根据子集的概念解常见的题型(董建华)
根据子集的概念解常见的题型
秭归二中 董建华
子集是高中数学《集合与简易逻辑》的重要概念之一，在第一章中居于重要位置，现将根据其概念解答常见题型归纳如下：
一、直接根据子集定义解答相关问题
例（1）：求{a,b,c}的子集.
解：其子集为，{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}
例（2）：设集合A＝{1,3,a}，B＝{1,a2-a+1}，若BA，求a
解：∵BA ∴可分两种情况
（1）a2+a+1=3a=-1或a=2，经检验满足条件
（2）当a2-a+1=aa=1
此时A＝{1,3,1}与集合元素的互异性相矛盾，∴a=1（舍去）
∴ a=-1 或 a=2
例（3）：已知{x|x2-1=0}A{-1,0,1}求集合A
解：根据子集的概念
∵ {x|x2-1=0}={1,-1}
又 {-1,1}A{-1,0,1}
∴ A={-1,1} 或{-1,0,1}
二、与方程结合，解答问题
例（4）：设M＝{x|x2-2x-8=0}，N＝{x|ax-1=0}，若NM，求a.
解：由NM，M＝{x|x2-2x-8=0}={-2,4}知：
N＝或N＝{-2}或N={4}
①N＝时，ax-1=0无解，则a=0
112,得a a2
11 ③N＝{4}时，由x=4,得a a4
11∴ a的值为－或0, 24 ②N={-2}时，由x=
例（5）：已知集合A={x|x2-2x-8=0}，B＝{x|x2+ax+a2-12=0}
若BA，求a的值
解：A={-2,4} BA
∴ B为，{-2},{4},{-2,4}
①B=：则A＝a2-4(a2-12)=-3(a2-16)
∴a>4或a
②B＝{-2} 即：x=-2时，4·2a+a2-12=0
所以a2-2a-8=0 所以a=4或a-=-2
当a=4时，x2+4x+4=0，x=-2符合条件
当a=-2时：x2-2x-8=0，所以x=4或x=-2(舍去)
③B＝{4}时，即x=4
所以16+4a+a2-12=0 所以a2+4a+4=0所以a=-2
而当a=-2时，由②知B={-2,4}所以B{4}
④B＝{-2,4}时，则a=-2
综上所述，满足BA时，a的值组成的集合为：
{a|a
三、当方程不等式结合起来解答问题
例（6）：A＝{x|ax+b=1} B={x|ax-b>0} a0, AB, 求b的取值范围.
解： ∵ a0 ∴ x
∵ AB
∴ a·1b a1bb0 a
∴ 1-2b>0
∴ b
四、与不等式结合起来解答问题
例（7）：已知集合A＝{x|-1x1}，B={x|1-ax2a-1}，若AB，求a的取值范围. 解：如图
∵ A B
∴ 1a1 解之：a2 1-a -1 1
2a-1 2a11
例（8）：已知集合A={x|1-ax2a-1}，A＝{x|x3}，BA，求a的取值范围. 解：如图
（1）B＝时：
1-a>2a-1 即：a
（2）B由图一得：
2aa11a23 即： 解集为 1a3a1
2
由图②得：
2aa11a23 即： 解集为 2a12a1
2
综上所述a的解集为{a|a
例（9）：已知A={x|x2a-1}，B={x|x>3或x
1a22a13即：a3
a2 ∴ a3
∴ a的解集为{a|a3}
五、与函数结合解答问题
例（10）：设A＝{x|-2xa}，B＝{y|y=2x+3,xA}，C＝{z|z=x2, xA}，且CB，求
a的取值范围.
解：∵ A＝{x|-2xa} B={y|y=2x+3, xA}
∴ B={y|-1y2a+3}
（1）当-2a0时：C＝{z|a2z4}
∵ CB ∴ 42a+3
解之：a1与-2a0矛盾 2
（2）0
（3）当a>2时，C＝{z|oza2} 解之：-1a3
故：2
2a3