初二几何拉分题4套(含答案)

第一套

1．在△ABC 中，AB ＝AC ，BD 、CD 平分∠ABC、∠ACB，点D 在△ABC 内，过D 点作EF∥BC．请问EF 与BE 、CF 有什么关系？

2．如图所示，在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB＝90°，D 为BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作BF∥AC交DE 的延长线于点F ，连接CF ．（1）求证：AD ⊥CF ．（2）连接AF ，试判断△ACF 的形状并说明理由．

3．在四边形ABCD 中，对角线BD 平分∠ABC且∠BAD与∠BCD互补，求证：AD ＝CD ．

4．如图所示，点P 是△ABC 的BC 边的垂直平分线上一点，且∠A＝2∠PBC，BP 、CP 的延长线分别交AC 、AB 于点D 、E ，求证：BE ＝CD ．

5．如图所示，∠1＝∠2，AB ＞AC ，求证：BD ＞DC ．

6．如图所示，正方形ABCD 中，M 在CD 上，N 在DA 延长线上，CM ＝AN ，点E 在BD 上，EN 平分∠DNM，EF ⊥MN 于点F ，问MN 、AD 、EF 有什么数量关系？

第二套

1．在△ABC 中，AB ＝AC ，延长AB 到点D 使BD ＝AB ，E 为AB 边的中点，求证：CD ＝2CE ．

2．已知△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，过D 作DE ⊥AC 于点E ，F 为BC 边的中点，过F 作FG ⊥DC 于点G ，求证：DG ＝EG ．

3．如图所示，设BP 、CQ 是△ABC 的内角平分线，AH 、AK 分别为A 到BP 、CQ 的垂线．求证：KH∥BC．

4．如图所示，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，BE 为AC 边的中线，且∠CBE＝30°，求证：AD ＝BE ．

5．如图所示，已知AO 是△ABC 中∠A的平分线，BD ⊥AO 的延长线于点D ，E 是BC 的中点，求证：DE ＝

（AB －AC ）．

6．如图所示，在任意五边形ABCDE 中，M 、N 、P 、Q 分别为AB 、CD 、BC 、DE 的中点，K 、L 分别为MN 、PQ 的中点．求证：KL∥AE，且KL ＝

AE ．

第三套

1．如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC＝20°，D 是AB 上一点，∠BDC＝30°，求证：AD ＝BC ．

2．如图所示，在Rt △ABC 中，CM 是斜边AB 上的中线，MN ⊥AB ，∠ACB的平分线CN 交MN 于N ，求证：CM ＝MN ．

3．如图所示，以正方形ABCD 的边AD 为边向外作等边三角形ADE ，F 为DE 的中点，AF 与BE 交于M ，求证：DM ＝

BD ．

4．已知一个直角三角形中，三条边皆为整数，一条直角边的长为1997，那么另一条直角边的长为多少？

5．如图所示，△ABC 三边的边长分别是BC ＝17，CA ＝18，AB ＝19．过△ABC 内的点P 向△ABC 的三条边分别作垂线PD 、PE 、PF （D 、E 、F 为垂足），且BD ＋CE ＋AF ＝27．求BD ＋BF 的长．

6．如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，点P 是BC 边上的任意一点，求证：PA ＋PB·PC 是定

2

值．

第四套

1．如图所示，在△ABC 中，AC ＝BC ＝5，∠ACB＝80°，O 为△ABC 内一点，∠OBA＝10°，∠OAB＝30°．求BO 的长．

2．如图所示，设点P 为△ABC 内一点，∠PBA＝10°，∠PCB＝30°，∠BAP＝20°，∠CBP＝40°，求证：△ABC 是等腰三角形．

［提示：外心（外接圆的圆心）定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点，该点叫做三角形的外心．］

3．如图所示，请求证：在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行．

4．任意剪六个圆形纸片放在桌面上，使得没有一个纸片的中心落在另一纸片上或被另一纸片盖住，然后用一枚针去扎这一堆纸片．证明：不论针尖落在哪一点，总不能一次把六个纸片全部扎中．

5．请求证：若梯形两底的和等于一腰，则这腰同两底所夹的两角的平分线必过对腰的中点．

答案 第一套

1．BE ＝CF ＝EF ．提示：因为BD 是角平分线，所以∠EBD＝∠DBC＝∠ABC；因为EF∥BC，

所以∠EDB＝∠DBC，所以∠EBD＝∠EDB，所以EB ＝ED ．同理，FC ＝DF ．又因为AB ＝AC ，所以∠ABC＝∠ACB，所以∠EBD＝∠EDB＝∠FCD＝∠FDC＝

∠ABC＝

∠ACB，所以∠DBC＝∠DCB＝

∠ABC＝

∠ACB．因为∠DBC＝∠DCB，所以BD ＝DC ．在△EBD 和△FCD 中，∠EBD＝∠FCD，BD ＝DC ，∠EDB＝∠FDC，所以△EBD≌△FCD ，所以DE ＝DF ＝

EF ，因此BE ＝CF ＝EF ．

2．等腰三角形．提示：（1）在等腰直角三角形ABC 中，∠CAB＝∠ABC＝45°，因为BF∥AC，所以∠CBF＝90°，所以∠BDE＝∠DFB＝45°，所以BF ＝BD ，因此△ACD≌△CBF （SAS ），可得∠CDA＝∠BFC，所以AD ⊥CF ．（2）因为AB 垂直平分DF ，所以AD ＝AF ；又因为AD ＝CF ，所以△ACF 为等腰三角形．

3．提示：作DE 垂直于BA 、交BA 的延长线于点E ，作DF 垂直于BC 、交BC 于点F ．因为BD 平分∠ABC，所以DE ＝DF ；又因为∠BAD与∠BCD互补，所以∠EAD＝∠DCB．所以△EAD≌△FCD （AAS ），即AD ＝CD ．

4．提示：在BD 上取一点F ，使得PE ＝PF ，连接CF ．因为PG 垂直平分BC ，所以PB ＝PC ；又因为PB ＝PC ，∠BPE＝∠CPF，PE ＝PF ，可得△PBE≌△PCF （SAS ）．所以BE ＝CF ，∠PBE＝∠PCF．因为∠CDF＝∠A＋∠ABD＝2∠PBC＋∠PBE＝∠PBC＋∠PCB＋∠PCF＝∠PBC＋∠BCF＝∠CFD，所以CD ＝CF ，因此BE ＝CD ．

5．提示：在AB 上截取AF ＝AC ，连接DF ．易证△ADF≌△ADC ，所以FD ＝CD ，∠ADC＝∠ADF．因为∠ADC＝∠1＋∠B，∠BFD＝∠1＋∠ADF，所以∠BFD＞∠B，由此可得BD ＞DF ，所以BD ＞DC ．

6．AD －EF ＝

MN ．提示：

＝AD －EF ，过点E 作EG ⊥AD 交AD 于点G ，EQ ⊥AB 交AB

于点Q ，过点B 作BP ⊥MN ．因为AB ＝CB ，∠NAB＝∠MCB，AN ＝CM ，所以△NAB≌△MCB ，所以∠NBA＝∠MBC，BN ＝BM ．因为∠MBC＋∠ABM＝90°，所以∠NBA＋∠ABM＝90°，所以∠NBM＝90°，△MBN 为等腰直角三角形且BP ⊥MN ，BP ＝MN ．因为△NPB 为等腰直角三角形，所以∠PNB＝45°；因为EN 平分∠DNM，所以EG ＝EF ，∠AGE＝∠AQE＝90°；因为∠ADB＝∠ABD＝45°，所以△DGE 与△BQE 都为等腰直角三角形，DG ＝EG ＝EF ，∠QEB＝45°，所以AG ＝AD －DG ＝AD －EF ，又因为∠GAQ＝90°，四边形AGEQ 为矩形，所以QE∥AG且QE ＝AG ＝AD －EF ，∠GNE＝∠QEN，∠QEN＝∠ENF；因为∠BNE＝∠ENF＋∠PNB，∠BEN＝∠QEN＋∠QEB，又因为∠PNB＝∠QEB＝45°，所以∠BNE＝∠BEN，BN ＝BE ，所以△BEQ≌△NBP ，EQ ＝BP ＝

MN ，AD －EF ＝

MN ．

第二套

1．提示：延长CE 到点F ，使CF ＝2CE ．在△AEC 和△BEF 中，CE ＝EF ，∠AEC＝∠BEF，AE ＝EB ，所以△AEC≌△BEF ，可得BF ＝AC ＝AB ＝BD ，∠CAE＝∠FBE．因为∠CBD＝∠CAB＋∠ACB，∠CBF＝∠CBA＋∠ABF，∠ACB＝∠ABC，所以∠CBD＝∠CBF．在△CBF 和△CBD 中，BF ＝BD ，∠CBD＝∠CBF，CB ＝CB ，所以△CBF≌△CBD ，可得CF ＝CD ，因此CD ＝2CE ．

2．提示：作FQ ⊥BD 于点Q ，由DE ⊥AC 可得∠DEC＝90°，由FG ⊥CD ，CD ⊥BD ，得B D∥FG，∠BDC＝∠FGC＝90°，因此QF∥CD，QF ＝DG ，∠B＝∠GFC．又因为F 为BC 边的中点，所以BF ＝FC ，易证△BQF≌△FGC ，可得QF ＝GC ，则QF ＝DG ，DG ＝GC ．在Rt △DEC 中，G 为DC 中点，所以DG ＝EG ．

3．提示：延长AH 交BC 于N ，延长AK 交BC 于M ．因为BH 平分∠ABC，可得∠ABH＝∠NBH．因为BH ⊥AH ，所以∠AHB＝∠NHB，可证△ABH≌△NBH （ASA ），所以AH ＝HN ．同理可得AK ＝KM ，因此KH 是△AMN 的中位线，可得KH∥MN，即KH∥BC．

4．提示：取DC 的中点F ，连接EF ，则EF 为△ADC 的中位线，所以EF ＝AD 且EF∥AD．因为AD ⊥BC ，所以EF ⊥BC ；又因为∠CBE＝30°，所以EF ＝BE ，因此AD ＝BE ．

5．提示：延长AC 、BD 交于点F ，因为BD ⊥AO ，所以△ABD≌△AFD （ASA ），则△ABF 为等腰三角形且BD ＝DF ．又因为E 为BC 中点，所以ED 是△BCF 的中位线，因此DE ＝CF ＝－AC ）＝（AB －AC ）． （AF

6．提示：连接BE ，取其中点为R ，再连接MR ，连接PN 、NQ 、QR 、RP ．在△ABE 中，因为M 、R 分别为AB 、BE 的中点，则MR ＝AE ．又因为N 、P 、R 、Q 分别为各边上的中点，所以四边形PNQR 为平行四边形，可得平行四边形的两条对角线RN 、PQ 互相平分．又因为L 为PQ 中点，所以L 为RN 的中点．在△MNR 中，因为K 、L 分别为MN 、RN 的中点，所以KL∥MR，KL ＝

此KL∥AE且KL ＝AE ． MR ，因

第三套

1．提示：作AE ⊥CD ，垂足为E ，作AF ⊥BC ，垂足为F ．因为AB ＝AC ，故∠BAF＝∠BAC＝10°，又∠ACD＝∠BDC－∠DAC＝30°－20°＝10°，从而∠BAF＝∠ACD，所以Rt △AFC≌Rt△CEA ，CF ＝AE ，但是CF ＝BC ，AE ＝AD ，故BC ＝AD ．

2．提示：作CH ⊥AB ，垂足为H ，因为AC ⊥BC ，所以∠BCH＝∠A．因为CM 是斜边AB 上的中线，故CM ＝AM ，∠A＝∠ACM，所以∠BCH＝∠ACM．又因为CN 是∠ACB的平分线，故∠ACN＝∠BCN，

所以∠ACN－∠ACM＝∠BCN－∠BCH，即∠MCH＝∠HCN．因为MN ⊥AB ，CH ⊥AB ，所以MN∥CH，所以∠HCN ＝∠N，∠MCN＝∠N，因此CM ＝MN ．

3．提示：因为∠BAE＝90°＋60°＝150°，且BA ＝AD ＝AE ，所以∠ABE＝∠AEB＝（180°－150°）＝15°．因为F 是等边三角形ADE 边DE 的中点，所以AF 垂直平分DE ，∠EAF＝30°，所以∠DMF＝∠EMF＝∠EAM＋∠AEB＝30°＋15°＝45°；所以∠EMD＝45°＋45°＝90°，故DM ⊥BE ．又因为∠DBM＝∠DBA－∠EBA＝30°，所以DM ＝BD ．

22224．1994004．提示：设斜边为y ，另一条直角边为x ，y －x ＝1997，（y －x ）×（y ＋x ）＝1997

（因为1997为质数所以只能拆成1和1997的平方，显然y ＋x ＞y －x ，所以y －x ＝1；又因为y －x ＝1，y ＋x ＝1997＝3988009，所以2

5．18．提示：设BD ＝x ，CE ＝y ，AF ＝z ，则DC ＝17－x ，AE ＝18－y ，FB ＝19－z ，连接PB 、PC ．在Rt △PBD 和Rt △PFB 中，有x ＋PD ＝（19－z ）＋PF ，同理有y ＋PE ＝（17－x ）＋PD ，22222222z ＋PF ＝（19－y ）＋PE ．将以上三式相加，得到x ＋y ＋z ＝（17－x ）＋（18－y ）＋（19－z ），2222222222即17x ＋18y ＋19z ＝487，又因为x ＋y ＋z ＝27，故x ＝z －1．所以BD ＋BF ＝x ＋（19－z ）＝（z －1）＋（19－z ）＝18．

6．提示：作AD ⊥BC 于点D ．在Rt △ADP 中，由勾股定理得PA ＋PB·PC ＝PA ＋（BD ＋DP ）（DC 22

－DP ），又因为AB ＝AC ，所以BD ＝CD ，因此PA ＋PB·PC ＝PA －DP ＋BD ＝AD ＋BD ＝AB ＝25．所2222222

以不论点P 在BC 上何处，PA ＋PB·PC 都是定值． 2

第四套

1．提示：作∠CBO的角平分线BD 交AO 的延长线于点D ，连接CD ．因为∠OBA＝10°，BD 为∠CBO的角平分线，所以∠DBO＝∠DBC＝20°，所以∠DAB＝∠DBO＋∠ABO＝30°＝∠DBA，因此AD ＝BD ．在△ACD 和△BCD 中，AD ＝BD ，CD ＝CD ，AC ＝BC ，所以△ACD≌△BCD ，所以∠ACD＝∠BCD＝∠CBD＝∠OBD，BD ＝BD ，所以△BDC≌△BDO ，所以BO ＝BC ＝5．

2．提示：作AQ ⊥BC ，且AQ ＝AB ，连接QP 、QB 、QC ，易知∠BAQ＝40°，于是∠BAP＝∠QAP，所以△BAP≌△QAP ，BP ＝QP ．又因为∠APB＝150°＝∠APQ，所以∠BPQ＝60°，△BPQ 为正三角形．因为BQ ＝PQ ，∠PQB＝60°＝2∠PCB，所以Q 为△BPC 的外心，于是BQ ＝CQ ，AQ 垂直平分BC ，所以AB ＝AC ，△ABC 是等腰三角形．

3．提示（反证法）：在同一平面内，假设AB 不平行于CD ，则AB 与CD 相交，设其交点为P ．已知AB∥EF，CD∥EF，这就是说过P 点有两条直线．AB 和CD 都平行于直线EF ，显然，这与平行公理（欧氏几何）矛盾，因此假定AB 不平行于CD 是错误的．由此可知AB∥CD．

4．提示：（该命题相当于，平面上有六个圆，每个圆心都在其余各圆的外部，证明平面上任意一点都不会同时在这六个圆内部．）

∠ACB＝40°．因为∠BOD＝∠OAB＋∠OBA＝40°，所以∠BOD＝∠BCD．在△BDC 和△BDO 中，∠BOD＝∠BCD，

第4题

证明：如图所示，设平面上有一点M ，同时在六个圆心MO 1，MO 2，…，MO 6上，则∠O1MO 2＋∠O2MO 3＋…＋∠O6MO 1＝360°．因此，至少有一个角不大于60°，不妨设∠O1MO 2≤60°，∠1≤60°，又∠1＋∠2＋∠3＝180°，则∠2和∠3中必有一个不小于60°，不妨设∠3≥60°，则∠3≥∠1，所以O 1O 2≤O1M ＜r 1（r 1为圆O 1的半径）．故O 2在圆O 1内，这与题设矛盾，这就证明了点M 不可能同时在六个圆的内部．

5．提示：由于线段的中点是唯一的，而一个角的平分线也是唯一的．从而本题符合同一原理，故可用同一方法证明．

第5题

证明：连接AE 并延长，使之与BC 的延长线交于F ，则易证明△AED≌△FCE ．所以BF ＝BC ＋CF ＝BC ＋AD ＝AB ，所以∠2＝∠5，而∠1＝∠5，所以∠1＝∠2．这就是说，AE 是∠BAD的平分线．同理∠3＝∠4，即BE 是∠ABC的平分线．

由于一条线段的中点是唯一的，一个角的平分线也是唯一的，所以∠DAB和∠ABC的平分线都过CD 的中点E ．故原命题得证．