简谐运动5
机械振动和机械波
知识网络:
简谐运动
运动规律
物理量:振幅、周期、频率 简谐运动图象
弹簧振子:F= - kx
受力特点
受迫振动
共振
回复力:F= - kx
单摆:F
机械振动在的
介传质播中
阻尼振动 无阻尼振动 形成和传播特点 类型 纵波
mg
x L
L
周期:T2
g
机械波单元切块:
按照考纲的要求,本章内容可以分成两部分,即:机械振动;机械波。其中重点是简谐运动和波的传播的规律。难点是对振动图象和波动图象的理解及应用。
典型的简谐运动 1.弹簧振子
(1)周期T2m,与振幅无关,只由振子质量和弹簧的劲度决定。
k
(2)可以证明,竖直放置的弹簧振子的振动也是简谐运动,周期公式也是T2m。
k这个结论可以直接使用。
(3)在水平方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧的弹力;在竖直方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和重力的合力。
【例1】 有一弹簧振子做简谐运动,则 ( )
A.加速度最大时,速度最大 B.速度最大时,位移最大
vT x=vt
干涉 衍射
机械振动
C.位移最大时,回复力最大 D.回复力最大时,加速度最大 解析: C、D
【例2】 试证明竖直方向的弹簧振子的振动是简谐运动.
解析:如图所示,设振子的平衡位置为O,向下方向为正方向,此时弹簧的形变为x0 ,根据胡克定律及平衡条件有
mgkx00 ①
当振子向下偏离平衡位置为x时,回复力(即合外力)为
F回mgk(xx0) ②
将①代人②得:F回kx,可见,重物振动时的受力符合简谐运动的条件.
【例3】 如图所示,质量为m的小球放在劲度为k的轻弹簧上,使小球上下振动而又始终未脱离弹簧。(1)最大振幅A是多大?(2)在这个振幅下弹簧对小球的最大弹力Fm是多大?
解析:(1)最大振幅应满足kA=mg, A=
mg
k
(2)小球在最高点和最低点所受回复力大小相同,所以有:Fm-mg=mg,Fm=2mg 【例4】弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点之间做简谐运动.B、C相距20 cm.某时刻振子处于B点.经过0.5 s,振子首次到达C点.求:
(1)振动的周期和频率;
(2)振子在5 s内通过的路程及位移大小;
(3)振子在B点的加速度大小跟它距O点4 cm处P点的加速度大小的比值. 【例5】一弹簧振子做简谐运动.周期为T
A.若t时刻和(t+△t)时刻振子运动速度的大小相等、方向相反,则Δt一定等于T/2的整数倍
D.若t时刻和(t+△t)时刻振子运动位移的大小相等、方向相同,则△t一定等于T的整数倍
C.若△t=T/2,则在t时刻和(t-△t)时刻弹簧的长度一定相等 D.若△t=T,则在t时刻和(t-△t)时刻振子运动的加速度一定相同 解析: D选项正确。 2.单摆。
(1)单摆振动的回复力是重力的切向分力,不能说成是重力和拉力的合力。在平衡位置振子所受回复力是零,但合力是向心力,指向悬点,不为零。
(2)当单摆的摆角很小时(小于5°)时,单摆的周期T2
l,与摆球质量m、g
振幅A都无关。其中l为摆长,表示从悬点到摆球质心的距离,要区分摆长和摆线长。
(3)小球在光滑圆弧上的往复滚动,和单摆完全等同。只要摆角足够小,这个振动就是简谐运动。这时周期公式中的l应该是圆弧半径R和小球半径r的差。
【例6】 已知单摆摆长为L,悬点正下方3L/4处有一个钉子。让摆球做小角度摆动,其周期将是多大?
解析:该摆的周期为 :TT1T23
222
l
g
【例7】 固定圆弧轨道弧AB所含度数小于5°,末端切线水平。两个相同的小球a、b分别从轨道的顶端和正中由静止开始下滑,比较它们到达轨道底端所用的时间和动能:ta__tb,Ea__2Eb。
解析: ta= tb; Ea>2Eb。 三、简谐运动的图象
1.简谐运动的图象:以横轴表示时间t,以纵轴表示位移x,建立坐标系,画出的简谐运动的位移——时间图象都是正弦或余弦曲线.
2.振动图象的含义:振动图象表示了振动物体的位移随时间变化的规律. 点评:关于振动图象的讨论
(1)简谐运动的图象不是振动质点的轨迹.
(2)简谐运动的周期性,体现在振动图象上是曲线的重复性.
【例9】 劲度系数为20N/cm的弹簧振子,它的振动图象如图所示,在图中A点对应的时刻
A. 振子所受的弹力大小为0.5N,方向指向x轴的负方向
B.振子的速度方向指向x轴的正方向 C. 在0~4s内振子作了1.75次全振动
D。在0~4s内振子通过的路程为0.35cm,位移为0 解析: B.
【例10】 摆长为L的单摆做简谐振动,若从某时刻开始计时,(取作t=0),当振动至
t
32L
时,摆球具有负向最大加速度,则单摆的振动图象是图中的( ) g
解析: D正确。 四、受迫振动与共振 1.受迫振动
物体在驱动力(既周期性外力)作用下的振动叫受迫振动。
⑴物体做受迫振动的频率等于驱动力的频率,与物体的固有频率无关。
⑵物体做受迫振动的振幅由驱动力频率和物体的固有频率共同决定:两者越接近,受迫振动的振幅越大,两者相差越大受迫振动的振幅越小。
2.共振
当驱动力的频率跟物体的固有频率相等时,受迫振动的振幅最大,这种现象叫共振。 要求会用共振解释现象,知道什么情况下要利用共振,什么情况下要防止共振。
【例12】 一物体做受迫振动,驱动力的频率小于该物体的固有频率。当驱动力的频率逐渐增大时,该物体的振幅将:( )
A.逐渐增大
B.先逐渐减小后逐渐增大; C.逐渐减小
D.先逐渐增大后逐渐减小 解析: D。
【例13】如图所示,在一根张紧的水平绳上,悬挂有 a、b、c、d、e五个单摆,让a摆略偏离平衡位置后无初速释放,在垂直纸面的平面内振动;接着其余各摆也开始振动。下列说法中正确的有:( )
A.各摆的振动周期与a摆相同
B.各摆的振幅大小不同,c摆的振幅最大 C.各摆的振动周期不同,c摆的周期最长 D.以上说法均不正确 解析: A、B。
简谐运动的图象专项练习
1.一质点做简谐运动的振动图象如下图所示,由图可知t=4s时质点( )
A.速度为正的最大值,加速度为零 B.速度为零,加速度为负的最大值 C.位移为正的最大值,动能为最小 D.位移为正的最大值,动能为最大
2.如下图中,若质点在A对应的时刻,则其速度v、加速度a的大小的变化情况为( )
A.v变大,a变小 B.v变小,a变小 C.v变大,a变小 D.v变小,a变大
3.某质点做简谐运动其图象如下图所示,质点在t=3.5s时,速度v、加速度α的方向应为( )
A.v为正,a为负 B.v为负,a为正 C.v、a都为正 D.v、a都为负
4.如下图所示的简谐运动图象中,在t1和t2时刻,运动质点相同的量为( )
A.加速度 B.位移 C.速度 D.回复力
5.如下图所示为质点P在0~4s内的振动图象,下列说法中正确的是( )
A.再过1s,该质点的位移是正的最大 B.再过1s,该质点的速度方向向上 C.再过1s,该质点的加速度方向向上 D.再过1s,该质点的加速度最大 6.一质点作简谐运动的图象如下图所示,则该质点( )
A.在0至0.01s内,速度与加速度同方向 B.在0.01至0.02s内,速度与回复力同方向 C.在0.025s末,速度为正,加速度为负 D.在0.04s末,速度为零,回复力最大 7.如下图所示,下述说法中正确的是( )
A.第2s末加速度为正最大,速度为0 B.第3s末加速度为0,速度为正最大 C.第4s内加速度不断增大 D.第4s内速度不断增大
8.一个做简谐振动的质点的振动图象如下图所示,在t1、t2、t3、t4各时刻中,该质点所受的回复力的即时功率为零的是( )
A.t4 B.t3 C.t2 D.t1
9.如下图所示为一单摆做间谐运动的图象,在0.1~0.2s这段时间内( )
A.物体的回复力逐渐减小 B.物体的速度逐渐减小 C.物体的位移逐渐减小 D.物体的势能逐渐减小
10.一个弹簧振子在A、B间做简谐运动,O为平衡位置,如下图a
所示,以某一时
刻作计时起点(t为0),经
1
周期,振子具有正方向增大的加速度,那么在下图b所示的4
几个振动图象中,正确反映振子振动情况(以向右为正方向)的是( )
11.弹簧振子做简谐运动的图线如下图所示,在t1至t2这段时间内( )
A.振子的速度方向和加速度方向都不变 B.振子的速度方向和加速度方向都改变 C.振子的速度方向改变,加速度方向不变 D.振子的速度方向不变,加速度方向改变
12.如下左图所示为一弹簧振子的简谐运动图线,头0.1s内振子的平均速度和每秒钟通过的路程为( )
A.4m/s,4m B.0.4m/s,4cm C.0.4m/s,0.4m D.4m/s,0.4m 13.如上右图所示是某弹簧振子在水平面内做简谐运动的位移-时间图象,则振动系统在( )
A.t1和t3时刻具有相同的动能和动量 B.t1和t3时刻具有相同的势能和不同的动量 C.t1和t5时刻具有相同的加速度 D.t2和t5时刻振子所受回复力大小之比为2∶
1
14.从如下图所示的振动图象中,可以判定弹簧振子在t时,具有正向最大加速度;t= s时,具有负方向最大速度;在时间从 s至 s内,振子所受回复力在-x方向并不断增大;在时间从 s至 s内振子的速度在+x方向上并不断增大.
15.如下图所示为两个弹簧振子的振动图象,它们振幅之比AA∶AB;周期之比TA∶TB.若已知两振子质量之比mA∶mB=2∶3,劲度系数之比kA∶kB=3∶2,则它们的最大加速度之比为 .最大速度之比 .
16.一水平弹簧振子的小球的质量m=5kg,弹簧的劲度系数50N/m,振子的振动图线如下图所示.在t=1.25s时小球的加速度的大小为 ,方向 ;在t=2.75s时小球的加速度大小为 ,速度的方向为 .
参考答案
1.B、C 2.C 3.A 4.C 5.A、D 6.A、D 7.A、B、C 8.D 9.A、C、D 10.D 11.D 12.C 13.B、D 14.0.4;0.2;0.6;0.8;0.4;0.6 15.2∶1;2∶3;9∶2;3∶1 16.6m/s2;向上;0;向下 17.0.1s;0.1m/s
机械波
目标:
1.掌握机械波的产生条件和机械波的传播特点(规律); 2.掌握描述波的物理量——波速、周期、波长;
3.正确区分振动图象和波动图象,并能运用两个图象解决有关问题 4.知道波的特性:波的叠加、干涉、衍射;了解多普勒效应
重点:机械波的传播特点,机械波的三大关系(波长、波速、周期的关系;空间距离和时 难点:波的图象及相关应用
一、机械波
1.机械波的产生条件:①波源(机械振动)②传播振动的介质(相邻质点间存在相互作用力)。
2.机械波的分类
机械波可分为横波和纵波两种。
(1)质点振动方向和波的传播方向垂直的叫横波,如:绳上波、水面波等。 (2)质点振动方向和波的传播方向平行的叫纵波,如:弹簧上的疏密波、声波等。
说明:地震波既有横波,也有纵波。 3.机械波的传播
(1)在同一种均匀介质中机械波的传播是匀速的。波速、波长和频率之间满足公式:v=λf。
(2)介质质点的运动是在各自的平衡位置附近的简谐运动,是变加速运动,介质质点并不随波迁移。
(3)机械波转播的是振动形式、能量和信息。
(4)机械波的频率由波源决定,而传播速度由介质决定。 4.机械波的传播特点(规律):
(1)前带后,后跟前,运动状态向后传。即:各质点都做受迫振动,起振方向由波源来决定;且其振动频率(周期)都等于波源的振动频率(周期),但离波源越远的质点振动越滞后。
(2)机械波传播的是波源的振动形式和波源提供的能量,而不是质点。
5.机械波的反射、折射、干涉、衍射
一切波都能发生反射、折射、干涉、衍射。特别是干涉、衍射,是波特有的性质。
(1)干涉 产生干涉的必要条件是:两列波源的频率必须相同。
【例1】 如图所示,S1、S2是两个相干波源,它们振动同步且振幅相同。实线和虚线分别表示在某一时刻它们所发出的波的波峰和波谷。关于图中所标的a、b、c、d四点,下列说法中正确的有
A.该时刻a质点振动最弱,b、c质点振动最强,d质点振动既不是最强也不是最弱
B.该时刻a质点振动最弱,b、c、d质点振动都最强
C.a质点的振动始终是最弱的, b、c、d质点的振动始终是最强的
D.再过T/4后的时刻a、b、c三个质点都将处于各自的平衡位置,因此振动最弱 解析: B、C
【例2】 如图所示表示两列相干水波的叠加情况,图中的实线表示波峰,虚线表示波谷。设两列波的振幅均为5 cm,且图示的范围内振幅不变,波速和波长分别为1m/s和0.5m。C点是BE连线的中点,下列说法中正确的是 ( )
A.C、E两点都保持静止不动
B.图示时刻A、B两点的竖直高度差为20cm
C.图示时刻C点正处于平衡位置且向水面上运动
D.从图示的时刻起经0.25s,B点通过的路程为20cm
解析: B选项正确。D选项正确。
(2)衍射。
①波绕过障碍物的现象叫做波的衍射。
②能够发生明显的衍射现象的条件是:障碍物或孔的尺寸比波长小,或者跟波长相差不多。
(3)波的独立传播原理和叠加原理。
独立传播原理:几列波相遇时,能够保持各自的运动状态继续传播,不互相影响。 叠加原理:介质质点的位移、速度、加速度都等于几列波单独转播时引起的位移、速度、加速度的矢量和。
波的独立传播原理和叠加原理并不矛盾。前者是描述波的性质:同时在同一介质中传播的几列波都是独立的。比如一个乐队中各种乐器发出的声波可以在空气中同时向外传播,我们仍然能分清其中各种乐器发出的不同声波。后者是描述介质质点的运动情况:每个介质质点的运动是各列波在该点引起的运动的矢量和。这好比老师给学生留作业:各个老师要留的作业与其他老师无关,是独立的;但每个学生要做的作业却是所有老师留的作业的总和。
6.多普勒效应
当波源或者接受者相对于介质运动时,接受者会发现波的频率发生了变化,这种现象叫多普勒效应。
【例4】a为声源,发出声波;b为接收者,接收a发出的声波。a、b若运动,只限于在沿两者连线方向上,下列说法正确的是
A.a静止,b向a运动,则b收到的声频比a发出的高
B.a、b向同一方向运动,则b收到的声频一定比a发出的高
C.a、b向同一方向运动,则b收到的声频一定比a发出的低
D.a、b都向相互背离的方向运动,则b收到的声频比a发出的高
答案:A
二、振动图象和波的图象
1.振动图象和波的图象
振动图象和波的图象从图形上看好象没有什么区别,但实际上它们有本质的区别。
(1)物理意义不同:振动图象表示同一质点在不同时刻的位移;波的图象表示介质中的各个质点在同一时刻的位移。
(2)图象的横坐标的单位不同:振动图象的横坐标表示时间;波的图象的横坐标表示距离。
(3)从振动图象上可以读出振幅和周期;从波的图象上可以读出振幅和波长。
简谐振动图象与简谐横波图象的列表比较:
4.波的传播是匀速的
在一个周期内,波形匀速向前推进一个波长。n个周期波形向前推进n个波长(n可以是任意正数)。因此在计算中既可以使用v=λf,也可以使用v=s/t,后者往往更方便。
5.介质质点的运动是简谐运动(是一种变加速运动)
任何一个介质质点在一个周期内经过的路程都是4A,在半个周期内经过的路程都是2A,但在四分之一个周期内经过的路程就不一定是A了。
6.起振方向
介质中每个质点开始振动的方向都和振源开始振动的方向相同。
【例5】 在均匀介质中有一个振源S,它以50HZ
的频率上下振动,该振动以40m/s的速度沿弹性绳向
左、右两边传播。开始时刻S的速度方向向下,试画
出在t=0.03s时刻的波形。
解析:从开始计时到t=0.03s经历了1.5个周期,
波分别向左、右传播1.5个波长,该时刻波源S的速
度方向向上,所以波形如右图所示。
7.波动图象的应用:
(1)从图象上直接读出振幅、波长、任一质点在该时刻的振动位移。
(2)波动方向振动方向。
方法:
【例8】如图是一列波在t1=0时刻的波形,波的传播速度
为2m/s,若传播方向沿x轴负向,则从t1=0到t2=2.5s的时间
内,质点M通过的路程为______,位移为_____。
解析:路程12×4A+2A=250cm=2.5m。位移为0。
(3)两个时刻的波形问题:设质点的振动时间(波的传播时间)为t,波传播的距离为x。
则:t=nT+△t即有x=nλ+△x (△x=v△t) 且质点振动nT(波传播nλ)时,波形不变。
①根据某时刻的波形,画另一时刻的波形。
方法1:波形平移法:当波传播距离x=nλ+△x时,波形平移△x即可。
方法2:特殊质点振动法:当波传播时间t=nT+△t时,根据振动方向判断相邻特殊点(峰点,谷点,平衡点)振动△t后的位置进而确定波形。
②根据两时刻的波形,求某些物理量(周期、波速、传播方向等)
【例10】如图是一列向右传播的简谐横波在某时刻的波形图。
已知波速v=0.5m/s,画出该时刻7s前及7s后的瞬时波形图。
解析:λ=2m,v=0.5m/s,T =
v
=4 s.所以⑴波在7s内传播
的距离为x=vt=3.5m=133λ⑵质点振动时间为1T。 44
3λ可得7s后的波形;
4
方法1 波形平移法:现有波形向右平移
现有波形向左平移3λ可得7s前的波形。 4
由上得到图中7s后的瞬时波形图(粗实线)和7s前的瞬时波形图(虚线)。
方法2 特殊质点振动法:根据波动方向和振动方向的关系,确定两个特殊点(如平衡点和峰点)在3T/4前和3T/4后的位置进而确定波形。请读者试着自行分析画出波形。
【例12】一列波在介质中向某一方向传播,如图是此波在某一时刻的波形图,且此时振动还只发生在M、N之间,并知此波的周期为T,Q质点速度方向在波形中是向下的。则:波源是_____;P质点的起振方向为_________;从波源起振开始计时时,P点已经振..........
动的时间为______。
解析:由Q点的振动方向可知波向左传播,N是波源。
【例14】 已知在t1时刻简谐横波的波形如图中实线所示;在时刻t2该波的波形如图中虚线所示。t2-t1 = 0.02s。求:
(1)该波可能的传播速度。
(2)若已知T
1,解析:(1)如果这列简谐横波是向右传播的,在t2-t1内波形向右匀速传播了n3
1所以波速v;同理可得若该波是向nt2t1=100(3n+1)m/s (n=0,1,2,…)3
左传播的,可能的波速v=100(3n+2)m/s (n=0,1,2,…)
(2)P质点速度向上,说明波向左传播,T
四、针对训练
1.(2004年全国理综卷)一列简谐横波沿x轴负方向传播,图1是t=1s时的波形图,图2是波中某振动质元位移随时间变化的振动图线(两图用同一时间起点),则图2可能是图1中哪个质元的振动图线?
A.x=0处的质元 B.x =1m处的质元
C.x =2m处的质元 D.x =3m处的质元
4.如图所示,一根张紧的水平弹性长绳上的 a、b两点,相 距14.0 m ,b 点在 a点的右方.当一列简谐横波沿此绳向右传播时,若 a点的位移达到正极大时,b点的位移恰为零,且向下运动.经过1.00 s 后,a点的位移为零,且向下运动,而 b点的位移恰达到负极大.则这简谐横波的波速可能等于
A.14 m/s B.10 m/s C.6 m/s D.4.67 m/s
5.简谐横波在某时刻的波形图线如图所示,由此图可知
A.若质点 a向下运动,则波是从左向右传播的
B.若质点b向上运动,则波是从左向右传播的
C.若波从右向左传播,则质点 c向下运动
D.若波从右向左传播,则质点d向上运动
6.如图所示,O是波源,a、b、c、d是波传播方向上各质点的平衡位置,且Oa=ab=bc=cd=3 m,开始各质点均静止在平衡位置,t=0时波源O开始向上做简谐运动,振幅是0.1 m,波沿Ox 方向传播,波长是8 m,当O 点振动了一段时间后,经过的路程是0.5 m ,各质点运动的方向是
A.a 质点向上 B.b质点向上 C.c质点向下 D.d质点向下
9.如图所示,一列沿 x 正方向传播的简谐横波,波速大小为 0.6 m/s ,P点的横坐标为96 cm ,从图中状态开始计时,求:
(1)经过多长时间,P质点开始振动,振动时方向如何?
(2)经过多少时间,P质点第一次到达波峰?
参考答案:
1.A 2.ABC 3.AC 4.BD
5.BD 6.A 7.BD 8.BC
9.解析:开始计时时,这列波的最前端的质点坐标是24 cm ,根据波的传播方向,可知这一点沿 y轴负方向运动,因此在波前进方向的每一个质点开始振动的方向都是沿 y轴负方向运动,故P点开始振动时的方向是沿 y 轴负方向,P质点开始振动的时间是
(1)t=x0.960.24=1.2 s v0.6
(2)用两种方法求解
质点振动法:这列波的波长是λ=0.24 m,故周期是
T=
v0.24=0.4 s 0.6
3T才能第一次到达波峰,4经过1.2 s,P质点开始振动,振动时方向向下,故还要经过
因此所用时间是1.2 s+0.3 s=1.5 s.
波形移动法:质点P第一次到达波峰,即初始时刻这列波的波峰传到P点,因此所用的时间是
t′=0.960.06=1.5 s 0.6
教学后记
机械波的传播特点,机械波的三大关系(波长、波速、周期的关系;空间距离和时间的
关系;波形图、质点振动方向和波的传播方向间的关系)是考查重点,高考多以选 择题出现,且每年必考,这部分复习以小题型为主。