2015上海春考数学试卷及答案
2015年上海市春季高考数学试卷（学业水平考试）
2015.1
一. 填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）
1. 设全集为U ={1,2,3}，A ={1, 2}，若集合则C U A =； 2. 计算：
1+i
=（其中i 为虚数单位） i
3. 函数y =sin(2x +
π
4
的最小正周期为；
n 2-3
=； 4. 计算：lim 2
n →∞2n +n
5. 以(2,6)为圆心，1为半径的圆的标准方程为；
6. 已知向量a =(1,3) ，b =(m , -1) ，若a ⊥b ，则m = ；
7. 函数y =x 2-2x +4，x ∈[0,2]的值域为； 8. 若线性方程组的增广矩阵为
⎛a 02⎫⎧x =2
，解为，则a +b = ； ⎨⎪
⎝01b ⎭⎩y =1
9. 方程lg(2x +1) +lg x =1的解集为 10. 在(x +
19
) 的二项展开式中，常数项的值为； x 2
11. 用数字组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为；（结果用数值表示） 12. 已知点A (1,0)，直线l :x =-1，两个动圆均过点A 且与l 相切，其圆心分别为C 1、C 2，
若动点M 满足2C 2M =C 2C 1+C 2A ，则M 的轨迹方程为 ；
二. 选择题（本大题共12题，每题3分，共36分） 13. 若a
11
> B. -a >b C. a 2>b 2 D. a 3
2
14. 函数y =x (x ≥1) 的反函数为（ ）
A. y C. y =15. 不等式
(x ≥1)
B. y =(x ≤-1)
(x ≥0)
D. y =(x ≤0)
2-3x
>0的解集为（ ） x -1
A. (-∞, ) B. (-∞, ) C. (-∞, ) (1,+∞) D. (,1) 16. 下列函数中，是奇函数且在(0,+∞) 上单调递增的为（ ） A. y =x B. y =x C. y =x D. y =x 17. 直线3x -4y -5=0的倾斜角为（ ） A. arctan
2
13
34232323
-1
-
12
3344 B. π-arctan C. arctan D. π-arctan 4433
2π
D. 3
18. 底面半径为1，母线长为2的圆锥的体积为（ ） A. 2π
B.
C.
19. 以(-3,0) 和(3,0)为焦点，长轴长为8的椭圆方程为（ ）
x 2y 2x 2y 2x 2y 2x 2y 2
+=1 D. +=1 B. +=1 C. +=1 A.
[1**********]716
20. 在复平面上，满足|z -1|=|z +i |（i 为虚数单位）的复数z 对应的点的轨迹为（ ） A. 椭圆 B. 圆 C. 线段 D. 直线
21. 若无穷等差数列{a n }的首项a 1>0，公差d 0，b >0，若a +b =4，则（ ） A. a +b 有最小值
B. C.
2
2
有最大值
11
+有最大值
D. a b
m m -1m -2
23. 组合数C n (n ≥m ≥2, m , n ∈N *) 恒等于（ ） +2C n +C n
m m +1m m +1
A. C n +2 B. C n +2 C. C n +1 D. C n +1
22224. 设集合P 1={x |x +ax +1>0}，P 2={x |x +ax +2>0}，Q 1={x |x +x +b >0}，
Q 2={x |x 2+2x +b >0}，其中a , b ∈R ，下列说法正确的是（ ）
b A. 对任意a ，P 1是P 2的子集；对任意的，Q 1不是Q 2的子集 b B. 对任意a ，P 1是P 2的子集；存在，使得Q 1是Q 2的子集
C. 存在a ，使得P 1不是P 2的子集；对任意的b ，Q 1不是Q 2的子集 D. 存在a ，使得P 1不是P 2的子集；存在b ，使得Q 1是Q 2的子集
三. 解答题（本大题共5题，共8+8+8+12+12=48分）
AB =1，D 1B 和平面ABCD 所成的角的大
25. 如图，在正四棱柱中ABCD -A 1BC 11D 1，
小为arctan
，求该四棱柱的表面积；
4
x 2+ax +4
26. 已知a 为实数，函数f (x ) =是奇函数，求f (x ) 在(0,+∞) 上的最小值及取
x
到最小值时所对应的x 的值；
27. 某船在海平面A 处测得灯塔B 在北偏东30方向，与A 相距6.0海里，船由A 向正北方向航行8.1海里到达C 处，这时灯塔B 与船相距多少海里（精确到0.1海里）？B 在船的什么方向（精确到1）？
︒
︒
x 2y 2
28. 已知点F 1、F 2依次为双曲线C :2-2=1(a , b >0) 的左右焦点，FF 12=6，
a b
B 1(0,-b ) ，B 2(0,b ) ；
（1
）若a =d =(3,-4) 为方向向量的直线l 经过B 1，求F 2到l 的距离；
（2）若双曲线C 上存在点P ，使得PB 1⋅PB 2=-2，求实数b 的取值范围；
29. 已知函数f (x ) =|2x -2-2|(x ∈R) ； （1）解不等式f (x )
（2）数列{a n }满足a n =f (n ) (n ∈N *) ，S n 为{a n }的前n 项和，对任意的n ≥4，不等式
S n +
1
≥ka n 恒成立，求实数k 的取值范围； 2
附加题
一. 选择题（本大题共3题，每题3分，共9分）
1. 对于集合A 、B ，“A ≠B ”是“A B ⊂≠A B ”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
2. 对于任意实数a 、b ，(a -b ) 2≥kab 均成立，则实数k 的取值范围是（ ） A. {-4,0} B. [-4,0] C. (-∞,0] D. (-∞, -4] [0,+∞) 3. 已知数列{a n }满足a n +a n +4=a n +1+a n +3(n ∈N ) ，那么（ ） A. {a n }是等差数列 B. {a 2n -1}是等差数列 C. {a 2n } 是等差数列 D. {a 3n }是等差数列
二. 填空题（本大题共3题，每题3分，共9分）
4. 关于x 的实系数一元二次方程x +px +2=0的两个虚数根为z 1、z 2，若z 1、z 2在复平 面上对应的点是经过原点的椭圆的两个焦点，则该椭圆的长轴长为 ；
2
*
5. 已知圆心为O ，半径为1的圆上有三点A 、B 、C ，若7OA +5OB +8OC =0，则
|BC |=
6. 函数f (x ) 与g (x ) 的图像拼成如图所示的“Z ”字形 折线段ABOCD ，不含A (0,1)，B (1,1)，O (0,0)，
C (-1, -1) ，D (0,-1) 五个点，若f (x ) 的图像关于
原点对称的图形即为g (x ) 的图像，则其中一个函数 的解析式可以为 ；
三. 解答题（本大题12分）
7. 对于函数f (x ) 、g (x ) ，若存在函数h (x ) ，使得f (x ) =g (x ) ⋅h (x ) ，则称f (x ) 是g (x ) 的“h (x ) 关联函数”
（1）已知f (x ) =sin x ，g (x ) =cos x ，是否存在定义域为R 的函数h (x ) ，使得f (x ) 是
g (x ) 的“h (x ) 关联函数”？若存在，写出h (x ) 的解析式；若不存在，说明理由；
（2）已知函数f (x ) 、g (x ) 的定义域为[1,+∞) ，当x ∈[n , n +1) (n ∈N *) 时，f (x ) =
x
-1，若存在函数h 1(x ) 及h 2(x ) ，使得f (x ) 是g (x ) 的“h 1(x ) 关联函数”，且g (x ) n
是f (x ) 的“h 2(x ) 关联函数”，求方程g (x ) =0的解； 2n -1sin
参考答案
一. 填空题
1. {3}； 2. 1-i ； 3.
π； 4. 0.5；
5. (x -2) 2+(y -6) 2=1； 6. 3； 7. [3,4]； 8. 2； 9. {2}； 10. 84； 11. 320； 12. y 2=2x -1；
二. 选择题
13. D； 14. A； 15. D； 16. B； 17. A； 19. B； 20. D； 21. C； 22. A； 23. A；
三. 解答题 25. 8；
26. a =0，x =2，f min (x ) =4；
27. BC ≈4.2海里，南偏东46︒
；
28. （1）d =3.6；（2
）b ≥2
29. （1）x
； 附加题
1. C； 2. B； 3. D；
4.
5.
6. f (x ) =⎧⎨
x , -1
； ⎩
1, 0
π
2
；
18. D；24. A；