土体平面应变方向上的主应力_李广信

　第23卷　第3期　2001年　　5月

岩　土　工　程　学　报

Chinese Journal of Geotechn ical Engineering Vol . 23　No . 3　May , 　2001　

土体平面应变方向上的主应力

The principal stress of soil in the direction of plane strain

李广信1, 黄永男2, 张其光1

(1. 清华大学水利水电工程系, 北京　100084; 2. 日本地基基础咨询公司, 日本东京)

摘　要:通常认为在土体平面应变的方向上的主应力总是中主应力, 而文中的试验结果和理论分析表明:在土体接近破坏时, 土体平面应变的方向上的主应力是中主应力; 在保持两个主动主应力比值较小加载时, 土体平面应变的方向上的主应力一般是小主应力; 当两个主动主应力减载到应力值或应力水平很低时, 平面应变方向上的主应力可能变成大主应力, 并且发生减载屈服。这是由土受力变形的弹塑性性质决定的。

关键词:砂土; 平面应变; 中主应力; 减载屈服

中图分类号:TU 431　　　　文献标识码:A 　　　　文章编号:1000-4548(2001) 03-0358-04作者简介:李广信, 男, 1941年生, 工学博士, 清华大学水利水电工程系教授。

LI Guang -xin 1, HUANG Yong -nan 2, ZHANG Qi -guang 1

(1. Depart ment of Hydraulic Engineering , Tsi nghua University , Beijing 100084, China ; 2. Engineering Department , Kiso -Jiban C onsultants Co . Ltd . Tokyo 102, Japan )

Abstract :The principal stress of soil in the direction normal to plane strain is usually co nsidered to be the intermediate principal stress , however it i s true only when the sample is nearly failed in plane strain condition . In present paper , based o n test results and theory analy sis , some interacting conclusions are drawn . In the plane strai n loading tests where the ratio of major activ e principal stress to minor one keeps a small constant , the principal stress of soil in the direction normal to plane strain is generally the minor principal stress . In the plane strain tests w here active principal stresses decrease to small values , the principal stress of soil in the directio n no rmal to plane strain may become the major principal stress , that indi -cates the yielding of soil under decreasing load and resu lts from elasto -plasticity of soils . Key words :sand ; plane strain ; intermediate principal stress ; yielding under decreasing loading

赖于不同的本构模型。试验结果表明, 由于土是一种

1　前　　言

在许多土工问题中, 如在土石坝、路基、堤防、挡土

墙后的填土中, 土体处于平面应变状态, 并且两个主动主应力近似于比例加载。除了三轴应力状态以外, 对于土体平面应变的研究是最多和历史最长的课题之一[1～4]。早期的土的平面应变试验大多数限于小主动主应力保持常数, 不断增加另一个主动主应力, 其目的主要是研究平面应变方向上的主应力及其对土的强度的影响。大量的试验表明, 平面应变条件下砂土峰值强度的内摩擦角比三轴试验高2°～8°; 相应的在土破坏时的毕肖甫(B ishop ) 应力参数b =(σ/(σ2-σ3) 1-σ3)=0. 25～0. 35, σ2是平面应变方向上的主应力。据此人们常常认为, 平面应变方向上的主应力总是中主应力。也有人企图用一个经验公式来计算所有平面应变方向上的中主应力, 认为只要用平面应变试验的内摩擦角代替三轴试验的内摩擦角, 建立本构模型就可以用于解决平面应变问题的应力变形问题[4, 5]。

实际上, 平面应变远不是一种简单的应力状态。在平面应变方向其应变和应变增量都保持为零, 亦即, 复杂的弹塑性材料, 这个方向上的主应力可以是中主应力, 可以是小主应力, 也可能是大主应力。这取决于试验的应力状态、应力路径和加载与减载条件。

2　平面应变方向上的小主应力

在承德中密砂上进行了一系列两个主动主应力等比的平面应变试验[6], 包括单调加载和加载—减载—再加载循环试验。材料和试样的物理性质如下:平均粒径d 50=0. 18mm ; 不均匀系数C u =2. 8; 试样干密度ρ7g /cm 3; 试样相对密度D r =64%。试样为d =1. 长方体, 长51mm , 宽42mm , 高88mm 。首先将试样放入压力室中, 一对刚性水平加压板可保持不动, 也可主动加减荷载; 通过试样帽加减竖向荷载, 还可以通过挂钩施加拉力使竖向应力成为小于室压的小主应力。共进行了k =1. 17, 1. 50, 2. 40, 3. 30四种等比的平面应变试验(k 为两个主动主应力之比) 。其中前两种试验是以竖向为平面应变方向, 后两种分别以竖

　基金项目:国家自然科学基金资助项目(59879008)

　第3期李广信等. 土体平面应变方向上的主应力

359

向和一个水平方向为平面应变方向, 结果表明两种平面应变方向对试验结果的影响不大。只是在同样应力状态, 水平方向为大主应力加载产生的应变比竖向施加大主应力加载产生的应变稍大。这表明试样表现一定的初始各向异性, 但是对于平面应变方向的应力值影响很小。在本文后面的介绍中, 统一以σz 记为大主动主应力; σσx 为小主动主应力; y 为平面应变方向上的主应力, 所以k =σz /σx 。为了表示三个主应力的关系, 定义应力洛德角θ:

tan 3(σy -σx ) /(2σz -σy -σx )

(1)

当θ=0°时, 相当于以σz 为大主应力的常规三轴压缩

试验应力状态; θ=0°～(-60°) 时, 平面应变方向上的主应力σθ=0°～(+60°) 时, σy 为小主应力σ3; y 为中主应力σθ=60°～120°时, σ2; y 为大主应力σ

1。

先应判断小主应力σ3。

3　平面应变方向作用大主应力

在上述的承德砂试样上进行了小主动应力σx =100kPa , 300kPa , 500kPa 为常数的平面应变试验, 试验过程中σx 保持不变。进行了大主动应力σz 单调加载试

[4]

验和σ。结果表明, 在σz 加载—减载—再加载试验z

减小到一定水平时, 平面应变方向, 即Y 方向的主应力σσσ图2y 变成大主应力; z 为中主应力; x 为小主应力。表示了σx =500kPa 单调加载和加卸载循环时的试验的应力应变关系曲线和σy 随σz 加减载的变化情况。结果表明, 当σz 减小到接近小主动主应力σx 时, 平面应变方向存在着明显大于σ减载前z 和σx 的“残余应力”。的应力水平越高, 残余应力越大。在σz 减小到等于σx 时, σy >σz =σx 。图3表示了这种试验在π平面上的应力路径。可见在σ急剧增加z 减少到接近σx 时, 洛德角θ到120°, 亦即σy 成为大主应力。

图1　四种试验在π平面上的应力路径Fig . 1　Stress paths on the πplane of four different tests

图1表示了四种等比加载试验在π平面上的应力路径。可见在k =σ1. 17和1. 50时, 平面应z /σx =变方向的应力总是小主应力。由于在这种比例加载过

程中, 三个主应力的比例关系几乎不变(见图1) , 在一定应力范围内, 应力应变关系弯曲程度也不大(见图5a ) , 可假设土是弹性体, 由于在平面应变y 方向的应变恒等于零, 根据广义虎克定律

ε(σ]/E =0y =[σy -νz +σx )

其中　ν是泊松比。将σ2) , 得到z =k σx 代入式(

σ(1+k ) σy =νx

是:

k

(4)

满足式(4) 时, 平面应变方向的主应力将成为小主应力。由于定义k =σz /σx 是一个不小于1的值, 所以必

须ν大于0. 5才能保证σy 不成为小主应力, 这是不可能的。如果设砂土的泊松比ν=0. 33, 则k

, -, (3)

[4]

图2　σx =500kPa 的平面应变应力循环试验结果

(2)

当ν(1+k )

Fig . 2　Results of plane strain cyclic tests in which σ500kPa x =

在k =σz /σx 为常数的平面应变中, 也出现类似的现象。亦即当减载到σz ≈σx ≈0时, 在平面应变方向的应力σ图4反映了k y >0, 同样存在着“残余应力”。=1. 17的试验在π平面上的应力路径。可见在主动应力加载—减载—再加载的过程中, 平面应变方向的主应力σy 经历了从小主应力到中主应力再到大主应;

360

岩　土　工　程　学　报　2001年　

急剧加大, 另一个较小主动主应力方向上的负应变(膨胀) 相应加大。如果存在剪切面, 它应当垂直于y =常数的平面。根据摩尔-库仑强度理论, 两个大小主动主应力应当分别是大小主应力, 不发生变形的平面应变方向的应力总是中主应力。大量的试验表明这时b =0. 25～0. 35, 由于它的约束作用, 使土的抗剪强度指标有所提高。

当两个主动主应力以较小的比例等比加载时, 这时土体不会发生破坏, 其应力路径总是与破坏线成一

图3　σx =500kPa 试验在π平面上的应力路径

Fig . 3　Stress paths on the πplane of the tests

in which σ500

kPa x =

[4]

定的角度, 见图5(c ) 。从式(3) 和(4) 可见, 这时平面应变方向的主应力是小主应力。

上述的两种平面应变试验表明, 在两个主动应力减少到数值很小或者应力水平很低时, 平面应变方向存在“残余应力”, 这个方向上的主应力变成了大主应力。图5(c ) 表示了等比的平面应变试验(k =σz /σx =1. 17) 在p -q 平面上的加载—减载应力路径。当最后一次减载到σz ≈σx ≈0时, σy =32kPa >0, 并且超越了破坏主应力线。其他的等比试验也存在类似的现象。图5(c ) 中p =(σ/3, q =1+σ2+σ3)

[(σ(σ(σ]/。1-σ2) +2-σ3) +1-σ3)

可是对于砂土, 当两个主应力为零时, 另一个主应

图4　k =1. 17的应力循环平面应变试验

在π平面上的应力路径

Fig . 4　Stress paths on the πplane in cyclic tests with k =1. 17

力大于零, 这显然违反砂土的强度理论与强度机理, 是不可能的。实际上, 砂土的强度决定, 在等比平面应变试验中当主动应力σz 与σx 减少到0时, σy 必须减少到0。试验中测得的“残余应力”可能是试验误差, 它们包括:①试样的橡皮膜的约束; ②压力室中的静水压力; ③两个刚性边界的摩擦约束; ④

试样的自重应力。这些影响在具体试验中是很难完全消除的。

　　由于土实际上是弹塑性材料, 加载时弹性应变与塑性应变是同时发生的, 上述式(2) , (3) 只是为了分析σy , 有条件地假设土为弹性体。在平面应变方向的应

4　平面应变情况下土的强度与减载屈

服

在平面应变条件下加载达到土体接近破坏状态时, 由于在平面应变方向试样受到约束, 其应变总是零, 只能发生一个大主动主应力方向上土的应变(压缩)

图5　k =1. 17平面应变试验应力应变曲线与在p -q 平面上加载-减载应力路径

Fig . 5　Stress -strain curves of plane strain test with k =1. 17and stress path on the p -q plane in a loadin g -unloadin g cycle

　第3期李广信等. 土体平面应变方向上的主应力

361

变应当表示为

e p

εy =εy +εy =0e p d εd εy =d εy +y =0

(5) (6)

的条件得到保证。其应力路径逐渐接近强度线(见图

5(c ) ) 。最后达到σ其他平面应变的减y =σz =σx =0。载情况也都会发生减载屈服。在平面应变的情况下, 不引进减载屈服无法保证平面应变方向的变形条件。

e p e

其中　εd εy 与εy 分别是弹性应变和塑性应变; y 及p d εy 为其增量。有人假设在弹塑性模型中, 在平面应

变条件下:

e p

εy =εy =εy =0e p d εy =d εy =d εy =0e

ε(σ]/E =0y =[σy -νz +σx )

p

d ε g / σy =d λy =0

5　结　　论

(7) (8) (9) (10)

人们通常认为平面应变方向的应力总是中主应力, 其实这只在土体接近破坏状态时才是正确的。当两个主动主应力保持较小的比值加载时, 平面应变方

向的应力通常是小主应力。在减载到主动应力的数值很小或者应力水平很低时, 平面应变方向的应力应当是大主应力。

由于平面应变是一个应变边界条件, 土又是一种十分复杂的弹塑性材料。平面应变方向的应力必须通过相应的土的本构关系模型才能确定。只有能够反映减载屈服的弹塑性模型才能解释诸如“残余应力”, 应力循环中主应力的转换, 减载到初始主动应力状态时平面应变方向的总应变或者其增量为零等现象和条件。在等比平面应变中, 也才能最终使三个主应力同时回到零应力状态。参考文献:

[1]Cornfo rth D H . Some experiments o n the influence of strain con -dition on the strength of sand [J ]. Geotechniqu e , 1964, 14(2) :143～167.

[2]Bishop A W . Sixth Rankine lecture :T he strength of soil as engi -neering material [J ]. Geotechnique , 1966, 16(2) :89～130. [3]Lee K L . Comparison of plane strain and triaxial tests on sand

[J ]. Proc ASCE JSMFD , 1970, 96(SM 3) .

[4]李树勤. 在平面应变条件下砂土本构关系的试验研究[D ].

北京:清华大学, 1982.

[5]史宏彦. 无粘性土的矢量本构模型[D ]. 西安:西安理工大

学, 2000.

[6]黄永男. 等应力比条件下砂土应力应变关系研究[D ]. 北

京:清华大学, 1986.

[7]刘祖德, 孔官瑞. 平面应变条件下膨胀土卸载变形试验研究

[J ]. 岩土工程学报, 1993, 15(2) :68～72.

由式(9) , (10) 可分别根据弹性理论和塑性理论计算平面应变方向的主应力σy :

σ(σy =νz +σx ) g / σy =0

(11) (12)

其中　g 是塑性势函数。这样根据式(11) 与式(12) 计算的两个σy 不可能一样, 就失去了解的唯一性。因而

式(7) , (8) 是不正确的, 只有式(5) , (6) 总是成立的。

以k =1. 17平面应变试验为例(见图5) , 在减载开始时, 基本是弹性变形。亦即

e

d εy =d εy

=0(13) (14)

d σy =ν(d σz +d σx )

从图5可见, 加载时的σy -σz 曲线近似直线。亦即式

(2) 、(3) 中的ν近似常数; 卸载时的泊松比ν数值很小。这使σy 减少的速度明显低于σz 与σx 减少的速度。当达到图中的①、②、③点时, σ由于y 变成大主应力。土实际上是弹塑性材料, 加载时会同时发生弹性变形

e

和塑性变形。在平面应变方向上的变形条件为εy =εy

p +εy

=0。如果认为主动应力减载就是纯卸载, 即只发

生弹性变形, 则当减载到σy =σz =σx =0时, 应当有

e εy

=0, 则从式(5) 得到

p e

ε0=0y =εy -εy =0-

(15)

p

这显然有悖于塑性应变εy 是不可恢复的基本概念。

从图5(a ) 的应力应变关系曲线可见, 在①、②、③点附近曲线发生突变, 表现为减载屈服。如上所述, 同时

e p

σ这样d εd ε使d εy 转变为大主应力。y 0; y =0

征稿简则修订说明

　　本刊征稿简则(修订) 作了两项重要修改:

1. 作者修改稿可用wo rd 软件打印(取消原征稿简则必须用方正或华光软件打印的要求) 。

2. 稿件附图可用微机绘制, 也可用墨线手绘, 均以目视清

晰为度(不再严格规定绘图的比例尺) 。

上述修改是基于出版印刷的质量要求, 并为减轻作者的麻烦和负担所作的尝试。感谢读者对本刊的一贯支持和协助!