确定点到平面的射影位置的常用方法

4数学通讯　　　　　　　　　　　　　2001年第12期

确定点到平面的射影位置的常用方法

陈世明

(东安一中, 湖南　425900)

中图分类号:O123-42　　　　文献标识码:A　　　　文章编号:0488-7395(2001) 06-0004-02

　　有关空间角, 空间距离及体积等问题既是立体几何中的重点内容之一, 又是立体几何中的难点所在. 求解此类问题的关键是如何确定点在平面上的射影位置, 本文从立体几何课本中归纳出确定点在平面上的射影位置的几种常用方法, 应用, 供大家参考.

方法1　, .

例11, 在棱长为

1的正方体

AB CD -A 1B 1C 1D 1中, E 是CC 1的

(11直线上. (课本《立体几何》

题)

2, A 1B 1C 1D 1, AB =5, A D =4,

A 1A =3, A D ⊥AB ,

∠A 1AB =∠A 1A D =, 求这个平行六面体的3体积.

解　∵A D ⊥AB , 且AB =5, A D =4, ∴S AB CD =20.

欲求平行六面体的体积, 只须求其高. 过A 1作

A 1O ⊥面AB CD , 则A 1O 即为所求的高.

图2　例2图

中点, 求点C 到平面BD E 的距离.

解　过C 作CH ⊥面

BD E , 垂足为H , 则CH 为

图1　例1图

所求.

∵E 是CC 1的中点, ∴Rt △CB E ≌Rt △CD E ,

∴C 到B E 与C 到D E 的距离相等, ∴H 在∠B ED 的平分线上.

取BD 的中点O , 连结O E , ∵D E =B E , ∴O E 是∠D EB 的平分线, ∴H ∈O E. 故在Rt △ECO 中,

CH ===.

O E 6+24

方法2　经过一个角的顶点引这个角所在平面

, 3

∴O 必在∠BA D 的平分线上, 即A O 平分∵∠A 1AB =∠A 1A D =∠BA D ,

∴∠OAB =45°, 又过O 作O E ⊥AB 于E , 连结

A 1E , 由三垂线定理得A 1E ⊥AB.

在Rt △A 1A E 中, A E =A 1A cos 在Rt △A EO 中,

=. 32

A O ===.

cos45°2

2

在Rt △A 1A O 中,

A 1O =

22

A 1A -A D =

的斜线, 如果斜线和这个角两边的夹角相等, 那么斜线上的点在平面上的射影在这个角的平分线所在的

-

=. 22

收稿日期:2001-03-02

) , 男, 湖南东安人, 湖南东安一中高级教师. 作者简介:陈世明(1963—

2001年第12期　　　　　　　　　　　　　数学通讯

=S AB CD ・A 1O =20=

2

5

故V AB CD -30.

　　解1) 略.

2) 过E 作EH ⊥面AB CD 于H , 连结D H , 则

A B C D

1111

∠ED H 即为所求的角.

∵面AB CD ⊥面AB E , ∴H ∈AB , 设圆柱的底面半径为R , 则高为2R , 2π, 又=3

V D -AB E ・2R ・EH ・2R 32

∴EH =R , 从而A H =R.

方法3　如果平面外一点到平面上两点的距离相等, 则这一点在平面上的射影必在以这两点为端

(必点的线段的垂直平分线上. (由课本《立体几何》

修) P 28定理中的(2) 即可证得)

例3　在三棱锥V -AB C 中, V A =V B =V C , 试确定顶点V 在底面AB C 的射影O 的位置.

解　∵V A =V B , ∴O 在线段AB 的垂直平分线上, 同理, O 也在线段B C , CA 的垂直平分线上. ∴

O 是AB , B C , CA 三边垂直平分线的交点, 即O 是

π, 即=3

在Rt △DA H 中, D H =4R 2+R 2=R.

, 在Rt △D EH 中, tg ∠ED H =

. 5

　△AB C 的外心.

方法4　如果过平面外一点的平面的斜线与平面内的一条直线垂直, . (线定理逆定理即可证得)

例4　S C , SB , S C 两, S C 上的射影, 求证H 是△AB C .

证　如图3, ∵SA ⊥

SB , SA ⊥S C ,

ED H l l , l 上的每一点在平面α内的射影都在直线l ′上. (由斜线在平面上的射影的定义即得)

图5　例6图

例6　(1985年全国高考题) 如图5, 设平面A C 和BD 相交于B C , 它们所成的一个二面角为45°, P 为面A C 内的一点, Q 为BD 内的一点, 已知直线

M Q 是直线PQ 在平面BD 内的射影, 并且M 在B C

∴SA ⊥面SB C , ∴SA ⊥B C. 又H 是S 在底面

AB C 上的射影,

上, 又设PQ 与平面BD 所成的角为β, ∠CM Q =θ

(0°) , 线段PM 的长为a , 求线段PQ 的长.

解　过P 作PO ⊥面BD 于O ,

图3　例4图

∴H 必在B C 边的高所在的直线上.

∵M Q 是直线PQ 在平面BD 内的射影, ∴O ∈M Q , 从而∠PQM =β.

过O 作O E ⊥B C 于E , 连结PE , 则由三垂线定理知PE ⊥B C ,

∴∠PEO 就是二面角A 2B C 2D 的平面角, ∴∠PEO =45°. 设PO =x , 则EO =x. 在Rt △EM O 中, M O =

22

同理可知, H 也必在AB , CA 边的高所在的直线上. 故H 是△AB C 的垂心.

方法5　如果两个平面互相垂直, 那么一个平面内任一点在另一个平面上的射影在这两个平面的交线上. (由两个平面互相垂直的性质定理即得)

例5　(1995年全国高考题) 如图4, 圆柱的轴截面

AB CD 是正方形, 点E 在底

sin θ

又在Rt △PM O 中, 由勾股定理得

x +

2

.

面的圆周上, A F ⊥D E , F 是垂足.

1) 求证A F ⊥DB ; 2) 如果圆柱与三棱锥

sin θ.

=a 2,

1+sin 2θ

再在Rt △POQ 中,

图4　例5图

∴x =

π, D -AB E 的体积比等于3求直线D E 与平面AB CD 所成的角.

PQ =

sin βsin β

=

1+sin 2θ

.