求二次函数解析式的若干类型题1
求二次函数解析式的若干类型题1
一﹑一般式(基本式)法或顶点式法确定二次函数解析式
例1:已知一个二次函数的图象过点(1,-1)、(2,0)、(3,7)三点,求这个函数的解析式
⎧a +b +c =-1
2解:设所求的二次函数为y=ax+bx+c,由条件得:⎪⎨4a +2b +c =0,解方程得:a=3, b=-8, c=4,因此所
⎪9a +3b +c =7⎩
2求的二次函数为y=3x-8x+4
例2:已知抛物线的顶点为(1,4),与y 轴交点为(2,-1),求抛物线的解析式
22解:设所求的二次函数为 y=a(x-1)+4,由条件知点( 2,-1)在抛物线上,∴a (2-1)+4=-1, 得a=-5,
22故所求的抛物线解析式为 y=-5(x-1)+4,即:y=-5x+10x-1
22另解:设所求的二次函数为y=ax+bx+c,则二次函数的顶点坐标为(-b , 4ac -b ),由已知得
2a 4a
⎧b ⎧b =-2a ⎪-2a =1,即⎪,把2⎪⎨4ac -b =16a ⎪4ac -b 2
=4⎨⎪4a +2b +c =-14a ⎩⎪2⎪a ⨯2+b ⨯2+c =-1⎪⎩
2b=-2a代入4a+2b+c=-1中得,4a-4a+c=-1,解得c=-1,把b=-2a和c=-1同时代入4ac-b =16a,4a ·(-1)-(-2a)=16a,解得a=-5(a =0舍去),所以b=10,∴所求的抛物线解析式2为y=-5x+10x-1
练一练:
①已知一个二次函数的图象经过了点A (1,-5),B (-2,1),C (-3,5),求二次函数解析式
2②已知二次函数y =ax +bx +c 的图象的顶点坐标是(2,10) ,且与直线5y=3x-10的交点的横坐标为5,求二次函数关系式
2③已知二次函数y =ax +bx +c 的图象过(1,6) ,(2,8) 两点,并且以x =1为对称轴,求这个函数的解析式
④已知二次函数当x =1时,有最大值5,且当x =-1时,y =-3,求二次函数的关系式
2
2⑤设y 1与y 2都是x 的二次函数,且y 1+y2=-x-8x+4,已知当x=m时,y 1有最小值,同时y 1=y2=-8;当x=-m时,y 1=y2=8.
(1)求m 的值;(2)求这两个二次函数的解析式;(3)当x 为何值时,y 1=y2
二﹑用二次函数知识解决实际问题, 求实际问题中的最大值或最小值
例1:一座抛物线形状的拱桥,当水位涨到AB 时,水面AB 的宽度为14米,如果水位再上升4米,就到达警戒水位CD ,这时水面的宽度是10米.(1)建立如图的直角坐标系,求抛物线的解析式;(2)某日上午7时,洪水已涨至警戒水位,并继续以每小时0.5米的速度上升,有一艘满载抗洪物资的轮船,轮船露出水面的部分是矩形,且高为1.5米,宽为2米,则轮船必须在几点之前才能通过该拱桥?
2 解:(1)如图, 由题意可得出:抛物线对称轴为:直线x=7,设解析式为:y=a(x-7),A (0,y ),B (14,
y ),C (2,y+4),D (12,y+4),则,解得:a= -1/6,∴抛物线的解析式为:y=﹣(x ﹣7); 2
(2)∵轮船露出水面的部分是矩形,且高为1.5米,宽为2米,∴当QT=2,则T 点坐标为:(8,y ),∴y= ﹣(8-7)=﹣,∵D (12,y+4),∴y+4=﹣(12-7)=﹣22,∴CD 到EF 的距离为:﹣﹣1.5=2.5, ∵水位以每小时0.5米的速度上升,∴2.5÷0.5=5(小时),∴轮船必须在7+5=12点之前才能通过该拱桥
例2:某涵洞是抛物线形,它的截面如图所示,现测得水面宽AB=1.6米,涵洞顶点O 到水面的距离为2.4米,建立如图所示的直角坐标系.(1)试写出涵洞所在抛物线的解析式;(2)当水面上涨了1.4米时,求水面的宽
2解:(1)设抛物线对应的函数表达式是:y=ax(a≠0),∵水面宽AB 为1.6米,涵洞顶点O 到水面的距离
为2.4米,∴点B 的坐标为(0.8,-2.4),∴-2.4=a×0.8.∴设此抛物线所对应的函数表达式是:y=-
(2)当水面上涨了1.4米时,涵洞顶点O 到水面的距离为1米,把y=-1代入函数表达式得:-1=-
解得:x=22x . x , 2,所以水面的宽为米
例3:某旅行社有客房120间,每间房的日租金为50元,每天都客满.旅行社装修后要提高租金,经市场调查,如果一间客房的日租金每增加5元,则客房每天出租后会减少6间,不考虑其他因素,旅社将每间客房将日租金提高到多少元时,客房日租金的总收入最高?比装修前日租金总收入增加多少元?
2解:设每间房的日租金提高x 个5元,日租金总收入为y ,则y=(50+5x)(120﹣6x ),即y=﹣30(x ﹣5)+6750,
当x=5时,y max =6750,即旅社将每间客房将日租金提高到75元时,客房日租金的总收入最高,∴日租金总收入多6750﹣120×50=750(元)
例4:某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出,平均每天能售出8台,为了配合国家“家电下乡”政策的实施,商场决定采取适当的降价措施.调查表明:这种冰箱的售价每降低50元,平均每天就能多售出4台.(1)假设每台冰箱降价x 元,商场每天销售这种冰箱的利润是y 元,请写出y 与x 之间的函数表达式;(不要求写自变量的取值范围)(2)商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元,同时又要使百姓得到实惠,每台冰箱应降价多少元?(3)每台冰箱降价多少元时,商场每天销售这种冰箱的利润最高?最高利润是多少?
解:(1)根据题意,得y=(2400﹣2000﹣x )(8+4×
(2)由题意,得﹣22),即y=﹣x +24x+3200; 2x +24x+3200=4800.整理,得x ﹣300x+20000=0.解这个方程,得x 1=100,x 2=200.要使百姓得到实惠,取x=200元.∴每台冰箱应降价200元;
(3)对于y=﹣x +24x+3200=﹣2(x ﹣150)+5000,当x=150时,y 最大值=5000(元).所以,每台冰箱的2
售价降价150元时,商场的利润最大,最大利润是5000元
练一练:
1. 如图,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面AB 的宽为20米,如果水位上升3米,则水面CD 的宽是10米.(1)建立如图所示的直角坐标系,求此抛物线的解析式;(2)当水位在正常水位时,有一艘宽为6米的货船经过这里,船舱上有高出水面3.6米的长方体货物(货物与货船同宽).问:此船能否顺利通过这座拱桥?
2. 有一座抛物线形拱桥,正常水位时桥下水面宽度为20m ,拱顶距离水面4m .(1)在如图所示的直角坐标系中,求出该抛物线的解析式;(2)设正常水位时桥下的水深为2m ,为保证过往船只顺利航行,桥下水面的宽度不得小于18m ,求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行
3. 某商场将进价为1800元的电冰箱以每台2400元售出,平均每天能售出8台,为了配合国家“家电下乡”政策的实施,商场决定采取适当的降价措施.调查表明:这种冰箱的售价每降价50元,平均每天就能多售出4台.(1)设每台冰箱降价x 元,商场每天销售这种冰箱的利润为y 元,求y 与x 之间的函数关系式(不要求写自变量的取值范围).(2)商场想在这种冰箱的销售中每天盈利8000元,同时又要使顾客得到实惠,每台冰箱应降价多少元?
(3)每台冰箱降价多少元时,商场每天销售这种冰箱的利润最高?最高利润是多少元?
4. 某商场将进价为4000元的电视以4400元售出,平均每天能售出6台.为了配合国家财政推出的“节能家电补贴政策”的实施,商场决定采取适当的降价措施,调查发现:这种电视的售价每降价50元,平均每天就能多售出3台.(1)现设每台电视降价x 元,商场每天销售这种电视的利润是y 元,请写出y 与x 之间的函数表达式.(不要求写出自变量的取值范围)(2)每台电视降价多少元时,商场每天销售这种电视的利润最高?最高利润是多少?
(3)商场要想在这种电视销售中每天盈利3600元,同时又要使百姓得到更多实惠,每台电视应降价多少元?根据以上的结论,请你直接写出售价在什么范围时,每个月的利润不低于3600元?
5. 新华商场为迎接家电下乡活动销售某种冰箱,每台进价为2500元,市场调研表明;当销售价定为2900元时,平均每天能售出8台;而当销售价每降低50元时,平均每天就能多售出4台.(1)商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到4800元,每台冰箱的定价应为多少元?平均每天可以售出多少台冰箱?(2)若新华商场总经理预算在此次活动中每天的总利润要达到5200元,你认为他的预想能实现吗?若能实现,试求每天冰箱的定价为多少元;反之,请说明理由
6. 我国积极培育农村消费新增长点,把支持农民建房作为扩大内需的重大举措,采取有效措施推动“建材下乡”.在“建材下乡”活动中,“便民”水泥代销点销售某种水泥,每吨进价为250元.如果每吨销售价定为290元时,平均每天可售出16吨.(1)若代销点采取降低促销的方式,试建立每吨的销售利润y (元)与每吨降低x (元)之间的函数关系式.(2)若每吨售价每降低5元,则平均每天能多售出4吨.问:每吨水泥的实际售价定为多少元时,每天的销售利润平均可达720元
7. 某经营部每天的固定成本为50元,其销售的每瓶饮料进价为5元.设销售单价为x 元时,日均销售量为y 瓶,x 与y 的关系如下:(1)求y 与x 的函数关系式并直接写出自变量x 的取值范围;(2)每瓶饮料的单价定为多少元时,日均毛利润最大?最大利润是多少?(毛利润=售价﹣进价﹣固定成本)(3)每瓶饮料的单价定为多少元时,日均毛利润为430元?根据此结论请你直接写出销售单价在什么范围内时,日均毛利润不低于430元
8. 某公司对工作五年及以上的员工施行新的绩效考核制度,现拟定工作业绩W=P+1200,其中P 的大小与工作数量x (单位)和工作年限n 有关(不考虑其他因素).已知P 由部分的大小与工作数量x (单位)和工作年限n
2有关(不考虑其他因素).已知P 由两部分的和组成,一部分与x 成正比,另一部分与0.5nx 成正比,在试行过
程中得到了如下两组数据:①工作12年的员工,若其工作数量为50单位,则其工作业绩为3700元;②工作16年的员工,若其工作数量为80单位,则其工作业绩为6320元.(1)试用含x 和n 的式子表示W ;(2)若某员工的工作业绩为4080元,工作数量为40单位,求该员工的工作年限;(3)若员工的工作年限为10年,若要使其工作业绩最高,其工作数量应为多少单位?此时他的工作业绩为多少元?
9. 某公司拟用运营指数y 来量化考核司机的工作业绩,运营指数(y )与运输次数(n )和平均速度(x )之间满
2足关系式为y=ax+bnx+100,当n=1,x=30时,y=190;当n=2,x=40时,y=420.(1)用含x 和n 的式子表示y ;
(2)当运输次数定为3次,求获得最大运营指数时的平均速度;(3)若n=2,x=40,能否在n 增加m%(m >0),同时x 减少m%的情况下,而y 的值保持不变?若能,求出m 的值;若不能,请说明理由
10. 为推进节能减排,发展低碳经济,某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后,再投入100万元购买生产设备进行该产品的生产加工.已知生产这种产品的成本价为每件20元,经过市场调研发现,该产品的年销售量y (万件)与销售单价x (元)之间的函数关系式为:y=40﹣x .(1)当销售单价定为28元时,该产品的年销售量为多少万件?(2)求该公司第一年的年获利W (万元)与销售单价x (元)之间的函数关系式,并说明投资的第1年,该公司是盈利还是亏损?若盈利,最大利润是多少?若亏损,最小亏损是多少?(3)当该公司第一年最小亏损时,第二年,公司决定给希望工程捐款,捐款由两部分组成:一部分为10万元的固定捐款;另一部分则为每销售一件产品,就抽出1元钱作为捐款,扣除捐款后,到第二年年底,两年总盈利的最大值是多少?
三﹑数形结合确定二次函数的解析式及其相关数据
例1:在平面直角坐标系中,△AOB的位置如图所示.已知∠AOB=90°,AO=BO,点A 的坐标为(﹣3,1).(1)求点B 的坐标.(2)求过A ,O ,B 三点的抛物线的解析式.(3)设点B 关于抛物线的对称轴ℓ的对称点为B l ,连接AB 1,求tan∠AB1B 的值
解:(1)作AC⊥x轴,BD⊥x轴,垂足分别为C ,D ,则∠ACO=∠ODB=90°.∴∠AOC+∠OAC=90°.又∵∠AOB=90,
0∴∠AOC+∠BOD=90.∴∠OAC=∠BOD.又∵AO=BO,∴△ACO≌△ODB.∴OD=AC=1,DB=OC=3.∴点B 的坐标为
(1,3)
(2)抛物线过原点,可设所求抛物线的解析式为y=ax+bx.将A (﹣3,1),B (1,3)代入,得
解得a=,b=,故所求抛物线的解析式为y=x +
2220, x =﹣.点B 关于抛物线的对称轴l 的对称点为B 1(,(3)抛物线y=x +x 的对称轴l 的方程是x=﹣
3).在△AB1B 中,作AC 1⊥BBl 于C 1,则C 1(﹣3,3),B l C 1=3/5,AC 1=2.∴tan∠AB1B=10/
3
例2:如图,在直角坐标系中,⊙A的半径为4,A 的坐标为(2,0),⊙A与x 轴交于E 、F 两点,与y 轴交于C 、D 两点,过C 点作⊙A的切线BC 交x 轴于B .(1)求直线BC 的解析式;(2)若一抛物线与x 轴的交点恰为⊙A与x 轴的两个交点,且抛物线的顶点在直线上y=物线上,并说明理由.
x+2上,求此抛物线的解析式;(3)试判断点C 是否在抛
解:(1)连接AC ,因为BC 为⊙A的切线,则AC=4,OA=2,∠ACB=90°,又因为∠AOC=90°,所以∠OCA=30°,∠A=60°,∠B=30度.所以OC=OA•tan60°=2,OB=OC•cot30°=2×=6,所以B (﹣6,0),C (0,2). 设直线BC 的解析式为y=kx+2,则0=﹣6k+2解得k=,所以y=x+2;
(2)因为AE=4,OA=2,所以OE=2,OF=6,则E (﹣2,0),F (6,0).设抛物线的解析式是y=(9x+2)(x ﹣6),则y=a(x ﹣2)﹣16a ,所以顶点坐标是(2,﹣16a ).因为(2,﹣16a )在直线y=a=﹣.所以y=﹣x +22x+2上,所以﹣16a=+2,x+2;
(3)当x=0时,y=2.故点C 在抛物线上
例3:某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时,身体(看成一点)在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O 的一条抛物线(图中标出的数据为已知条件).在跳某个规定动作时,正常情况下,该运动员在空中的最2高处距水面10米,入水处距池边的距离为4米,运动员在距水面高度为5米以前,必须完成规定的翻腾动作,3
并调整好入水姿势,否则就会出现失误.(1)求这条抛物线的解析式;(2)在某次试跳中,测得运动员在空中的运动路线是(Ⅰ)中的抛物线,且运动员在空中调整好入水姿势时,距池边的水平距离为3.6米,问此次跳水会不会失误?并通过计算
2解:(1)在给定的直角坐标系下,设最高点为A ,入水点为B ,抛物线的解析式为y=ax+bx+c.由题意,知O (0,
-25⎧⎧-3⎧c =0a =a =⎪⎪⎪6220),B (2,﹣10),且顶点A 的纵坐标为2/3, ∴⎪4ac -b =2, 解得⎪或, ∵抛物线对⎪10⎪⎨b =-2⎨⎨b =3⎪4a 3⎪c =0⎪4a +2b +c =-10⎪⎪⎪c =0⎩⎪⎩⎩
-b >0,又∵抛物线开口向下,∴a<0,从而b >0,故有a=-25/6,b=10/3,c=0,∴抛物2a
-25210线的解析式为y=x +x 63
33-2582108163(2)当运动员在空中距池边的水平距离为3米时,即x=3-2=1时,y=×() +×=-,∴55655353
1614此时运动员距水面的高为10﹣=<5,因此,此次跳水会失误 33称轴在y 轴右侧,∴
练一练:
1. 某市人民广场上要建造一个圆形的喷水池,并在水池中央垂直安装一个柱子OP ,柱子顶端P 处装上喷头,由P 处向外喷出的水流(在各个方向上)沿形状相同的抛物线路径落下。若已知OP =3米,喷出的水流的最高点A 距水平面的高度是4米,离柱子OP 的距离为1米. (1)求这条抛物线的解析式;(2)若不计其它因素,水池的半径至少要多少米,才能使喷出的水流不至于落在池外
2. 如图,一位运动员在距篮下4米处跳起投篮,球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离为2.5米时,达到最大高度3.5米,然后准确落入篮圈. 已知篮圈中心到地面的距离为3.05米.(1)建立如图所示的直角坐标系,求抛物线的表达式;(2)该运动员身高1.8米,在这次跳投中,球在头顶上方0.25米处出手,问:球出手时,他跳离地面的高度是多少
3. 如图,在平面直角坐标系xOy 中,⊙A的半径为3,A 点的坐标为(2,0),C 、E 分别是⊙A与y 轴、x 轴的交
2点,过C 点作⊙A的切线BC 交x 轴于点B .(1)求直线BC 的解析式;(2)若抛物线y=ax+bx+c经过B 、A 两点,
且顶点在直线BC 上,求此抛物线的顶点的坐标;(3)在x 轴上是否存在一点P ,使△PCE和△CBE相似?若存在,请你求出P 点的坐标;若不存在,请说明理由
4. 施工队要修建一个横断面为抛物线的公路桥洞,其高度为6米,宽度OM 为12米.现以O 点为原点,OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系如图. (1)求这条抛物线的解析式;(2)若要搭建一个矩形支架AD-DC-CB (由三段组成)使C 、D 在抛物线上,A 、B 在地面OM 上,则这个支架总长L 的最大值是多少米?
5. 如图,在平面直角坐标系内,O 为原点,点A 的坐标为(3,0),经过A 、O 两点作⊙D交y 轴的负半轴于点B .且点O 为半圆的中点.(1)求B 点的坐标;(2)若C 点的坐标为(﹣1,0),求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式;(3)在(2)的条件下,过B 点作⊙D的切线交x 轴与点E ,试判断抛物线的顶点时是否在直线BE 上,并说明理由
6. 如图所示的直角坐标系中,以点A (3,0)为圆心,以2为半径的圆与x 轴交于B 、C 两点,与y 轴交于
D 、E 两点.(1)求点D 的坐标;(2)求经过B 、C 、D 三点的抛物线的解析式;(3)若⊙A的切线交x 轴正半轴于
0点M ,交y 轴负半轴于点N ,且∠OMN=30, 试判断直线MN 是否经过所求抛物线的顶点?请说明理由
7. 如图,2×2网格(每个小正方形的边长为1)中,有A ,O ,B ,C ,D ,E ,F ,H ,G 九个格点.抛物线l 的解析
2式为y=0.5x+bx+c.(1)若l 经过点O (0,0)和B (1,0),则b= ,c= ;它还经过的另一格点的坐
标为 ;(2)若l 经过点H (﹣1,1)和G (0,1),求它的解析式及顶点坐标;通过计算说明点D (1,2)是否在l 上.(3)若l 经过这九个格点中的三个,直接写出所有满足这样的抛物线的条数
28. 如图,已知点O(0,0) ,A(-5,0) ,B(2,1) ,抛物线l :y=-(x-h )+1 (h为常数) 与y 轴的交点为C.(1)l
经过点B ,求它的解析式,并写出此时l 的对称轴及顶点坐标;(2)设点C 的纵坐标为y c ,求y c 的最大值,此时l 上有两点(x 1,y 1),(x 2,y 2),其中x 1>x 2≥0,比较y 1与y 2的大小;(3)当线段OA 被l 只分为两部分,且这两部分的比是1:4时,求h 的值
9. 如图,正方形ABCD 与正方形AEFG 的顶点E 、A 、B 在同一直线上,以AB 所在直线为x 轴、AB 中点O 为原点建立平面直角坐标系,以O 为圆心的⊙O恰好经过C 、D 、F 三点,交x 轴于点M 、N ,已知正方形ABCD 的边长为4.(1)
2求正方形AEFG 的边长,并直接写出点C 、F 的坐标;(2)抛物线y=ax+bx经过C 、F 两点,求抛物线的解析式;
(3)在(2)中的抛物线上是否存在点H ,使得以M 、N 、H 为顶点的三角形为直角三角形?若存在,请直接写出所有满足条件的点H 坐标;若不存在,请说明理由