一次函数典型题分类

一次函数典型题分类

题型一、点的坐标

方法： x 轴上的点纵坐标为0，y 轴上的点横坐标为0；

若两个点关于x 轴对称，则他们的横坐标相同，纵坐标互为相反数； 若两个点关于y 轴对称，则它们的纵坐标相同，横坐标互为相反数；

若两个点关于原点对称，则它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数； 1、 若点A （m,n ）在第二象限，则点（|m|,-n）在第____象限；

2、 若点P （2a-1,2-3b ）是第二象限的点，则a,b 的范围为______________________； 3、 已知A （4，b ），B （a,-2），若A ，B 关于x 轴对称，则a=_______,b=_________;若A,B 关于y 轴对称，则

a=_______,b=__________;若若A ，B 关于原点对称，则a=_______,b=_________；

4、 若点M （1-x,1-y ）在第二象限，那么点N （1-x,y-1）关于原点的对称点在第______象限。 题型二、关于点的距离的问题

方法：点到x 轴的距离用纵坐标的绝对值表示，点到y 轴的距离用横坐标的绝对值表示； 任意两点A (x A , y A ), B (x B , y

B ) 若AB ∥x 轴，则A (x A ,0), B (x B ,0) 的距离为x A -x B ； 若AB ∥y 轴，则A (0,y A ), B (0,y B ) 的距离为y A -y B ；

点A (x y

A , A )

1、 点B （2，-2）到x 轴的距离是_________；到y 轴的距离是____________；

2、 点C （0，-5）到x 轴的距离是_________；到y 轴的距离是____________；到原点的距离是____________； 3、 点D （a,b ）到x 轴的距离是_________；到y 轴的距离是____________；到原点的距离是____________； 4、 已知点P （3,0），Q(-2,0),则PQ=__________,已知点M ⎛0, 1⎪⎫, N ⎛0, 1⎫

⎝2⎭⎝-

2⎪⎭

, 则MQ=________; E (2, -1), F (2, -8), 则EF 两点之间的距离是__________;已知点G （2，-3）

、H （3,4），则G 、H 两点之间的距离是_________；

5、 两点（3，-4）、（5，a ）间的距离是2，则a 的值为__________； 6、 已知点A （0,2）、B （-3，-2）、C （a,b ），若C 点在x 轴上，且∠ACB=90°，则C 点坐标为___________. 题型三、一次函数与正比例函数的识别

方法：若y=kx+b(k,b是常数，k ≠0) ，那么y 叫做x 的一次函数，特别的，当b=0时，一次函数就成为y=kx(k是

常数，k ≠0) ，这时，y 叫做x 的正比例函数，当k=0时，一次函数就成为若y=b，这时，y 叫做常函数。☆A 与B 成正比例 A=kB(k≠0) 1、当k_____________时，y =(k -3)x 2

++2x -3是一次函数；

2、当m_____________时，y =(m -3)x

2m +1

+4x -5是一次函数；

3、当m_____________时，y =(m -4)x 2m +1+4x -5是一次函数； 4、2y-3与3x+1成正比例，且x=2,y=12,则函数解析式为________________； 题型四、函数图像及其性质 方法：

k(称为斜率) 表示直线y=kx+b（k≠0） 的倾斜程度；

b （称为截距）表示直线y=kx+b（k≠0）与y 轴交点的 ，也表示直线在y 轴上的 。☆同一平面内，不重合的两直线 y=k1x+b1（k 1≠0）与 y=k2x+b2（k 2≠0）的位置关系： 当 时，两直线平行。 当 时，两直线垂直。

当 时，两直线相交。 当 时，两直线交于y 轴上同一点。

☆特殊直线方程：

X 轴 : 直线 Y轴 : 直线 与X 轴平行的直线 与Y 轴平行的直线 一、 三象限角平分线 二、四象限角平分线 1、对于函数y ＝5x+6，y 的值随x 值的减小而___________。 2、对于函数y =

12

2-3

x , y的值随x 值的________而增大。 3、一次函数 y=(6-3m)x＋(2n－4) 不经过第三象限，则m 、n 的范围是__________。 4、直线y=(6-3m)x＋(2n－4) 不经过第三象限，则m 、n 的范围是_________。 5、已知直线y=kx+b经过第一、二、四象限，那么直线y=-bx+k经过第_______象限。 6、无论m 为何值，直线y=x+2m与直线y=-x+4的交点不可能在第______象限。 7、已知一次函数y =(1-2m ) x +(3m -1)

（1）当m 取何值时，y 随x 的增大而减小？ （2）当m 取何值时，函数的图象过原点？

题型五、待定系数法求解析式

方法：依据两个独立的条件确定k,b 的值，即可求解出一次函数y=kx+b（k ≠0）的解析式。

☆ 已知是直线或一次函数可以设y=kx+b（k ≠0）；

☆ 若点在直线上，则可以将点的坐标代入解析式构建方程。 1、若函数y=3x+b经过点（2，-6），求函数的解析式。

2、直线y=kx+b的图像经过A （3，4）和点B （2，7），

3、如图1表示一辆汽车油箱里剩余油量y （升）与行驶时间x （小时）之间的关系．求油箱里所剩油y （升）与行驶时间x （小时）之间的函数关系式，并且确定自变量x 的取值范围。

4、一次函数的图像与y=2x-5平行且与x 轴交于点（-2,0）求解析式。

5、若一次函数y=kx+b的自变量x 的取值范围是-2≤x ≤6，相应的函数值的范围是-11≤y ≤ 9，求此函数的解析式。

6、已知直线y=kx+b与直线y= -3x +7关于y 轴对称，求k 、b 的值。

7、已知直线y=kx+b与直线y= -3x +7关于x 轴对称，求k 、b 的值。

8、已知直线y=kx+b与直线y= -3x +7关于原点对称，求k 、b 的值。

题型六、平移

方法：直线y=kx+b与y 轴交点为（0，b ），直线平移则直线上的点（0，b ）也会同样的平移，平移不改变斜率k ，则将平移后的点代入解析式求出b 即可。

直线y=kx+b向左平移2向上平移3 y=k(x+2)+b+3;（“左加右减，上加下减”）。 1. 直线y=5x-3向左平移2个单位得到直线 。 2. 直线y=-x-2向右平移2个单位得到直线

3. 直线y=

1

2x 向右平移2个单位得到直线 4. 直线y=-3

2

x +2向左平移2个单位得到直线

5. 直线y=2x+1向上平移4个单位得到直线 6. 直线y=-3x+5向下平移6个单位得到直线

7. 直线y =

1

3x 向上平移1个单位，再向右平移1个单位得到直线 8. 直线y =-3

4

x +1向下平移2个单位，再向左平移1个单位得到直线。

9. 过点（2，-3）且平行于直线y=2x的直线是。 10. 过点（2，-3）且平行于直线y=-3x+1的直线是___________.

11．把函数y=3x+1的图像向右平移2个单位再向上平移3个单位，可得到的图像表示的函数是____________； 12．直线m:y=2x+2是直线n 向右平移2个单位再向下平移5个单位得到的，而（2a,7）在直线n 上，则a=____________；

题型七、交点问题及直线围成的面积问题

方法：两直线交点坐标必满足两直线解析式，求交点就是联立两直线解析式求方程组的解；

复杂图形“外补内割”即：往外补成规则图形，或分割成规则图形（三角形）； 往往选择坐标轴上的线段作为底，底所对的顶点的坐标确定高； 1、 直线经过（1,2）、（-3,4）两点，求直线与坐标轴围成的图形的面积。

2、 已知一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点A （3,4），且OA=OB （1） 求两个函数的解析式；（2）求△AOB 的面积；

3、 已知直线m 经过两点（1,6）、（-3，-2），它和x 轴、y 轴的交点式B 、A ，直线n 过点（2，-2），且与y 轴交

点的纵坐标是-3，它和x 轴、y 轴的交点是D 、C ； （1） 分别写出两条直线解析式，并画草图； （2） 计算四边形ABCD 的面积； （3） 若直线AB 与DC 交于点E ，求△BCE 的面积。

4、 如图，A 、B 分别是x 轴上位于原点左右两侧的点，点P （2，

第一象限，直线PA 交y 轴于点C （0,2），直线PB 交y 轴于p ）在

点D ，

△AOP 的面积为6；

（1） 求△COP 的面积；

（2） 求点A 的坐标及p 的值；

（3） 若△BOP 与△DOP 的面积相等，求直线BD 的函数

解析式。

5、已知：l 1:y =2x +m 经过点（-3，-2），它与x 轴，y 轴分别交于点B 、A ，直线l 2:y =kx +b 经过点（2，-2），且与y 轴交于点C （0，-3），它与x 轴交于点D

（1）求直线l 1和l 2的解析式； （2）若直线l 1与l 2交于点P ，求

的值。

6. 如图，已知点A （2，4），B （-2，2），C （4，0），求△ABC 的面积。

一次函数的实际应用（方案择优问题）

基础扫描：在同一坐标系中作一次函数y 1=2x －2 与y 2=0.5x +1的图象.

①求出它们的交点坐标是 ②则方程组⎧⎨y =2x -2

⎩

y =0.5x +1的解是 .

③当x 时, y 1＞y 2 ④当x 时, y 1=y 2 ⑤当x 时, y 1＜y 2

举一反三：（2010 云南玉溪）某种铂金饰品在甲、乙两个商店销售．甲店标价477元／克，按标价出售，不优惠．乙店标价530元／克，但若买的铂金饰品重量超过3克，则超出部分可打八折出售．

⑴ 分别写出到甲、乙商店购买该种铂金饰品所需费用y （元）和重量x （克）之间的函数关系式； ⑵ 李阿姨要买一条重量不少于4克且不超过10克的此种铂金饰品，到哪个商店购买最合算？

模仿操练：1. （2010山东泰安）某电视机厂要印制产品宣传材料，甲印刷厂提出：每份材料收1元印刷费，另

收1000元制版费；乙厂提出：每份材料收2元印制费，不收制版费. （1）分别写出两厂的收费y(元) 与印制数量x （份）之间的函数关系式；

（2）电视机厂拟拿出3000元用于印制宣传材料，找哪家印刷厂印制的宣传材料能多一些？ （3）印刷数量在什么范围时，在甲厂的印制合算？

2．(2009年潍坊) 某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务，有一批蔬菜产品需要装入某一规格的纸箱．供应这种纸箱有两种方案可供选择：

方案一：从纸箱厂定制购买，每个纸箱价格为4元；

方案二：由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱，机器租赁费按生产纸箱数收取．工厂需要一次性投入机器安装等费用16000元，每加工一个纸箱还需成本费2.4元．

（1）若需要这种规格的纸箱x 个，请分别写出从纸箱厂购买纸箱的费用y 1（元）和蔬菜加工厂自己加工制作纸箱的费用y 2（元）关于x （个）的函数关系式；

（2）假设你是决策者，你认为应该选择哪种方案？并说明理由．

3．（2010辽宁丹东市）某办公用品销售商店推出两种优惠方法：①购1个书包，赠送1支水性笔；②购书包和

水性笔一律按9折优惠．书包每个定价20元，水性笔每支定价5元．小丽和同学需买4个书包，水性笔若干支（不少于4支）．

（1）分别写出两种优惠方法购买费用y （元）与所买水性笔支数x （支）之间的函数关系式； （2）对x 的取值情况进行分析，说明按哪种优惠方法购买比较便宜；

（3）小丽和同学需买这种书包4个和水性笔12支，请你设计怎样购买最经济．

一次函数的实际应用（分配方案问题）

基础扫描：利用题意中的数量关系建立函数模型，利用自变量及其相关的代数式的实际意义确定其取值范围，

是求函数实际问题中的常用方法。

举一反三：（09年辽南）辽南素有“苹果之乡”美称，某乡组织20辆汽车装运A 、B 、C 三种苹果42吨到外地

销售，按规定每辆车只装同一种苹果，且必须装满，每种苹果不少于2车。

(1)设有x 辆车装A 种苹果，用y 辆车装B 种苹果，根据下表提供的信息求y 与x 的函数关系式，并求x 的取值范围。

(2)设此次外销活动的利润为W(百元) ，求W 与x 的函数关系式及最大利润，并安排相应的车辆分配方案。

思路导航：y 与x 的函数关系式应结合车辆总数和外销苹果总吨数来建立函数模型，每种苹果的利润等于每辆

车的运载量×车辆数×每吨苹果的获利，利用题意中的数量关系建立函数模型，利用自变量及其相关的代数式的实际意义确定其取值范围，是求函数实际问题中的常用方法。

模仿操练：1．某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降．今年三月份的电脑售价

比去年同期每台降价1000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元． （1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元？

（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑．已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4. 8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案？ （3）如果乙种电脑每台售价为3800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a 元，要使（2）中所有方案获利相同，a 值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？

2. （2009年牡丹江）某冰箱厂为响应国家“家电下乡”号召，计划生产A 、B 两种型号的冰箱100台．经预算，两种冰箱全部售出后，可获得利润不低于 4.75万元，不高于4.8万元，两种型号的冰箱生产成本和售价如下表：

（1）冰箱厂有哪几种生产方案？

（2）该冰箱厂按哪种方案生产，才能使投入成本最少？“家电下乡”后农民买家电（冰箱、彩电、洗衣机）可享受13%的政府补贴，那么在这种方案下政府需补贴给农民多少元？

（3）若按（2）中的方案生产，冰箱厂计划将获得的全部利润购买三种物品：体育器材、实验设备、办公用品支援某希望小学．其中体育器材至多买4套，体育器材每套6000元，实验设备每套3000元，办公用品每套1800元，把钱全部用尽且三种物品都购买的情况下，请你直接写出实验设备的买法共有多少种．

3．(2009年鄂州) 某土产公司组织20辆汽车装运甲、乙、丙三种土特产共120吨去外地销售。按计划20辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种土特产，且必须装满，根据下表提供的信息，

解答以下问题

(1)设装运甲种土特产的车辆数为x ，装运乙种土特产的车辆数为y ，求y 与x 之间的函数关系式． (2)如果装运每种土特产的车辆都不少于3辆，那么车辆的安排方案有几种? 并写出每种安排方案。 (3)若要使此次销售获利最大，应采用(2)中哪种安排方案? 并求出最大利润的值。

一次函数的实际应用（最大利润问题）

基础扫描：一次函数y =kx +b (k ≠0) ，当k 0时，y 的值随x 值得增大而增大；当k ___0时，y 的值随x 值

得增大而减小。

举一反三：（2010黑龙江绥化）为了抓住世博会商机，某商店决定购进A 、B 两种世博会纪念品. 若购进A 种纪

念品10件，B 种纪念品5件，需要1000元；若购进A 种纪念品5件，B 种纪念品3件，需要550元.

（1）求购进A 、B 两种纪念品每件各需多少元？

（2）若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑到市场需求，要求购进A 种纪念品的数量不少于B 种纪念品数量的6倍，且不超过B 种纪念品数量的8倍，那么该商店共有几种进货方案？

（3）若若销售每件A 种纪念品可获利润20元，每件 B 种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？

思路导航：主要建立数学模型方程组、不等式、一次函数。

模仿操练：1. （2010 广西玉林、防城港）玉柴一分厂计划一个月（按30天计）内生产柴油机500台。

（1）若只生产一种型号柴油机，并且每天生产量相同，按原先的生产速度，不能完成任务；如果每天比原先多生产1台，就提前完成任务。问原先每天生产多少台？

（2）若生产甲、乙两种型号柴油机，并且根据市场供求情况确定；乙型号产量不超过甲型号产量的3倍。已知：甲型号出厂价2万元，乙型号出厂价5万元，求总产值w 最大是多少万元。 2．（2009恩施市）某超市经销A 、B 两种商品，A 种商品每件进价20元，售价30元；B 种商品每件进价35元，售价48元．

（1）该超市准备用800元去购进A 、B 两种商品若干件，怎样购进才能使超市经销这两种商品所获利润最大（其中B 种商品不少于7件）？ （2）在“五·

促销活动期间小颖去该超市购买种商品，小华去该超市购买种商品，分别付款210元与268.8元．促销活动期间小明决定一次去购买小颖和小华购买的同样多的商品，他需付款多少元？

3. （2010 广东珠海）今年春季，我国云南、贵州等西南地区遇到多少不遇旱灾，“一方有难，八方支援”，为及时灌溉农田，丰收农机公司决定支援上坪村甲、乙、丙三种不同功率柴油发电机共10台（每种至少一台）及配套相同型号抽水机4台、3台、2台，每台抽水机每小时可抽水灌溉农田1亩. 现要求所有柴油发电机及配套抽水机同时工作一小时，灌溉农田32亩.

(1)设甲种柴油发电机数量为x 台，乙种柴油发电机数量为y 台. ①用含x 、y 的式子表示丙种柴油发电机的数量； ②求出y 与x 的函数关系式；

(2)已知甲、乙、丙柴油发电机每台每小时费用分别为130元、120元、100元，应如何安排三种柴油发电机的数量，既能按要求抽水灌溉，同时柴油发电机总费用W 最少？