中间结论在解析几何中的应用

中间结论在解题中的应用

一．抛物线

1. 抛物线y =2px(p>0)的焦点弦（过焦点的弦）为AB ，A （x 1,y 1）、B(x2,y 2) ，则有如下结论： （1）＝x 1+x2+p；

2

p （2）y 1y 2=－p ，x 1x 2=； 4

2

2

（3）

112

+=； |AF ||BF |p

（4）以AB 为直径的圆与准线相切；

（5）以AF （或BF ）为直径的圆与y 轴相切；

p 22p

（6）若AB 的倾斜角为α，则AB =；S ∆AOB =； 2

sin α2sin α

2. 抛物线y =2px(p>0)内接直角三角形OAB （OA ⊥OB ）的性质： （1）x 1x 2=4P , y 1y 2=-4P ； （2）l AB 恒过定点(2p , 0) ；

2

2

2

⎧x =2pt 2

3. 抛物线的参数方程：y =2px (p >0) ，则⎨（t 为参数）.

⎩y =2pt

2

1. 【2012重庆理14】过抛物线y =2x 的焦点F 作直线交抛物线于A , B 两点，若AB =

2

525

, AF

612

ì25ïïm +n =ïï12ïïï55112ïm =m =设AF=m,BF=n, 则有í+= 解得或(舍)

ï64m n P ïïïp =1ïïïïî

2

【解析】抛物线y =2x 的焦点坐标为(, 0) ，准线方程为x =-

121

，设A,B 的坐标分别为的2

11p 21

=，设AF =m , BF =n ，则x 1=m -, x 2=n -，所以有(x 1, y 1), (x 2, y 2) ，则x 1x 2=

2244

111⎧

(m -)(n -) =⎪⎪224，解得m =5或n =5，所以AF =5. ⎨

646⎪m +n =25

⎪12⎩

2

2. 【2012安徽文14】过抛物线y =4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A , B 两点，若|AF |=3，则

|BF |=______。

1

【答案】

3 2

【解析】设∠AFx =θ(0

123

=。 又m =2+m cos(π-θ) ⇔m =

31+cos θ2

方法一:在用统一的极坐标方程

方法二：小题大做，求得A 点坐标得直线AF 的方程，从而求坐标而得之；

方法三：用中间结论+=，其中m,n 是焦点弦被焦点所分得的两线段长，p 就是焦准距。

n m p

3. (2014新课标II 理). 设F 为抛物线C:y 2=3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ）

A.

B.

C. D.

法二：利用S ∆AOB 【答案】 D

p 2

=

2sin α

设点A 、B 分别在第一和第四象限，AF =2m , BF =2n ，则由抛物线的定义和直角三角形知识可得，3333

2m =2•+m , 2n =2•-3n ，解得m =(2+), n =(2-3), ∴m +n =6.

4422139

∴S ΔOAB=••(m +n ) =. 故选D .

244

4.(13课标二卷理11) 设抛物线C ：y 2 =2p x ( p > 0) 的焦点为F ，点M 在C 上，| MF |=5，若以MF 为直径的圆过点(0, 2)，则C 的方程为 （A ）y 2 = 4x 或y 2 = 8x （C ）y 2 = 4x 或y 2 = 16x 答案：C

（B ）y 2 = 2x 或y 2 = 8x （D ）y 2 = 2x 或y 2 = 16x

x p y x p p

【解】设M (x 0, y 0) ，由| MF |=5 ⇒ x 0 + 2= 5 ⇒ x 0 = 5 - 2圆心N (2+ 4 , 2 ) 到y 轴的距离| NK | = 2

p 1

+ 4= 2 | MF |，则圆N 与y 轴相切，切点即为K (0, 2)，且NK 与y 轴垂直⇒ y 0 = 4 p

⇒2p (5 - 2 ) = 16 ⇒ p = 2或8 .

2

二、焦三角形面积公式

x 2y 2

椭圆2+2=1 (a＞b ＞0) 的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点∠F 1PF 2=γ，则椭圆的焦

a b

γ2

点三角形的面积为(1) S ∆F 1PF 2=b tan .

2

x 2y 2

设P 点是双曲线2-2=1（a ＞0,b ＞0）上异于实轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记∠F 1PF 2=θ，则

a b b 2

S ∆PF 1F 2=.

tan 2

练习题：

22

1. （2010全国卷1文数）（8）已知F 1、F 2为双曲线C:x -y =1的左、右焦点，点P 在C 上，

P F 2=600，则|PF 1| ∠F |PF 2|=1

（ B ）

(A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8 【解析2】由焦点三角形面积公式得：

S ∆F 1PF 2

60011 =b cot =1cot ==PF 1PF 2sin 600=PF 1PF 22222

θ

2

|PF 1| |PF 2|=4

【命题意图】本小题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以

有效地考查考生的综合运用能力及运算能力. 【解析1】. 由余弦定理得

|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|2

cos ∠F 1P F 2=

2|PF 1||PF 2|

⇒cos60

PF (

=

1

-PF 2

)

2

+2PF 1PF 2-F 1F 2

2

2PF 1PF 2

12+2PF 1PF 2-⇒=22PF 1PF 2

2

(2

|PF 1| |PF 2|=

4

【解析2】由焦点三角形面积公式得：

S ∆F 1PF 2

60011 =b cot =1cot ==PF 1PF 2sin 600=PF 1PF 22222

θ

2

|PF 1| |PF 2|=4

法三：：

2b 2

|PF 1||PF 2|=

1-cos θ

x 2y 2

2.(2009年上海理9) 已知F 1、F 2是椭圆C :2+2=1（a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，

a b

3

且1F 2的面积为9，则b =____________.1⊥PF 2. 若∆PF

⎧|PF 1|+|PF 2|=2a

⎪

【答案】3【解析】依题意，有⎨|PF 1|∙|PF 2|=18，可得4c 2＋36＝4a 2，即a 2－c 2＝9，故有b ＝3。

⎪222⎩|PF 1|+|PF 2|=4c

方法二:利用中间结论口算.

x 2y 2

∠F 1PF 2+=1的焦点为F 1, F 2，3、（09京文13）椭圆点P 在椭圆上，若|PF 1|=4，则|PF 2|=92

的大小为 .

2, 12︒0第二问：徐晨然的方法：用的中间结论要优于余弦定理

2b 2|PF 1||PF 2|= ,∵|PF 1|=4, |PF 2|=2，∴代入求解非常方便，这是自己所没有想到的！

1+cosθ

第二问宋子霖

1θ

S ∠F 1PF 2=|PF 1||PF 2|sin θ=b 2tan

221θθ⇒⨯4⨯2sin θ=2tan ⇒2sin θ=tan 222θ1∴cos =θ=1200

22

30° 三．通径

⇒cos 2

θ

2

=

1 4

x 2y 2x 2y 22b 2

椭圆2+2=1 (a＞b ＞0) 与双曲线2-2=1（a ＞0,b ＞0 抛物线的为2p

a a b a b

1. 2011全国新课标理7．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于 A,B

两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )

A

B

C ．2

D ．3

2b 2

直线过右焦点F ，且垂直于x 轴交双曲线于A ，B 两点，则|AB |＝＝4a ，所以b 2＝2a 2，所以双曲线

a

的离心率e ＝1＋＝3.

a

x 2y 2

B 【解析】 设双曲线方程为－＝1(a >0，b >0)，

a b

b x 2y 2

x 与双曲线2-2=1(a >0, b >0) 左支的交点，F 1是左焦点，2. 【2012重庆文14】设P 为直线y =3a a b

PF 1垂直于x 轴，则双曲线的离心率e =4

b ⎧y =x ⎪3a ⎪

【解析】由⎨2得2

⎪x -y =1⎪⎩a 2b 2

e =

四、

⎧32x =-a ⎪32⎪4，又PF 1垂直于x 轴，所以a =c ，即离心率为⎨

4⎪y =-2b

⎪4⎩

c 32

。 =

a 4

中点弦

弦的斜率: 椭圆与双曲线相反数的关系， 抛物线是p/y0

1. （2010年全国理12）已知双曲线E 的中心为原点，F （3，0）是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (-12, -15) , 则E 的方程式为( )

x 2y 2x 2y 2

-=1 (B) -=1 (A)

3645x 2y 2

-=1 (C)

63x 2y 2

-=1 (D)

54

B 解析：由已知条件易得直线l 的斜率为k =k FN

x 2y 2

=1，设双曲线方程为2-2=1(a >0, b >0) ，

a b

⎧x 12y 12

-2=1⎪2

⎪

A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) ，则有⎨a 2b 2-4, y 1+y 2=3-得0，，两式相减并结合x 1+x 2=2

⎪x 2-y 2=1⎪⎩a 2b 2

y 1-y 24b 24b 2

=2，从而2=1，即4b 2=5a 2，又a 2+b 2=9，解得a 2=4, b 2=5，故选B ．

5a x 1-x 25a

直接用中间结论就可。

x 2y 2

2.(2013年新课标Ⅰ卷理10) 已知椭圆a b ＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两

点。若AB 的中点坐标为(1，－1) ，则E 的方程为 ( x 2y 2

A 、45361

x 2y 2

B 、3627＝1

x 2y 2

C 2718＝1

)

x 2y 2

D 、18＋91

【命题意图】本题主要考查椭圆中点弦的问题，是中档题. 【解析】设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) ，则x 1+x 2=2，y 1+y 2=－2，

22

(x 1+x 2)(x 1-x 2) (y 1+y 2)(y 1-y 2) x 12y 12x 2y 2

+=0，+=1+=1 ① ② ①－②得 222222

a b a b a b

0+11b 2(x 1+x 2) b 2b 21y 1-y 22222

a 2=18，∴k AB ==-2=2，又k AB ==，∴2=，又9=c =a -b ，解得b =9，

a (y 1+y 2) a 3-12a 2x 1-x 2

5

x 2y 2

+=1，故选D. ∴椭圆方程为

189

3. （2010山东文数）（9）已知抛物线y 2=2px (p >0) ，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 答案：B （A ）x =1 (B)x =-1 (C)x =2 (D)x =-2 K=

p p p , y 0是弦中点的纵标，于是有K===1，∴p=2，故准线方程为x= - 1 y 0y 02

4. （2009年海南理13）设已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0) ，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点。若AB 的中点为（2，2），则直线ι的方程为_____________. 答案：y=x解析：抛物线的方程为y =4x ，

2

⎧⎪y 1=4x 1

A (x 1, y 1), B (x 2, y 2), 则有x 1≠x 2，⎨2

⎪⎩y 2=4x 22

两式相减得，y 12-y 2=4(x 1-x 2)，∴

2

y 1-y 24

==1

x 1-x 2y 1+y 2

∴直线l 的方程为y-2=x-2,即y=x

法二：用上结论K=

p

=1，点斜式即刻可得方程 y 0

2p

曾经把这个公式分母中的平方给丢失了 2

sin θ

2

抛物线焦点弦长公式：|AB|=

5.(2009年福建理13) 过抛物线y =2px (p >0) 的焦点F 作倾斜角为45的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p =____________

⎧y 2=2px

p p 2⎪2

【答案】：2解析：由题意可知过焦点的直线方程为y =x -，联立有⎨=0，

p ⇒x -3px +24⎪y =x -

⎩2

8⇒p =2。AB =x 1+x 2+p =3p+p=4p=8, p=2 又AB =6.(11年12月赤峰一模理9) 已知双曲线中心在原点，且焦点在x 轴上，直线y=x-1与其相交于M,N 两点，MN 中点的横坐标为-

1

，则此双曲线的离心率为（ B ）

3

D. 2

2

A.

C.

14b 2x 01b 2⎛b ⎫

先计算出中点坐标(-, ），利用中点弦的斜率公式K MN =2==1，得=4 ⎪2

33a y 04a ⎝a ⎭

6

代入离心率公式得

7 .中心在原点，焦点在坐标为(0，±5) 的椭圆被直线3x －y －2=0截得的弦的中点的横坐标为圆方程为( C )

22222y 22y 2y 2y 2 C. A. +=1 +=1+=1 D.+=1 1

，则椭2

y 2x 2y 2x 222

解析：由题意，可设椭圆方程为：2+2 =1,且a =50+b , 即方程为=1. +

a b 50+b 2b 2

将直线3x －y －2=0代入，整理成关于x 的二次方程. 由x 1+x 2=1可求得b 2=25,a 2=75.

答案：C

法二：用中点弦斜率公式得a =3b ，c =50可求b 2=25,a 2=75.

法三：确定出焦点的位置在y 轴上，另外c =50, 排除法即可得到答案选择C 。

8. 已知直线l 交椭圆4x 2+5y 2=80于M,N 两点，椭圆与y 轴的负半轴交于B 点，若△BMN 的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线l 的方程是（ ）

A. 6x -5y -28=0 B. 6x +5y -28=0 C. 5x +6y -28=0 D. 5x -6y -28=0

2

222

x M +x N +0⎧2=⎪2y 23⎪分析：， B （0，-4），则由重心坐标公式有⎨ +=1右焦点F （2，0）

2016⎪0=y M +y N +(-4)

⎪3⎩

⎧x M +x N =6=2x E b 2x 0

设MN 的中点为E (x E , y E )则⎨，故E （3,2）, 利用中点弦的斜率公式k MN =-2

0y +y =4=2y N E ⎩M

可得k MN =-，立即可得答案B

x 2y 2

五．双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的焦点到渐近线的距离为b.

a b

x 2y 2

-2=1的右焦点与抛物线y 2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到1. 【2012 福建理8】已知双曲线

4b

其渐近线的距离等于( )

A.

B. C.3 D.5

2

2

2

【解析】由抛物线方程y =12x 易知其焦点坐标为(3, 0) ，又根据双曲线的几何性质可知4+b =3，所以b =，从而可得渐进线方程为y =±故选Ａ．

7

|±5⨯3-2⨯0|x ，即±x -2y =0，所以d ==，2+4

x 2

2. （2013年福建理）双曲线-y 2=1的顶点到其渐近线的距离等于（ ）

4

A ．

2 5

B ．

4 5

C

D

【答案】C

3.(2014新课标I 理) 已知F 是双曲线C ：x 2-my 2=3m (m >0) 的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( ) A

B .3 C

D . 3m

x 2y 2

【解析】：由C ：x -my =3m (m >0) ，得-=

1，c 2=3m +3, c =

3m 3

2

2

设F

，一条渐近

线y =

)

x ，

即x y =0，则点F 到C 的一条渐近线的距

离d =

A. .

8

六。关于原点对称两点：

2y 21. 椭圆2+2=1(a >b >0) 上A,B 两点关于原点对称，P 为A ，B 外的任意一点，则直线AP 、BP 的斜a b

2

率k AP 与k BP 满足k BP k AP =-

2

x 2y 2

2. 双曲线2-2=1（a ＞0,b ＞0）上A,B 两点关于原点对称，P 为A ，B 外的任意一点，则直线AP 、BP

a b

2

的斜率k AP 与k BP 满足k BP k AP =2

a

证明类椭圆 类点差法（设而不求） 例题

若用此结论则秒答，答案：A

9

一. 圆、椭圆、双曲线的切线或切点弦的直线方程

例1.[2011·江西理14] 若椭圆x 2a y 2

b

1的焦点在x 轴上，过点⎛⎝112作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________2

别为A ，B y 24

1 【解析】 由题可知过点⎛1⎝1，2⎫⎭与圆x 2＋y 2＝1的圆心的直线方程为y ＝12

x 径定理可得k AB ＝－2.

显然过点⎛1

⎝1，2的一条切线为直线x ＝1，此时切点记为A (1,0)，即为椭圆的右焦点，故c ＝1.

由点斜式可得，直线AB 的方程为y ＝－2(x －1) ，即AB ：2x ＋y －2＝0.

令x ＝0得上顶点为(0,2)，∴b ＝2，∴a 2＝b 2＋c 2＝5，故得所求椭圆方程

x 2y 2

为5＋4

1. 例2．已知椭圆E :2y 2a 2+b

2=1(a >b >0), 以F 1(-c ,0) 为圆心，以a -c 为半径作圆F 1，过点B 2（0，b ）作圆F 1的两条切线，设切点M 、N.

（1）若过两个切点M 、N 的直线恰好经过点B 1（0，－b ）时，求此椭圆的离心率；

解：（1）圆F 2

2

2

1的方程是(x +c ) +y =(a -c ) ，因为B 2M 、B 2N 与该圆切于M 、N 点，所以B 2、M 、F 1、

四点共圆，且B c 2b 2c 2+b 2N 2F 1为直径，则过此四点的圆的方程是(x +2) +(y -2) =4

，从而两个圆的公

共弦MN 的方程为cx +by +c 2=(a -c ) 2

，解答题中如此处理的，

又点B 1在MN 上，∴a 2

+b 2

-2ac =0; b 2

=a 2

-c 2

, ∴2a 2

-2ac -c 2

=0, 即e 2

+2e -2=0，

∴e =-1（负值舍去）；

这让自己想起了大纲版“圆”一章的教材里有一道例题：

设P （x 0, y 2220）是圆x 0+y 0=r 上的一点，则过P 点所做圆的切线的方程是xx 0+yy 0=r 2. 这一结论的证明如下：设则 OP =(x K 为切线上的任意一点，坐标为（x,y ）

=(x -x

0, y 0），PK 0, y -y 0) , ∴OP ⋅PK =0 ,

即x 0(x -x 0）+y （-y 22

0y 0) =0 ，展开整理得xx 0+yy 0=x 0+y 0=r 2

引申：如果P 是圆外的一点，则方程xx 0+yy 0=r 2表示的是过两切点弦AB 所在的直线方程。

本道题若用了中间结论，则会比较简单地解决了。

无独有偶，椭圆和双曲线中也有类似的内容

椭 圆

10

x

x 0x y 0y x 2y 2

+2=1. +=1(x , y ) 1. 若P 在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是P 0000a 2b a 2b 2

x 2y 2

2. 若P 0(x 0, y 0) 在椭圆2+2=1外 ，则过P 0(x 0, y 0) 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2a b

x x y y 的直线方程是0

2+02=1. a b

双曲线

x 0x y 0y x 2y 2

-2=1. -=1(x , y ) 1. 若P 在双曲线（a ＞0,b ＞0）上，则过的双曲线的切线方程是P 0000222a b a b

x 2y 2

2. 若P 0(x 0, y 0) 在双曲线2-2=1（a ＞0,b ＞0）外 ，则过P 0作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切a b 点弦P 1P 2的直线方程是x 0x y 0y -2=12a b

抛物线 若P 0(x 0, y 0) 在抛物线上, 若P 0(x 0, y 0) 在抛物线外,

11