立体几何解答题
龙文教育一对一个性化辅导教案
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第3讲:高三第二轮复习:立体几何 一. 知识点归纳讲解
（一）空间中各种角包括:异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角
1. 异面直线所成的角的范围是(0,
π
2
]
求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决. 具体步骤如下：
①利用定义构造角, 可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上； ②证明作出的角即为所求的角；③利用三角形来求角. 2. 直线与平面所成的角的范围是[0,
π
2
求直线和平面所成的角用的是射影转化法.
具体步骤如下：
①找过斜线上一点与平面垂直的直线；
②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角； ③把该角置于三角形中计算。
注:斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，α为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有θ≤α；
3. 二面角的范围是(0, π]
作二面角的平面角常有三种方法:
①棱上一点双垂线法:在棱上任取一点, 过这点在两个平面内分别引棱的垂线, 这两条射线所成的角, 就是二面角的平面角；
②面上一点三垂线法:自二面角的一个面上一点向另一面引垂线, 再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角；
③空间一点垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面, 截二面角得两条射线, 这两条射线所成的角就是二面角的平面角.
（二）空间的距离
1. 点到直线的距离:
点Ｐ到直线a 的距离为点Ｐ到直线a 的垂线段的长，常先找或作直线a 所在平面的垂线，得垂足为Ａ，过Ａ作a 的垂线，垂足为Ｂ连ＰＢ，则由三垂线定理可得线段ＰＢ即为点Ｐ到直线a 的距离. 在直角三角形ＰＡＢ中求出ＰＢ的长即可. 2. 点到平面的距离
点Ｐ到平面α的距离为Ｐ到平面α的垂线段的长. 常用求法①作出点Ｐ到平面的垂线后求出垂线段的长；②转移法:如果平面α的斜线上两点Ａ, Ｂ到斜足Ｃ的距离ＡＢ, ＡＣ的比为m :n ，则点Ａ, Ｂ到平面α的距离之比也为m :n . 特别地, ＡＢ＝ＡＣ时, 点Ａ, Ｂ到平面α的距离相等; ③体积法. 3. 异面直线间的距离
异面直线a , b 间的距离为a , b 间的公垂线段的长．常有求法①先证线段ＡＢ为异面直线a , b 的公垂线段，然后求出ＡＢ的长即可．②找或作出过b 且与a 平行的平面，则直线a 到平面的距离就是异面直线a , b 间的距离．③找或作出分别过a , b 且与b ，a 分别平行的平面，则这两平面间的距离就是异面直线a , b 间的距离．④根据异面直线间的距离公式求距离.
4. 直线到平面的距离 只存在于直线和平面平行之间．为直线上任意一点到平面间的距离.
5. 平面与平面间的距离
只存在于两个平行平面之间．为一个平面上任意一点到另一个平面的距离
.
3
（三）空间向量的应用
1. 用法向量求异面直线间的距离
如右图所示，a 、b 是两异面直线，是a 和b 的法向量，点E∈a，F∈b，则异面直线 a与b
之间的距离是
d =
；
E
2. 用法向量求点到平面的距离
b
如右图所示，已知AB 是平面α的 一条斜线，为平面α的法向量，则 A到平面α
的距离为d =
3. 用法向量求直线到平面间的距离
首先必须确定直线与平面平行，然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面的距离问题. 4. 用法向量求两平行平面间的距离
首先必须确定两个平面是否平行，这时可以在一个平面上任取一点，将两平面间的距离问题转化成点到平面的距离问题.
5. 用法向量求二面角
如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量n 1与n 2，则平面α与β所成的角跟法向量n 1与n 2所成的角相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角.
6. 法向量求直线与平面所成的角
要求直线a 与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n 与直线a
的夹角的余弦a ，易知θ
a 或者
π
2
-a .
二. 立体几何解答题讲解
（一）直线与平面所成角
1. 如图, 在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA =AD =2，AB =1, BM ⊥PD 于点M . (1) 求证:AM ⊥PD ； (2) 求直线CD 与平面ACM 所成的角的余弦值.
P
M
A
D
B
C
4
2. 如图所示，在三棱锥P -
ABC 中，AB =BC =PAC ⊥平面ABC ，PD ⊥AC 于点D ， AD =1，
CD =
3，PD =（1）证明△PBC 为直角三角形；（2）求直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值．
A
D
B
∠ABC =60，3. 在如图的几何体中，平面CDEF 为正方形，平面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AB =2BC ，
AC ⊥FB ．（1）求证：AC ⊥平面FBC ；（2）求直线BF 与平面ADE 所成角的正弦值．
5
︒
4. 如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD =DE =2AB ，F 为CD 的中点．（1）求证：AF //平面BCE ；（2）求证：平面BCE ⊥平面CDE ； （3）求直线BF 和平面BCE 所成角的正弦值．
E A
F
5.如图, 在五面体ABCDEF 中, 四边形ABCD 是边长为2的正方形, EF ∥平面ABCD , EF =1，（2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值. FB =FC , ∠BFC =
90︒, AE =1）求证:AB ⊥平面BCF ；
E
D
F
C
B
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（二）求二面角
1. 如图, 在三棱锥S -ABC 中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形，∠BAC =90°，O 为BC 中点． （1）证明:SO ⊥平面ABC ；（2）求二面角A -SC -B 的余弦值．
C B
2. 如图，四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，AC BD =O ，AO ⊥底面ABCD ，1（1）证明：平面ACO AB =AA 1=2．⊥平面BB 1D 1D ； 1（2）若∠BAD =60，求二面角B -OB 1-
C
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3. （2014年全国卷I ）如图三棱锥ABC -A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，AB ⊥B 1C .
(1) 证明：AC =AB 1；（2）若AC ⊥AB 1，∠CBB 1=60o ，AB=BC，求二面角A -A 1B 1-C 1的余弦值.
5. 如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC , AB ⊥BC , D 为AC 的中点, A 1A =AB =2. (1) 求证：AB 1//平面BC 1D ； (2) 若四棱锥B -AAC 11D 的体积为3, 求二面角C -BC 1-D 的正切值.
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（三）异面直线所成角
1. 如图，在直二面角E -AB -C 中，四边形ABEF 是矩形，AB =2，AF =23，∆ABC 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，点P 是线段BF 上的一点，PF =3． （1）证明：FB ⊥面PAC ；（2）求异面直线PC 与AB 所成的角的余弦值．
F
E
P
C
2. 如图，在斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，点O 、E 分别是A 1C 1、AA 1的中点，AO ⊥平面A 1B 1C 1. 已知
∠BCA =90 ，AA 1=AC =BC =2.(1)证明：OE //平面AB 1C 1；
(2)求异面直线AB 1与A 1C 所成的角；(3)求A 1C 1与平面AA 1B 1所成角的正弦值．
B 1
B
A 1
O
C 1
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（四）基本不等式在立体几何中的应用
1. 如图, 在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC , D , E , F 分别是棱PA , PB , PC 的中点，连接
DE , DF , EF . (1)求证: 平面DEF //平面ABC ;(2) 若PA =BC =2, 当三棱锥P -ABC 的体积最大时, 求二面角A -EF -D 的平面角的余弦值.
2. 如图，四棱锥P -ABCD 中，ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD . （1）求证：AB ⊥PD ; （1）若∠BPC =90 , PB =2, PC =2, 问AB 为何值时，四棱锥P -ABCD 的体积最大？并求此时平面PBC 与平面DPC 夹角的余弦值
.
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（五）立体几何中的探索与存在性问题
1. 如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形. 平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB=3，BC=5. （1）求证:AA 1⊥平面ABC ；（2）求二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值； （3）证明:在线段BC 1存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，并求
BD
的值. BC 1
2. 如图，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是等腰梯形，∠DAB =60, AB =2CD =2，M 是线段
AB 的中点. （1）求证：C 1M //平面A 1ADD 1； （2）若CD 1垂直于平面ABCD
且CD 1求平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角（锐角）的余弦值.
D 1
A 1
B 1
A
M
B
（六）结合三视图求二面角
1. 如图，分别是直三棱柱ABC -A 1B 1C 1直观图及其正视图、俯视图、侧视图（1）求证：MN ∥平面ACC 1A 1； （2）求证：MN ⊥平面A 1BC ；(3)求二面角A -A 1B -C 的大小. A 1
M
A
C 1
C
B
N B 1
正视图俯视图
侧视图
2. 一个几何体是由圆柱ADD 1A
1和三棱锥E -ABC 组合而成，点A 、B 、C 在圆O 的圆周上，其正（主）视图、侧（左）视图的面积分别为10和12，如图3所示，其中EA ⊥
平面ABC ， AB ⊥AC ，AB =AC ，AE =2．
（1）求证：AC ⊥BD ；（2）求二面角A -BD -C 的平面角的大小．
A A A 1 A O A
D D 1 D D 1
侧（左）视图 正（主）视图
五. 作业布置
1. 在如图所示的几何体中, 四边形ABCD 是等腰梯形,AB ∥CD, ∠DAB=60°,FC ⊥平面ABCD ，AE ⊥BD ，CB=CD=CF. （1）求证:BD⊥平面AED; （2）求二面角F-BD-C 的余弦值.
2. （2013年全国卷I ）如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，CA=CB，AB=A A1， ∠BAA 1=60°. （1）证明AB ⊥A 1C; （2）若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB=CB=2，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值.
3. （2015年全国卷I ）如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点,BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE=2DF，AE ⊥EC. （1）证明:平面AEC ⊥平面AFC. （2）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值.
4. 如图，正方形ABCD 所在平面与圆O 所在平面相交于CD ，线段CD 为圆O 的弦，AE 垂直于圆O 所在平面，垂足E 是圆O 上异于C 、D 的点，AE =3，圆O 的直径为9．（1）求证：平面ABCD ⊥平面ADE ； （2）求二面角D -BC -E 的平面角的正切值．
∠BFC =90︒，5. 如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF ∥AB ，EF ⊥FB ，AB =2EF ，
BF =FC ，H 为BC 的中点.(1)求证：FH ∥平面EDB ； (2)求证:AC ⊥平面EDB ；(3)求二面角B -DE -C 的大小.