圆周长.弧长

圆周长、弧长

知识点辅导

1、圆周长公式：C2R，其中C为圆周长，R为圆的半径。把圆周长与直径的比值叫做圆周率。

nR

，其中l为n的圆心角所对弧长，R为圆的半径。弧长公式的推导180

过程为：360的圆心角所对的弧长为C2R1的圆心角所对的弧长为 2RnRnR

n的圆心角所对的弧长为。 360180180

2、弧长公式：l

应当注意的是：公式中的n表示的1的圆心角的倍数，它不带单位。

2

3、圆面积公式：圆面积S与半径R之间的关系如下：SR。

nR21

lR。其中l4、扇形面积公式：圆心角为n，半径为R的扇形面积为：S扇形＝

3602

表示n的圆心角所对的弧长。

（1）扇形面积公式的推导：

360的圆心角的扇形面积为R1的圆心角的扇形面积为

2

R2

360

n的圆心角的

nR2nR1nR1

。又因l，故S扇形＝RlR。 扇形面积为

[1**********]

（2）扇形面积公式与三角形面积公式的比较：

如果把扇形的弧看成一个“三角形”的“底”，把扇形的半径看成是“高”，那么扇形面积公式与三角形面积公式是类同的。

5、弓形面积的计算方法。弓形面积的计算问题可转化为扇形面积和三角形面积的计算来进行。 （1）弧长小于半圆的弓形面积等于一个扇形面积减去一个三角形的面积。 （2）弧长等于半圆的弓形面积等于半圆面积。 （3）弧长大于半圆的弓形面积等于一个扇形面积加上一个三角形面积。

6、对一些没有面积计算公式的几何图形，可采用割补法，转化为有面积计算公式的几何图形的面积的和或差。

知识点讲解

例1、如图AOB ＝120，圆O'的半径为r, 圆O'与OA、OB相切于点C、D、E。求

分析：要求

的长，只需求出

的长。

、

所在圆的半径即可。

连结OC，由圆O'与相切知，C、O'、O三点共线，因

O'C=r,故只需求OO'即可。为此，连结O'E, 则O'OE为Rt，且O'E=r，O'OE = 60，故OO'易求。 解：连结OC、O'E。

圆O'与

相切于点CO'在OC上

圆O'与OA、OB相切

OO

OE23

OOr

sin603

2



31r 

∴OCOCOO

∴l

23

120·31r223

r 1809



例2、如图，正方形ABCD的边长为a，分别以A、D

外切，

为圆心，a为半径作圆弧相交于E，圆O分别与与

内切，且与AB相切。求圆O的周长。

分析：求圆O的周长，关键是求圆O的半径，而圆O

受到两条弧和边AB的制约，故应充分利用这些相切的条件。 解：连结OD、OA，作OMAB，OFDA于F， 设圆O的半径为r。 则OD＝a + r，AO＝a–r OM＝FA＝r，DF＝a–r

在RtDOF中，OF2＝DO2–DF2 ＝(a + r)–(a–r)2 在RtFOA中，OF2＝OA2–FA2 ＝(a–r)2–r2

∴(a + r)–(a–r)=(a–r)–r解得：r

222

a 6

∴圆O的周长C2r

a

3

注意：两圆相切时的计算问题（计算圆周长、弧长等），往往是通过相切的性质，构成直角三角形，因此常作连心线、圆M和切点的连线等作辅助线。

例3、如图，A为圆O外一点，AO交圆O于P，AB切圆O于B，AP ＝ 5cm，AB＝53cm。求图中阴影部分的面积。 分析：图中阴影部分面积计算无公式可用；可转化为RtOBA与扇形OBP的面积差。 解：连结OB，因AB为圆O的切线，故OBAB 设圆O的半径r

在RtOBA中，OB＝r，AB＝53， OA＝5+r

2

则有r53



2

5r

2

解得r=5 ∴O60

∵cosO

OB51

 OA102

∴S阴影＝SOBAS扇形OBP

160·52＝552360

25325cm2

26



注意：本例求半径r时，还可用切割线定理。

例4、如图，AB为半圆的直径，C、D为的三等分点。求证：

图中阴影部分的面积等于半圆面积的

1

。 3

分析：要证阴影部分的面积等于半圆面积的1/3，只需证阴影部

分的面积等于S扇形OCD即可，故只需证SACD＝SOCD。

证明：连结OC、OD、CD。 C、D三等分半圆

＝60

CDA＝DABCDAB SCDASCDOS阴＝S扇COD

COD ＝60S扇COD＝S半圆

13

1

S阴＝S半圆

3

例5、如图，扇形OAB的半径为2，AOB＝90，M是以OB

为直径的半圆的圆心，MPOA交于P，MP与半圆交于N点，

求图中阴影部分的面积。

分析：直接从图中不宜拼凑，但作辅助线，连结OP就容易看出：图中阴影部分的面积＝S扇形OABS扇形BMNSMOPS扇形OAP。

解：连接OP，已知M是OB的中点，则OM＝1，OP＝2，又MPOB ∴MOP＝60 ，AOP＝30，于是可得

11

S扇形OAB＝·22·S扇形BMN＝

44

30·22

SMOP＝，S扇形OAP＝

23603

则S阴影＝S扇形OABS扇形BMNSMOPS扇形OAP

＝

例6、如图，已知：圆O半径R＝33，A为圆O上一点，



4



35＝23122

有些问题就更复杂，需要运用综合知识去分析不同的情况。

过A作一半径为r=3的圆O'。

（1）问OO'何时最长？最长时值是多少？何时最短？最短时值是多少？

（2）若两圆有另一交点为B，且O'AO=90，求图中阴影部

分的面积。

解：（1）两圆外切时OO'最长，此时OO'=333 两圆相内切时OO'最短，此时OO'=33 (2)令AB与OO'交点为C，则AB＝2AC，ABOO' ∵O'AO=90，AO'=3，AO＝

∴OO'=6

AB2AC2

3

333 2

2

33

OC32

22

AO'C=60，连结O'B，则

1

S扇形OAB＝32＝3

3

129

SOAB＝3sin1203

24

∴S阴影部分＝3

9

（平方单位） 4

说明：一般地说，弓形面积常用面积扇形面积减去三角形面积。 有时要利用面积关系去解决线段的关系，如 例7、如图，已知：RtABC中，AC＝BC，

圆心为A，如果图

中两个阴影部分面积相等，求AD︰DB。

分析：要求AD︰DB，实求

AD

，只要能求出AD与DB的长

ABAD

就可以了，而条件中没给出边的长度，于是可设某线段边长为a（参数）即可。 解：设AC＝ BC＝a,

∵ACB90

∴AB

2a

∵图中两个阴影部分面积相等。 ∴SABCS扇形ADF ∴A＝45

45AD2

＝AD2 ∵S扇形ADF＝

3608

又∵SABC＝∴

11AC·BCa2 22

12

aAD2 28

∴AD

2

a

2

∵

ADADDBABAD2

2a



AD22

 DB2

a

2

2

2

∴

说明：两个阴影部分面积相等，使人很难下手，但都加上公共部分的面积转化为

SABCS扇形ADF是一个关键步骤，这种转化方法应该注意。有些图形的拼凑需我们更细致

地分解。