人教版高中数学知识点总结新
高中数学 必修1知识点 第一章 集合与函数概念
〘1.1.1〙集合的含义与表示
（1）常用数集及其记法
N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.
〘1.1.2〙集合间的基本关系
（2）已知集合它有2
（3）一元二次不等式的解法
n
A 有n (n ≥1) 个元素，则它有2n 个子集，它有2n -1个真子集，它有2n -1个非空子集，
-2非空真子集.
〖1.3〗函数的基本性质 〘1.3.1〙单调性与最大（小）值
（1）函数的单调性
②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数． ③对于复合函数
y =f [g (x )]，令u =g (x )
，若
y =f (u )
为增，
u =g (x )
为增，则
y =f [g (x )]为增；若y =f (u ) 为减，u =g (x ) 为减，则y =f [g (x )]为增；若y =f (u ) 为
增，u
=g (x ) 为减，则y =f [g (x )]为减；若y =f (u ) 为减，u =g (x ) 为增，则y
y =f [g (x )]为减．
（2）打“√”函数
a
f (x ) =x +(a >0) 的图象与性质
x
o
x
f (x ) 分别在(-∞, 、+∞) 上为增函数，分别在[、上为减函数．
（3）最大（小）值定义 ①一般地，设函数
y =f (x ) 的定义域为I
f (x ) ≤M
；
，如果存在实数M 满足：（1）
对于任意的x ∈I ，都有 （2）存在
x 0∈I ，使得f (x 0) =M
．
．那么，我们称M 是函数f (x ) 的最大值，记作
f max (x ) =M
②一般地，设函数
y =f (x ) 的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x ∈I ，都有
（2）存在x 0∈I ，使得f (x 0) =m ．那么，我们称m 是函数f (x ) 的最小值，记作f (x ) ≥m ；
f max (x ) =m ．
〘1.3.2〙奇偶性
（4）函数的奇偶性
②若函数
f (x ) 为奇函数，且在x =0处有定义，则f (0)=0．
③奇函数在
y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．
④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．
〖补充知识〗函数的图象
（1）作图
①平移变换
h >0, 左移h 个单位
y =f (x ) −−−−−−−→y =f (x +h ) h 0, 上移k 个单位y =f (x ) −−−−−−−→y =f (x ) +k
k
②伸缩变换
0
y =f (x ) −−−−→y =f (ωx )
ω>1, 缩0
y =f (x ) −−−−→y =Af (x )
A >1, 伸
③对称变换
y 轴x 轴
y =f (x ) −−−→y =-f (x ) y =f (x ) −−−→y =f (-x )
直线y =x 原点
y =f (x ) −−−→y =-f (-x ) y =f (x ) −−−−→y =f -1(x )
去掉y 轴左边图象
y =f (x ) −−−−−−−−−−−−−−−→y =f (|x |)
保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称图象保留x 轴上方图象
y =f (x ) −−−−−−−−−→y =|f (x ) |
将x 轴下方图象翻折上去
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
〖2.1〗指数函数
〘2.1.1〙指数与指数幂的运算
（1）分数指数幂的概念
①正数的正分数指数幂的意义是：a 幂等于0．
②正数的负分数指数幂的意义是：a
- m n
m n
=a >0, m , n ∈N +, n >1) 1m =() n =a >0, m , n ∈N +, n >1) 0
a 的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质
①a
r
⋅a s =a r +s (a >0, r , s ∈R ) ②(a r ) s =a rs (a >0, r , s ∈R )
r
③(ab )
=a r b r (a >0, b >0, r ∈R )
〘2.1.2〙指数函数及其性质
〖2.2〗对数函数 〘2.2.1〙对数与对数运算
（1）对数的定义 ①若a
x
=N (a >0, 且a ≠1) ，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作x
=log a N ，其中a 叫做底数，
N 叫做真数．
②负数和零没有对数． ③对数式与指数式的互化：x （2）几个重要的对数恒等式
=log a N ⇔a x =N (a >0, a ≠1, N >0) ．
log a 1=0，log a a =1，log a a b =b ．
（3）常用对数与自然对数
常用对数：lg N ，即log 10
N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中e =2.71828…）．
>0, N >0，那么
（4）对数的运算性质 如果a >0, a ≠1, M
①加法：log a
M +log a N =log a (MN ) ②减法：log a M -log a N =log a
M =log a M n (n ∈R ) ④a log a N =N
M
N
③数乘：n log a
⑤log
a
b
M n =
log b N n
(b >0, 且b ≠1) log a M (b ≠0, n ∈R ) ⑥换底公式：log a N =
log b a b
〘2.2.2〙对数函数及其性质
〖2.3〗幂函数
（1）幂函数的定义 一般地，函数
y =x α叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．
〖补充知识〗二次函数
（1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：
f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0) ②顶点式：f (x ) =a (x -h ) 2+k (a ≠0) ③两根式：
f (x ) =a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0)
（2）求二次函数解析式的方法
①已知三个点坐标时，宜用一般式．
②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求
（3）二次函数图象的性质 ①二次函数
f (x ) 更方便．
f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0) 的图象是一条抛物线，对称轴方程为x =-
b
, 顶点坐标是2a
b 4ac -b 2(-, ) ．
2a 4a
②当a
>0时，抛物线开口向上，函数在(-∞, -
b b b
]上递减，在[-, +∞) 上递增，当x =-
2a 2a 2a
时，
4ac -b 2
f min (x ) =
4a b
递减，当x =-
2a
③二次函数
；当a
b b
]上递增，在[-, +∞) 上2a 2a
时，
4ac -b 2
f max (x ) =
4a
．
f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0) 当∆=b 2-4ac >0时，图象与x
轴有两个交点
|a |
．
M 1(x 1,0), M 2(x 2,0),|M 1M 2|=|x 1-x 2|=
（4）一元二次方程ax
2
+bx +c =0(a ≠0)
一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布． 设一元二次方程ax
2
+bx +c =0(a ≠0) 的两实根为x 1, x 2，且x 1≤x 2．令
b 2a
f (x ) =ax 2+bx +c ，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：x =-
③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔
②x 1≤x 2＜k ⇔
③x
1＜k ＜x 2 ⇔ af (k ) ＜0
④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔
⑤有且仅有一个根x （或x 2）满足k 1＜x （或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1) f (k 2)
或f (k 2)=0这两种情况是否也符合
⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出． （5）二次函数 设
f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0) 在闭区间[p , q ]上的最值
，最小值为m ，令x 0
f (x ) 在区间[p , q ]上的最大值为M
（Ⅰ）当a
=
1
(p +q ) ． 2
>0时（开口向上）
①若-
b b b b
>q ，则
m =f (q )
x
x
x
q ) 0f (p )
2a b >q ，则
③若-) ②若p ≤2a x
x
M
x
x
x
f
f
①若-
b b ≤x 0，则m =f (q ) ②->x 0，则m =f (p ) ． 2a 2a
x
f
x
第三章 一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的求法：
y =f (x ) 的零点：
1 （代数法）求方程f (x ) =0的实数根； ○
求函数
2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数○
用函数的性质找出零点． 2、二次函数的零点： 二次函数
y =f (x ) 的图象联系起来，并利
y =ax 2+bx +c (a ≠0) ．
2
１）△＞０，方程ax 函数有两个零点．
+bx +c =0有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次
２）△＝０，方程ax +bx +c =0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点． ３）△＜０，方程ax
2
2
+bx +c =0无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点．
高中数学 必修2知识点
第一章 空间几何体
1.3 空间几何体的表面积与体积
（一 ）空间几何体的表面积
1棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和
2
S =πrl +πr 2 圆柱的表面积 3 圆锥的表面积 S =2πrl +2πr
2
4 圆台的表面积S
=πrl +πr 2+πRl +πR 2 5 球的表面积S =4πR 2
（二）空间几何体的体积
1
=S 底⨯h 2锥体的体积 V =S 底⨯h
3
143
3台体的体积 V =S 上+S 上S 下+S 下) ⨯h 4球体的体积 V =πR
33
1柱体的体积 V
第二章 直线与平面的位置关系
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1 1 三个公理：
（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为
A ∈L
B ∈α A ∈α B ∈α
公理1作用：判断直线是否在平面内
（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。
公理2作用：确定一个平面的依据。
D A
B
C
A
L · C ·
·
A B
（3）公理
3符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
1 空间的两条直线有如下三种关系：
共面直线
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线
a ∥b c ∥b
强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点：
① a'与b' 所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一条上；
=>a∥c
② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )；2
③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
2.2. 直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 简记为：线线平行，则线面平行。 符号表示：
a α
b β
a ∥b
2.2.2 平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
符号表示：
a β b β
a ∩b = P a ∥α b ∥α
2、判断两平面平行的方法有三种： （1）用定义； （2）判定定理；
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
2.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质
1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为：线面平行则线线平行。 符号表示：
a ∥α
a βb α∩β= b
作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。
2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 符号表示：
α∥β
α∩γ= a ab β∩γ= b
作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1直线与平面垂直的判定
1、定义
如果直线L 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L 与平面α互相垂直，记作L ⊥α，直线L 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L 的垂面。如图，直线与平面垂直时, 它们唯一公共点P 叫做垂足。
L
p
α
2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；
b) 定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
2.3.2平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
梭
B
2-l-β或α-AB-β
3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
2.3.3 — 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质 1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
2性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
第三章 直线与方程
3.1斜率 3.1斜率
1、直线的斜率:
一条直线的倾斜角α(α≠90°) 的正切值叫做这条直线的斜率, 斜率常用小写字母k 表示, 也就是 k = tanα
⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在.
由此可知, 一条直线l 的倾斜角α一定存在, 但是斜率k 不一定存在. 4、 直线的斜率公式:
给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2, 用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率： 斜率公式: k=y2-y1/x2-x1
3.1.2两条直线的平行与垂直
1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那
么它们平行，即
注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即
如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2
2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即
3.2.1 直线的点斜式方程
(x 0, y 0) ，且斜率为k 1、 直线的点斜式方程：直线l 经过点P 0
2、、直线的交
点
为
y -y 0=k (x -x 0)
斜截式方程：已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的
PP 12=
(0, b ) y =kx +b
3.2.2 直线的两点式方程
1、直线的两点式方程：已知两点y-y1/y-y2=x-x1/x-x2
2、直线的斜截式方程：已知直线l 与
P (x 1, x 2), P 2(x 2, y 2) 1
其中
(x 1≠x 2, y 1≠y 2)
x 轴的交点为A (a , 0) ，与y 轴的交点为B (0, b ) ，其中
a ≠0, b ≠0
3.2.3 直线的一般式方程
1、直线的一般式方程：关于x , 2、各种直线方程之间的互化。
y 的二元一次方程Ax +By +C =0（A ，B 不同时为0）
3.3直线的交点坐标与距离公式 3.3.1两直线的交点坐标
1、给出例题：两直线交点坐标
L1 ：3x+4y-2=0 L1：2x+y +2=0 解：解方程组 ⎨
⎧3x +4y -2=0
得 x=-2，y=2
⎩2x +2y +2=0
所以L1与L2的交点坐标为M （-2，2）
3.3.2 两点间距离
两点间的距离公式
3.3.3 点到直线的距离公式
1．点到直线距离公点
式： 线
P (x 0, y 0) 到直Ax 0+By 0+C
A +B
2
2
l :Ax +By +C =0
d =
2、两平行线间的距离公式：
已知两条平行线直线l 1和l 2的一般式方程为l 1：
Ax +By +C 1=0，
l 2：Ax +By +C 2=0，则l 1与l 2的距离为d =
第四章
4.1.1 圆的标准方程
1、圆的标准方程：(x -a )
2
C 1-C 2A +B
2
2
圆与方程
+(y -b ) 2=r 2
圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程
2、点M (x 0, y 0) 与圆(x -a ) （1）(x 0（3）(x 0
2
+(y -b ) 2=r 2的关系的判断方法：
-a ) 2+(y 0-b ) 2>r 2，点在圆外 （2）(x 0-a ) 2+(y 0-b ) 2=r 2，点在圆上 -a ) 2+(y 0-b ) 2
4.1.2 圆的一般方程
1、圆的一般方程：x
2
+y 2+Dx +Ey +F =0
4.2.1 圆与圆的位置关系
1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．
设直线l ：圆C ：x +y +Dx +Ey +F =0，圆的半径为r ，圆心(-ax +by +c =0，到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：
（1）当d >r 时，直线l 与圆C 相离；（2）当d =r 时，直线l 与圆C 相切； （3）当d
2
2
D E
, -) 22
4.2.2 圆与圆的位置关系
两圆的位置关系．
设两圆的连心线长为l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：
（1）当l >r 1+r 2时，圆C 1与圆C 2相离；（2）当l =r 1+r 2时，圆C 1与圆C 2外切； （3）当|r 1-r 2|
（4）当l =|r 1-r 2|时，圆C 1与圆C 2内切；（5）当l
4.2.3 直线与圆的方程的应用
1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系； 2、过程与方法
用坐标法解决几何问题的步骤：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为
代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．
4.3.1空间直角坐标系
1、点M 对应着唯一确定的有序实数组(x , y , z ) ，x 、
y 、z 分别是P 、Q 、R 在x 、y 、
z 轴上的坐标
2、有序实数组(x , y , z ) ，对应着空间直角坐标系中的一点
3、空间中任意点M 的坐标都可以用有序实数组(x , y , z ) 来表示，该数组叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记M (x , y , z ) ，x 叫做点M 的横坐标，点M 的竖坐标。
y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做
4.3.2空间两点间的距离公式
1、空间中任意一点P 1(x 1, y 1, z 1) 到点P 2(x 2, y 2, z 2) 之间的距离公式
P 1P 2=(x 1-x 2) +(y 1-y 2) +(z 1-z 2)
222
高中数学 必修3知识点
第一章 算法初步
1.1.1 算法的概念 1.1.2 程序框图
（二）构成程序框的图形符号及其作用
第二章 统计
2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征
1、本均值：x
=
x 1+x 2+ +x n
n =s =
2
2、．样本标准差：s
(x 1-x ) 2+(x 2-x ) 2+ +(x n -x ) 2
n
3．（1）如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数，标准差不变 （2）如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数k ，标准差变为原来的k 倍 （3）一组数据中的最大值和最小值对标准差的影响，区间(x -3s , x +3s ) 的应用； “去掉一个最高分，去掉一个最低分”中的科学道理
第三章 概 率
3.1.3 概率的基本性质
1、基本概念：
（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件
（2）若A ∩B 为不可能事件，即A ∩B=ф，那么称事件A 与事件B 互斥；
（3）若A ∩B 为不可能事件，A ∪B 为必然事件，那么称事件A 与事件B 互为对立事件；
（4）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为
必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)
2、概率的基本性质：
1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1； 2）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；
3）若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)； 4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A 与事件B 在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：（1）事件A 发生且事件B 不发生；（2）事件A 不发生且事件B 发生；（3）事件A 与事件B 同时不发生，而对立事件是指事件A 与事件B 有且仅有一个发生，其包括两种情形；（1）事件A 发生B 不发生；（2）事件B 发生事件A 不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。
高中数学 必修4知识点
第一章 三角函数
⎧正角:按逆时针方向旋转形成的角
⎪
1、任意角⎨负角:按顺时针方向旋转形成的角
⎪零角:不作任何旋转形成的角⎩
2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为第二象限角的集合为第三象限角的集合为第四象限角的集合为
{αk ⋅360
} }
{αk ⋅360+90
{αk ⋅360+180
} }
{αk ⋅360+270
终边在x 轴上的角的集合为
{αα=k ⋅180, k ∈Z}
终边在
y 轴上的角的集合为α=k ⋅180 +90 , k ∈Z
{}
终边在坐标轴上的角的集合为
{αα=k ⋅90, k ∈Z}
3、与角α终边相同的角的集合为
{ββ=k ⋅360+α, k ∈Z}
4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．
5、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是
α=
l r
．
⎛180⎫
6、弧度制与角度制的换算公式：2π=360，1=，1= ⎪≈57.3．
180⎝π⎭
7、若扇形的圆心角为α
π
(α为弧度制)，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l =r α，
11
C =2r +l S =lr =αr 2．
22
8、设α是一个任意大小的角，α的终边上
任意一点
P的坐标是(x , y )，它与原点的距离是
y x y
r r =>0，则sin α=，cos α=，tan α=(x ≠0)．
r r x
()
9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正， 第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 10、三角函数线：sin α
11、角三角函数的基本关系：
=MP，cos α=OM，tan α=AT．
(1)sin 2α+cos 2α=1(sin 2α=1-cos 2α,cos 2α=1-sin 2α)；
(2)
sin α
=tan αcos α
sin α⎫⎛
sin α=tan αcos α,cos α= ⎪．
tan α⎭⎝
12、函数的诱导公式：
(1)sin (2k π+α)=sin α，cos (2k π+α)=cos α，tan (2k π+α)=tan α(k ∈Z)． (2)sin (π+α)=-sin α，cos (π+α)=-cos α，tan (π+α)=tan α． (3)sin (-α)=-sin α，cos (-α)=cos α，tan (-α)=-tan α． (4)sin (π-α)=sin α，cos (π-α)=-cos α，tan (π-α)=-tan α．
口诀：函数名称不变，符号看象限．
⎛π
5sin () -α⎫⎪=cos α
⎝2⎭
，
⎛π⎫
cos -α⎪=sin α⎝2⎭
．
⎛π
6sin () +α⎫⎪=cos α
⎝2⎭
，
⎛π⎫
cos +α⎪=-sin α．
⎝2⎭
口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． 13、函数
y =Asin (ωx +ϕ)(A>0, ω>0)的性质：
①振幅：A；②周期：T=
2π
ω
；③频率：
f =
1ω
=T2π
；④相位：ωx +ϕ；⑤初相：ϕ．
函数
y =Asin (ωx +ϕ)+B，当x =x 1y min x =x 2y max 则A=
11T
，，y -y B=y +y =x 2-x 1(x 1
222
第二章 平面向量
16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量．
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量．
17、向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：
a -b ≤a +b ≤a +b
=b +a ；
．
⑷运算性质：①交换律：a +b ②结合律：
(
a +b +c =a +b +c
)()
；③
a +0
=0+a =a ．
C
a
b
⑸坐标运算：设a =(x 1, y 1)，b =(x 2, y 2)，则a +b =(x 1+x 2, y 1+y 2)．
18、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
B
⑵坐标运算：设a =(x 1, y 1)，b =(x 2, y 2)，则a -b =(x 1-x 2, y 1-y 2)．
设A、B两点的坐标分别为(x 1, y 1)(x 2, y 2)AB=(x 1-x 2, y 1-y 2)．
19、向量数乘运算：
⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作λa ．
A
a -b =AC -AB=BC
20、向量共线定理：向量a
a ≠0
()
与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b
=λa ．
设a =(x 1, y 1)，b =(x 2, y 2)，其中b ≠0，则当且仅当x 1y 2-x 2y 1=0a 、b b ≠0
()共
线．
21、平面向量基本定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，
有且只有一对实数λ1、λ2，使a =λ1e 1+λ2e 2．（不共线的向量e 1、e 2作为这一平面内所有向量的一
组基底）
22、分点坐标公式：设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是
(x 1, y 1)，(x 2, y 2)，当
⎛x +λx 2y 1+λy 2⎫P1P=λPP2时，点P的坐标是 1（当λ=1 , 时，就为中点公式。）⎪．
1+λ1+λ⎝⎭
23、平面向量的数量积：
⑴a ⋅b =a b cos θa ≠0, b ≠0,0≤θ≤180
()．零向量与任一向量的数量积为0．
；当a
⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①a ⊥b ⇔a ⋅b =0．②当a 与b 同向时，a ⋅b =a b
与b 反向时，a ⋅b =-a b
2 2 ；a ⋅a =a =a 或a =．③
a ⋅b ≤a b
．
⑶运算律：①a ⋅b =b ⋅a ；②(λa )⋅b =λa ⋅b =a ⋅λb
()()；③(
a +b ⋅c =a ⋅c +b ⋅c ．
)
b =x , y ⑷坐标运算：设两个非零向量a =
(x 1, y 1)，(22)，则a ⋅b =x 1x 2+y 1y 2．
若a =(x , y )
，则
2
a =x 2+y 2
，或
a =
． 设a =(x 1, y 1)，b =(x 2, y 2)
，则
a ⊥
b ⇔x 0． 1x 2+y 1y 2=
设
a
、
b
都是非零向量，
a =(x 1, y 1)
．
22
，
b =(x 2, y 2)
，
θ
是
a
与
b
的夹角，则
a ⋅b
c o θs ==
a b
第三章 三角恒等变换
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴cos ⑶sin
(α-β)=cos αcos β+sin αsin β；⑵cos (α+β)=cos αcos β-sin αsin β；
(α-β)=sin αcos β-cos αsin β；⑷sin (α+β)=sin αcos β+cos αsin β；
⑸tan
(α-β)=
tan α-tan β
⇒ （tan α-tan β=tan (α-β)(1+tan αtan β)）；
1+tan αtan β
⑹tan
(α+β)=
tan α+tan β
⇒ （tan α+tan β=tan (α+β)(1-tan αtan β)）．
1-tan αtan β
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴
sin 2α=2sin αcos α．⇒1±sin 2α=sin 2α+cos 2α±2sin αcos α=(sinα±cos α) 2
⑵cos2α
=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α
⇒升幂公式1+cos α=2cos 2
α
22
cos 2α+11-cos 2α2
，sin α=⇒降幂公式cos 2α=
22
⑶tan 2α
, 1-cos α=2sin 2
α
．
=
2tan α
1-tan 2α
．
万能公式:
αα2tan 1-tan 2
; cos α= sin α=
2α2α1+tan 1+tan 22
半角公式:26、
α+cos αα-cos α
cos =±; sin =±
2222tan
=±
α-cos α21+cos α 27、合一变形
⇒把两个三三角函数，一个角，一次方”的
B
． A
y =A sin(ϖx +ϕ) +B 形式。Asin α+Bcos α=(α+ϕ)，其中tan ϕ=
28、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：
（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，
倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如： ①2α是α的二倍；4α是2α的二倍；α是
α
2
的二倍；
α2
是
α4
的二倍；
30o
②15=45-30=60-45=
2
o
o
o
o
o
；问：sin
π
12
= ；cos
π
12
= ；
③α=(α+β) -β；④
π
4
+α=
π
2
-(
π
4
-α) ；
⑤2α=(α+β) +(α-β) =(
π
4
+α) -(
π
4
-α) ；等等
（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常
化切为弦，变异名为同名。
（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的
代换变形有： 1=sin
2
α+cos 2α=tan αcot α=sin 90o =tan 45o
；
（4）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；
基本规则是：见切化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，特殊
值与特殊角的三角函数互化。
高中数学 必修5知识点
（一）解三角形：
1、正弦定理：在∆ABC 中，a 、b 、c 分别为角A、B、C 的对边，，则有(R 为∆ABC 的外接圆的半径)
2、正弦定理的变形公式：①a =2R sin A，b =2R sin B，c =2R sin C ；
a b c
===2R sin Asin Bsin C
②sin A=
a b c ；③a :b :c =sin A:sinB:sinC ； ，sin B=，sin C =2R 2R 2R
∆ABC
3、三角形面积公式：S
=
111
bc sin A=ab sin C =ac sin B． 222
2
2
2
222
b +c -a 4、余弦定理：在∆ABC 中，有a =b +c -2bc cos A，推论：cos A=
2bc
（二）数列：
a =⎧S 1, (n =1)
⎨n
⎩S n -S n -1, (n ≥2)
（三）不等式
1、a -b >0⇔a >b ；a -b =0⇔a =b ；a -b
2、不等式的性质： ①a >b ⇔b b , b >c ⇒a >c ； ③a >b ⇒a +c >b +c ； ④a >b , c >0⇒ac >bc ，a >b , c
>b , c >d ⇒a +c >b +d ； n n
⑥a >b >0, c >d >0
⇒ac
>bd ； ⑦a >b >0⇒a >b (n ∈N, n >1)；
⑧a >b >0⇒>n ∈N, n >1)．
小结：代数式的大小比较或证明通常用作差比较法：作差、化积（商）、判断、结论。 在字母比较的选择或填空题中，常采用特值法验证。 两类主要的目标函数的几何意义: ①z
=ax +by
-----直线的截距；②z =(x -a ) 2+(y -b
) 2-----两点的距离或圆的半径；
a +b a +b ⎫ >0，b >0，则a +b ≥，即≥．
ab ≤⎛a >0, b >0)；( ⎪2
2
4、均值定理： 若a
⎝2⎭
a +b
称为正数a 、b a 、b 的几何平均数． 2
5、均值定理的应用：设x
、y 都为正数，则有
⑴若x +
，则当x =y 时，积xy 取得最大值y =s （和为定值）
s 2
． 4
⑵若xy =，则当x =y 时，和x +y 取得最小值 p （积为定值）
注意：在应用的时候，必须注意“一正二定三等”三个条件同时成立。
选修1-1,1-2知识点
第一部分 简单逻辑用语
1、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论. 2、原命题：“若p ，则q ” 逆命题： “若q ，则p ” 否命题：“若⌝p ，则⌝q ” 逆否命题：“若⌝q ，则⌝p ” 3、四种命题的真假性之间的关系：
（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 4、若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p ⇔q ，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．
利用集合间的包含关系： 例如：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B，则A 是B 的充要条件；
5、逻辑联结词：⑴且(and ) ：命题形式p ∧q ；⑵或（or ）：命题形式p ∨q ； ⑶非（not ）：命题形式⌝p .
6、⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“∀”表示；
全称命题p ：∀x ∈M , p (x ) ； 全称命题p 的否定⌝p ：∃x ∈M , ⌝p (x ) 。 ⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“∃”表示；
特称命题p ：∃x ∈M , p (x ) ； 特称命题p 的否定⌝p ：∀x ∈M , ⌝p (x ) ；
第二部分 圆锥曲线
1、平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数（大于F 1F 2）的点的轨迹称为椭圆． 即：|MF 1|+|MF 2|=2a , (2a >|F 1F 2|)。
这两个定点称为． 2
3、平面内与两个定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于常数（小于F 1F 2）的点的轨迹称为||MF 1|-|MF 2||=2a , (2a
4
5．
6、平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F 称为抛物线的焦点，定直线l 称为抛物线的准线． 7
8ABAB径”，即AB=2p ． 9、焦半径公式：
p
； 2p 2
若点P(x 0, y 0)在抛物线x =2py (p >0)上，焦点为F ，则PF =y 0+；
2
若点P(x 0, y 0)在抛物线y =2px (p >0)上，焦点为F ，则PF =x 0+
2
第三部分 导数及其应用
1、函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率：
f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1
x =x 0
f (x 0+∆x ) -f (x 0) ；．
∆x
2、导数定义：f (x )在点x 0处的导数记作y '
=f '(x 0) =lim
∆x →0
3、函数y =f (x )在点x 0线的斜率．
4、常见函数的导数公式： ①C =0；②(x ) =nx
x '
x
y =f (x )
在点
P(x 0, f (x 0))
处的切
' n ' n -1
； ③(sinx ) =cos x ；④(cosx ) =-sin x ；
x
' '
'
⑤(a ) =a ln a ；⑥(e ) =e ； ⑦(loga x ) =
x '
11'
；⑧(lnx ) = x ln a x
5、导数运算法则：
'
(1) ⎡⎣f (x )±g (x )⎤⎦=f '(x )±g '(x )；
'(2) ⎡⎣f (x )⋅g (x )⎤⎦=f '(x )g (x )+f (x )g '(x )；
⎡f (x )⎤'f '(x )g (x )-f (x )g '(x )
g (x )≠0)(⎢⎥=2
⎡(3)⎣g x ⎦⎣g (x )⎤⎦．
6、在某个区间(a , b )内，若f '(x )>0，则函数y =f (x )在这个区间内单调递增； 若f '(x )
7、y =f (x )解方程f '(x )=0．当f '(x 0)=0时：
(1)如果在x 0附近的左侧f '(x )>0，右侧f '(x )0，那么f (x 0)是极小值．
8、求函数y =f (x )在[a , b ]上的最大值与最小值的步骤是：
(1)求函数y =f (x )在(a , b )内的极值；
(2)将函数y =f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最
大值，最小的一个是最小值．
第四部分 复数
1．概念：
(1) z =a +bi ∈R ⇔b =0 (a,b ∈R ) ⇔z=⇔ z 2≥0； (2) z =a +bi 是虚数⇔b ≠0(a , b ∈R ) ；
(3) z =a+bi 是纯虚数⇔a =0且b ≠0(a,b ∈R ) ⇔z ＋＝0（z ≠0）⇔z 2
2设z 1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,d ∈R ) ，则： (1) z 1〚z 2 = (a + b ) 〚 (c + d )i ；
(2) z 1. z 2 = (a +bi ) 〃(c +di ) ＝（ac -bd ）+ (ad +bc ) i ； (3) z 1÷z 2 =
(a +bi )(c -di ) +bd bc -ad (z ≠0) ; = ac 2+i (c +di )(c -di ) c 2+d 2c 2+d 2
3．几个重要的结论：
(1) (1±i ) 2=±2i ；⑷1+i =i ; 1-i =-i ;
1-i
1+i
(2) i 性质：T=4；i 4n =1, i 4n +1=i , i 4n +2=-1, i 4n +3=-i ；i 4n +i 4n +1+i 4+2+i 4n +3=0;
注：Z 的模等于根号下平方a 平方加b 平方
高中数学选修4-4知识点总结
一 知识归纳总结：
1. 极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度) 及其正方向(通常取逆时针方向) ，这样就建立了一个极坐标系。
2．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的∠xOM 叫做点M 的极角，记为θ。有序数对(ρ, θ) 叫做点M 的极坐标，记为M (ρ, θ) .
极坐标(ρ, θ) 与(ρ, θ+2k π)(k ∈Z ) 表示同一个点。极点O 的坐标为(0, θ)(θ∈R ) . 3. 若ρ0, 规定点(-ρ, θ) 与点(ρ, θ) 关于极点对称，即(-ρ, θ) 与(ρ, π+θ) 表示同一点。
如果规定ρ>0, 0≤θ≤2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ, θ) 表示；同时，极坐标(ρ, θ) 表示的点也是唯一确定的。 4．极坐标与直角坐标的互化：
高中数学第十章-排列组合二项定理
．
二、排列.
1排列数公式： A m =n (n -1) (n -m +1) =
n !
(m ≤n , n , m ∈N )
(n -m )!
注意：n ⋅n ! =(n +1)! -n ! 规定0! = 1
m m m m -1m m -110
A n m =nA n m -- 规定C n =C n A n +n =1 1=A n +A m ⋅C n =A n +mA n 1
三、组合.
1. ⑴组合：从n 个不同的元素中任取m (m ≤n ) 个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.
A m n (n -1) (n -m +1) n
⑵组合数公式：C =m =
m ! A m
m
n
C m n =
n !
m ! (n -m )!
⑶两个公式：①C n =C
m
n -m n ;
②C
m -1m m n +C n =C n +1
⑷排列与组合的联系与区别.
联系：都是从n 个不同元素中取出m 个元素. 区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系.
⑸①几个常用组合数公式
012n C n +C n +C n + n =2 n
024135C n +C n +C n + =C n +C n +C n + =2n -1
m m m m +1C m +C +C C =C n m +1m +2m +n m +n +1
k -1kC k
n =nC n -1
11+1C k =C k
n n +1k +1n +1
五、二项式定理.
0n 01n -1r n -r r n 0n 1. ⑴二项式定理：(a +b ) n =C n a b +C n a b + +C n a b + +C n a b .
展开式具有以下特点：
① 项数：共有n +1项；
012r ② 系数：依次为组合数C n , C n , C n , , C n , , C n n ;
③ 每一项的次数是一样的，即为n 次，展开式依a 的降幕排列，b 的升幕排列展开. ⑵二项展开式的通项.
（a +b ) n 展开式中的第r +1项为：T r +1=C n a r n -r r b (0≤r ≤n , r ∈Z ) .
⑶二项式系数的性质.
①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等；
. n I. 当n 是偶数时，中间项是第+1项，它的二项式系数C 2n 最大； 2
n +1n +1II. 当n 是奇数时，中间项为两项，即第项和第它们的二项式系数C +1项，22
最大. n -1n +12=C 2n n n
③系数和：
01n C n +C n + +C n n =2
02413C n +C n +C n + =C n +C n + =2n -1