基与维数的几种求法
线性空间基和维数的求法
方法一 根据线性空间基和维数的定义求空间的基和维数, 即:在线性空间V 中,如果有
n 个向量α1, , αn 满足:
(1)α1, α2 , αn 线性无关。
(2)V 中任一向量α总可以由α1, α2, , αn 线性表示。
那么称V 为n 维(有限维)线性空间,n 为V 的维数,记为dim v =n ,并称
α1, α2, , αn 为线性空间V 的一组基。
如果在V 中可以找到任意多个线性无关的向量,那么就成V 为无限维的。
例1 设V =X AX =0,A 为数域P 上m ⨯n 矩阵,X 为数域P 上n 维向量,求V 的维数和一组基。
解 设矩阵A 的秩为r ,则齐次线性方程组AX =0的任一基础解系都是V 的基,且V 的维数为n -r 。
{}
⎛0a ⎫
例2 数域P 上全体形如 对矩阵的加法及数与矩阵的乘法所组成⎪的二阶方阵,
-a b ⎝⎭
的线性空间,求此空间的维数和一组基。
解 易证
⎧⎛0a ⎫⎫⎛01⎫⎛00⎫
为线性空间, V =|a , b ∈p ⎨ ⎬的一组线性无关的向⎪ ⎪⎪
⎝-10⎭⎝01⎭⎩⎝-a b ⎭⎭
⎛0a ⎫⎛0a ⎫⎛01⎫⎛00⎫
量组,且对V 中任一元素 ⎪=a ⎪+b ⎪ ⎪有
a b 1001-a b ⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
按定义
⎛01⎫⎛00⎫
⎪, ⎪为V 的一组基,V 的维数为2。 ⎝10⎭⎝01⎭
方法二 在已知线性空间的维数为n 时,任意n 个向量组成的线性无关向量组均作成线性空间的基。
例3 假定R [x ]n 是一切次数小于n 的实系数多项式添上零多项式所形成的线性空间,证明:1, (x -1), (x -1), , (x -1)
2
n -1
构成R [x ]n 的基。
n -1
证明 考察k 1⋅1+k 2(x -1)+ +k n (x -1)
由x
n -1
=0
的系数为0得k n =0,并代入上式可得x n -2的系数k n -1=0
依此类推便有k n =k n -1= =k 1=0,
故1, (x -1), , (x -1)
n -1
线性无关
n -1
又R [x ]的维数为n , 于是1, (x -1), , (x -1)
n
为R [x ]的基。
n
方法三 利用定理:数域p 上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数。
例4 设A =
⎛0-1⎫
⎪,证明:由实数域上的矩阵A 的全体实系数多项式f (A )组成的
⎝10⎭
空间V =⎨f (A )|A =
⎧⎩⎛0-1⎫⎫
⎪⎬与复数域C 作为实数域R 上的线性空间10⎝⎭⎭
V ' ={a +bi |a,b ∈R }同构,并非求它们的维数。
证明 V 中任一多项式可记为f (A )=aE +bA , (a , b ∈R ),建立V 到V 的如下映射
'
σ:α1=a 1+bi 1→f 1(A )=a 1E +b 1A (a 1, b 1∈R )
易证σ是V 到V 上的单射,满射即一一映射。 再设α2=a 2+b 2i , a 2, b 2∈R , K ∈R ,则有
'
σ(α1+α2)=σ⎡⎣(a 1+a 2)+(b 1+b 2)i ⎤⎦=(a 1+a 2)E +(b 1+b 2)A =σ(α1)+σ(α2)
σ(k α1)=σ(ka 1+kbi 1)=ka 1E +ka 1A =k σ(x 1)
故σ是V 到V 的同构映射,所以V 到V 同构 另外,易证V 的一个基为1,i ,故dim V =2
'
'
' '
V V ' ∴dim V =2
方法四 利用以下结论确定空间的基:
设α1, α2, , αn 与β1, β2, , βn 是n 维线性空间V 中两组向量,已知β1, β2, , βn 可由
α1, α2, , αn 线性表出:
β1=a 11α1+a 21α2+ +a n 1αn
β2=a 12α1+a 22α2+ +a n 2αn βn =a 1n α1+a 2n α2+ +a nn αn
⎛a 11 令A = a 21
a ⎝n 1
a 12 a 1n ⎫
⎪
a 22 a 2n ⎪ a n 2 a nn ⎪⎭
如果α1, α2, , αn 为V 的一组基,那么当且仅当A 可逆时,β1, β2, , βn 也是V 的一组基。
例5 已知1, x , x 2, x 3是p [x ]4的一组基,证明1,1+x , (1+x ), (1+x )也是p [x ]4的一组基。
证明 因为
2
3
1=1⋅1+0⋅x +0⋅x 2+0⋅x 3 1+x =1⋅1+1⋅x +0⋅x 2+0⋅x 3
(1+x )(1+x )
2
=1⋅1+2⋅x +1⋅x 2+0⋅x 3 =1⋅1+3⋅x +3⋅x 2+1⋅x 3
3
10
且A =
[1**********]3
≠0 21
2
3
所以1,1+x , (1+x ), (1+x )也为p [x ]4的一组基。
方法五 如果空间V 中一向量组与V 中一组基等价,则此向量组一定为此空间的一组基。
例6 设R [x ]2表示次数不超过2的一切实系数一元多项式添上零多项式所构成的线性空间的一组基,证明x +x , x -x , x +1为这空间的一组基。
22
证明 k 1x +x +k 2x -x +k 3(x +1)=0
22
()()
则⎧
⎪
⎨k 1-k 2+k 3=0⎪k 3=0⎩
k 1+k 2=0
解得k 3=k 2=k 1=0
于是x 2+x , x 2-x , x +1线性无关,它们皆可由x 2, x ,1线性表示,因此
x 2+x , x 2-x , x +1与x 2, x ,1等价,从而R [x ]2中任意多项式皆可由x 2+x , x 2-x , x +1线
性表示,故x 2+x , x 2-x , x +1为R [x ]2的基。
方法六 利用下面两个定理:
定理一:对矩阵施行行初等变换和列变换,不改变矩阵列向量间的线性关系。
定理二:任何一个m ⨯n 矩阵A ,总可以通过行初等变换和列变换它为标准阶梯矩阵:
⎛I r ⎝0B ⎫
⎪,其中I r 表示r 阶单位矩阵。 0⎭
依据这两个定理,我们可以很方便地求出V 1 V 2的一个基,从而确定了维数。 例7 设V 1=L (α1, α2), V 2=L (β1, β2)是数域F 上四维线性空间的子空间,且
α1=(1,2,1,0), α2=(-1,1,1,1); β1=(2, -1,0,1), β2=(1, -1,3,7). 求V 1 V 2的一个基与维
数。
解 若r ∈V 1 V 2,则存在x 1, x 2, -y 1, -y 2∈F ,使
r =x 1α1+x 2α2=-y 1β1-y 2β2……(1)
即有x 1α1+x 2α2+y 1β1+y 2β2=0……(2)
若α1, α2, β1, β2线性无关,(2)仅当x =x 2=y 1=y 2=0时成立 那么V 1 V 2是零子空间,因而没有基,此时维数为0,V 1+V 2是直和 若存在不全为零的数x 1, x 2, y 1, y 2使(2)成立,则V 1 V 2有可能是非零子空间 若为非零子空间,由(1)便可得到基向量r 。
以α1, α2, β1, β2为列向量作矩阵A ,经行初等变换将A 化为标准阶梯形矩阵A 。
⎛1-121⎫⎛1
⎪ 21-1-10 ⎪ A =−−−−→ 1103⎪行初等变换 0 ⎪ 0117⎝⎭⎝0
100
0-1⎫
⎪04⎪
=A
13⎪
⎪00⎭
β2=-α1+4α2+3β1
∴r =-α1+4α2=-3β1+β2=(-5,2,3,4)是V 1 V 2的一个基 dim (V 1 V 2)=1
同时知,α1, α2是V 1的一个基,dim V 1=2
β1, β2是V 2的一个基,dim V 2=2
α1, α2, β1, β2是V 1+V 2的一个基,dim (V 1+V 2)=秩(A )=3
方法七 在线性空间V 中任取一向量α,将其表成线性空间V 一线性无关向量组的线性组合的形式,必要的话需说明向量组是线性无关的。这一线性无关向量组就是我们要找的基。
例8 求V 1=L (α1,α2) 与V 2=L (β1,β2) 的交的基和维数。
-1,0,1) ⎧α1=(1,2,1,0)⎧β1=(2,
设⎨,⎨
α=(-11,1,1) ,β=(1,-1,3,7) ⎩2⎩2
解 任取α∈V 1 V 2,则α∈V 1,α=x 1α1+x 2α2,且α∈V 2,α=y 1β1+y 2β2,
α=x 1α1+x 2α2=y 1β1+y 2β(注:此时α虽然已表成一线性组合的形式,但它仅仅
是在V 1、V 2中的表示,并非本题所求,即要在空间V 1 V 2中将α线性表出)
∴x 1α1+x 2α2-y 1β1-y 2β=0,求x 1, x 2, y 1, y 2
⎧x 1-x 2-2y 1-y 2=0⎪2x +x -y +y =0⎪1212
⎨
x +x -3y =02⎪12⎪⎩ x 2-y 1-7y 2=0
解得(x 1, x 2, y 1, y 2) =(k , -4k , -3k , k )
∴α=k (α1-4α2) =k (-3β1+β2) =k (5,-2,3,4)
故V 1 V 2是一维的,基是(5,-2,3, 4)
易知(5,-2,3, 4) 是非零向量,是线性无关的。
方法八 按维数公式求子空间的交与和的维数和基
维数公式:如果V 1V 是有限维线性空间V 的两个子空间,那么, 2
d i m (V 1)+d (i V m )=2i 1m +)V 2(d V
+
( d V 1i m ) V 2
例9 已知α1=(3, -1,2,1), α2=(0,1,0,2)β1=(1,0,1,3), β2=(2, -3,1, -6)求由向量
α1, α2生成的p 4的子空间V 1=L (α1, α2)与向量β1, β2生成的子空间V 2=L (β1, β2)的交
与和空间的维数的一组基。
解 因为V 1+V 2=L (α1, α2, β1, β2),对以α1, α2, β1, β2为列的矩阵施行行初等变换:
⎛3 -1 A = 2 ⎝1
0102
12⎫⎛0
⎪ 0-3⎪ -1
→
11⎪ 0
⎪ 3-6⎭⎝0000⎫
⎪
10-3⎪
=B
0-11⎪
⎪
00-3⎭
秩A =秩B =3,所以V 1+V 2的维数是3
且α1, α2, β1, β2为极大线性无关组,故它们是V 1+V 2的一组基。
又由α1, α2线性无关知V 1的维数为2,同理V 2的维数也为2,由维数公式知V 1 V 2的维数为(2+2)-3=1。
从矩阵B 易知β1+β2=α1-2α2, 故β1+β2=(3, -3,2, -3)是V 1, V 2公有的非零向量,所以它是交空间V 1 V 2的一组基。
方法九 由替换定理确定交空间的维数。
替换定理:设向量组α1, α2, , αr 线性无关,并且α1, α2, , αr 可由向量组
β1, β2, , βs 线性表出,那么
(1)r ≤s
(2)必要时可适当对β1, β2, , βs 中的向量重新编号,使得用α1, α2, , αr 替换
β1, β2, , βr 后所得到的向量组α1, α2, , αr , βr +1, , βs 与向量组β1, β2, , βs 等价。
特别,当r =s 时,向量组α1, α2, , αs 与向量组β1, β2, , βs 等价。
例10 已知向量组α1=(2,0,1,3), α2=(0,3,1,0), α3=(1,2,0,2), α4=(2,6,3,3), 设它们是向量组β1, β2, β3的线性组合,又设向量组r 1, r 2, , r m 与向量组β1, β2, β3等价,试求
r 1, r 2, , r m 生成的空间的交空间的基和维数。
⎛2
0解 1 ⎝2
03261103
3⎫⎛0-4⎪
0⎪ 03→
2⎪ 12⎪
3⎭⎝061-1⎫⎛0-7
⎪
10⎪ 03
→
02⎪ 12
⎪
20⎭⎝000-1⎫
⎪10⎪
02⎪
⎪00⎭
显然α1, α2, α3, α4线性相关,α1, α2, α3线性无关
由替换定理知α1, α2, α3与β1, β2, β3等价,进而知r 1, r 2, , r m 与α1, α2, α3等价 于是L (r 1, r 2, , r m )维数为3,基为α1, α2, α3; L (α1, α2, α4)维数为2,基为α1, α2, 因此,L (α1, α2, α4)⊂L (r 1, r 2, , r m )
故L (α1, α2, α4)与L (r 1, r 2, , r m )的交空间的基为α1, α2, 维数为2