特别解析:椭圆经典例题分类

特别解析：椭圆经典例题分类

题型一 .椭圆定义的应用

例1 椭圆的一个顶点为A(2，0)，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．

x2y2

=1； 解：（1）当A(2，0)为长轴端点时，a=2，b=1，椭圆的标准方程为：+

41x2y2

=1； （2）当A(2，0)为短轴端点时，b=2，a=4，椭圆的标准方程为：+

416

说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．

1x2y2

+=1的离心率e=，求k的值． 例2 已知椭圆

2k+89

分析：分两种情况进行讨论．

解：当椭圆的焦点在x轴上时，a=k+8，b=9，得c=k-1．由e= 当椭圆的焦点在y轴上时，a=9，b=k+8，得c=1-k．

2

2

2

222

1

，得k=4． 2

11-k15

=，即k=-． ，得

2944

5

∴满足条件的k=4或k=-．

4

由e=

说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为k+8与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上．故必须进行讨论．

x2y2

+=-1表示椭圆，求k的取值范围． 例3 已知方程

k-53-k

⎧k-5

解：由⎨3-k

⎪k-5≠3-k,⎩

说明：本题易出现如下错解：由⎨

⎧k-5

得3

⎩3-k

出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中a>b>0这个条件，当a=b时，并不表示椭圆．

22

例4 已知xsinα-ycosα=1(0≤α≤π)表示焦点在y轴上的椭圆，求α的取值范围．

分析：依据已知条件确定α的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出α的取值范围．

11x2y2

>>0． +=1．因为焦点在y轴上，所以- 解：方程可化为

11cosαsinαsinαcosα

因此sinα>0且tanα

π3

,π)． 24

11

>0，->0，这是容易忽视的地方． sinαcosα

1122

(2)由焦点在y轴上，知a=-，b=． (3)求α的取值范围时，应注

cosαsinα

意题目中的条件0≤α

说明：(1)由椭圆的标准方程知

例5 已知动圆P过定点A(-3，0)，且在定圆B：(x-3)+y2=64的内部与其相内切，求动圆

2

圆心P的轨迹方程．

分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式．

解：如图所示，设动圆P和定圆B内切于点M．动点P到两定点，

即定点A(-3，0)距离之和恰好等于定圆半径， 0)和定圆圆心B(3，

即+PB=PM+PB=BM=8．∴点P的轨迹是以A，B为两焦点，

x2y2

+=1． 半长轴为4，半短轴长为b=4-3=7的椭圆的方程：

167

2

2

说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．

题型二 .焦半径及焦三角的应用

x2y2

例1 已知椭圆方程2+2=1(a>b>0)，长轴端点为A1，A2，焦点为F1，F2，P

ab

是椭圆上一点，∠A1PA2=θ，∠F1PF2=α．求：∆F1PF2的面积（用a、b、α表示）． 分析：求面积要结合余弦定理及定义求角α的两邻边，从而利用S∆=

1

absinC求面积． 2

解：如图，设P(x，y)，由椭圆的对称性，不妨设P(x，y)，由椭圆的对称性，不妨设P在第一象限．由余弦定理知：F1F2

2

2

=PF1+PF2-2PF．① PFcosα=4c12

22

2b2

由椭圆定义知： PF． 1⋅PF2=1+PF2=2a ②， 则②－①得：PF

1+cosα

2

故S∆F1PF2

α112b2

=PF1⋅PF2sinα =sinα =b2tan．

2221+cosα

x2y2

+=1内有一点A(1,1)，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭 例2 已知椭圆95P坐标； 圆上一点． 求+PF1的最大值、最小值及对应的点

分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代

数方法．二是数形结合，即几何方法．本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解．

解：如上图，2a=6，F2(2,0)，AF2=

设P是椭圆上任一点，由PF2，1+PF2=2a=6，

≥PF2-AF2，∴PA+PF1≥PF1+PF2-AF2=2a-AF2=6-2，等号仅当=PF2-AF2时成立，此时P、A、F2共线．

PA+PF1≤PF1+PF2+AF2=2a+AF2=6+2，等号仅当由≤PF2+AF2，∴

=PF2+AF2时成立，此时P、A、F2共线．

⎧x+y-2=0,建立A、F2的直线方程x+y-2=0，解方程组⎨2得两交点 2

⎩5x+9y=45

[1**********]5P(-2,+2)P(+2,-2)． 、12

[1**********]4

P点与P2重合时，PA+PF2取综上所述，P点与P1重合时，+PF1取最小值6-2，

最大值6+2．

题型三 参数方程应用

x2

+y2=1上的点到直线x-y+6=0的距离的最小值． 例1 求椭圆3

分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值． 解：椭圆的参数方程为⎨

⎧x=3cosθ，

设椭圆上的点的坐标为

⎩y=sinθ.

cosθ，sinθ)，则点到直线的

距离为：d=

⎛π⎫2sin-θ ⎪+6cosθ-sinθ+6⎝3⎭

． =

22

当sin

⎛π⎫

-θ⎪=-1时，d最小值=22． ⎝3⎭

说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程．

x2y2

+=1的参数方程；(2)求椭圆内接矩形的最大面积． 例2 (1)写出椭圆94

分析：本题考查椭圆的参数方程及其应用．为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆的参数

方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题．

解：(1) ⎨

⎧x=3cosθ

(θ∈R)．

⎩y=2sinθ

(2)设椭圆内接矩形面积为S，由对称性知，矩形的邻边分别平行于x轴和y轴，设

π

(3cosθ,2sinθ)为矩形在第一象限的顶点，(0

2

则S=4⨯3cosθ⨯2sinθ=12sin2θ≤12， 故椭圆内接矩形的最大面积为12．

说明：通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地，与圆锥曲线有关的最值问题，用参数方程形式较简便．

x2y2

例3 椭圆2+2=1(a>b>0)与x轴正向交于点A，若这个椭圆上总存在点P，使

abOP⊥AP(O为坐标原点)，求其离心率e的取值范围．

分析：∵O、A为定点，P为动点，可以P点坐标作为参数，把OP⊥AP，转化为P点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于a、b、c的一个不等式，转化为关于e的不等式．为

减少参数，易考虑运用椭圆参数方程．

解：设椭圆的参数方程是⎨

⎧x=acosθ

(a>b>0)，

y=bsinθ⎩

则椭圆上的点P(acosθ,bsinθ)，A(a,0)， ∵OP⊥AP，∴

bsinθbsinθ⋅=-1，

acosθacosθ-a

2

2

b2

即(a-b)cosθ-acosθ+b=0，解得cosθ=1或cosθ=2， 2

a-b

2

2

2

b2

2

a-b

a222∴0，又0

c22

说明：若已知椭圆离心率范围(

2

,1)，求证在椭圆上总存在点P使OP⊥AP．如何证明？ 2

题型四 相交情况下--弦长公式的应用

例1 已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m． （1）当m为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为

2，求直线的方程． 5

2

解：（1）把直线方程y=x+m代入椭圆方程4x2+y2=1得 4x2+(x+m)=1， 即5x+2mx+m-1=0．∆=(2m)-4⨯5⨯m2-1=-16m2+20≥0，解得-

2

2

2

()

5

≤m≤． 22

2mm2-1

（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为x1，x2，由（1）得x1+x2=-，x1x2=．

55

m2-12⎛2m⎫2

=根据弦长公式得 ：+1⋅ -．解得m=0．方程为y=x． ⎪-4⨯

555⎝⎭

说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式∆；解决弦长问题，一般应用弦长公式．用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程． 例2 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x轴上的椭圆，过它对的左焦点F1作倾斜解为线交椭圆于A，B两点，求弦AB的长．

分析：可以利用弦长公式AB=+kx1-x2=用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求．

解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．

2

2

π

的直3

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]求得，也可以利

AB=+k2x1-x2=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]．因为a=6，b=3，所以c=．因为焦

点在x轴上，

x2y2

+=1，左焦点F(-,0)，从而直线方程为y=x+9．

所以椭圆方程为

369

由直线方程与椭圆方程联立得：13x+x+36⨯8=0．设x1，x2为方程两根， 所以x1+x2=-

2

36⨯8723

，x1x2=，k=，

1313

2

从而AB=+kx1-x2=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=

48

． 13

( 法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解．

x2y2

+=1， 由题意可知椭圆方程为设AF则AF2=12-mBF2=12-n． 1=mBF1=n，369

在∆AF1F2中，AF2

2

=AF1+F1F2-2AF1F1F2cos

22

π

3

，即

1(12-m)2=m2+36⋅3-2⋅m⋅6⋅；

2

所以m=

4866

AB=m+n=n=．同理在∆BF中，用余弦定理得，所以． F12

134+4-3

(法3)利用焦半径求解．

先根据直线与椭圆联立的方程13x+x+36⨯8=0求出方程的两根x1，x2，它们分别是

2

A，B的横坐标．再根据焦半径AF1=a+ex1，BF1=a+ex2，从而求出AB=AF1+BF1

题型五 .相交情况下—点差法的应用

例1 已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线x+y-1=0交于A、B两点，M为AB中点，OM的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．

x22

解：由题意，设椭圆方程为2+y=1，

a

⎧x+y-1=0⎪222由⎨x2，得()1+ax-2ax=0， 2

⎪2+y=1⎩a

1x1+x21+a2

=2，yM=1-xM=∴xM=， 2

1+a2a

kOM

yMx2112

==2=，∴a=4， ∴+y2=1为所求．

4xMa4

说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根

与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．

x2⎛11⎫

+y2=1，求过点P ⎪且被P平分的弦所在的直线方程． 例2 已知椭圆2⎝22⎭

分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k，利用条件求k． 解法一：设所求直线的斜率为k，则直线方程为y-

11⎫⎛

=k x-⎪．代入椭圆方程，并整理得 22⎭⎝

(

1232k2-2k

1+2kx-2k-2kx+k-k+=0． 由韦达定理得x1+x2=．

221+2k2

2

)

2

(

2

)

∵P是弦中点，∴x1+x2=1．故得k=-

1

．所以所求直线方程为2x+4y-3=0． 2

(x2，y2)，分析二：设弦两端坐标为(x1，y1)、列关于x1、x2、y1、y2的方程组，

解法二：设过P ⎪的直线与椭圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)，则由题意得

y1-y2

．

x1-x2

⎛11⎫⎝22⎭

⎧x122

+y，1=1⎪⎪22⎪x22

⎨+y2=1，⎪2

⎪x1+x2=1，⎪

⎩y1+y2=1.

①② ③④

2

x12-x22

+y12-y2=0． ⑤ ①－②得

2

将③、④代入⑤得

1y1-y21

=-，即直线的斜率为-．所求直线方程为2x+4y-3=0．

2x1-x22

说明：（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨

迹；过定点的弦中点轨迹． （2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率． （3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．

x2⎛11⎫

+y2=1， 例3 已知椭圆（1）求过点P ⎪且被P平分的弦所在直线的方程； 2⎝22⎭

（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；

1)引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程； （3）过A(2，

（4）椭圆上有两点P、Q，O为原点，且有直线OP、OQ斜率满足kOP⋅kOQ=-

1

， 2

求线段PQ中点M的轨迹方程．

分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法． 解：设弦两端点分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点R(x，y)，则

⎧x12+2y12=2，⎪22

⎪x2+2y2=2，⎨

⎪x1+x2=2x，⎪y+y=2y，⎩12

①②③④

①－②得(x1+x2)(x1-x2)+2(y1+y2)(y1-y2)=0． 由题意知x1≠x2，则上式两端同除以x1-x2，有

(x1+x2)2(y1+y2)y1+y2

x1-x2

将③④代入得x+2y

=0，

y1-y2

=0．⑤

x1-x2

（1）将x=

11y-y21

=-，故所求直线方程为： 2x+4y-3=0． ⑥ ，y=代入⑤，得1

22x1-x22

2

22

将⑥代入椭圆方程x+2y=2得6y-6y-

11

=0，∆=36-4⨯6⨯>0符合题意，44

2x+4y-3=0为所求．

（2）将

y1-y2

=2代入⑤得所求轨迹方程为：x+4y=0．（椭圆内部分）

x1-x2

y1-y2y-122

=代入⑤得所求轨迹方程为：x+2y-2x-2y=0．（椭圆内部分）

x1-x2x-2

（3）将

2

x12+x22

+y12+y2=2⑦， 将③④平方并整理得： （4）由①＋②得

2

()

22

x12+x2=4x2-2x1x2⑧， y12+y2=4y2-2y1y2⑨

4x2-2x1x2

+4y2-2y1y2=2 ⑩ 将⑧⑨代入⑦得：

4

()

y21⎛1⎫222

=1． 再将y1y2=-x1x2代入⑩式得：2x-x1x2+4y-2 -x1x2⎪=2， 即：x+12⎝2⎭

2

此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．

x2y2

=1， 例4 已知椭圆C+试确定m的取值范围，使得对于直线l：y=4x+m，椭圆C上

43

有不同的两点关于该直线对称．

分析：若设椭圆上A，B两点关于直线l对称，则已知条件等价于：(1)直线AB⊥l；(2)弦AB的中点M在l上．利用上述条件建立m的不等式即可求得m的取值范围．

解：(法1)设椭圆上A(x1,y1)，直线AB与l交于M(x0,y0)点． B(x2,y2)两点关于直线l对称，y=-x+n,1⎪⎪4∵l的斜率kl=4，∴设直线AB的方程为y=-x+n．由方程组消去y得

⎨224xy

⎪+=1,⎪3⎩4⎧

1

13x2-8nx+16n2-48=0 ①。∴x1+x2=

8nx+x24n

=．于是x0=1，

13213

112n4n12ny0=-x0+n=,)．∵点M在直线y=4x+m上，∴，即点M的坐标为(

41313134n13n=4⨯+m．解得n=-m． ②

134

2

2

将式②代入式①得13x+26mx+169m-48=0 ③

∵A，B是椭圆上的两点，∴∆=(26m)2-4⨯13(169m2-48)>0．解得-(法2)同解法1得出n=-

22

13413

m，∴x0=(-m)=-m， 4134

113113

y0=-x0-m=-⨯(-m)-m=-3m，即M点坐标为(-m,-3m)．

4444

(-m)2(-3m)2

+

解得-

22

(法3)设A(x1,y1)，B(x2,y2)是椭圆上关于l对称的两点，直线AB与l的交点M的坐标为

xyxy

(x0,y0)．∵A，B在椭圆上，∴1+1=1，2+2=1．

4343

两式相减得：3(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0， 即3⋅2x0(x1-x2)+4⋅2y0(y1-y2)=0．∴

2222

3xy1-y2

=-0(x1≠x2)．

x1-x24y0

又∵直线AB⊥l，∴kAB⋅kl=-1，∴-

3x0

⋅4=-1，即y0=3x0 ①。 4y0

又M点在直线l上，∴y0=4x0+m②。由①，②得M点的坐标为(-m,-3m)．以下同解法2.

说明：涉及椭圆上两点A，B关于直线l恒对称，求有关参数的取值范围问题，可以采用列参数满足的不等式：(1)利用直线AB与椭圆恒有两个交点，通过直线方程与椭圆方程组成的方程组，消元后得到的一元二次方程的判别式∆>0，建立参数方程．(2)利用弦AB的中点M(x0,y0)在椭

xy

圆内部，满足0+0

ab

x2y2

+=1所截得的线段的中点，求直线l的方程． 例5 已知P(4,2)是直线l被椭圆

369

分析：本题考查直线与椭圆的位置关系问题．通常将直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)，得 到关于x(或y)的一元二次方程，再由根与系数的关系，直接求出x1+x2，x1x2(或y1+y2，y1y2) 的值代入计算即得．并不需要求出直线与椭圆的交点坐标，这种“设而不求”的方法，在解析几何 中是经常采用的．

解：方法一：设所求直线方程为y-2=k(x-4)．代入椭圆方程， 整理得：(4k2+1)x2-8k(4k-2)x+4(4k-2)2-36=0 ①

设直线与椭圆的交点为A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1、x2是①的两根，∴x1+x2=∵P(4,2)为AB中点，∴4=

22

8k(4k-2)

4k2+1

1x1+x24k(4k-2)k=-=，．∴所求直线方程为x+2y-8=0．

224k2+1

方法二：设直线与椭圆交点A(x1,y1)，B(x2,y2)． ∵P(4,2)为AB中点，∴x1+x2=8，y1+y2=4．

又∵A，∴x1+4y1=36， x2+4y2=36两式相减得(x1-x2)+4(y1-y2)=0，B在椭圆上，即(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0．∴∴直线方程为x+2y-8=0．

方法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A(x,y)，另一个交点B(8-x,4-y)． ∵A、B在椭圆上，∴x+4y=36 ①。 (8-x)+4(4-y)=36 ② 从而A，B在方程①－②的图形x+2y-8=0上，而过A、B的直线只有一条， ∴直线方程为x+2y-8=0．

说明：直线与圆锥曲线的位置关系是重点考查的解析几何问题，“设而不求”的方法是处理此类

问题的有效方法．

2

2

2

2

22222222

y1-y2-(x1+x2)1

==-．

x1-x24(y1+y2)2

题型六 轨迹问题

这一问题难，但是解决法非常多，有如下几种。

1.直接法：根据条件，建立坐标系，设动点(x，y)，直接列出动点所应满足的方程。

2.代入法：一个是动点Q(x0,y0)在已知曲线F(x,y)=0，上运动，而动点P(x,y)与Q点满足某种

⎧x0=f(x,y)

关系，要求P点的轨迹。其关键是列出P、Q两点的关系式⎨

y=y(x,y)⎩o

3.定义法：通过对轨迹点的分析，发现与某个圆锥曲线的定义相符，则通过这个定义求出方程。 4.参数法：在x，y间的方程F(x,y)=0难以直接求得时，往往用⎨y之间的关系。

常用的参数有斜率k与角α等。

例：∆ABC的一边的的顶点是B(0,6)和C(0,-6)，另两边斜率的乘积是-

⎧x=f(t)

(t为参数)来反映x，

⎩y=y(t)

4

，求顶点A的轨迹方程： 9

y-6y+64x2y2

⋅=-(x≠0)。化简得+=1

(x≠0) 解：设A(x,y)，由题设得xx9

附表：例题

2

2

例1 已知椭圆mx+3y-6m=0的一个焦点为（0，2）求m的值．

2

2

2

分析：把椭圆的方程化为标准方程，由c=2，根据关系a=b+c可求出m的值．

x2y2

+=1．因为焦点在y轴上，所以2m>6，解得m>3． 解：方程变形为

62m

又c=2，所以2m-6=2，m=5适合．故m=5．

2

0)，a=3b，求椭圆的标准方程． 例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点P(3，

分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法，

求出参数a和b（或a和b）的值，即可求得椭圆的标准方程．

22

x2y2

解：当焦点在x轴上时，设其方程为2+2=1(a>b>0)．

ab

由椭圆过点P(3，0)，知

90

+=1．又a=3b，代入得b2=1，a2=9，故椭圆的方程为22ab

x2

+y2=1． 9

y2x2

当焦点在y轴上时，设其方程为2+2=1(a>b>0)．

ab

由椭圆过点P(3，0)，知

90+=1．又a=3b，联立解得a2=81，b2=9，故椭圆的方程为22ab

y2x2

+=1． 819

例3 ∆ABC的底边BC=16，AC和AB两边上中线长之和为30，求此三角形重心G的轨迹和顶点A的轨迹．

分析：（1）由已知可得GC+GB=20，再利用椭圆定义求解．

（2）由G的轨迹方程G、A坐标的关系，利用代入法求A的轨迹方程．

解： （1）以BC所在的直线为x轴，BC中点为原点建立直角坐标系．设G点坐标为(x，y)，由

GC+GB=20，知G点的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因a=10，c=8，

有b=6，

x2y2

+=1(y≠0)． 故其方程为

10036

x'2y'2

+=1(y'≠0)． ① （2）设A(x，y)，G(x'，y')，则

10036

x⎧'x=，⎪x2y2⎪3

+=1(y≠0)，其轨迹是椭圆（除去x轴上由题意有⎨代入①，得A的轨迹方程为

900324⎪y'=y

⎪3⎩

两点）．

例4 已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．

42和，过P点作33

解：设两焦点为F1、F2，且PF1=

42PF2=．从椭圆定义知2a=PF即1+PF2=2．33

a=．

从PF所以在Rt∆PF2F1中，sin∠PF1F2=2垂直焦点所在的对称轴，1>PF2知PF

PF2

1

=，

PF12

可求出∠PF1F2=

π

6

，2c=PF1⋅cos

π

6

=

102222

，从而b=a-c=．

33

x23y23x2y2

+=1或+=1． ∴所求椭圆方程为

510105

x2y2

例5 已知椭圆方程2+2=1(a>b>0)，长轴端点为A1，A2，焦点为F1，F2，P是椭圆上一

ab

点，∠A1PA2=θ，∠F1PF2=α．求：∆F1PF2的面积（用a、b、α表示）．

分析：求面积要结合余弦定理及定义求角α的两邻边，从而利用S∆=

1

absinC求面积． 2

解：如图，设P(x，y)，由椭圆的对称性，不妨设P(x，y)，由椭圆的对称性，不妨设P在第一象限．由余弦定理知： F1F2

2

2

=PF1+PF2-2PF．① PFcosα=4c12

22

2b2

由椭圆定义知： PF． 1⋅PF2=1+PF2=2a ②，则②－①得 PF1+cosα

2

故S∆F1PF2

α112b2

=PF1⋅PF2sinα =sinα =b2tan．

2221+cosα

2

例6 已知动圆P过定点A(-3，且在定圆B：0)，(x-3)+y2=64的内部与其相内切，求动圆圆心P的轨迹方程．

分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式．

解：如图所示，设动圆P和定圆B内切于点M．动点P到两定点，

0)和定圆圆心B(3，0)距离之和恰好等于定圆半径， 即定点A(-3，

即+PB=PM+PB=BM=8．∴点P的轨迹是以A，B为两焦点，

x2y2

+=1．

半长轴为4，半短轴长为b=4-3=7的椭圆的方程：

167

2

2

说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．

x2⎛11⎫+y2=1，例7 已知椭圆（1）求过点P ⎪且被P平分的弦所在直线的方程； 2⎝22⎭

（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；

（3）过A(2，1)引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；

（4）椭圆上有两点P、Q，O为原点，且有直线OP、OQ斜率满足kOP⋅kOQ=-

求线段PQ中点M的轨迹方程． 分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．

解：设弦两端点分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点R(x，y)，则

1， 2

⎧x12+2y12=2，⎪22

⎪x2+2y2=2，⎨

⎪x1+x2=2x，⎪y+y=2y，⎩12

①②③④

①－②得(x1+x2)(x1-x2)+2(y1+y2)(y1-y2)=0． 由题意知x1≠x2，则上式两端同除以x1-x2，有(x1+x2)2(y1+y2)

y1+y2

=0，

x1-x2

将③④代入得x+2y

（1）将x=

y1-y2

=0．⑤

x1-x2

11y-y21

=-，故所求直线方程为： 2x+4y-3=0． ⑥ ，y=代入⑤，得1

22x1-x22

2

22

将⑥代入椭圆方程x+2y=2得6y-6y-

11

=0，∆=36-4⨯6⨯>0符合题意，44

2x+4y-3=0为所求．

（2）将

y1-y2

=2代入⑤得所求轨迹方程为： x+4y=0．（椭圆内部分）

x1-x2

y1-y2y-122

=代入⑤得所求轨迹方程为： x+2y-2x-2y=0．（椭圆内部分）

x1-x2x-2

（3）将

2

x12+x22

)+(y12+y2=2， ⑦， 将③④平方并整理得 （4）由①＋②得 ：

2

22

x12+x2=4x2-2x1x2， ⑧， y12+y2=4y2-2y1y2， ⑨

4x2-2x1x2

+4y2-2y1y2=2， ⑩ 将⑧⑨代入⑦得：

4

()

再将y1y2=-

1⎛1⎫

x1x2代入⑩式得： 2x2-x1x2+4y2-2 -x1x2⎪=2， 即 2⎝2⎭

y2

x+=1．

2

2

此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．

例8 已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m． （1）当m为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为

2，求直线的方程． 5

2

解：（1）把直线方程y=x+m代入椭圆方程4x2+y2=1得 4x2+(x+m)=1， 即5x+2mx+m-1=0．∆=(2m)-4⨯5⨯m2-1=-16m2+20≥0，解得-

2

2

2

()

5

． ≤m≤

22

2mm2-1

（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为x1，x2，由（1）得x1+x2=-，x1x2=．

55

m2-12⎛2m⎫

=根据弦长公式得 ：+1⋅ -．解得m=0．方程为y=x． ⎪-4⨯55⎝5⎭

2

2

说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．

这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式∆；解决弦长问题，一般应用弦长公式． 用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程．

x2y2

+=1的焦点为焦点，过直线l：x-y+9=0上一点M作椭圆，要使所作椭圆的例9以椭圆

123

长轴最短，点M应在何处？并求出此时的椭圆方程．

x2y2

+=1的焦点为F1(-3，解：如图所示，椭圆0)，F2(3，0)． 123

点F1关于直线l：x-y+9=0的对称点F的坐标为（－9，6），直线FF

2的方程

为x+2y-3=0．

解方程组⎨

⎧x+2y-3=0

得交点M的坐标为（－5，4）．此时MF1+MF2最小．

⎩x-y+9=0

c=3， 所求椭圆的长轴：2a=MF1+MF2=FF2=65，∴a=，又

x2y2

+=1． ∴b=a-c=3-3=36．因此，所求椭圆的方程为

4536

2

2

2

()

2

2

x2y2

+=-1表示椭圆，求k的取值范围． 例10 已知方程

k-53-k⎧k-5

解：由⎨3-k

⎪k-5≠3-k,⎩

∴满足条件的k的取值范围是3

⎧k-5

说明：本题易出现如下错解：由⎨得3

⎩3-k

出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中a>b>0这个条件，当a=b时，并不表示椭圆．

22

例11 已知xsinα-ycosα=1(0≤α≤π)表示焦点在y轴上的椭圆，求α的取值范围．

分析：依据已知条件确定α的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出α的取值范围．

11x2y2

>>0． +=1．因为焦点在y轴上，所以-解：方程可化为

11cosαsinαsinαcosα

因此sinα>0且tanα

π3

,π)． 24

11

>0，->0，这是容易忽视的地方． sinαcosα1122

(2)由焦点在y轴上，知a=-，b=． (3)求α的取值范围时，应注意题目中的条件

cosαsinα

0≤α

说明：(1)由椭圆的标准方程知

例12 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过A(,-2)和B(-23,1)两点的椭圆方程． 分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见，

22

可设其方程为mx+ny=1(m>0，n>0)，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求

出方程．

解：设所求椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0，n>0)．由A(3,-2)和B(-2,1)两点在椭圆上可得

22

⎧⎧3m+4n=1,11⎪m⋅()+n⋅(-2)=1,

m=n=即所以，．故所求的椭圆方程为⎨⎨2215512m+n=1,⎪⎩⎩m⋅(-2)+n⋅1=1,

x2y2

+=1． 155

例13 知圆x2+y2=1，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段，求线段中点M的轨迹． 分析：本题是已知一些轨迹，求动点轨迹问题．这种题目一般利用中间变量(相关点)求轨迹方程或轨迹．

解：设点M的坐标为(x,y)，点P的坐标为(x0,y0)，则x=

因为P(x0,y0)在圆x2+y2=1上，所以x02+y02=1．

将x0=2x，y0=y代入方程x02+y02=1得4x2+y2=1．所以点M的轨迹是一个椭圆

x0

，y=y0． 2

4x2+y2=1．

说明：此题是利用相关点法求轨迹方程的方法，这种方法具体做法如下：首先设动点的坐标为

(x,y)，

设已知轨迹上的点的坐标为(x0,y0)，然后根据题目要求，使x，y与x0，y0建立等式关系， 从而由这些等式关系求出x0和y0代入已知的轨迹方程，就可以求出关于x，y的方程， 化简后即我们所求的方程．这种方法是求轨迹方程的最基本的方法，必须掌握．

例14 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x轴上的椭圆，过它对的左焦点F1作倾斜解为交椭圆于A，B两点，求弦AB的长． 分析：可以利用弦长公式AB=+kx1-x2=

2

π

的直线3

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]求得，

也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求． 解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．

AB=+k2x1-x2=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]．因为a=6，b=3，所以c=3．因为焦

点在x轴上，

x2y2

+=1，左焦点F(-,0)，从而直线方程为y=x+9． 所以椭圆方程为

369

由直线方程与椭圆方程联立得：13x+3x+36⨯8=0．设x1，x2为方程两根，所以

2

x1+x2=-

13

，

x1x2=

36⨯813

，

k=3

， 从而

AB=+k2x1-x2=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=

(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解．

48． 13

x2y2

+=1，设AF由题意可知椭圆方程为 1=m，BF1=n，则AF2=12-m，BF2=12-n．369

在

∆AF1F2

中，

AF2=AF1+F1F2-2AF1F1F2c

222

π

3

os，

即

1

(12-m)2=m2+36⋅3-2⋅m⋅6⋅；

2

所以m=

4866

AB=m+n=n=．同理在∆BF中，用余弦定理得，所以． F12

134-34+(法3)利用焦半径求解．

先根据直线与椭圆联立的方程13x+3x+36⨯8=0求出方程的两根x1，x2，它们分别是A，

2

B的横坐标．

再根据焦半径AF1=a+ex1，BF1=a+ex2，从而求出AB=AF1+BF1．

x2y2

+=1上的点M到焦点F1的距离为2，N为MF1的中点，则ON（O为坐标原例15 椭圆

259

点）的值为A．4 B．2 C．8 D．

3

2

说明：(1)椭圆定义：平面内与两定点的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆．

(2)椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义，即MF利用这个等式可以解决椭圆上的点1+MF2=2a，与焦点的有关距离．

x2y2

=1，试确定m的取值范围，使得对于直线l：y=4x+m，椭圆C上有例16 已知椭圆C+

43

不同的两点关于该直线对称．

分析：若设椭圆上A，B两点关于直线l对称，则已知条件等价于：(1)直线AB⊥l；(2)弦AB的中点M在l上．

利用上述条件建立m的不等式即可求得m的取值范围． 解：(法1)设椭圆上A(x1,y1)，B(x2,y2)两点关于直线l对称，直线AB与l交于M(x0,y0)点． y=-x+n,1⎪⎪4AB∵l的斜率kl=4，∴设直线的方程为y=-x+n．由方程组消去y得 ⎨224xy

⎪+=1,⎪3⎩4⎧

1

13x2-8nx+16n2-48=0

①。∴x1+x2=

8nx+x24n

=．于是x0=1，

13213

112n

y0=-x0+n=，

413

4n12n4n,)．∵点M在直线y=4x+m上，∴n=4⨯+m．解得即点M的坐标为(

131313

13

n=-m． ②

4

将式②代入式①得13x+26mx+169m-48=0 ③

∵A，B是椭圆上的两点，∴∆=(26m)-4⨯13(169m-48)>0．解得-(法2)同解法1得出n=-

2

2

2

2

22

13413

m，∴x0=(-m)=-m， 4134

113113

y0=-x0-m=-⨯(-m)-m=-3m，即M点坐标为(-m,-3m)．

4444

(-m)2(-3m)2

+

43

-

22

(法3)设A(x1,y1)，B(x2,y2)是椭圆上关于l对称的两点，直线AB与l的交点M的坐标为

(x0,y0)．

x1yxy

∵A，B在椭圆上，∴+1=1，2+2=1．两式相减得

4343

2222

3(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0，

即3⋅2x0(x1-x2)+4⋅2y0(y1-y2)=0．∴

3xy1-y2

=-0(x1≠x2)．

x1-x24y0

又∵直线AB⊥l，∴kAB⋅kl=-1，∴-

3x0

⋅4=-1，即y0=3x0 ①。 4y0

又M点在直线l上，∴y0=4x0+m ②。由①，②得M点的坐标为(-m,-3m)．以下同解法2.

说明：涉及椭圆上两点A，B关于直线l恒对称，求有关参数的取值范围问题，可以采用列参数满足的不等式：

(1)利用直线AB与椭圆恒有两个交点，通过直线方程与椭圆方程组成的方程组，消元后得到的一元二次方程的判别式∆>0，建立参数方程．

xy

(2)利用弦AB的中点M(x0,y0)在椭圆内部，满足0+0

ab

参数不等式．

例17 在面积为1的∆PMN中，tanM=焦点且过P点的椭圆方程．

22

1

，tanN=-2，建立适当的坐标系，求出以M、N为2

4x2y2

+=1 ∴所求椭圆方程为153

x2y2

+=1所截得的线段的中点，求直线l的方程． 例18 已知P(4,2)是直线l被椭圆

369

分析：本题考查直线与椭圆的位置关系问题．通常将直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)，得到关

于x(或y)的一元二次方程，再由根与系数的关系，直接求出x1+x2，x1x2(或y1+y2，y1y2)的值代入计算即得．

并不需要求出直线与椭圆的交点坐标，这种“设而不求”的方法，在解析几何中是经常采用的．

解：方法一：设所求直线方程为y-2=k(x-4)．代入椭圆方程，整理得

(4k2+1)x2-8k(4k-2)x+4(4k-2)2-36=0 ①

设直线与椭圆的交点为A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1、x2是①的两根，∴x1+x2=

∵P(4,2)为AB中点，∴4=8k(4k-2) 4k2+11x1+x24k(4k-2)k=-=，．∴所求直线方程为x+2y-8=0． 2224k+1

方法二：设直线与椭圆交点A(x1,y1)，B(x2,y2)．∵P(4,2)为AB中点，∴x1+x2=8，y1+y2=4．

又∵A，∴x1+4y1=36， x2+4y2=36两式相减得(x1-x2)+4(y1-y2)=0，B在椭圆上，

即(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0．∴22222222y1-y2-(x1+x2)1==-．∴直线方程为x1-x24(y1+y2)2

x+2y-8=0．

方法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A(x,y)，另一个交点B(8-x,4-y)．

∵A、B在椭圆上，∴x+4y=36 ①。 (8-x)+4(4-y)=36 ②

从而A，B在方程①－②的图形x+2y-8=0上，而过A、B的直线只有一条，∴直线方程为2222x+2y-8=0．

说明：直线与圆锥曲线的位置关系是重点考查的解析几何问题，“设而不求”的方法是处理此类问题的有效方法． 若已知焦点是(3,0)、(-3,0)的椭圆截直线x+2y-8=0所得弦中点的横坐标是4，则如何求椭圆方程？

21