定积分在生活中的应用
院 系 : 经济与管理学院 题 目 : 定积分在生活中的应用 年级专业 : 11级市场营销班 学生姓名 : 孙 天 鹏
定积分在生活中的应用
定积分作为大学里很重要的一部分，在生活有广泛的应用。微积分是与应用联系发展起来的，最初牛顿应用微积分是为了从万有引力导出行星三定律，此后，微积分极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、物理学、化学、工程学、经济学等自然科学的发展，而且随着人类知识的不断发展，微积分正指引着人类走向认知的殿堂。 一、定积分的概述
1、定积分的定义：
设函数f(x)在区间[a,b]上有界. ①在[a,b]中任意插入若干个分点a=
x0
n个小区间[x0,x1],[x1,x2], ,[xn-1,xn],且各个小区间的长度依次为∆x1=x1-x0，
∆x2=x2-x1，…，∆xn=xn-xn-1。
②在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点ξi，作函数f(ξi)与小区间长度∆xi的乘积
f(ξi)∆xi（i=1,2, ,n），
③作出和 S=∑f(ξi)∆xi。记P
i=1
n
=max{∆x1,∆x2, ,∆xn}作极限P→0
∑f(ξ)∆x
i
i
i=1
n
如果不论对[a,b]怎样分法，也不论在小区间[xi-1,xi]上点ξi怎样取法，只要当
P→0时，和S
总趋于确定的极限I，这时我们称这个极限I为函数f(x)在
b
区间[a,b]上的定积分（简称积分），记作⎰af(x)dx，即
⎰
ba
f(x)dx=I
=∑f(ξi)∆xi, P→0
i=1
n
其中f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积表达式，x叫做积分变量，a叫做积分下限，b叫做积分上限，⎡⎣a,b]叫做积分区间。
2．定积分的性质
设函数f(x)和g(x)在[a,b]上都可积，k是常数，则kf(x)和f(x)+g(x)都可积，并且
性质1 ⎰akf(x)dx=k⎰af(x)dx;
性质2 ⎰a⎡⎣f(x)+g(x)⎤⎦dx=⎰af(x)dx+⎰ag(x)dx
b
b
b
b
b
⎰
ba
⎡⎣f(x)-g(x)⎤⎦dx=⎰af(x)dx-⎰ag(x)dx.
bb
性质3 定积分对于积分区间的可加性
设f(x)在区间上可积，且a，b和c都是区间内的点，则不论a，b和c的相对位置如何，都有⎰af(x)dx=⎰af(x)dx+⎰bf(x)dx。
性质 4 如果在区间[a,b]上f(x)≡1，则⎰a1dx=⎰adx=b-a。 性质 5 如果在区间[a,b]上f性质 6 如果在[a,b]上,m≤
(x)≥0,则⎰af(x)dx
b
b
b
c
b
c
≥0(a
b
f(x)≤M
,则m(b-a)≤⎰
a
f(x)dx≤M(b-a)
性质 7（定积分中值定理）如果f(x)在[a,b]上连续，则在[a,b]上至少
b
存一点ξ使得 ⎰
a
f(x)dx=f(ξ)(b-a)
3．定理
定理1 微积分基本定理 如果函数
f(x)在区间[a,b]上连续,则积分上限函数φ(x)=⎰f(t)dt
ax
在[a,b]上
可导,并且它的导数是 φ'(x)=
定理 2 原函数存在定理
d⎰f(t)dt
a
x
dx
=f(x)(a≤x≤b).
如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,则函数φ(x)=⎰af(t)dt就是f(x)在
[a,b]上的一个原函数.
x
定理3 如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数, 则 ⎰af(x)dx=F(b)-F(a)
称上面的公式为牛顿-莱布尼茨公式. 二 、定积分的应用
1、定积分在几何中的应用
（1）设连续函数f(x)和g(x)满足条件g(x)≤f(x)，x∈[a,b]．求曲线
（如图1） y=f(x)，y=g(x)及直线x=a,x=b所围成的平面图形的面积S．
解法步骤：
第一步：在区间[a,b]上任取一小区间[x,x+dx]，并考虑它上面的图形的面积，这块面积可用以[f(x)-g(x)]为高，以dx为底的矩形面积近似，于是dS=[f(x)-g(x)]dx．
第二步：在区间[a,b]上将dS无限求和，得到S
b
⎰[f(x)-g(x)]dx. （2）上面所诉方法是以x为积分变量进行微元，再求得所围成图形的面积；我们还可以将y作为积分变量进行微元，再求围成的面积。由连续曲线x=ϕ(y)、x=ψ(y)其中ϕ(y)≥ψ(y)与直线y=c、
的面积y=d所围成的平面图形（图2）
为：
S=⎰[ϕ(y)-ψ(y)]dy
=
a
dc
b
图2
例1 求由曲线y=sinx，y=cosx及直线x=0，x=π所围成图形的面积A．
解 （1）作出图形，如图所示．
易知，在[0,π]上，曲线y=sinx与y=cosx的交点为(
π
4,
22)
；
（2）取x为积分变量，积分区间为[0,π]．从图中可以看出，所围成的图形可以分成两部分；
（3）区间[0,分别为
π
π
4
]上这一部分的面积A1和区间[
π
4
,π]上这一部分的面积A2
A1=
⎰
4
(cosx-sinx)dx
， A2
=
π(sin
4
π
x-cosx)dx
，
所以，所求图形的面积为
π
A=A1+A2=⎰4(cosx-sinx)dx
0+⎰π(sin
4
π
x-cosx)dx
．
π
=[sinx+cosx]04+[-cosx-sinx]π=22
π
4
22
22
例2 求椭圆
xa
+
yb
=1的面积.
解 椭圆关于x轴,y轴均对称,故所求面积为第一象限部分的面积的4倍,即
S
=4S1=4⎰ydx 利用椭圆的参数方程 ⎨
⎩y=bsint
π
2,x=a
a
⎧x=acost
应用定积分的换元法,dx=-asintdt,且当x=0时,t=是
时,t=0,于
S=4⎰πbsint(-acost)dt
2
π
=4ab⎰2sintdt
2
π
=4ab⎰
20
1-cos2t
2
dt
π
⎛t1⎫
=4ab -sin2t⎪2=πab
⎝24⎭
2．求旋转体体积
用类似求平面图形面积的思想我们也可以求一个立体图形的体积，例如一个木块的体积，我们可以将此木块作分割T
:a=x0
成许多基本的小块，每一块的厚度为∆xi(i=1,2, ,n)，假设每一个基本的小块横切面积为A(xi)(i=1,2, ,n)，A(x)为[a,b]上连续函数，则此小块的体积大约是A(
xi)∆xi，将所有的小块加起来，令n
→0，我们可以得到其体积：
V=T0
∑
i=1
A(xi)∆xi=
⎰
b
a
A(x)dx
。
例2 求由曲线xy立体体积.
=4, 直线 x=1,x=4,y=0绕x轴旋转一周而形成的
解 先画图形，因为图形绕x轴旋转，所以取x为积分变量，x的变化区间为[1,4]，相应于[1，4]上任取一子区间[x,x+dx]的小窄条，绕x轴旋转而形成的小旋转体体积，可用高为dx，底面积为πy2的小圆柱体体积近似代替，
即体积微元为
dV
=πy2dx=π
42
()dxx
,
于是，体积
V
=π⎰
41
42
()dxx
=16π⎰1
4
1x1x
2
dx
41
=-16π
=12π.
3.求曲线的弧长 （1）设曲线y=
f(x)在[a,b]上有一阶连续导数（如下图）,利用微元法，
取x为积分变量，在[a,b]上任取小区间[x,x+dx]，切线上相应小区间的小段
MT
的长度近似代替一段小弧MN的长度，即lMN
ds=MT=
(dx)+(dy)
2
2
≈ds
.得弧长微元为：
=
b
+(y')dx
2
,再对其积分，
2
则曲线的弧长为：s=⎰ads
=
⎰
b
a
+(y')dx=
⎰
b
a
2
+[f'(x)]dx
（2）参数方程表示的函数的弧长计算，设曲线⎨
⎧x=ϕ(t)⎩y=ψ(t)
上t∈[α,β]一段的弧
长.这时弧长微元为：
ds=
=
即
ds=
则曲线的弧长为
s=
⎰α
β
ds=
⎰α
β
22
ϕ'(t)]+[ψ'(t)]dt
3
例3 (1)求曲线 y=解 由公式 s=⎰
s=⎰
30
ba
23
x2
上从0到3一段弧的长度
2
+y'dx （ a
+y'dx
2
=⎰0
3
+xdx
=
23
3
(1+x)2
30
=
163
-
23
=
143
.
>0
⎧x=a(t-sint),
(2)求摆线 ⎨
⎩y=a(1-cost)
在0≤t≤2π上的一段弧的长度（a）．
解 取t为积分变量，积分区间为
[0,2π]．由摆线的参数方程，得
x'=a(1-cost)，y'=asintx'+y'
2
2
，
2
2
=a(1-cost)+asin
22
t
=a
2(1-cost)=2a|sin
t2
|．
于是，由公式（16-13），在0≤t≤2π上的一段弧的长度为
s=
⎰
2π0
2a|sin
t2
|dt=
⎰
2π0
t⎤⎡
2asin =4a⎢-cos⎥=8a
22⎦0⎣
t
2π
2、定积分在经济中的应用
（1）、由经济函数的边际，求经济函数在区间上的增量
根据边际成本，边际收入，边际利润以及产量x的变动区间[a,b]上的改变量（增量）就等于它们各自边际在区间[a,b]上的定积分：
R(b)-R(a)=C(b)-C(a)=L(b)-L(a)=
⎰
baba
R'(x)dx
（1）
⎰
ba
C'(x)dx （2）
⎰
L'(x)dx
（3）
例1 已知某商品边际收入为-0.08x+25（万元/t），边际成本为5（万元/t），求产量x从250t增加到300t时销售收入R(x)，总成本C(x)，利润I(x)的改变量（增量）。
解 首先求边际利润
L'(x)=R'(x)-C'(x)=-0.08x+25-5=-0.08x+20
所以根据式（1）、式（2）、式（3），依次求出：
R(300)-R(250)=C(300)-C(250)=L(300)-L(250)=
⎰
[1**********]0
R'(x)dx=C'(x)dx=L'(x)dx=
⎰⎰⎰
300250300
(-0.08x+25)dxdx=250
=150万元
⎰⎰
250
万元
=-100万元
300250
300250
(-0.08x+20)dx
（2）、由经济函数的变化率，求经济函数在区间上的平均变化率
设某经济函数的变化率为f(t)，则称
[t2,t1]内的平均变化率。
⎰
t2t1
f(t)dt
t2-t1
为该经济函数在时间间隔
例2 某银行的利息连续计算，利息率是时间t（单位：年）的函数：
r(t)=0.08+求它在开始2年，即时间间隔[0，2]内的平均利息率。
解 由于
⎰
2
r(t)dt=
⎰
2
(0.08+dt=0.16+0.01=0.16+所以开始2年的平均利息率为
r=
⎰
20
r(t)dt
=0.08+2-0
≈0.094
例3 某公司运行t（年）所获利润为L(t)（元）利润的年变化率为
L'(t)=3⨯10
/年）求利润从第4年初到第8年末，即时间间隔[3，
8]内年平均变化率
解 由于
⎰
83
L'(t)dt=
⎰
83
3
3⨯10
=2⨯10⋅(t+1)2
5
83
=38⨯10
5
所以从第4年初到第8年末，利润的年平均变化率为
⎰
83
L'(t)dt8-3
=7.6⨯10
5
（元/年）
即在这5年内公司平均每年平均获利7.6⨯105元。 （3）、由贴现率求总贴现值在时间区间上的增量
设某个项目在t（年）时的收入为f(t)（万元），年利率为r，即贴现率是f(t)e-rt，则应用定积分计算，该项目在时间区间[a,b]上总贴现值的增量为⎰a
b
f(t)e
-rt
ndt
。
设某工程总投资在竣工时的贴现值为A（万元），竣工后的年收入预计为a（万元）年利率为r，银行利息连续计算。在进行动态经济分析时，把竣工后收入的总贴现值达到A，即使关系式
⎰
T
ae
-rt
dt=A
成立的时间T（年）称为该项工程的投资回收期。
例4 某工程总投资在竣工时的贴现值为1000万元，竣工后的年收入预计为200万元，年利息率为0.08，求该工程的投资回收期。
解 这里A=1000，a=200，r=0.08，则该工程竣工后T年内收入的总贴现值为 ⎰
T0
200e
-0.08t
dt=
200-0.08
e
-0.08t
T
=2500(1-e
-0.08T
)
令 2500(1-e-0.08T)=1000，即得该工程回收期为
T=-
10.08
ln(1-
10002500
)=-
10.08
ln0.6 =6.39（年）
3、定积分在物理中的应用
1、求变速直线运动的路程
我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v=v (t) ( v(t) ≥0) 在时间区间[a,b]上的定积分，即 s=⎰av(t)dt
例 1、一辆汽车的速度一时间曲线所示．求汽车在这1 min 行驶的路程．
解：由速度一时间曲线可知：
⎧3t,0≤t≤10,⎪
v(t)=⎨30,10≤t≤40
⎪-1.5t+90,40≤t≤60.⎩
b
如图
因此汽车在这 1 min 行驶的路程是：
s=
=32
⎰
10
3tdt+[⎰30dt+⎰(-1.5t+90)dt
10
40
40
4060
t|0+30t|10+(-
210
34
t+90t)|40=1350(m)
2
60
答：汽车在这 1 min 行驶的路程是 1350m .
总结：从上面的论述中可以看出，定积分的应用十分的广泛，利用定积分来解决其他学科中的一些问题，是十分的简洁、方便，由此可对见向学习、思维的妙处.因此我们要学会横向学习，各个学科之间都是有联系的，若我们能够在学习中把这些联系找出来并加以分析、总结并应用，则不仅能加深对知识的理解，贯通了新旧知识，还能拓宽知识的应用范围、活跃思维，无论从深度上还是广度上都是质的飞跃.
10