专题三:立体几何基本性质

模块四：立体几何 第一讲：平面的基本性质

一：考点归纳 1、平面的概念

①平面是一个不加定义，只需要理解的最基本的原始概念．立体几何里所说的平面就是从生活中常见的平面抽象出来的，生活中的平面是比较平、且有限的，而立体几何中的平面是理想的、绝对的平且无限延展的. 2、几何中符号的规定:

3、平面的基本性质

公理1: 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都 在这个平面内．

作用：既可判定直线是否在平面内、点是否在平面内，又可用直线检验平面。

公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是一条直线．

作用：其一，它是判定两个平面是否相交的依据，只要两个平面有一个公共点，就可以判定这两个平

面必相交于过这点的一条直线；其二，它可以判定点在直线上，点是某两个平面的公共点，线是这两个平面的公共交线，则这点在交线上。

公理3: 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．

作用：作用一是确定平面，作用二可用其证明点、线共面问题。 公理3有三个推论，它们是:

推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 公理4: 平行于同一直线的两条直线平行．

作用：证明两条直线平行

4、异面直线

①异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线（或既不相交，也不平行的两条直线叫做异面直线）

②关于异面直线的有关概念

//

(1)两条异面直线所成的角(或夹角) 的定义:直线a 、b 是异面直线，经过空间一点O ，分别引直线a ||a,b ||b ,

//

相交直线a ，b 所成锐角（或直角）, 叫做异面直线a 、b 所成的角

(2)两条异面直线垂直的定义:如果两条异面直线所成角是直角，则称这两条异面直线互相垂直．

5、直线和平面平行的判定与性质定理

①判定定理：如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．若a||b，a ⊈α，b ⊂α；则 a||α(即线线平行，则线面平行) ，

②性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行． (即线面平行，则线线平行) 用符号表示为；a||α，a ⊂β, α∩β=b,则a||b。（即“线面平行，则线线平行”） 6、直线和平面平行的判定与性质定理

①判定定理: 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行． 定理的符号语言表示为：若a ⊂α，b ⊂α,a ∩b=A,且a||β,b||β, 则α||β.

②性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．

定理的符号语言表示为：若α||β. α∩γ＝a ，β∩γ=b，, 则a||b．

推论符号语言表示为：若a ⊥α,a ⊥β, 则α||β.

7、 直线和平面垂直

①定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直。记作L ⊥α ②二个命题：

命题1： 过一点有且只有一条直线和已知平面垂直。 命题2：过一点有且只有一个平面和已知直线垂直。

③判定定理：直线和平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂那么这条直线就垂直

m,n ⊂α,m ⋂n=A

于这个平面；即L ⊥m ，L ⊥n ⇒L⊥α

推论： 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。即a||b,a ⊥α, ⇒b ⊥α

④性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行． 8、平面与平面垂直 ①二面角

（1）定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面；

（2）大小：一个平面垂直于二面角的棱，且与两个半平面的交线分别是两条射线，两条射线的夹角叫二面角的平面角；二面角的大小，就用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．

000

（3）范围为[0，180] 当二面角的两个面重合时，规定二面角的大小为0，当二面角的两个面合成一个平面时，

规定二面角的大小为180．若—个二面角的平面角是直角，就说这个二面角为直二面角．

②定义：若两个平面相交，如果它们所成的二面角的平面角是直角，就说这两个平面互相垂直。 ③判定定理：若—个平面过另—个平面的垂线，则这两个平面互相垂直。a ⊥α，a ⊂β；⇒α⊥β ④性质定理：若两个平面垂直，则—个平面内的垂线与交线的直线垂直另—个平面。即α⊥β，α⋂β= b ，a ⊂β，a ⊥b ⇒a ⊥α 二：典例归类

例1、正方体ABCD 一A 1B 1C 1D l 中，E 为AB 的中点，F 为A 1A 的中点．

求证：（1）E 、C 、D 1、F 四点共面；

（2）CE 、D 1F 、DA 三条直线必过同一点

牛刀小试

1、已知ABC 在平面α外，AB ⋂α＝P ，AC ⋂α＝R ，BC ⋂α＝Q ，如图 求证：P 、Q 、R 及三点共线．

2、如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC ∥2AD ，BE ∥2，且

11

BC =2AD ，BE=2.

证明：C 、D 、F 、E 四点共面：

例2、如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB=2，AD=1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E

与GF 所成的角是 （ ）

A ．11

5

B ．

π 4

C ． 5

D ．

π 2

牛刀小试

E BE 与CD 1所成的角的余弦值为

1、已知正四棱柱ABCD -A 1BC 11D 1中，AA 1=2AB ，为AA 1中点，则异面直线

B. 1

5

D. 3

5

2、如图，已知三棱锥 O—ABC 的侧棱 OA、OB 、OC 两两垂直，且 OA=1，OB=OC=2， E 是 OC 的中点.

求异面直线 BE 与 AC 所成的角；

3、如图，PA ⊥平面ABC ，∠ACB=90°且PA=AC=BC=a.则异面直线PB 与AC 所成角的正切值等于__________

①如果一条直线与一平面平行，那么这条直线与平面内的任意—条直线平行； ②如果一条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直； ③过平面外一点有且只有一条直线与平面平行；

④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面．

A 、0 B、1 C、 2 D、 3

例4、已知：如图，P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 是PD 中点

（Ⅰ）求证：PB ∥平面EAC

（Ⅱ）M 是CD 上异于C 、D 的点，连结PM 交CE 于G ，连结BM ，交AC 于H 求证：GH ∥PB

牛刀小试

1、对于平面α和共面直线m,n ，下列命题正确的是（）

A、 若m||α，n||α，则m||n B、若m ⊂α，n||m，且n 不包含于α，则n||α C、 若m ⊂α，n||α，则m||n D、若m,n 与α所成角相等，则m||n 2、若直线m ⊂α，则条件甲：直线L||α，是条件乙：L||m的（）

A、 充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、 充分必要条件 D、既不充分不必要条件 3、如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD 中，点E 是PD 的中点. 求证：PB //平面AEC ；

∥4、如图，在五面体ABCDEF 中，点O 是矩形ABCD 的对角线的交点，面CDE 是等边三角形，棱EF

1

BC ．证2

明：FO ∥平面CDE ；

B

5、如图，已知四棱锥P-ABCD 中，E 是PC 上的中点，连接EB ，ED ，在ED 上任取一 点G ，A 、P 、G 确定的平面与平面DEB 交于GH 求证：PA||GH

D

P

C

E

C

例6、如图，四棱锥P —ABCD 中，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ， CD = 2AB ，M 为PC 的中点。 求证：BM ∥平面PAD ；

牛刀小试

1、如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面位置关系一定是( )

A、平行 B、相交 C、平行或相交 D、垂直相交 2、平面α||平面β 的一个充分条件是（ ）

A 、存在一条直线a ，a||α,a||β B、存在一条直线a ，a ⊂α,a||β C 、存在两条平行直线a 、b ，a ⊂α，b ⊂β ，a||β，b||α D 、存在两条异面直线a 、b ，a ⊂α，b ⊂β ，a||β，b||α 3、如图，在长方体ABCD -A 1BC 11D 1中，E , P 分别是BC , A 1D 1的中点，M , N 分别是AE , CD 1的中点， 求证：MN //面ADD 1A 1；

BC =

2，例7、四棱锥A -BCDE 中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，

A

CD AB =AC ．证明：AD ⊥CE

B

C

D

例8、如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，PA ⊥底 面ABCD ，PA ＝2，证明：平面PBE ⊥平面PAB ;

E

1、已知a,b 是直线，α是平面，则下列命题中正确的是 ( ) A 、a ⊥α, a ⊥b ⇒b //α B、 a ⊥b , a //α⇒b ⊥α

C 、a //b , b //α⇒a //α D、 a ⊥α, a //b ⇒b ⊥α

2、如果直线l 和平面α内的两条平行线垂直，那么下列结论正确的是 （ ）

A l ⊂α B l与α相交 C l//α D A、B 、C 都可能

3、如图，在四棱锥P —ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱PA ＝PD , AD 中点，求证:PO ⊥平面ABCD 。

4、如图，PCBM 是直角梯形，∠PCB =90︒，PM ∥BC ，PM =1，BC =2，又AC =1，∠ACB =120︒， AB ⊥PC ，直线AM 与直线PC 所成的角为60︒.

求证：平面PAC ⊥平面ABC ；

B

A

6、如图，在底面是菱形的四棱锥P —ABCD 中，∠ABC =60, PA =AC =a , PB =PD = 2a , 点E 是PD 的中点. （1

）证明：PA ⊥平面ABCD ，

（2）PB ∥平面EAC ；

PD ⊥底面ABCD ，7、如图，四棱锥P -ABCD 的底面是正方形，点E 在棱PB 上，求证：平面AEC ⊥平面PDB ；