g (x )恒成立,则实数b 的取值范围是: b >2。f (x )=3x +b 的
14. (2014•四川)以A 表示值域为R 的函数组成的集合,B 表示具有如下性质的函数φ(x )组成的集合:对于函数φ(x ),存在一个正数M ,使得函数φ(x )的值域包含于区间[﹣M ,M ].例如,当φ1(x )=x,φ2(x )=sinx时,φ1(x )∈A ,φ2(x )∈B .现有如下命题: ①设函数f (x )的定义域为D ,则“f (x )∈A ”的充要条件是“∀b ∈R ,∃a ∈D ,f (a )=b”; ②函数f (x )∈B 的充要条件是f (x )有最大值和最小值;
③若函数f (x ),g (x )的定义域相同,且f (x )∈A ,g (x )∈B ,则f (x )+g(x )∉B . ④若函数f (x )=aln(x+2)+
(x >﹣2,a ∈R )有最大值,则f (x )∈B .
3
其中的真命题有 ①③④ .(写出所有真命题的序号)
福建
15.(安徽2014) 已知两个不相等的非零向量a 、b ,两组向量x 1、x 2、x 3、x 4、x 5和y 1、
y 2、y 3、y 4、y 5均由2个a 和3个b 排列而成. 记
S =x 1⋅y 1+x 2⋅y 2+x 3⋅y 3+x 4⋅y 4+x 5⋅y 5,S min 表示S 所有可能取值中的最小值. 则下列
命题正确的是___②④____(写出所有正确命题的编号).
①S 有5个不同的值;②若a ⊥b ,则S min 与|a |无关;③若a //b ,则S min 与|b |无关;④若|b |>4|a |,则S min >0;⑤若|b |=2|a |,S min =8|a |,则a 与b 的夹角为16. (2014年北京)
π
. 4
17. (2014江苏)
19 (2014北京
)