解对初值的连续性和可微性
§3.4 解对初值的连续性和可微性定理
ìdy ï=f (x , y ) 2, (x , y ) ÎG ÌR 考察ídx ïîy (x 0) =y 0(1)
的解y =j (x , x 0, y 0) 对初值的一些基本性质
内容:
v解对初值的连续性
v解对初值和参数的连续性
v解对初值的可微性
证明由(3. 1) 满足y (x 0) =y 0的解存在区间内任取一值x 1,
y 1=j(x 1, x 0, y 0), 则由解的唯一性知,
(3. 1) 过点(x 1, y 1) 与过点(x 0, y 0) 的解是同一条积分曲线,
即此解也可写成:
且显然有:y =j(x , x 1, y 1), y 0=j(x 0, x 1, y 1),
由于点(x 1, y 1) 是积分曲线上任一点,
因此关系式y 0=j(x 0, x , y ) 对该积分曲线上任意点(x , y ) 均成立。
按解的存在范围是否有限, 又分成下面两个问题:Q1:解在某有限闭区间[a , b ]上有定义, 讨论初值(x 0, y 0) 的微小变化对解的影响情况, 称为解对初值的连续性. 内容包括:当初值发生小的变化时, 所得到的解是否仍在[a , b ]上有定义以及解在整个区间[a , b ]上是否也变化很小? Q2:解在某个无限闭区间[a , +¥) 上有定义, 讨论初值(x 0, y 0)
的微小变化是否仍有解在[a , +¥) 上有定义, 且解在整个区间[a , +¥) 上变化也很小? 这种问题称为解的稳定性问题, 将在第六章中讨论.
一解对初值的连续性
1. 解对初值的连续依赖性
定义设初值问题
ìdy ï=f (x , y ) , ídx ïîy (x 0) =y 0(3. 1)
的解y =j(x , x 0, y 0) 在区间[a , b ]上存在,
如果对"e>0, $d=d(e, a , b ) >0, 使得对于满足(x 0-x 0) +(y 0-y 0) £d
的一切(x 0, y 0), 222
初值问题
ìdy ï=f (x , y ) , íïîy (x 0) =y 0(3. 1) '
的解y =j(x , x 0, y 0) 都在区间[a , b ]上存在, 并且j(x , x 0, y 0) -j(x , x 0, y 0)
引理如果函数f (x , y ) 于某域G 内连续，且关于y 满足利普
dy =f (x , y ) 的任希茨条件（利普希茨常数为L ），则对方程dx
意两个解j(x ) 及y(x ) , 在它们的公共存在区间内成立着不等式j(x ) -y(x ) £j(x 0) -y(x 0) e
区间内的某一值。L x -x 0. 其中x 0为所考虑
证明设j(x ), y(x ) 在区间[a , b ]上均有定义, 令
V (x ) =(j(x ) -y(x )) , x Î[a , b ]
则2V (x ) =2(j(x ) -y(x )) (j(x ) -y(x ))
=2(j(x ) -y(x )) (f (x , j(x )) -f (x , y(x )) ' ' '
V (x ) =2(j(x ) -y(x ))(f (x , j(x )) -f (x , y(x )) '
£2(j(x ) -y(x )) L (j(x ) -y(x )) £2LV (x ) 因对"x 0Î[a , b ]有
2L (x -x ) V (x ) £V (x 0) e , x 0£x £b 0d -2Lx 于是(V (x ) e ) £0dx
对a £x £x 0类似可证，因此
V (x ) £V (x 0) e
两边取平方根即得2L x -x 0, x Î[a , b ],
L x -x 0j(x ) -y(x ) £j(x 0) -y(x 0) e , x Î[a , b ],
2 定理1 (解对初值的连续依赖性定理) 方程d y =f (x , y ) , d x (x , y ) ÎG ÌR 2(1)
条件:I. f (x , y ) 在G 内连续且关于y 满足局部L ips . 条件;
(x 0, y 0) ÎG 的解, 定义II. y =j(x , x , y ) 是(1)满足00
区间为[a,b ].
结论:对"e>0, $d=d(e, a , b ) >0使得当
(0-x 0) +(0-y 0) £d222
时, 方程(1)过点(0, 0) 的解y =j(x , 0, 0) 在[a,b ]上也有定义, 且j(x , 0, 0) -j(x , x 0, y 0)
思路分析：
y =j(x , x 0, y 0) ºj(x ), x Î[a , b ](见下图) 记积分曲线段S ：
显然S 是xy 平面上的有界闭集.
第一步:找区域D , 使S ÌD , 且f (x , y
) 在D 上满足L ips . 条件. 由已知条件, 对"(x , y ) ÎS , 存在以它为中心的圆C i ÌG , 使f (x , y ) 在其内满足L ips . 条件, 利普希茨常数为L i . 根据有限
%=C 时, 有S ÌG %ÌG 覆盖定理, 存在N , 当G U i
i =1N
对"e>0, 记
%, S ), h=min {e, r/2}r=d (¶G
L =max {L 1, L , L N }则以h为半径的圆, 当其圆心从S 的
左端点沿S 运动到右端点时, 扫过
的区域即为符合条件的要找区域D
第二步:证明y(x ) =j(x , 0, 0) 在[a,b ]上有定义. 假定[c , d ]Ì[a , b ]利用引理2及y(x ) 的连续性可得:(*)(x ) -j(x )
第三步:证明(x ) -j(x )
在不等式(*)中将区间[c,d ]换成[a,b ]即得. ü
1-L (b -a ) 对d1=he , $d2, x -x 0
"(x 0, y 0) ÎR
(x ) -j(x ) £(x 0) -j(x 0) e L x -0
L x -0£((x 0) -j(x 0) +j(x 0) -j(x 0) ) e
=(y 0-y 0+(x 0) -j(x 0) ) e
(b -) L (b -a )
根据上面定理及方程的解关于自变量的连续性, 显然有:3 定理2(解对初值的连续性定理)
方程d y =f (x , y ) , d x (x , y ) ÎG ÌR 2(1)
条件:f (x , y ) 在G 内连续且关于y 满足局部L ips . 条件; 结论:y =j (x , x 0, y 0), (x 0, y 0) ÎG , 作为x , x 0, y 0的函数
在它的存在范围内是连续的.
证明对"(x 0, y 0) ÎG , (3. 1) 过(x 0, y 0) 的饱和解y =j(x , x 0, y 0) 定义于a(x 0, y 0)
$[a , b ],使y =j(x , x 0, y 0) 在[a , b ]上有定义, 其中x , x 0Î[a , b ]对"e>0, $d1>0, 使当
(x 0-x 0) +(y 0-y 0) £d1, 时222
ej(x , x 0, y 0) -j(x , x 0, y 0)
而y =j(x , x 0, y 0) 在x Î[a , b ]连续,
ej(x , x 0, y 0) -j(x , x 0, y 0)
取d=min{d1, d2},则只要(x -x ) +(x 0-x 0) +(y 0-y 0) £d, 就有2222故$d2>0, 使当x -x
二解对初值的可微性
dy =f (x , y , l), (3. 1) ldx
设f (x , y , l) 在区域G l={(x , y , l) |(x , y ) ÎG , lÎ(a, b)}连续, 且在G l内一致地关于y 满足局部Lipschitz 条件则对"l0Î(a, b), 方程(3.1)l通过点(x 0, y 0, l0) ÎG l的解存在且唯一, 记这个解为y =j(x , x 0, y 0, l0) 且有y 0=j(x 0, x 0, y 0, l0). (即对"(x , y , l) ÎG l, $以(x , y , l) 为中心球C ÌG l, 使f (x , y , l) 在C 内对y 满足Lipschitz 条件, L 与l无关) 对含参量l的微分方程
1 解对初值和参数的连续依赖定理设f (x , y , l) 在区域G l连续, 且在G l内一致地关于y 满足局部Lipschitz 条件, (x 0, y 0, l0) ÎG l, y =j(x , x 0, y 0, l0) 方程(3. 1) l通过点(x 0, y 0) 的解, 在区间a £x £b 上有定义, 其中a £x 0£b , 则对"e>0, $d=d(e, a , b ) >0, 使当
2222(x 0-x 0) +(y 0-y 0) +(l-l0) £d
a £x £b 上也有定义, 且时, 方程(3. 1) l通过点(x 0, y 0) 的解y =j(x , x 0, y 0, l) 在区间
(x , x 0, y 0, l) -j(x , x 0, y 0, l0)
2 解对初值和参数的连续性定理
设f (x , y , l) 在区域G l连续, 且在G l内一致地关于y 满足局部Lipschitz 条件, 则方程(3. 1) l的解y =j(x , x 0, y 0, l) 作为x , x 0, y 0, l的函数在它们存在范围内是连续的. 3 解对初值可微性定理
¶f 若函数f (x , y ) 以及都在区域G 内连续, 则方程¶y
(3. 1) 的解y =j(x , x 0, y 0) 作为x , x 0, y 0的函数在它们存在范围内是连续可微的.
证明¶f 由于在G 内连续, ¶y
故f (x , y ) 在G 内关于y 满足局部Lipschitz 条件, 因此, 解对初值的连续性定理成立, 即
y =j(x , x 0, y 0)
在它的存在范围内关于x , x 0, y 0是连续的. 下面证明, 函数y =j(x , x 0, y 0) 在它的存在范围内
¶j¶j¶j任一点偏导数存在且连续的. , , ¶x ¶x 0¶y 0¶j=f (x , j), 显然存在且连续. ¶x
¶j先证存在且连续. ¶y 0设由初值(x 0, y 0) 和(x 0, y 0+Dy 0) 所确定的解分别为y =j(x , x 0, y 0) ºj, y =j(x , x 0, y 0+Dy 0) ºy,
即
和
于是jºy 0+òf (x , j) dx , x 0x x x 0x yºy 0+Dy 0+òf (x , y) dx ,
y-jºDy 0+ò(f (x , y) -f (x , j)) dx x 0
¶f (x , j+q(y-j)) =Dy 0+ò(y-j) dx x 0¶y x
¶f 其中0
这里当Dy 00时r 10, 且Dy 0=0时r 1=0. 因此对Dy 0¹0有
x ¶f (x , j) (y-j) y-j+r 1]dx º1+òx [¶y Dy 0Dy 00
设y-jz =Dy 0
则¶f (x , j) +r 1]zdx z º1+ò[x 0¶y
y-j即z =Dy 0x
dz ¶f (x , j) 是初值问题=[+r ]z 1ìdx ¶y íîz (x ) =10(3. 22)
的解, 显然当Dy 0=0时, 上述初值问题仍然有解.
根据解对初值和参数的连续性定理
y-j知z =是x , x 0, z 0, Dy 0的连续函数, 从而存在Dy 0y-j¶jlim ºDy 00Dy ¶y 00
¶j而是初值问题¶y 0
的解, 不难求得dz ¶f (x , j) =z ì¶y ídx îz (x 0) =1
x ¶f (x , j) ¶j=exp(òdx ) x 0¶y 0¶y
显然它是x , x 0, y 0的连续函数.
¶j同样可证存在且连续. ¶x 0
设由初值(x 0, y 0) 和(x 0+Dx 0, y 0) 所确定的解分别为y =j(x , x 0, y 0) ºj,
即
和
于是x y =j(x , x 0+Dx 0, y 0) ºy, x 0jºy 0+òf (x , j) dx , yºy 0+òx x 0+Dx 0f (x , y) dx , x
x 0y-jºòx x 0+Dx 0f (x , y) dx -òf (x , j) dx
x =-òx 0+Dx 0
x 0¶f (x , j+q(y-j)) f (x , y) dx +ò(y-j) dx x 0¶y
¶f 其中0
¶f (x , j) ¶f (x , j+q(y-j)) =+r 1¶y ¶y
这里当Dx 00时r 10, 且Dx 0=0时r 1=0. 类似有
1-Dx 0òx 0+Dx 0x 0f (x , y) dx =-f (x 0, y 0) +r 2
其中r 1与r 2具有相同性质, 因此对Dx 0¹0有
x ¶f (x , j) y-j(y-j) º[-f (x 0, y 0) +r 2]+ò[+r 1]dx x 0Dx 0¶y Dx 0
y-j即z =Dx 0
是初值问题dz ¶f (x , j) =[+r 1]z ì¶y ídx îz (x ) =-f (x , y ) +r ºz 00020(3. 22) 的解, 显然当Dx 0=0时, 上述初值问题仍然有解.
根据解对初值和参数的连续性定理
y-j知z =是x , x 0, z 0, Dx 0的连续函数, 从而存在Dx 0y-j¶jlim ºDx 00Dx ¶x 00¶j而是初值问题¶x 0
的解, 不难求得dz ¶f (x , j) =z ìdx ¶y íîz (x 0) =-f (x 0, y 0)
x ¶f (x , j) ¶j=-f (x 0, y 0) exp(òdx ) x 0¶x 0¶y
显然它是x , x 0, y 0的连续函数.
初值问题ìdy ï=f (x , y ) , ídx ïîy (x 0) =y 0(3. 1)
的解y =j(x , x 0, y 0) 有,
x ¶f (x , j) ¶j=-f (x 0, y 0) exp(òdx ) x 0¶x 0¶y
x ¶f (x , j) ¶j=exp(òdx ) x 0¶y 0¶y
dy =sin xy dx
¶y (x , x , y ) ¶y (x , x , y ) x =0x 0=000000试求[]y 0=0, []y 0=0. ¶x 0¶y 0解Q f x (x , y ) =y cos xy , f y (x , y ) =x cos xy 在xy 平面上连续. dy \方程=sin xy 的解y =j(x , x 0, y 0) 作为x , x 0, y 0dx
的函数, 在xy 平面上连续可微. 由公式得¶y (x , x 0, y 0) x 0=0[y 0=0=exp(¶y 0例1 已知方程x ¶f (x , j) ¶jdx ) =exp(òx 0¶y 0¶y ¶f (x , j) x 0=0dx ) y 0=0òx 0¶y x
=exp(òx cos(x j(x , 0, 0)) dx ) 0x
(易见y =0是原方程的解, 且满足y (0) =0, \j(x , 0, 0) =0) =exp(òxdx ) =e 0x 12x 2
¶y (x , x 0, y 0) x 0=0[]y 0=0=¶x 0x ¶f (x , j) x 0=0[-f (x 0, y 0) exp(òdx )]y 0=0x 0¶y x =-f (0, 0) exp(òx cos(x j(x , 0, 0)) dx ) 0x ¶f (x , j) ¶jdx ) =-f (x 0, y 0) exp(òx 0¶y ¶x 0
=-f (0, 0) exp(òxdx ) =00x
作业
v P115 2,3