部分半导体物理课后习题解答

半导体物理习题解答

1－1．（P 32）设晶格常数为a 的一维晶格，导带极小值附近能量E c （k ）和价带极大值附近能量E v （k ）分别为：

h 2k 2h 2(k -k 1) 2h 2k 23h 2k 2

E c (k)=+和E v (k)= －；

3m 0m 06m 0m 0

m 0为电子惯性质量，k 1＝1/2a；a ＝0.314nm 。试求：

①禁带宽度；

②导带底电子有效质量； ③价带顶电子有效质量；

④价带顶电子跃迁到导带底时准动量的变化。 [解] ①禁带宽度Eg

dEc (k ) 22k 22(k -k 1) 根据＝＋＝0；可求出对应导带能量极小值E min 的k 值：

dk 3m 0m 0

k min ＝

3

k 1， 4

由题中E C 式可得：E min ＝E C (K)|k=kmin =

2

k 1； 4m 0

由题中E V 式可看出，对应价带能量极大值Emax 的k 值为：k max ＝0；

2k 122k 12h 2

并且E min ＝E V (k)|k=kmax ＝；∴Eg ＝E min －E max ＝＝ 2

12m 06m 048m 0a (6. 62⨯10-27) 2

＝＝0.64eV -28-82-11

48⨯9. 1⨯10⨯(3. 14⨯10) ⨯1. 6⨯10

②导带底电子有效质量m n

2

d 2E C 222h 28232d E C

=m 0 ；∴ m n ＝/=+=22

8dk 3m 0m 03m 0dk

③价带顶电子有效质量m ’

2

d 2E V 162' 2d E V

m =/=-m 0 ，∴=-n

6dk 2m 0dk 2

④准动量的改变量

33h

△k ＝(k min -k max )= k 1=

48a

[毕]

1－2．（P 33）晶格常数为0.25nm 的一维晶格，当外加102V/m，107V/m的电场时，试分别计算电子自能带底运动到能带顶所需的时间。 [解] 设电场强度为E ，∵F =h

dk h =qE （取绝对值） ∴dt =dk dt qE

∴t=

⎰

t

dt =⎰

12a 0

h 1h dk = 代入数据得：

qE 2a qE

6. 62⨯10-348. 3⨯10-6

t ＝＝（s ）

E 2⨯1. 6⨯10-19⨯2. 5⨯10-10⨯E

当E ＝102 V/m时，t ＝8.3×108（s ）；E ＝107V/m时，t ＝8.3×1013（s ）。 [毕]

19－318－3

3－7．（P 81）①在室温下，锗的有效状态密度Nc ＝1.05×10cm ，Nv ＝5.7×10cm ，试求锗的载流子有

－

－

效质量m n 和m p 。计算77k 时的Nc 和Nv 。已知300k 时，Eg ＝0.67eV 。77k 时Eg ＝0.76eV 。求这两个温度时锗的本征载流子浓度。②77k ，锗的电子浓度为10cm ，假定浓度为零，而Ec －E D ＝0.01eV, 求锗中施主浓度N D 为多少？

-23-34

[解] ①室温下，T=300k（27℃）,k 0=1.380×10J/K，h=6.625×10J·S，

19－318－3

对于锗：Nc ＝1.05×10cm ，Nv=5.7×10cm ： ﹟求300k 时的Nc 和Nv ： 根据（3－18）式：

19

2Nc 3-3421. 05⨯10h () (6. 625⨯10) () 3*

2(2π⋅m n k 0T ) *-31（3Nc =⇒m ===5. 0968⨯10Kg 根据n 3-23

2π⋅k 0T h 2⨯3. 14⨯1. 38⨯10⨯300

3

2

2

2

17

－3

**

－23）式：

18

Nv 3-3425. 7⨯10h () (6. 625⨯10) () 3

2(2π⋅m *k T ) p 0*-3122Nv =⇒m ===3. 39173⨯10Kg ﹟求77k 时p

2π⋅k 0T h 32⨯3. 14⨯1. 38⨯10-23⨯300

3

2

2

2

2

的Nc 和Nv ：

2(2π⋅m k T ' )

333

N T ' T ' 77' 1919222

==() ; N =() N =() ⨯1. 05⨯10=1. 365⨯10 c c 3N c T T 300*

2(2π⋅m n k 0T ) 2

h 3

' c

*n 03

32

同理：

T ' 772

N =() 2N v =() ⨯5. 7⨯1018=7. 41⨯1017

T 300

'

v

33

﹟求300k 时的n i ：

n i =(NcNv ) exp(-

求77k 时的n i ：

12

Eg 0. 67

) =(1. 05⨯1019⨯5. 7⨯1018) exp(-) =1. 96⨯1013 2k 0T 0. 052

Eg 0. 76⨯1. 6⨯10-191918

n i =(NcNv ) exp(-) =(1. 05⨯10⨯5. 7⨯10) exp(-) =1. 094⨯10-7②77k -23

2k 0T 2⨯1. 38⨯10⨯77

时，由（3－46）式得到：

-19-231719-3

Ec －E D ＝0.01eV ＝0.01×1.6×10；T ＝77k ；k 0＝1.38×10；n 0＝10；Nc ＝1.365×10cm ；

12

－19Ec -E D 20. 01⨯1. 6⨯1017[n 0)]⨯2[10⨯)]2⨯2-232k 0T 16N D =＝＝6. 6⨯10； 19

Nc 1. 365⨯10

[毕]

3－8．（P 82）利用题7所给的Nc 和Nv 数值及Eg ＝0.67eV ，求温度为300k 和500k 时，含施主浓度N D ＝5×1015cm -3，受主浓度N A ＝2×109cm -3的锗中电子及空穴浓度为多少？ [解]1) T＝300k 时，对于锗：N D ＝5×1015cm -3，N A ＝2×109cm -3：

n i =(NcNv ) exp(-

12

Eg

) =1. 96⨯1013cm -3； 2k 0T

n 0=N D -N A =5⨯1015-2⨯109≈5⨯1015； n 0>>n i ；

n i 2(1. 96⨯1013) 210

； p 0==≈7. 7⨯1015

n 05⨯10

2）T ＝300k 时：

α⋅T 24. 774⨯10-4⨯5002

Eg (500) =Eg (0) -=0. 7437-≈0. 58132eV ；

T +β500+235

查图3-7(P61) 可得：n i ≈2. 2⨯1016，属于过渡区，

n 0=

(N D -N A ) +[(N D -N A ) +4n ]

=2. 464⨯1016；

2

2

122i

n i 2

p 0==1. 964⨯1016。

n 0

（此题中，也可以用另外的方法得到n i ：

N =

' c

(Nc ) 300k 300

32

⨯500；N =

32

' v

(Nv ) 300k 300

32

⨯500；n i =(NcNv ) exp(-

3212

Eg

) 求得n i ） 2k 0T

[毕]

14-317-3

3－11．（P 82）若锗中杂质电离能△E D ＝0.01eV ，施主杂质浓度分别为N D ＝10cm 及10cm ，计算(1)99%电离，(2)90%电离，(3)50%电离时温度各为多少？ [解]未电离杂质占的百分比为：

D _=

求得：

2N D ∆E ∆E D D _Nc

； exp D ⇒＝ln

Nc k 0T k 0T 2N D

∆E D 0. 01-19=⨯1. 6⨯10=116； -23

k 0T 1. 38⨯10

3

2(2πm k ) 15

Nc ==2⨯10(T 2/cm 3)

h

*n 03

32

116D _Nc D _⨯2⨯10⨯T 1015∴=ln =) =D _T 2)

T 2N D 2N D N D

(1) N D =10cm ，99%电离，即D_=1-99%=0.01

14

-3

15

3

2

3

1163

=ln(10-1T 2) =ln T -2. 3 T 2

即：

3

1163

=ln T -2. 3 T 2

将N D =1017cm -3，D_=0.01代入得：

1163

=ln 104T 2=ln T -4ln 10 T 2

即：

3

1163

=ln T -9. 2 T 2

(2) 90%时，D_=0.1

N D =1014cm -3

∆E D 0. 1Nc

=ln

k 0T 2N D

3

3

1160. 1⨯2⨯1015210142

=ln T =ln T T 2N D N D

1163

=ln T T 2

1163

=ln T -3ln 10 N D =1017cm -3得：T 2

1163

=ln T -6. 9； 即：T 2

即：

(3) 50％电离不能再用上式 ∵n D =n D =

+

N D

2

即：

N D N D

=

E D -E F E D -E F 1

1+) 1+2exp(-) 2k 0T k 0T

∴E D -E F E -E F

) =4exp(-D ) k 0T k 0T

E D -E F E -E F

=ln 4-D

k 0T k 0T

即：E F =E D -k 0T ln 2

E c -E F N

n 0=Nc exp(-) =D

k 0T 2

取对数后得：

-

整理得下式：

E C -E D +k 0T ln 2N

=ln D

k 0T 2Nc

-

∆E D Nc

=ln

k 0T N D

14

-3

∆E D N ∆E D N

-ln 2=ln D ∴ -=ln D k 0T 2Nc k 0T Nc

即：

当N D ＝10cm 时，

1162⨯1015⨯T =ln T 1014

1163

=ln T +3 T 2

116317-3

=ln T -3. 9 当N D ＝10cm 时T 2

得

3

2

=ln(20T ) =

32

3

ln T +ln 20 2

此对数方程可用图解法或迭代法解出。 [毕] 3－14．（P 82）计算含有施主杂质浓度N D ＝9×1015cm -3及受主杂质浓度为1.1×1016cm -3的硅在300k 时的电子和空穴浓度以及费米能级的位置。

[解]对于硅材料：N D =9×1015cm -3；N A ＝1.1×1016cm -3；T ＝300k 时 n i =1.5×1010cm -3：

p 0=N A -N D =2⨯1015cm -3；

n i (1. 5⨯1010) 2-35-3

n 0==cm =1. 125⨯10cm 16

p 00. 2⨯10

∵p 0=N A -N D 且p 0=Nv ⋅exp (

E V -E F

)

K 0T

∴

E -E F N A -N D

=V )

Nv k 0T

N A -N D 0. 2⨯1016

=Ev -0. 026ln (eV ) =Ev -0. 224eV ∴E F =Ev -k 0T ln 19

Nv 1. 1⨯10

[毕]

3－18．（P 82）掺磷的n 型硅，已知磷的电离能为0.04eV ，求室温下杂质一般电离时费米能级的位置和磷的浓度。

[解]n型硅，△E D ＝0.044eV ，依题意得：

+

n 0=n D =0. 5N D

∴

N D

=0. 5N D

E D -E F

1+2exp(-)

k 0T

∴1+2exp(-

E D -E F E -E F 1

) =2⇒exp(-D ) = k 0T k 0T 2

1

=k 0T ln 2⇒E D -E C +E C -E F =k 0T ln 2 2

∴E D -E F =-k 0T ln

∵∆E D =E C -E D =0. 044

∴E F =E C -k 0T ln 2-0. 044⇒E F -E C =-k 0T ln 2-0. 044=0. 062eV

N D =2N C exp(-

E C -E F 0. 062

) =2⨯2. 8⨯1019exp(-) ≈5. 16⨯1018(cm -3) k 0T 0. 026

[毕]

3－19．（P 82）求室温下掺锑的n 型硅，使E F ＝(EC ＋E D )/2时的锑的浓度。已知锑的电离能为0.039eV 。 [解]由E F =

E C +E D

可知，E F >ED ，∵EF 标志电子的填充水平，故ED 上几乎全被电子占据，又∵在室温2

下，故此n 型Si 应为高掺杂，而且已经简并了。 ∵∆E D =E C -E D =0. 039eV

E C -E F =E C -

E C +E D

=0. 0195

即0

E C -E F

k 0T

+

∴n 0=n D =

N D N D

=

E F -E D ∆E D

1+2) 1+2)

k 0T k 0T

∴

E -E C E -E D

[1+2F )]⨯F 1(F )

k 0T k 0T 2

E -E c E -E C ∆E 2Nc

=[1+2F ) D )]⨯F 1(F )

k T k T k T 0002N D =

2Nc ==2Nc

-0. 01950. 039-0. 0195

[1+2) )]⨯F 1()

0. 0260. 0260. 0262

2⨯2. 8⨯1019

0. 0195-0. 0195[1+2)]⨯F 1() ≈6. 6⨯1019(cm -3)

0. 0260. 0262

其中F 1(-0. 75) =0. 4

2

[毕] 3－20．（P 82）制造晶体管一般是在高杂质浓度的n 型衬底上外延一层n 型的外延层，再在外延层中扩散硼、磷而成。①设n 型硅单晶衬底是掺锑的，锑的电离能为0.039eV ，300k 时的E F 位于导带底下面0.026eV 处，计算锑的浓度和导带中电子浓度。

[解] ①根据第19题讨论，此时Ti 为高掺杂，未完全电离：

0

∵n 0≈n D =

+

N D

E F -E D

1+2)

k 0T

E F -E D =(E C -E D ) -(E C -E F ) =0. 039-0. 026=0. 013(eV )

N D ==

2Nc

E -E C E -Ec ∆E

[1+2F ) ⨯D )]F 1(F )

k 0T k 0T k 0T 2

2⨯2. 8⨯1019

0. 039

[1+2exp(-1) ⨯)]F 1(-1)

0. 0262

≈4. 07⨯1019(cm -3)

其中F 1(-1) =0. 3

2

n 0=Nc

2

F 1(

2

E F -E C 2⨯2. 8⨯1019-0. 026

) =F 1() ≈9. 5⨯1019(cm -3)

k 0T 0. 0262

[毕]

4－1．（P 113）300K 时，Ge 的本征电阻率为47Ω·cm ，如电子和空穴迁移率分别为3900cm 2/V·S 和1900cm 2/V·S ，试求本征Ge 的载流子浓度。

[解]T=300K，ρ＝47Ω·cm ，μn ＝3900cm 2/V·S ，μp ＝1900 cm2/V·S

ρ=

1n i q (μn +μp )

⇒n i =

11

==2. 29⨯1013cm -3[毕] -19

ρq (μn +μp ) 47⨯1. 602⨯10(3900+1900)

4－2．（P 113）试计算本征Si 在室温时的电导率，设电子和空穴迁移率分别为1350cm 2/V·S 和500cm 2/V·S 。

当掺入百万分之一的As 后，设杂质全部电离，试计算其电导率。比本征Si 的电导率增大了多少倍？ [解]T=300K,，μn ＝1350cm 2/V·S ，μp ＝500 cm2/V·S

σ=n i q (μn +μp ) =1. 5⨯1010⨯1. 602⨯10－19⨯(1350+500) =4. 45⨯10－6s /cm

掺入As 浓度为N D ＝5.00×1022×10-6＝5.00×1016cm -3

杂质全部电离，N D >>n i ，查P 89页，图4－14可查此时μn ＝900cm 2/V·S

2

σ2=nq μn =5⨯1016⨯1. 6⨯10－19⨯900＝7. 2S /cm

σ27. 26

==1. 62⨯10 -6σ4. 45⨯10

[毕] 4－13．（P 114）掺有1.1×1016 cm-3硼原子和9×1015 cm-3磷原子的Si 样品，试计算室温时多数载流子和少数载流子浓度及样品的电阻率。

[解]N A ＝1.1×1016 cm-3，N D ＝9×1015 cm-3

p 0=N A -N D =2⨯1015cm -3

n i 21. 5⨯1010

n 0==＝1. 125⨯105cm -3 15

p 02⨯10

可查图4－15得到ρ=7Ω·cm

（根据N A +N D =2⨯1016cm -3，查图4－14得ρ，然后计算可得。）

[毕] 4－15．（P 114）施主浓度分别为1013和1017cm -3的两个Si 样品，设杂质全部电离，分别计算：①室温时的电导率。

[解]n1＝1013 cm-3，T ＝300K ，

σ1=n 1q μn =1013⨯1. 6⨯10-19⨯1350s /cm =2. 16⨯10-3s /cm

n 2＝1017cm -3时，查图可得μn =800Ω⋅cm

σ1=n 1q μn =1013⨯1. 6⨯10-19⨯800s /cm =12. 8s /cm

[毕]

14-3

5－5．（P 144）n 型硅中，掺杂浓度N D ＝1016cm -3，光注入的非平衡载流子浓度Δn ＝Δp ＝10cm 。计算无光照和有光照时的电导率。 [解]

n-Si ，N D ＝1016cm -3，Δn ＝Δp ＝10cm ，查表4－14得到：μn ≈1200, μp =400：

14

-3

无光照：σ=nq μn =N D q μn =1016⨯1. 602⨯10-19⨯1200≈1. 92(S /cm ) Δn ＝Δp

σ' =(n +∆n ) q μn +(p +∆p ) q μp =[(1016+1014) ⨯1200+1014⨯400]⨯1. 602⨯10－19

≈1. 945(S /cm )

[毕]

14-3

5－7．（P 144）掺施主杂质的N D ＝1015cm -3n 型硅，由于光的照射产生了非平衡载流子Δn ＝Δp ＝10cm 。试计算这种情况下准费米能级的位置，并和原来的费米能级做比较。 [解]

14-3

n-Si ，N D ＝1015cm -3，Δn ＝Δp ＝10cm ，

n 0=N C exp(-

E C -E F

) k 0T

n 010=Ec +0. 026ln eV =Ec -0. 266eV Nc 2. 8⨯1019

15

⇒E F =Ec +k 0T ln

光照后的半导体处于非平衡状态：

n

E C -E F

n =n 0+∆n =N C exp(-)

k 0T n

∴E F =Ec +k 0T ln

n 0+∆n 10+10

=Ec +0. 026ln eV =Ec -0. 264eV Nc 2. 8⨯1019

1514

n

E F -E F =0. 002eV p

Ev -E F

p ≈∆p =N V )

k 0T p

∴E F =Ev -k 0T ln

∆p 10

=Ev -0. 026ln eV =Ev +0. 302eV Nv 1. 1⨯1019

14

室温下，Eg Si ＝1.12eV ；

E F =Ec -0. 266eV =Eg +Ev -0. 266eV =1. 12eV +Ev -0. 266eV =Ev +0. 854eV

p

E F -E F =0. 552eV

比较：

n 由于光照的影响，非平衡多子的准费米能级E F 与原来的费米能级E F 相比较偏离不多，而非平衡勺子的费p 米能级E F 与原来的费米能级E F 相比较偏离很大。

[毕]

5－16．（P 145）一块电阻率为3Ω·cm 的n 型硅样品，空穴寿命τp =5μs ，再其平面形的表面处有稳定的空穴注入，过剩空穴浓度(∆p ) 0=1013cm -3，计算从这个表面扩散进入半导体内部的空穴电流密度，以及在离表面多远处过剩空穴浓度等于1012cm -3？ [解] ρ=3Ω⋅cm ；τp =5μs ，(∆p ) 0=1013cm -3： 由ρ=3Ω⋅cm 查图4－15可得：N D ≈1. 75⨯1015cm -3， 又查图4－14可得：μp ≈500cm /V ⋅S 由爱因斯坦关系式可得：D p =

2

k 0T 1

μp =⋅500cm 2/S =12. 5cm 2/S q 40

所求(Jp ) 扩＝q

D p Dp x

∆p (x ) =q (∆p ) 0exp(-) Lp D p τp D p τp

而Lp =

D p τp =. 5⨯5⨯10－6cm ≈7. 9057⨯10-3cm

∴(Jp ) 扩＝1. 6⨯10-19⋅

12. 5x

⋅1013⋅exp(-) A /cm 2

-3

7. 90577. 9057⨯10

≈2. 53⨯10-3⋅exp(-126. 5x ) A /cm 2

∆p (x ) =(∆p ) 0exp(-126. 5)

1∆p (x ) 110121

∴x =-ln =-ln 13cm ≈-⋅(-2. 3) cm =0. 0182cm

126. 5(∆p ) 0126. 510126. 5

[毕]