直线中的对称问题
例谈直线中的对称问题
直线的对称问题是我们学习平面解析几何过程中的不可忽视的问题，我们可以把它主要归纳为，点关于点对称，点关于线对称，线关于点对称，线关于线对称问题，下面我们来一一探讨：
一、点关于点对称问题
解决点点对称问题的关键是利用中点坐标公式，同时也是其它对称问题的基础. 例1.求点（1）A(3,1)关于点P(2,3)的对称点A'的坐标,
（2）A(2,4)，A'(0,2) 关于点P对称，求点P坐标.
解：由题意知点P是线段AA'的中点,
所以易求（1）A'(1,5)
因此，平面内点A(x0,y0)关于P(a,b)对称点坐标为(2a-x0,2b-y0)
平面内点A(x1,y1)，A'(x2,y2)关于点P （2）P(1,3). ⎛x1+x2y1+y2⎫,⎪对称 22⎝⎭
二、点关于线对称问题
求定点关于定直线的对称问题时，根据轴对称定义利用①两直线斜率互为负倒数,②中点坐标公式来求得.
例2．已知点A(1,1)直线 ：y-x+2=0，求点A关于直线 的对称点A'的坐标 解:法（一）解：设A'(x,y)，则AA'中点坐标为
∴⎛1+x1+y⎫,⎪且满足直线 的方程 22⎝⎭1+y1+x-+2=0 ① 22
又 AA'与 垂直，且AA', 斜率都存在
y-1⨯1=-1 ② ∴kAB⋅k =-1即有x-1
由①②解得 x=3，y=-1
∴A'(3,-1)
法（二）求点点关于线对称问题，其实我们可以转化为求点关于点对称的问题，可先求出AA'的直线方程进而求与 的交点坐标，再利用中点坐标公式建立方程求A'坐标.
三、线关于点对称问题
求直线关于某一点的对称直线的问题，一般转化为直线上的点关于点的对称问题. 例3．求直线 1：x+2y-1=0关于点P(2,1)的对称直线 2的方程.
解:法（一） 直线 1：x+2y-1=0与两坐标轴交点为A 0,⎪，B(1,0) ⎛
⎝1⎫2⎭
⎛1⎫⎛3⎫
⎝2⎭⎝2⎭
点B(1,0)关于P(2,1)对称点B'(3,2)
∴过A',B'的直线方程为x+2y-7=0
故所求直线 2方程为x+2y-7=0. 点A 0,⎪关于P(2,1)对称点A' 4,⎪
法（二）由两直线关于点对称，易知两直线平行，则对称点到两直线的距离相等，可以建立等式，求出直线方程.
四、线关于线的对称问题
求直线关于直线的对称问题，一般转化为点关于直线对称问题：即在已知直线上任取两不同点，求出这两点关于直线的对称点再求出直线方程.
例4．求已知直线 ：x-y-2=0关于直线3x-y+3=0对称的直线方程. 解：在 ：x-y-2=0上任取一点A(2,0)
直线3x-y+3=0的斜率为3
∴过点A(2,0)且与直线3x-y+3=0垂直的直线斜率为-
x+3y-2=0 1，方程为3
7⎧x=-⎪⎧x+3y-2=0⎪10 得 ⎨ ⎨⎩3x-y+3=0⎪y=9
⎪10⎩
⎛79⎫所以点 -,⎪为直线3x-y+3=0与x+3y-2=0的交点，利用中点坐标公式求⎝1010⎭
⎛179⎫出A(2,0)关于3x-y+3=0的对称点坐标为 -,⎪ 55⎭⎝
又直线x-y-2=0与3x-y+3=0的交点也在所求直线上
5⎧x=-⎪⎧x-y-2=0⎪⎛59⎫2由⎨ 得⎨ 所以交点坐标为 -,-⎪. ⎝22⎭⎩3x-y+3=0⎪y=-9
⎪2⎩
⎛179⎫⎛59⎫过 -,⎪和 -,-⎪的直线方程为7x+y+22=0，故所求直线方程⎝55⎭⎝22⎭
7x+y+22=0.
练习
1.求点A(2,2)关于直线2x-4y+9=0的对称点坐标为___________；
2.已知直线l:3x-2y=1与点P(2,2)，则直线l关于点P的对称直线方程为___________；
3.直线a:2x+y-4=0关于直线l:3x+4y-1=0对称的直线b的方程为___________；
4.两点A(a+2,b+2)，B(b-a,-b)关于直线4x+3y=11对称，则a=_____，b=_____；
5.过点P(3,0)作一直线，使它夹在两直线l1:2x-y-2=0和l2:x+y+3=0之间的线段AB恰好被点P平分，求此直线的方程.