简单的线性规划参考例题(一)
参考例题
[例1]某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲产品1吨，需要煤9吨，需电4瓦，工作日3个（一个2人劳动一天等于一个工作日），生产乙种产品1吨，需要用煤4吨，需电5瓦，工作日12个，又知甲产品每吨售价7万元，乙产品每吨售价12万元，且每天供煤最多360吨，供电最多200瓦，全员劳动人数最多300人，问每天安排生产两种产品各多少吨；才能使日产值最大，最大产值是多少？
解：设每天生产甲种产品x 吨，乙种产品y 吨，则约束条件为：
⎧9x +4y ≤360⎪4x +5y ≤200⎪ ⎨⎪3x +12y ≤300
⎪⎩x ≥0, y ≥0
线性目标函数为z =7x +12y .
可行域如图所示：
由图可知当过点（165135, ）时，z 最大. 28
z max =780（万元）
答：最大产值为780万元
.
[例2]北京华欣公司计划在今年内同时出售“夜莺牌多功能”电子琴和“OK 智能型”洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大. 己知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品有关数据如下表：
解：设月供应量临时性子琴x 架，洗衣机y 台，利润z 元，
⎧30x +20y ≤300, ⎪即⎨5x +10y ≤110,
⎪x ≥0, y ≥0, x 、、∈z +. ⎩
z=6x+8y.
作直线L ：6x+8y=0,即作直线L ：3x+4y=0.
把直线L 向右上方平移至L ＇的位置时，直线L ＇过可行域上的M 点，且L ＇与原点距离最大.
⎧30x +20y =300(x ≥0, y ≥0, x 、γ∈Z +), 解方程组⎨⎩5x +10y =110
得⎨⎧x =4,
⎩y =9,
得M 点坐标为（4，9）.
将x=4,y=9代入z=6x+8y,
得z=6×4+8×9=96（百元）为最大.
所以，当月供应量为电子琴4架、洗衣机9台时，该店可获得最大利润为9600元.