成都七中高2016届成都一诊模拟试题含答案

成都七中高2016届“一诊”数学理科模拟试题（含答案）

第Ⅰ卷(非选择题 共50分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若集合Mxylg

2x

,Nxx1,则 MCRN( ) x

A.(0,2)B.(0,4)C.

1,2

D.(0,)

答案：C

2．已知复数z满足z(1i)31i,则复数z对应的点在（ ）上

1111

A.直线yxB.直线yxC. 直线xD. 直线y

222 2

答案：C

3．已知命题p:xR，使sinx

2

；命题q:xR，都有xx10.给出下列结论： 2

① 题"pq"是真命题②命题"pq"是假命题 ③命题"pq"是真命题 ④命题"pq"是假命题 其中正确的是（ ）

A.②④

答案：B

B.②③

C.③④

D.①②③

4．已知实数x1,10执行如图所示的流程图，则输出的x不小于63的概率为( )

A.

13

B.

49

C.

25

D.

3 10

答案：A

5．函数ysin(2x



)的图像与函数ycos(x)的图像（ ） 63



A.有相同的对称轴但无相同的对称中心 B.有相同的对称中心但无相同的对称轴 C.既有相同的对称轴但也有相同的对称中心

D.

既无相同的对称中心也无相同的对称轴

答案：A

6． 已知函数f(x)的图像如图所示，则f(x)的解析式可能是（ ）

1

x3 2x11

C.f(x)x3

2x1A.f(x)

答案：A

B.f(x)

1

x3 2x1

1

D.f(x)x3

2x1

7.已知点0,2，抛物线C:y2ax(a0)（a0）的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若

则a的值等于（ ）

A.

1

4

B.

12

C.1D.4

答案：D

解析：F(,0),MFMK

a4

KM:MN1:5，则KN:KM2:1



8.已知M是

ABC内一点，且ABACBAC30，若MBC、MAB、MAC的面积分

别为

2

2a44

141

、x、y，则的最小值是（） 2xy

A.9B

.16C.18D.20

答案：C9.

A.

0,

2

B.

7

,22

C.

5

,22

D.

7

,2 2

答案：D

a2ea1c

1其中e是自然对数的底数 , 则(ac)2(bd)2的最小10. 已知实数a,b,c,d满足

bd1

值为（ ）

A.8B

.10C.12D.18

答案：A

a2ea1c

解析：∵实数a,b,c,d满足ba2ea,d2c，1，点(a,b)在曲线yx2ex

bd1

上，点(c,d)在曲线y2x上，(ac)2(bd)2的几何意义就是曲线yx2ex到曲线y2x上点的距离最小值的平方．考查曲线yx2ex上和直线y2x平行的切线，y12ex，求出

yx2ex上和直线y2x平行的切线方程，y12ex1，解得x0,切点为(0,2)该切点

到直线y2x的距离d

0221

22就是所要求的两曲线间的最小距离，

故(ac)2(bd)2的最小值为d28．故选A．

第Ⅱ卷(非选择题 共100分)

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11.一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为 答案：29

解析：由三视图知，三棱锥有相交于一点的三条棱互相垂直，将此三棱锥补成长方体，它们有共同的外接

22323229

球，R

22

5

S4R229

2

12.在x

的二项展开式中，x2的系数为____________.

x

答案：40

13.某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜为使一年的种植总利润（总利润＝总销售收入－总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为________． 答案：30,20

解析：设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x,y亩，总利润z万元，则目标函数

xy50

z(0.554x1.2x)(0.36y0.9y)x0.9y线性约束条件为1.2x0.9y54

x0,y0

xy50

即4x3y180，做出可行域，求得A(0,50),B(30,20),C(0,45)平移直线zx0.9y,可知直线x0,y0

zx0.9y,经过点B(30,20),即x30,y20时，z取得最大值.

14.将1~9这9个数平均分成3组，则每组的3个数都成等差数列的分组方法的种数是 答案：5

解析：设3组中每组正中间的数分别a,b,c且abc，则3a3b3c45,abc15， 而2a4，故(a,b,c)所有可能取的值为(2,5,8),(2,6,7),(3,4,8),(3,5,7),(4,5,6)此时相对应的分组情况是(1,2,3),(4,5,6),(7,8,9);1,2,3,(4,6,8),(5,7,9);(1,3,5),(2,4,6),(7,8,9);(2,3,4),(1,5,9),(6,7,8);

(1,4,7),(2,5,8),(3,6,9)故分组方法有5种.

15.如果f(x)的定义域为R，对于定义域内的任意x，存在实数a使得f(xa)f(x)成立，则称此函数具有“P(a)性质”. 给出下列命题： ①函数y

sinx具有“P(a)性质”；

②若奇函数yf(x)具有“P(2)性质”，且f(1)1，则f(2015)1；

③若函数yf(x)具有“P(4)性质”， 图象关于点(1且在(1,0)上单调递减，则yf(x)，0)成中心对称，在(2,1)上单调递减,在(1,2)上单调递增；

④若不恒为零的函数yf(x)同时具有“P(0)性质”和 “P(3)性质”，且函数yg(x)对x1,x2R，都有|f(x1)f(x2)||g(x1)g(x2)|成立，则函数yg(x)是周期函数. 其中正确的是 答案：①③④

三、解答题，本大题共6小题，共75分. 16.（本小题满分12分）设函数f(x)cos(2x

(写出所有正确命题的编号)．

2

)2cos2x,xR. 3

（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期和单调减区间；

（Ⅱ）将函数f(x)的图象向右平移 上的最小值． 解析：（Ⅰ）f(x)cos2x



个单位长度后得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间0, 32





2132

sin2x1cos2x 2cosxcos2x

322



13

cos2xsin2x1cos2x1223 

所以函数f(x)的最小正周期为.由2k2x所以单调减区间是k



3

(2k1),可解得k



6

xk



3







,k,kZ 63



)

)1cos(2x)1 因为0x,

2333

21所以2x 所以cos(2x)1,

33323

（Ⅱ）由（Ⅰ）得g(x)cos(2(x因此



11cos(2x)12，即f(x)的取值范围为,2. 232

17.（本小题满分12分）甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为

321

,,，432

乙队每人答对的概率都是

2

．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用表示甲队总得分． 3

（Ⅰ）求随机变量的分布列及其数学期望E();

（Ⅱ）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率． （1）的可能取值为0,1,2,3

[1**********]111

P(0);P(1)

[***********][1**********]1

P(2);P(3)

[**************]的分布列为



P

1111123

E()01234424424412

（2）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A,“甲队比乙队得分高”为事件B则

1 24

1 1

2

11 24

2

3 1

1111113222121P(A)C3C3C34324334333

2

32

1

P(AB)111121 P(AB)C3P(B|A)P(A)643318

3

18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是直角梯形，

ABAD,AB//CD,PC底面ABCD,AB2AD2CD4,PC2a,E是PB的中点.

（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；

（Ⅱ）若二面角PACE的余弦值为

6

，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值． 3

解析：（Ⅰ）PC平面ABCD,AC平面ABCD,ACPC

AB4,ADCD2,ACBC2.

AC2BC2AB2,ACBC,又BCPCC,AC平面PBC

AC平面EAC平面EAC平面PBC.

（Ⅱ）如图，以点C为原点，,,分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，

则C(0,0,0),A(2,2,0),B(2,2,0)。设P(0,0,2a)(a0)，则E(1,1,a)

(2,2,0),(0,0,2a),(1,1,a)mCAmCP0,m为面PAC法向量．

取

(1,1,0)

，则

设n(x,y,z)为面EAC的法向量，则0， 即

xy0

，取xa,ya,z2，则(a,a,2)

xyaz0



aa22



，则a

2．于是(2,2,2)，(2,2,4)． 3

依题意

设直线PA与平面EAC所成角为

，则sin

2 3

即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为

． 3

19.（本小题满分12分）已知数列an的前n和Sn

325

nn，数列bn的通项公式bn5n2． 22

n

12

（1）求数列an的通项公式； （2）设cn，求证：ci；

anbn25i1

325

114 22

325352

当n1时，anSnSn1nn(n1)(n1)3n1

2222

（1）当n1时，a1S1

∵当n1时，3114a1 ∴an3n1

(2)∵cn

1111313131

() 2155(3n1)(5n2)5(3n1)(3n)5(3n1)5(3n1)2()2

3n3n

2252

∴

[1**********]22

c() ()i

5555525i1

3n3n3n

2222222

n

x2y22

20.（本小题满分13分）已知F1,F2是椭圆221的左、右焦点，O为坐标原点，点P(1,)在

ab2

椭圆上，线段PF2与y轴的交点M满足（1）求椭圆的标准方程；

（2）⊙O是以F1F2为直径的圆，一直线l:ykxm与⊙O相切，并与椭圆交于不同的两点A,B．当

，且满足

23

时，求AOB面积S的取值范围． 34

. 解：（1）F2点M是线段PF2的中点

OM是PFOMF1F2,PF1F2的中位线，又1PF2.c111221a22b22abc

x2

解得a2,b1,c1∴椭圆的标准方程y21

2

2

2

2

（Ⅱ）∵圆O与直线l相切 

mk21

1,即m2k21

x2

y21

消去y得(12k2)x24kmx2m220 由2

ykxm

∵直线l与椭圆交于两个不同点，0k20,设A(x1,y2),B(x2,y2), 则

4km2m22m22k222

x1x2,x1x2,y1y2(kx1m)(kx2m)kx1x2km(x1x2)m22

12k12k12k2

11k22321k232

x1x2y1y2k122

212k34312k4

SSAOB

1114km22m22222

AB1k(x1x2)4x1x2k()4222212k12k2

2(k4k2)



4(k4k2)1

设uk4k2

32u3则u2,S,u,244u14

362623

S关于u在,2单调递增，S(),S(2),S

443434

aln(x1),x0

21.（本小题满分14分）函数f(x)13 ，g(x)ex1.

xax,x03

（Ⅰ）当a0 时，求函数f(x)的单调区间和极大值； （Ⅱ）当aR 时，讨论方程f(x)g(x) 解得个数；

（Ⅲ）求证：

10953000

 (参考数据：ln1.10.0953). 10002699

a

)递增 0，f(x)在[0，

x1

解：(Ⅰ)当x≥0时，a0，f(x)当x0时，f(x)xa，

2

，f(x)0，f(x)递增； x(0)，f(x)0，f

(x)递减，x(，

故f(x

)在(，（不必说明连续性）

)递增，(，[0，

0)递减，

2

故[f(x)]极大值f(

3(Ⅱ)即讨论h(x)g(x)f(x)的零点的个数，h(0)0，故必有一个零点为x0.

a

①当x0时，h(x)g(x)f(x)ex1aln(x1)，h(x)ex

x1

a

(ⅰ)若a1，则1ex，h(x)0，h(x)在(0,)递增，h(x)h(0)0，

x1故此时h(x)在 (0,)无零点；

a

在(0,)递增，h(x)h(0)1a，1a0 x1

)使h(x0)0 且x时，h(x)，则x0(0，

(ⅱ)若a1，h(x)ex

)递增， 进而h(x)在(0，x0)递减，在(x0，

h(x0)h(0)0，由指数、对数函数的增长率知，x时h(x)，

)有一个零点 hx在(x0,)上有一个零点，在(0，x0]无零点，故h(x)在(0，

13

xaxh(x)exx2a， 3

设(x)h(x)，(x)ex2x0对x0恒成立，

②当x0时，h(x)g(x)f(x)ex1

0)递增，h(x)h(0)1a，且x时，h(x)； 故h(x)exx2a在(，

0)递减，所以h(x)h(0)0， (ⅰ)若1a≤0，即a≤1，则h(x)h(0)1a≤0，故h(x)在(，

h(x)在(，0)无零点；

0)使h(x0)0， (ⅱ)若1a0，即a1，则x0(，

1进而h(x)在(，x0)递减，在(x0，0)递增，h(x0)h(0)0且x时，h(x)(ex1)x(x23a)，

3

h(x)在(，x0)上有一个零点，在[x0，0)无零点，故h(x)在(,0)有一个零点

综合①②，当a≤1时有一个公共点；当1a≤1时有两个公共点；当a1时有三个公共点 (Ⅲ)由(Ⅱ)知，a1时，g(x)f(x)对x0恒成立，即ex1ln(x1)

1

1095110

令x，则e1ln1.11.0953

100010

由(Ⅱ)知，当a1时，g(x)f(x)对x0恒成立，即ex

1

110令x，则e

10

13

xx1 3

[**************]

，故有 ()31

[**************]99