关于洛必达法则证明的几点补充_马丽娜

DOI:10.13901/j.cnki.qhwxxbzk.2011.05.021

29 卷 第 5 期 第

2011 年 10 月

青 海 大 学 学 报 ( 自 然 科 学 版 ) Journal of Qinghai University( Nature Science) Vol. 29 No. 5

Oct ． 2011

关于洛必达法则证明的几点补充

1 2

马丽娜，刘 烁

( 1. 陕西师范大学数学与信息科学学院，陕西 西安 710062; 2. 第四军医大学生物医学工程学院，陕西 西安 710032)

摘要:用洛必达法则求函数的极限是一种很重要的方法。同济大学数学系主编的《高等数学》 第六版教材中给出了洛必达法则的简单证明，本文对洛必达法则的证明作了详细的补充，以 便于学生自学。

关键词:洛必达法则; 无穷小量; 未定式

中图分类号:O171 文献标志码:B 文章编号:1006 － 8996( 2011) 05 － 0080 － 04

Several supplements to demonstration of the L’Hospital Rule

MA Lina，LIU Shuo

1

2

( 1. College of Mathematics and Information Science ，Shaanxi Normal University ，Xi'an 710062，China; 2. Faculty of Biomedical Engineering，The Fourth Military Medical University，Xi'an 710032，China) Abstract : Using the L’Hospital Rule to compute functional limit is an important method. However， many beginners put in doubt on demonstrations of the L’Hospital Rule，which provided by the sixth edition textbook Higher Mathematics edited by the Department of Mathematics of Tongji University. In order to help them better understand the demonstrations of the L ’Hospital Rule ，the paper pres- ents several supplements.

Key words: the L’Hospital Rule; dimensionless; indeterminate form

《高等数学》1 的证明中，“因为 同济大学主编的第六版第三章第二节洛必达法则定理 不少学生对 f ( x ) 求x →a 时的极限与 f ( a ) 和 F ( a ) 无关，当 所以可以假定 f ( a ) = F ( a ) = 0”存在疑惑，为什么可以

F ( x )

假定 f ( a ) = F ( a ) = 0? 如果不等于 0 怎么办? 为解决这些疑惑，笔者对定理 1 的证明作了些补充。另

!

1］外，教材中定理 2 型未定式的洛必达法则证明未给出，本文作了补充，便于学生自学。文献［利

! !

2］用微分中值定理对，文献［用牛顿 － 莱布尼兹公式证明了洛必

! 3］达法则，文献［给出了洛必达法则及斯铎兹定理的一种简便证法。本文则以定理 1 的结论为基础对 其进行了证明，对于初学者来说容易理解掌握。

1 主要定理及证明

首先，讨论 x →a 时未定式。

1 设 定理

( 1) 当 x →a 时，函数 f ( x ) 及 F ( x ) 都趋于零，

收稿日期:2011 － 04 － 15

基金项目:国家自然科学基金青年科学基金资助项目( 61005046) ; 陕西师范大学重点教学改革研究项目( ZDXMZYJS051) 作者简介:马丽娜( 1980—) ，女，青海西宁人，讲师，博士。研究方向: 不确定性推理。

5 期 第

马丽娜等: 关于洛必达法则证明的几点补充 81

( 2) 在点 a 的某去心邻域内，f '( x ) 及 F '( x ) 都存在且 F '( x ) ≠0，

f '( x )

存在( 或为无穷大) ，

x →a F '( x ) 那么

f ( x ) f ' ( x ) x →a F ( x ) x →a F '( x )

证明 因为在点 a 的某去心邻域内，f '( x ) 及 F ' ( x ) 都存在，则函数 f ( x ) 及 F ( x ) 在点 a 的这一去 心邻域内都连续，在点 a 处可能连续，也可能间断。

F ( a ) = limF ( x ) ① 若函数 f ( x ) 及 F ( x ) 在点 a 处连续，则由条件( 1) 可知，必有 f ( a ) = limf ( x ) = 0，= 0。设 x 是点 a 的这一邻域内的一点，那么在以 x 及 a 为端点的区间上，函数 f ( x ) 及 F ( x ) 满足柯西中 值定理的条件，因此有

f ( x ) f ( x ) － 0 f ( x ) － f ( a ) f ' ( ) F ( x ) F ( x ) － 0 F ( x ) － F ( a ) F '( ξ)

当 x →a 时，ξ→a ，两端求极限得

f ( x ) f ' ( ) = lim f ' ( x )

x →a lim F ( x ) = 0，② 若函数 f ( x ) 及 F ( x ) 在点 a 处间断，而lim f ( x ) = 0，则点 a 只能是函数 f ( x ) 及 F ( x )

x a x a → → 0，x = a 0，x = a

f ( x ) ，x ≠a F ( x ) ，x ≠a

，，的可去间断点，令 φ( x ) = ψ( x ) = 则函数 φ( x ) 及 ψ( x ) 在点 a 处连续。设 x

ξ→a

x →a

x →a

x →a

( ξ 在 x 与 a 之间)

{{

是点 a 的这一邻域内的一点，那么在以 x 及 a 为端点的区间上，函数 φ( x ) 及 ψ( x ) 满足柯西中值定理的 条件，因此有

( ) ( x ) ( x ) － 0 ( x ) － ( a ) '

ψ( x ) ψ( x ) － 0 ψ( x ) － ψ( a ) ψ ' ( ξ)

x →a 时，当 ξ→a ，则

= lim f ' ( x ) f ( x ) = lim = x →a x →a

ξ→a

x →a

( ξ 在 x 与 a 之间)

f ( x ) 在点 a 处连续，F ( x ) 在点 a 处间断以及函数 F ( x ) 在点 a 处连续，f ( x ) 在点 a 处间断 对于函数 的情形可以类似证明。

对于 x →a 的情形，书中给出了定理 2，但未给予证明，在此作一补充。

2 设 定理

( 1) 当 x →! 时，函数 f ( x ) 及 F ( x ) 都趋于零，

( 2) 当＞ N 时 f '( x ) 与 F '( x ) 都存在，F '( x ) ≠0， 且 f '( x )

存在( 或为无穷大) ，

x →! F '( x ) 那么 证明 令 t =

1 x

从而由定理 1 的结论知

f (

f ( x ) f ' ( x ) x →! F ( x ) x →! F '( x )

，当 x →! 时，t →0，则由条件( 1) 有lim f ( x ) = limf (

x →!

t →0

1

1

0，lim F ( x ) = limF ( ，

x →! t →0 t t

!

对于型未定式的洛必达法则书中没有给出定理及证明，本文加以补充。

!

1 1 1 1 ) f '( ·( － f '( )

t t = limt t = lim= lim= x t 0t 0t 0→! → → → x →! F ( x ) ( － 2 F ( ) F '( ) ·

F '( ) t t t

t

82 青海大学学报

3 设 定理

( 1) lim f ( x ) = lim ? F ( x = ! ，

( 2) 在点 a 的某去心邻域内，f '( x ) 及 F '( x ) 都存在且 F '( x ) ≠0， f '( x )

存在( 或为无穷大) ，

x →a F '( x )

x →a

x →a

29 卷 第

f ( x ) f ' ( x )

= x →a F ( x ) x →a F '( x )

f ( x ) f ( x )

证明 先证当lim ，必有lim 成立。 = x x →a F ( x ) x →a F ( x ) →a F '( x )

分两种情形考虑:

1 1

f ( x ) f ( x ) 0 1

lim ，① 当0 时，= lim由条件( 1) 知lim = 0，所以lim 为 型

1

x →a F ( x ) x →a F ( x ) x →a 1 x →a f ( x ) x →a F ( x ) x →a 1 0

f ( x ) f ( x )

未定式，所以由定理 1 可知

－ 1

1 ·F ' ( x )

2 f ( x ) F ' ( x ) F ( x ) F ( x ) ·lim = lim lim x →a x →a F x →a 1

f ( x ) ·f ' ( x )

f 2 ( x ) 2 f ( x ) ⎤ ⎡ f '( x ) f ' ( x ) f ( x ) f ( x ) ⎥ ⎢由该式可知lim ≠0，因为若lim = 0，则lim = lim F = ! ，与x →a F '( x ) x →a F '( x ) x →a F ( x ) x →a 1 x →a F ( x ) x →a ( x ) ⎢ f '

⎣ F '( x ) ⎦ f ( x )

f '( x ) F ' ( x ) lim 存在矛盾。又由条件( 3) 知，( 或为无穷大) ，则lim 必存在，从而有 x →a F '( x ) x →a f '( x )

1

f ( x ) 2 f ( x ) F ' ( x ) ·lim x →a F ( x ) x →a F ( x ) x →a f '( x ) x →a f ( x ) f ( x )

1 = lim 即 lim

x →a F ( x ) x →a f '( x )

那么

[

f ( x ) f ' ( x ) x →a F ( x ) x →a F '( x )

f ( x ) f ( x ) f ( x ) + kF ( x )

，② 当lim = 0 时，取常数 k ≠0，则有 k = lim + k = lim 因为 k ≠0，故可用①

x →a F ( x ) x →a x →a F ( x ) F ( x )

的结论，有

f ( x ) + kF ( x ) f ' ( x ) + kF ' ( x ) f ' ( x ) lim

+ k = lim

= limF ' ( x ) x →a x →a F ' ( x ) x →a F ( x ) lim f ' ( x ) 所以

+ k = k

x →a F '( x ) f ' ( x ) f ( x ) 则 = 0 = lim x →a F '( x ) x →a F ( x )

f ( x ) f '( x )

= ! 再证当= ! 时，

x →a F ( x ) x →a F '( x )

F ( x ) f '( x ) F '( x ) ，lim = 0，= = 0，= 时即! 则由②的结论可知! 当x

x →a f '( x ) x →a f ( x ) x →a F '( x ) →a F ( x )

4 设 定理

所以

[ ]

]

[ ]

5 期 第

马丽娜等: 关于洛必达法则证明的几点补充 83

( 1) limf ( x ) = limF ( x ) = ! ，

( 2) 当＞ X 时 f '( x ) 与 F '( x ) 都存在，F '( x ) ≠0， 且

f '( x )

存在( 或为无穷大) ，

x →! F '( x )

f ( x ) f ' ( x ) x →! F ( x ) x →! F '( x )

1 1 1 ［1］

证明令 t = ，当 x →! 时，t →0，则由条件( 1) 有lim f ( f ( x ) = ! ，lim F ( F ( x ) =

x →! x →! t →0 t →0 x t t

! ，从而由定理 3 的结论知，

1 1 1 1 f '( ) ·( － ) f ( ) f '( )

t t t t = lim= lim= limx ! = t 0t 0t 0→→ → → x ! →F ( x ) ( － 2 F ( ) F '( ) ·

F '( ) t t t

t

那么

x →!

x →!

2 结语

本文结合自身教学实践，针对教学过程中学生对洛必达法则存在的疑惑，对教材中洛必达法则的证 明1］ 利给予了详细的补充，帮助学生更好地理解定理的证明过程，也便于初学者自学。对于定理 3，文献［用微分中值定理进行了证明，但过程比较繁琐，初学者理解起来有一定的难度，本文则利用定理 1 的 结论对其进行了详细的证明，初学者更容易理解一些。当然，对于洛必达法则的证明还有其他更多简单 明了的证法，有待今后不断地去探索。

参考文献:

［1］ . 关于洛必达法则的补充证明［J ］. 连云港职业技术学院学报，2006，19( 4) : 79 － 80. 胥爱霞，归根元 ［2］ . 用牛顿莱布尼兹公式证明洛必达法则［J ］. 西北师范大学学报: 1998，34( 4) : 95. 张志军，萧礼 自然科学版，［3］ 代恩华 . 洛必达法则及斯铎兹定理的一种简便证法［J ］. 高等数学研究，2010，13( 5) : 51 － 54.

( 责任编辑 唐宏伟)

( 上接第 76 页)

矿地质条件较好，在预查区北区找到铜多金属矿、南区找金具有较大的潜力。从现今发现的矿化点情况 看，通过加大找矿力度，在该地区寻找铜及多金属矿还是有一定找矿前景，尤其是在深部找矿的潜力较 大。

参考文献:

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［3］ 赵呈祥，J ］. 青海国土经略，2005( 1) : 1 － 3. 张培表，崔明 . 对铜峪沟铜矿床成因的再认识及其找矿意义［［4］ . 青海铜峪沟铜矿床的矿化特征、J ］. 西北地质，2001( 4) : 30 － 42. 张汉文 形成环境和矿床类型［

［5］ 韩最忠，. 西宁: 青海省地球物理勘查队， 向运川 . 青海省兴海县在日沟 － 索拉沟地区铜( 铅、锌、银) 矿物化探普查评价报告［R ］

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( 责任编辑 唐宏伟)