概率论与数理统计习题(含解答,答案)

概率论与数理统计复习题（1）

一．填空.

1. P (A ) =0. 4, P (B ) =0. 3。若A 与B 独立，则P (A -B ) = ；若已知A , B 中至少有一个事件发生的概率为0. 6，则P (A -B ) = 。 2．p (AB ) =p () 且P (A ) =0. 2，则P (B ) = 。

3．设X ~N (μ, σ2) ，且P {X

P {X >0}= 。

4．E (X ) =D (X ) =1。若X 服从泊松分布，则P {X ≠0}= ；若X 服从均匀分布，则P {X ≠0}= 。

5．设X ~b (n , p ), E (X ) =2. 4, D (X ) =1. 44，则P {X =n }=

6．E (X ) =E (Y ) =0, D (X ) =D (Y ) =2, E (XY ) =1, 则D (X -2Y +1) = 。 7．X ~N (0, 9), Y ~N (1, 16) ，且X 与Y 独立，则P {-2

8．已知X 的期望为5，而均方差为2，估计P {2

ˆ均是未知参数θ的无偏估计量，且E (θˆ2) >E (θˆ2) ，则其中的统计量9．设θˆ1和θ212

有效。

10．在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信水平愈 愈好，而置信区间的长度愈 愈好。但当增大置信水平时，则相应的置信区间长度总是 。

二．假设某地区位于甲、乙两河流的汇合处，当任一河流泛滥时，该地区即遭受水灾。设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1；乙河流泛滥的概率为0.2；当甲河流泛滥时，乙河流泛滥的概率为0.3，试求：

（1）该时期内这个地区遭受水灾的概率；

（2）当乙河流泛滥时, 甲河流泛滥的概率。

三．高射炮向敌机发射三发炮弹（每弹击中与否相互独立），每发炮弹击中敌机的概率均为0.3，又知若敌机中一弹，其坠毁的概率是0.2，若敌机中两弹，其坠毁的概率是0.6，若敌机中三弹则必坠毁。（1）求敌机被击落的概率；（2）若敌机被击落，求它中两弹的概率。 四．X 的概率密度为f (x ) =⎨

的分布函数F(x)；

五．（X,Y ）的概率密度 f (x , y ) =⎨

⎧kx , 0

且E(X)=。（1）求常数k 和c ；(2) 求X

3其它⎩0,

⎧kx (2+y ), 2

。求 （1）常数k ；

otherwise ⎩0,

（2）X 与Y 是否独立；（3）ρXY ；

六．. 设X ，Y 独立，下表列出了二维随机向量（X ，Y ）的分布，边缘分布的部分概率，试将

其余概率值填入表中空白处.

七．. 某人寿保险公司每年有10000人投保，每人每年付12元的保费，如果该年内投保人死亡，保险公司应付1000元的赔偿费，已知一个人一年内死亡的概率为0.006。用中心极限定理近似计算该保险公司一年内的利润不少于60000元的概率.

概率与数理统计复习题（1）

一、填空

1.P(A-B)=0.28 P(A-B)=0.3

P(AB)=P(A)*P(B)=0.12 ⎫⎪分析: P(B)=0.3 ⎬ ⇒⎬ ⇒P(AB)=0.28

⎭ A,B独立 ⎪⎭P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

⎫P (AB ) =0.1⎫

⎬⇒⎬⇒P () =0.3

P(A+B)=0.6 P(A)=0.4 P(B)=0.3 ⎭P (A ) =0.4⎭

P(A)=0.4⎫

2. P (B ) =0.8

分析: A+B) =1-P (A +B ) =1-P (A ) +P (B ) -P (AB ) ⇒

[]

1-P (A ) -P (B ) =0⎫

⎬⇒P (B ) =0.8

P (A ) =0.2⎭

3. μ=2　　P {ｘ>0}=0.8

分析:P {ｘ

σσ⎝⎭

⎫

⎪⎪

⎬⇒P {x >0}=0.8

⎛4-2⎫-Φ⎛2-2⎫=0.3⇒Φ⎛2⎫=0.8⎪P {2

⎪⎝σ⎭⎝σ⎭⎝σ⎭⎭

1

4. P {x ≠0}=1-　　P {x ≠0}=1

e

　P {x>0}=1-P {x ≤0}=1-F (0)=1-Φ

⎛0-2⎫=1-Φ⎛-2⎫=Φ⎛2⎫

⎪ ⎪ ⎪⎝σ⎭⎝σ⎭⎝σ⎭

1-1⎫⎫

⎪P {x =k }=e ⎪

k! 分析:　　a. x 服从泊松分布, 则 ⇒k! ⎬⎬⇒

⎪E x =D x =1⇒λ=1⎪⎭P {x ≠0}=1-P {x =0}⎭

1

P {x ≠0}=1-

e

P {x=k}=

λk

e -λ

ｂ. x 服从均匀分布, 属连续分布, 则P {x =0}=0⇒P {x ≠0}=1-P {x =0}=1 5. P {x =n }=0.46

⎫

⎫⎪⇒n =6　　p =0.4⎪

分析:　　　x ~b(n,p) ⇒D x =np(1-p)⇒ ⎬n n n-n n ⎬x~b(n,p)⇒P x=n=C p q =p {}n ⎪⎭E(x)=2.4 D(x)=1.44 ⎪⎭

E x =np

P {x =n }=0.46

6. D (x-2y +1) =6

分析:　　D (x-2y +1) =D (x-2y) =D x +D (2y)+cov(x,-2y) =D x +4D y -2cov(x,y) =D x +4D y-2(Exy-ExEy)⎫　　　　　⎬⇒D (x-2y +1) =6

E(x)=E(y)=0 Dx=Dy=2 Exy=1⎭

1

7. P {-2

5

⎫2

⎫⎪⎧E (x-y) =E x -E y =0-1=-1⎫x -y~N(-1,5) 　⎪

分析:y ~N (1,16)⎬⇒⎨⇒⎬⎬⇒

⎩D (x-y) =D x +D y =9+16=25⎭P {-2

x, y 相互独立⎪⎭

x ~N (0,9)

-1-(-1)-2-(-1)11

)-Φ()=Φ(0)-Φ(-)=Φ()-0.55555

x , y 相互独立⇒cov(x,y)=0⎫

⎪

⇒ρxy =0⎬　ρ⎪⎭

7

8.P {2

9

P {

-2

⎫⎪ε2

⎪27⎪

分析:由切比雪夫不等式 E x =5 ⇒P {2

39⎪

D x =2⎪

⎪⎭

P {x -E x

9. θ2

^

D x

θ1与θ2均是未知参数的无偏估计⇒E (θ2) =E (θ2) =E θ⎫⎪

分析:

D (θ1) =E (θ1) -(E θ1) ⇒E (θ1) =D (θ1) +E (θ1) 2D (θ2) =E (θ2) -(E θ2) ⇒E (θ2) =D (θ2) +E (θ2) 　　　　　　　　　　　　　　　　E (θ1) >E (θ2)

^

^

^

^

2

^

2

^

2

^

^

^

^

2

^

2

^

2

^

^

^^^^

⎪^^^⎪

⎬⇒D (θ1) >D (θ2) ⇒θ2更有效⎪⎪⎪⎭

10. 高, 小, 变大

二. 解:A1:甲河流泛滥　　　　A 2:乙河流泛滥　　　B:某地区受灾

⎫⎪

⎫⎪⎪⎪ P(A1)=0.1⎪⎪(1)⎬⇒P (B ) =0.1+0.2-0.03=0.27⎪

P(A2)=0.2⎬⇒P (A 1A 2) =0.03⎪

⎪⎪A 2P(A1A 2)

P()=0.3⇒=0.3⎪⎪A 1P(A1) ⎪⎪⎭⎭

P(B)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)-P(A1A 2)

(2)P (

A 1P(A1A 2) 0.03) ===0.15 A 2P(A2) 0.2

三. 解:设A i =敌机中了弹　　　　B =敌机被击落P (

B B B ) =0.2, P () =0.6, P () =1A 1A 2A 3

3

3

B B i

P (B ) =∑P (A i )*P () =∑C 3*(0.3)i (0.7)3-i *P () =0.2286

A i A i i =1i =1

P (

A 2

) =B

P (A 2)*P (

P (B )

B ) A 2

=0.496

四、解：由密度函数的性质及数学期望的定义，有

①

⎧⎰0f (x ) =1⎨c x ⋅f (x ) =2

3⎩⎰0

c

即

⎧⎰0kxdx =1

⎨c kx 2dx =2

3⎩⎰0

c

}{

c =1

⇒k =2

②由①知x 的密度函数为当x ≤0时 F (x )=0； 当0

f (x ) ={

⎰

x

2x 0

-∞

f (t )dt =

⎰

x

2tdt =x 2

⎰

x

-∞

f (t )dt =

⎰

1

2xdx =1

∴F (x )

x ≤0⎧0

⎪

=⎨x 2∞

⎪1x ≥1⎩

4

2

五、由（x 、y ）联合密度的性质有： ①．

⎰-∞⎰-∞(x , y )dxdy =1 即⎰2⎰0kx (2+y )dxdy

+∞+∞

=1⇒k =

1

36

⎧1⎪x (2+y )2

②． 由①可求出（x ，y ）的联合密度：f (x , y )=⎨36

其他⎪0⎩

f X (x )=⎰f (x , y )dy =⎰

+∞

2

04

11

x (2+y )dy =x (0

11

f Y (y )=⎰f (x , y )dx =⎰x (2+y )dx =(2+y ) (2

-∞2366

⎧1

⎪x 0

∴f X (x )⎨6 f Y (y )=

其他⎪⎩0⎧1

⎪(2+y )2

⎨6

其他⎪0⎩

∴f (x , y )=f X (x )⋅f Y (y ) 故x, y 相互独立。

③． 由②知(x , y )相互独立。

∴ρxy =0

六、略

七、解：令x 为一年内死亡人数，题中10000人投标，每人每年死亡率0.006且每人每年死亡相互独立，故x~ N（10000*0.006，10000*0.006*0.994）即x~ N（60，59.64）

设A ：保险公司一年内的利润不少于60000元。即A ：10000*12-1000x≥60000⇒x ≤60

⎛60-60⎫

P (A )=P {x ≤60}=Φ0(60)=Φ0 ⎪ ⎪=Φ0(0)=0. 5

⎝. 64⎭

∴该保险公司一年的利润不少于60000元的概率为0. 5

概率论与数理统计复习题（2）

一. 选择题（18分，每题3分）

1．设A , B 为随机事件，且P (B |A ) =1，则必有

(A ) A 是必然事件；(B ) P (B |) =0；(C ) A ⊂B ； (D ) A ⊃B .

2．口袋中有6只红球，4只白球，任取1球，记住颜色后再放入口袋。共进

行4次，记X 为红球出现的次数，则X 的数学期望E (X ) =

1624442⨯6(A ) ； (B ) ； (C ) ； (D ) .

10101010

3．设随机变量X 的分布密度函数和分布函数为f (x ) 和F (x ) , 且f (x ) 为偶函数, 则对任意实数a , 有

(A ) F (-a ) =

a a 1

-⎰f (x ) dx (B ) F (-a ) =1-⎰f (x ) dx

020

(C ) F (-a ) =F (a ) (D ) F (-a ) =2F (a ) -1

4．设随机变量X 和Y 相互独立, 且都服从(0, 1) 区间上的均匀分布, 则仍服从

均匀分布的随机变量是

(A ) Z =X +Y (B ) Z =X -Y (C ) (X , Y ) (D ) (X , Y 2)

5．已知随机变量X 和Y 都服从正态分布:X ~N (μ, 4) , Y ~N (μ, 3) , 设

2

2

p 1=(X ≥μ+4) , p 2=P (Y ≤μ-3) , 则(A ) 只对μ的某些值, 有p 1=p 2 (B ) 对任意实数μ, 有p 1

p 2 (D ) 对任意实数μ, 有p 1=p 2

6．设X ~N (μ, σ) , σ未知，则μ的置信度为95%的置信区间为

2

2

(A ) (±

σ

n

t 0. 025) (B ) (±

S n

S n

t 0. 025)

(C ) (±

σ

n

t 0. 05) (D ) (±t 0. 05)

二. 填空题（21分，每题3分）

1． 已知随机事件A ，B 有概率P (A ) =0. 7，P () =0. 8，条件概率P (|A ) =0. 6，则

P (A ⋃B ) = ．

2. 已知随机变量(X , Y ) 的联合分布密度函数如下, 则常数K =

⎧K y (1-x ), 0≤x ≤1, 0≤y ≤x ;

f (x , y ) =⎨

0, 其它。⎩

3 某人射击直到中靶为止, 已知每次射击中靶的概率为0.75. 则射击次数的数 学期望与方差分别为E (X ) = ,D (X )

4. 已知二维随机变量(X , Y ) 的联合分布函数为F (x , y ) ，试用F (x , y ) 表示概率

P (X >a , Y >b ) =

ˆ1=kX 1+3X 2+(2-2k ) X 3是μ的无偏 5. 设X 1, X 2, X 3是取自N (μ, 1) 的样本，μ

估计量则常数k =

6．设（X 1, X 2, , X 6）是来自正态分布N (0, 1) 的样本，

Y =(∑X i ) +(∑X i ) 2

2

i =1

i =4

36

当c ＝ 时， cY 服从χ分布，E (χ) ＝ . 7．设离散型随机变量(X , Y ) 的联合分布律为

22

(X , Y ) (1, 0) (1, 1) (2, 0) (2, 1)

P 0. 4 0. 2 a b

若E (XY ) =0. 8，则cov(X , Y ) = .

三. 计算题 （54分，每题9分）

1．某种产品分正品和次品，次品不许出厂。出厂的产品n 件装一箱，并以箱为单位出售。由于疏忽，有一批产品未经检验就直接装箱出厂，某客户打开其中的一箱，从中任意取出一件，求：

（1）取出的是件正品的概率； （2）这一箱里没有次品的概率 2．设二维随机变量（X,Y ）在区域 G ={(x , y ) |0≤x ≤1, |y |≤x } 上服从

均匀分布。求：边缘密度函数f X (x ), f Y (y ) .

4；0. 1，9；0）3．已知随机变量(X , Y ) ~N (0. 5，，Z =2X -Y ，

试求：方差D (Z ) ，协方差COV (X ，Z ) ，相关系数ρX Z

4．学校某课程的考试，成绩分优秀，合格，不合格三种，优秀者得3分，合格者得2分，不

合格者得1分。根据以往的统计，每批参加考试的学生中考得优秀、合格、不合格的，各占20％、70％、10％。现有100位学生参加考试，试用中心极限定理估计100位学生考试的总分在180至200分之间的概率。

（Φ(1. 856) =0. 9680）

5．设X 1, X 2, , X n 是取自总体X 的一个样本，总体

⎧⎪x

X ~f (x , θ) =⎨

⎪⎩0,

-1

, x ∈(0, 1) x ∉(0, 1)

，(θ>0) 。

试求：(1) 未知参数θ的矩估计量θ；(2) 未知参数θ的极大似然估计量θL ；

(3) E (X ) 的极大似然估计量.

6．某种产品的一项质量指标X ~N (μ，σ2) ，在5次独立的测试中，测得数

据（单位：cm ） 1.23 1.22 1.20 1.26 1.23试检验（α=0.05） （1） 可否认为该指标的数学期望μ=1.23cm ？

（2） 若指标的标准差σ≤0. 015，是否可认为这次测试的标准差显著偏大？

附 分布数值表

2

Φ(1. 45) =0. 926, Φ(1. 62) =0. 9474, Φ(1. 30) =0. 9032, Φ(2. 33) =0. 99

t 0. 025(4) =2. 7764, t 0. 025(5) =2. 5706, t 0. 05(4) =2. 1318, t 0. 05(5) =2. 0150

2222χ0, χ0χ0. 025(4) =11. 143. 975(4) =0. 484, χ0. 05(4) =9. 488, . 95(4) =0. 711

概率论与数理统计复习题（2）答案

一. 选择题（18分，每题3分） c b a c d b

二. 填空题（21分，每题3分）

1． 0. 62； 2． 24； 3． 4/3 9/4 4． 1+F (a , b ) -F (a , +∞) -F (+∞, b ) ；

5． 4 ； 6． 1/3 2； 7． 0,1 三. 计算题（54分，每题9分）

1． 解：令 A={取出为正品}， B t ={箱子中有t 个正品}，t =0, 1, 2, , n . 由已知条件，P (B t ) =

1t

，P (A B t ) =, t =0, 1, 2, , n ， n +1n

n

11n 1

（1）由全概率公式，P (A ) =∑P (B t ) P (A B t ) =, t =∑n +1n t =02t =0

（2）由Bayes 公式，P (B n A ) =

P (B n ) P (A B n )

P (A )

=

1

.

2(n +1)

⎧2x

2. 解： f X (x ) =⎨

⎩0

⎧1+y ⎪

f Y (y ) =⎨1-y

⎪0⎩

0

其他

-1

0

3．解：E (Z ) =0. 9 D (Z ) =25

cov(X , Z ) =8

ρXZ =

4

5

4．解：设X i 为第I 位学生的得分(i =1, 2, 100) ，则总得分X =

∑X

i =1

100

i

E (X i ) =1. 9 D (X i ) =0. 29 E (X ) =100⨯1. 9=19 D (X ) =100⨯0. 29

P (180

200-190180-190

) -Φ() 2929

=2Φ(1. 856) -1=0. 936

⎛5．解：（1） 矩估计量 θ= 1-⎝

（2） 极大似然估计量 θL =

⎫⎪⎪ ⎭

2

2

n 2

⎛⎫ ∑ln X i ⎪⎝i -1⎭

n

ˆ(X 2) =θL =（3） E (X ) 的极大似然估计量 E

θL +2

2

n 2

n 2+2(∑ln X i ) 2

i =1n

7. 解：（1）假设 H 0:μ=1.23; H 1:μ≠1.23. 当H 0为真，检验统计量 T =

-μ0S /n

~t (n -1)

t α(n -1) =t 0.025(4)=2.7764 ， 拒绝域 W =(-∞, -2.7764]⋃[2.7764,+∞)

2

=1.246, s 2=0.02882， [ =1.23, s 2=0.02242 ]

T 0=1.242∉W ，接受H 0. [ T 0=3. 571∈W ，拒绝H 0 ]

（2）假设 H 0:σ2=0.0152; H 1:σ2>0.0152.

当H 0为真，检验统计量 χ=

2

(n -1) S 2

2

σ0

~χ2(n -1)

22χα(n -1) =χ0.05(4)=9.488， 拒绝域 W =[9.488,+∞) . 2χ0=14.86∈W ，拒绝H 0 .

概率论与数理统计复习题（3）

一．判断题（10分，每题2分）

1. 在古典概型的随机试验中，P (A ) =0当且仅当A 是不可能事件 ( ) 2．连续型随机变量的密度函数f (x ) 与其分布函数F (x ) 相互唯一确定 ( ) 3．若随机变量X 与Y 独立，且都服从p =0. 1的 (0，1) 分布，则X =Y ( ) 4．设X 为离散型随机变量, 且存在正数k 使得P (X >k ) =0，则X 的数学期望

E (X ) 未必存在( )

5．在一个确定的假设检验中，当样本容量确定时, 犯第一类错误的概率与犯第

二类错误的概率不能同时减少 ( ) 二．选择题（15分，每题3分）

1. 设每次试验成功的概率为p (0

得r (1≤r ≤n ) 次成功的概率为 . (a) C n -1p (1-p ) (c) C n -1p

r -1

r -1r -1

r

n -r

； (b) C n p (1-p )

r r n -r

；

(1-p ) n -r +1； (d) p r (1-p ) n -r .

2. 离散型随机变量X 的分布函数为F (x ) ，则P (X =x k ) = (ａ) P (x k -1≤X ≤x k ) ； (ｂ) F (x k +1) -F (x k -1) ； (ｃ) P (x k -1

) 的分布函 3. 设随机变量X 服从指数分布，则随机变量Y =max (X , 2003

数 .

(ａ) 是连续函数； (ｂ) 恰好有一个间断点； (ｃ) 是阶梯函数； (ｄ) 至少有两个间断点.

4. 设随机变量(X , Y ) 的方差D (X ) =4, D (Y ) =1, 相关系数ρXY =0. 6, 则

方差D (3X -2Y ) = .

(ａ) 40； (ｂ) 34； (ｃ) 25.6； (ｄ) 17.6

5. 设(X 1, X 2, , X n ) 为总体N (1, 2) 的一个样本，X 为样本均值，则下列结论中正

确的是 .

2

1n

(ａ) ~t (n ) ； (ｂ) ∑(X i -1) 2~F (n , 1) ；

4i =12/n

-1

1n

(ｃ) ~N (0, 1) ； (ｄ) ∑(X i -1) 2~χ2(n ) .

4i =12/n

-1

二. 填空题（28分，每题4分）

1. 一批电子元件共有100个, 次品率为0.05. 连续两次不放回地从中任取

一个, 则第二次才取到正品的概率为 2. 设连续随机变量的密度函数为f (x ) ，则随机变量Y =3e X 的概率密度函数

为f Y (y ) =

3. 设为总体X ~N (3, 4) 中抽取的样本(X 1, X 2, X 3, X 4) 的均值, 则

P (-1

4. 设二维随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为

⎧1, y

f (x , y ) =⎨

0, 其他⎩

则条件密度函数为, 当 时 ,f Y

2

X

(y x ) =

5. 设X ~t (m ) , 则随机变量Y =X 服从的分布为需写出自由度 )

2

6. 设某种保险丝熔化时间X ~N (μ, σ) （单位：秒），取n =16的样本，得

样本均值和方差分别为=15, S =0. 36，则μ的置信度为95%的单侧 置信区间上限为

7. 设X 的分布律为

X 1 2 3

2

P θ2 2θ(1-θ) (1-θ) 2

已知一个样本值(1, x 2, x 3) =(1, 2, 1) ，则参数的极大似然估计值 为

三. 计算题（40分，每题8分）

1. 已知一批产品中96 %是合格品. 检查产品时，一合格品被误认为是次品的 概率是0.02；一次品被误认为是合格品的概率是0.05．求在被检查后认 为是合格品的产品确实是合格品的概率

2．设随机变量X 与Y 相互独立，X ，Y 分别服从参数为λ, μ(λ≠μ) 的指数 分布，试求Z =3X +2Y 的密度函数f Z (z ) .

3．某商店出售某种贵重商品. 根据经验，该商品每周销售量服从参数为λ=1 的泊松分布. 假定各周的销售量是相互独立的. 用中心极限定理计算该商店一年内（52周）售出该商品件数在50件到70件之间的概率. 4. 总体X ~N (μ, σ2) ，(X 1, X 2, , X n ) 为总体X 的一个样本.

求常数 k , 使k

∑X

i =1

n

i

-为σ 的无偏估计量.

5．（1） 根据长期的经验，某工厂生产的特种金属丝的折断力X ~N (μ, σ2)

（单位：kg ）. 已知σ=8 kg， 现从该厂生产的一大批特种金属丝中 随机抽取10个样品，测得样本均值x =575. 2 kg. 问这批特种金属丝的 平均折断力可否认为是570 kg ？ （α=5%）

（2） 已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布N (μ, 0. 0482) . 某日抽取

5个样品，测得其纤度为: 1.31， 1.55， 1.34， 1.40， 1.45 . 问 这天的纤度的总体方差是否正常？试用α=10%作假设检验. 四. 证明题（7分）

设随机变量X , Y , Z 相互独立且服从同一贝努利分布B (1, p ) . 试证明随机变量

X +Y 与Z 相互独立.

附表： 标准正态分布数值表 χ分布数值表 t分布数值表

2

Φ(0. 28) =0. 6103χ0 . 05(4) =9. 488t 0. 025(15) =2. 13152Φ(1. 96) =0. 975χ0. 95(4) =0. 711t 0. 05(15) =1. 7531 2Φ(2. 0) =0. 9772χ0. 05(5) =11. 071t 0. 025(16) =2. 1199 2Φ(2. 5) =0. 9938χ0. 95(5) =1. 145t 0. 05(16) =1. 7459

2

概率论与数理统计复习题（3）参考答案

一. 判断题（10分，每题2分） 是 非 非 非 是 . 二. 选择题（15分，每题3分） （ａ）（ｄ）（ｂ）（ｃ）（ｄ）. 三. 填空题（28分，每题4分）

f [ln(y /3)])⎧1

1.1/22 ； 2. f Y (y ) =⎨y >0

； 3.0.9772 ； ⎩

0y ≤0

4. 当0

Y

X

(y x ) =⎧⎨1/(2x ) ⎩0

其他

；

5. F (1, m ) 6. 上限为 15.263 . 7. 5 / 6 .

四. 计算题（40分，每题8分）

1. 被查后认为是合格品的事件，抽查的产品为合格品的事件. (2分)

P (A ) =P (B ) P (A B ) +P () P (A ) =0. 96⨯0. 98+0. 04⨯0. 05=0. 9428，P (B A ) =P (B ) P (A B ) /P (A ) =0. 9408/0. 9428=0. 998. (2f ⎧λe -λx

2. x >0

y >0X (x ) =⎨

其他 f (y ) =⎧⎨μe -μy ⎩0

Y ⎩0

其他

(1

分)

z ≤0时，F Z (z ) =0，从而 f Z (z ) =0； (1z ≤0时， f Z (z ) =

1+∞⎰

-∞f X (x ) f Y [(z -3x ) /2]dx (2=

⎰

z /32

λμe -λx -μ[(z -x ) /2]dx =

λμ

(e -λz /3-e -μz /23μ-2λ

) (2所以

⎧λμ

f ⎪

(e -λz /3-e -μz /2⎨⎪3μ-2λ), z >0Z (z ) =

⎩0,

z ≤0⎧λμ

[ f ) =⎪

(e -λz /2-e -μz /3), z >0Z (z ⎨2μ-3λ ] (2⎪⎩0,

z ≤03. 设 X i 为第i 周的销售量, i =1, 2, , 52 X i ~P (1) (1分)

分)

分) 分) 分)

分)

分)

(4

则一年的销售量为 Y =

∑X

i =1

52

i

，E (Y ) =52, D (Y ) =52. (2分)

由独立同分布的中心极限定理，所求概率为

⎛⎫⎛⎫⎛⎫

P (50

⎪ ⎪ ⎪

⎭⎝⎝⎭⎝⎭

=Φ(2. 50) +Φ(0. 28) -1=0. 9938+0. 6103-1=0. 6041. (1分)

4. 注意到

X i -X =

1

(-X 1-X 2 +(n -1) X i - -X n )n

n -12

E (X i -) =0, D (X i -X ) =σ

n

⎛n -12⎫

X i -X ~N 0, σ⎪z 2

-n ⎝+∞⎭2

2σ1n

E (|X i -|)=⎰|z |e dz

-∞

n -12πn

(2分)

(1分)

=2⎰

+∞

z

1

e n -12πn

n

-

z 2

22σn

dz =2n -12πn

n

σ令=σ

(3分)

⎛⎫⎛⎫E k ∑|X i -|⎪=k ∑E |X i -|⎪⎝i =1⎭⎝i =1⎭

k =

n

2π

=kn

π2n (n -1)

（2分）

5. (1) 要检验的假设为 H 0:μ=570, H 1:μ≠570 (1分)

检验用的统计量 U =

-μ0

σ/n

~N (0, 1) ，

拒绝域为 U ≥z α(n -1) =z 0. 025=1. 96. (2分)

U 0=

575. 2-5708/=0. =2. 06>1. 96，落在拒绝域内，

故拒绝原假设H 0，即不能认为平均折断力为570 kg . [ U 0=

571-569. 29/=0. 2=0. 632

故接受原假设H 0，即可以认为平均折断力为571 kg . ] (1分)

(2) 要检验的假设为 H 0:σ2=0. 0482, H 1:σ2≠0. 0482 (1分)

[H 0:σ2=0. 792, H 1:σ2≠0. 792]

检验用的统计量 χ=

2

∑(X

i =1

5

i

-) 2

~χ2(n -1) ，

2σ0

拒绝域为 χ2>χ2(n -1) =χ2

α0. 05(4) =9. 488 或

χ2

1-α(n -1) =χ2

0. 95(4) =0. 711 (2 =1. 41 [=1. 49]

χ2

0=0. 0362/0. 0023=15. 739>9. 488, 落在拒绝域内， [χ20=0. 0538/0. 6241=0. 086

故拒绝原假设H 0，即认为该天的纤度的总体方差不正常 . (1五、证明题 (7分) 由题设知

X X +Y P q

p P q 2 2pq p 2 (2P (X +Y =0, Z =0) =q 3=P (X +Y =0) P (Z =0) ； P (X +Y =0, Z =1) =pq 2=P (X +Y =0) P (Z =1) ；

P (X +Y =1, Z =0) =2pq 2

=P (X +Y =1) P (Z =0) ；

P (X +Y =1, Z =1) =2pq 2=P (X +Y =1) P (Z =1) ； P (X +Y =2, Z =0) =pq 2=P (X +Y =2) P (Z =0) ；

P (X +Y =2, Z =1) =p 3=P (X +Y =2) P (Z =1) . 所以 X +Y 与Z 相互独立. (5

分)

分) 分)

分)

概率论与数理统计复习题（4）及参考答案

1：

6个毕业生, 两个留校, 另4人分配到4个不同单位, 每单位1人. 则分配方法有___________种.

答(6⨯5⨯4⨯3) =360.

2：

3：

4：

5

：

6：

7：

8：

9：

10：

设假设检验中犯第一类弃真错误的概率为α, 犯第二类取伪错误的概率为β, 为了同时减少α和β, 那么只有_______.

答：增大样本容量 二： 11：

12：

13：

14：

15：

16：

17：

18:

19:

20：

21：证明题：

复习题（5）答案与评分标准

一．填空题（2'⨯14=28'）

1．已知P (A ) =

1111, P (B A ) =, P (A B ) =, 则P (A B ) = 。

3432

2．有零件8件，其中5件为正品，3件为次品。从中任取4件，取出的零件中有2件正品2

224

件次品的概率为C 5⋅C 3C 8=；

3．抛掷均匀的硬币，直到出现正面向上为止，则抛掷次数X 的概率分布为

P (X =k ) =0. 5⋅0. 5k -1=0. 5k , k =1, 2, ，X 服从分布G (0. 5) 。

⎧c

⎪, x ≥1

4．设随机变量X 的密度函数为p (x ) =⎨x 2 ，则常数c = 1 ，X 的分布函数

⎪⎩0, x

⎧⎪0, x ≤1

F (x ) =⎨。

1-, x >1⎪⎩

5．设随机变量X 的密度函数为p X (x ) =⎨

⎧2x , 0

，则随机变量Y =X 的密度函

⎩0, 其他

数p Y (y ) =⎨

⎧1, 0

。

⎩0, 其它

6．已知(X , Y ) 的联合分布函数为F (x , y ) ，且a

F (b , d ) -F (b , c ) -F (a , d ) +F (a , c ) 。

7．设X ~N (1, 2) ，Y ~N (3, 4) ，且X 和Y 相互独立，则Z =2X +Y 的密度函数

p Z (z ) =

126π

e

-

(z -5) 224

, -∞

8．(X , Y ) ~N (1, 0, 4, 9, 0. 5) ，则Y ~N (0, 9) ，E [(X -Y ) 2]= 9．设(X , Y ) 的联合概率分布为

则X 的概率分布为

相关系数ρXY =-

2。 3

1n

10．设随机变量X 1, X 2 , X n 独立同分布, EX 1=μ, DX 1=8, 记Y n =∑X i ，则用

n i =1

切比雪夫不等式估计P (Y n -μ

2。 n

二．简答题（6'）

叙述数学期望和方差的定义（离散型），并且说明它们分别描述什么？ 数学期望：

（2分） ∑x p 绝对收敛，则EX =∑x p 。

i

i

∞

∞

i i

i =1i =1

EX 描述X 取值的平均。（1分）

方差： E (X -EX ) 2存在，则DX =E (X -EX ) 2（2分）

DX 描述X 相对于EX 的偏差。（1分）

三．分析判断题（判断结论是否正确，并说明理由，5'⨯2=10'）

1．设随机变量X 的分布函数为F (x ) ，a

如X 为连续型随机变量，则P (a ≤X ≤b ) =F (b ) -F (a ) ；如X 为离散型随机变量，且

P (X =a ) ≠0，则P (a ≤X ≤b ) ≠F (b ) -F (a ) （或举反例）。（3分）

2．若随机变量X 和Y 不相关，则D (X -Y ) ≥DX 。 正确。（2分）

D (X -Y ) =DX +DY -2Cov (X , Y )(1分）=DX +DY （1分) ≥DX （1分）.

四．计算题（10'+10'+18'+8'+10'=56'）

1．（4'+3'+3'=10'）进行4次独立试验，在每次试验中A 出现的概率均为0. 3。如果A 不出现，则B 也不出现；如果A 出现一次，则B 出现的概率为0. 6；如果A 出现不少于两次，则B 出现的概率为1。试求：

（1）4次独立试验中A 出现 i 次的概率(0≤i ≤4) ； （2）B 出现的概率；

（3）在B 出现的情况下，A 出现一次的概率。 记X 为4次独立试验中A 出现的次数， （1）P (X =i ) =C 40. 30. 7

i

i

4-i

, i =0, 1, 2, 3, 4; （4分）

（2）P (B ) =

∑P (X =i ) P (B |X =i ) （1分）

i =0

4

4

=C ⋅0. 3⋅0. 7⋅0. 6+

14

3

∑C

i =2

i 4

0. 3i ⋅0. 74-i （1分）

=0. 59526（1分）

1

⋅0. 3⋅0. 73⋅0. 6P (X =1) P (B |X =1) C 4

（3）P (X =1|B ) ===0. 4149（3分）

P (B ) 0. 59526

2．（5'+5'=10'）向某一个目标发射炮弹，设弹着点到目标的距离X （单位：米）的密度

函数为

⎧2

p (x ) =⎪1-

x ⎨2500, x >0 ， ⎪1250xe

⎩

0, x ≤0如果弹着点距离目标不超过50米时，即可摧毁目标。 求：（1）发射一枚炮弹，摧毁目标的概率；

（2）至少应发射多少枚炮弹，才能使摧毁目标的概率大于0. 95？ x 2

（1）p =P (X ≤50) =

⎰

50

1-

2500

1250

xe dx =1-e -1（5分）

（2）设至少发射n 枚炮弹，则 1-e

-n

≥0. 95，（3分） n ≥3（2分）

3．（6'⨯3=18'）设二维随机向量(X , Y ) 的联合密度函数为

p (x , y ) =⎧⎨C , 0

,

，

⎩0其他试求：（1）常数C ；

（2）边际密度函数p X (x ), p Y (y ) ，并讨论X 和Y 的独立性； （3）P (2Y

（1）C ⎰10

dx

⎰

x

x 2

dy =1（3分）

C =6 （3分）

（2）p ⎧6(x -x 2), 0

1

x （3）P (2Y

⎰2dx ⎰20

x 2

6dy （4分）

0

其它

（2分）

=

1

（2分） 8

4．（8'）如果你提前s 分钟赴约，花费为cs （单位：元）；如果迟到s 分钟，花费为ks （单位：元）。假设从现在的位置到赴约地点所用的时间X ~U [10, 30]（单位：分钟）。欲使平均花费最小，确定应该提前离开的时间。 设赴约前t 分钟离开，则花费

⎧c (t -X ), X ≤t

C =f (X ) =⎨，(3分)

k (X -t ), X >t ⎩EC =Ef (X ) =⎰f (x ) p (x ) dx

1030

=⎰c (t -x )

3011c k

+⎰k (x -t ) dx =(+) t 2-(10c +30k ) t +(50c +450k ) （3分）

10t 202022

10c +30k

EC 最小，t *=（2分）

c +k t

5．（10'）已知红黄两种番茄杂交的第二代结红果的植株与结黄果的植株的比率为3:1。现种植杂交种400株，试求结黄果植株介于83到117之间的概率。 记X 为结黄果植株数，则X ~B (400, ) （3分），

1

4

⎛117-400⋅0. 25⎫⎛83-400⋅0. 25⎫

P (87≤X ≤117) ≈Φ ⎪-Φ ⎪ ⎪ ⎪（4分）

⎝400⋅0. 25⋅0. 75⎭⎝400⋅0. 25⋅0. 75⎭

=2Φ(1. 96)-1=0. 95（3分） 参考数据：

Φ(1. 65) =0. 95, Φ(1. 69) =0. 954, Φ(1. 96) =0. 975.

复习题（6）

一、 单项选择（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，并将答案其代码填

入题干后的括号内，每题2分，共20分） 1. 设随机事件A,B 互斥，则P (A ⋃B ) =（ ） A 1-P (A ) -P (B ) B 1-P (A ) C P (A ) +P (B ) D P

(A ) P (B )

2. 设P(A) =0.6，P(B) =0.3，P(AB) =0.1，则P(B-A) =（ ） A 0.3 B 0.2 C 0.5 D 0.4

P (B -A ) =P (B ) -P (BA )

3. 甲、乙、丙三人各自独立地向某一目标射击一次，三人的命中率分别为0.5，0.6和0.7，则至多有两人击中目标的概率为 （ ） A 0.09 B 0.21 C 0.44 D 0.79

4. 已知随机变量X ~B (n , p ) ，且已知E (X ) =6，D (X ) =2则P (X ≥1) =（ ）

⎛2⎫⎛2⎫⎛1⎫A 1- ⎪ B ⎪ C 1- ⎪ D ⎝3⎭⎝3⎭⎝3⎭

X~B(n,p)二项分布, E (X ) =np , D (X ) =npq

999

⎛1⎫

⎪⎝3⎭

9

k k C n p (1-p ) n -k

5. 已知随机变量X 和Y 相互独立, 且都服从参数为λ的泊松分布，则X+Y与2X 的关系是

A 数学期望相等 B 相同的分布 C 方差相等 D以上均不成立

6. 设随机变量X 服从N(μ,1), φ(x) 为标准正态分布的分布函数, P(X≤μ)=

7. 设随机变量X 的分布列为:

设F(X)A 0.2 B 0.4 C 0.8 D1 F(x)=P{X≤x}称为X 的分布函数

所以F （2）=p(x=0)+p(x=1)+p(x=2)=0.1+0.3+0.4=0.8

8. 设X 1ΛX 2为取自总体的X 的样本, E (X ) =μ, D (X ) =σ2, 则以下结论正确的一个是( ) A

∑

i =1

n

X i 是μ的无偏估计量 B X 是σ的无偏估计

2

2

2

C X i 2是σ 的无偏估计 D X 是μ的无偏估计 9. 设总体X ~ N μ, σ

(

2

)，σ

2

未知，如需通过样本 X 1，

Λ, X

n 检验假设

H

=μ0:μ1，

需用的检验统计量是（ ）

A T =

X -μX -μX -μX -μ

B T = C T = D T =

S S n σn σn -1

１０. 一元线性回归模型Y i =a +bx i +εi ，εi ~N 0, σ2且相互独立，那么Y i ～（ ）

A N 0, σ

()

(

2

) B N (0, 1) C N (a +b , 1) D N (a +b , σ)

2i

二、填空题（每空2分，共20分）

1．有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，在这两批种子中随机各地抽取1粒，则这两粒种子都能发芽的概率是＿0.56＿，这两粒种子仲恰好有１粒发芽的概率是＿0.38＿。 ２. 设离散型随即变量Ｘ的分布律为ｐ（Ｘ＝ｋ）＝

c

，ｋ＝１，２，„„５，则ｃ

k k +1＝＿ 6/5 ＿．Ｐ（Ｘ＜３）＝＿4/5＿。P (X =1) +P (X =2) ３. 若随机变量X ~N 而Z =

-μ

服从, (μ, σ)，则随机变量Y =X σ

2

⎛X -μ⎫2

⎪服从X(1)。

⎝σ⎭

４. 设X 1„„X i 为取自N

(μ, σ)总体的样本，X 为样本均值，已知k X -μ)服从χ

2

2

2

分

布，则ｋ的值应是＿＿＿，其自由度应该是＿＿＿。

５. 假设检验中，犯第一类错误的概率为＿＿＿＿＿＿犯第二类错误的概率为＿＿＿＿＿。 三. 判断题（认为对的，再题后的括号内打“√”，认为错的打“×”。每小题2分，共十分） 1. 若事件A,B 的概率满足P (A )≥P (B ). 则必有A ⊃B ( ) 2. 若事件A 、B 互斥，则P(AB)=0.反之亦然。 （ ） 3. 若随机变量X ~N (0, 1), 则随机变量Y =σX +μ~N (μ, σ).( ) 4、随机变量X,Y 相互独立的充要条件是它们的相关系数

σxy =0 ( )

5、或σ为未知总体X 的方差，

2

S n

2

1n 22

2lim ES n

=∑(X i -) 为样本方差，则有n →∞=σ n i =1

( )

四、计算题（每小题8分，共40分）

1、设一个袋子里装了1－５号的五只球，今从中任意地取出３只球，以Ｘ表示取出的三只球中的最小号码，求：（１）Ｘ的分布律；（２）E(X)和D(X).

-x 2+6x -92

、已知连续性随机变量Ｘ的密度函数为f (x ) =) ，如果Ｙ的密

6-x 2+6x -9

) , (-∞度函数为g (x ) =C ⋅x ⋅exp(

6

，试求常Ｃ和Ｅ(Ｙ)

⎧θ⋅x θ-1,0

3、设总体X 的概率密度函数为：p (x i , θ) =⎨ (θ>0,未知) 试求未知

0, 其他⎩

参数θ 的矩阵计量。

4、设某次考试的考生成绩X 服从N (μ, σ) , μ, σ 均未知，从中随机地抽取25名考生的成绩，计算得到平均成绩=67.5 分 ，标准差s=10.5 分 ，试问在显著性水平α=0.05 下，是否可以认为全体考生的平均成绩为70分？

(t 0.05(25)=1.708, t 0.025 (25)=2.0595, t 0.05(24)=1.711, t 0.025 (24)=2.064) 5、已知：n=6,

22

∑x

i =1

n

i

=426,

∑x

i =1

n

2i

=30268,

∑y

i =1

n

i

=21,

∑x y

i i =1

n

i

=1481,

∑y

i =1

n

2

i

=79.

试计算相关系数，确定y 关于x 的回归直线方程。

五、证明题（每小题5分，共10分）

1、对于任意的常数C ，试证明：E (X -C ) 2≥D (X ) .

证明 ：对于任意的常数C

E (X -C )=E [X -EX +EX -C ]

2

=E (X -EX )-2(X -EX )(EX -C )+(EX -C )

2

2

[]

=E (X -EX )+2E [(X -EX )(EX -C )]+(EX -C )

2

2

=D (X )+(EX -C )2 由于 (EX -C )2≥0 所以 E (X -C )≥D (X ) .

2

2、设总体X 服从f (n ) 分布，证明：X 服从F (1,n ) 分布.

2

复习题（6）参考答案及评分标准

（2010）

一、单项选择题（每小题2分，共20分）

1、A 2、B 3、D 4、C 5、A 6、B 7、C 8、D 9、A 10、D 二．填空题（每空处两分，共20分） 1. 0.56 0.38 2. 6/5 4/5 3.N(0, 1) 分布（标准正态分布） X(1)分布 4. η/σ 1

5. σ=p (拒绝H O |H O 为真） β=P(接受H O |HO 为假） 三、判断题（每小题2分，共10分）

1. × 2. × 3. √ 4. × 5.√ 四、计算题（每小题8分，共40分）

2

2

1. 解：（1）依题X的一切取值为1，2，3

2

C 2C 3C 263421 P(X=1)=3= , P (X=2) =3=, P (X=3) =3C 510C 510C 510

(2)E (X ) =1⨯

6313

+2⨯+3⨯= 1010102

63127+22⨯+32⨯= 10101010

227329

∴D (X ) =E (X 2) -⎡E X =-() ==0.45 ⎤()⎣⎦10220E (X 2) =12⨯

2. 解(1)根据随机变量X 密度函数的表达式可知，X 服从正态N （3

，从而E(X)=3.

）分布，

2

⎛-x 2+6x -9⎫由于Y 的密度g (x )=C ⋅x ⋅exp ⎪, ， 所以

6⎝⎭⎛-x 2+6x -9⎫⎪dx ⎰-∞g (

x )dx =⎰-∞C ⋅x ⋅exp 6⎝⎭

∞⎛-x 2+6x -9⎫=x ⋅exp ⎪dx 6⎝⎭

∞

∞

=E (

X )=3=1∴C =

∞

211

E (Y )=⎰x ⋅g (x )dx =E (X 2) ={D (X )+⎡E X ⎤()⎣⎦-∞33

}=4

3. 解：总体的数学期望为 E (X )=

⎰

1

x ⋅θ⋅x θ-1dx =θ⎰x θdx =

1

θθ+1

x |10=

θθ+1

根据矩估计意义有，

θθ+1

=X

解得参数θ的矩估计为θ=

X

1-X

4. 解 依题提出原假设H 0:μ=67.5,

由于主题方差σ未知，η=25，在H 0成立时，统计量

2

t =

X -67. 5

~ t(25)分布

S 25

所以检验的拒绝域为：| t | >t 0. 025(24)=2. 064 计算 t 统计量值：|t |=|

67. 5-70

=1. 19

10. 25

从而接受原假设，可以认为全体考生的平均成就为70分。 5. 解：依题意计算：n=6

=71 ， y =3.5，

l xx =∑x 2-n ⋅x =22 ； l yy =∑y 2-n ⋅y =5.5

22

l xy =∑xy -n ⋅x ⋅y = —10

所以，相关系数 r =

l xy l xx ⋅yy

=

-1022⨯5. 5

=

-10

≈0. 909 111

可见y 与x 之间存在及其显著的线性关系。 回归系数 b=

l xy lxx

=

-10

≈-0. 455 a=y -b ⋅x =35.773 22

-0. 455⋅x 所以，所求的回归方程为 y =35. 773

五. 证明 ：对于任意的常数C

E (X -C )=E [X -EX +EX -C ]

2

=E (X -EX )-2(X -EX )(EX -C )+(EX -C )

2

2

[]

=E (X -EX )+2E [(X -EX )(EX -C )]+(EX -C )

2

2

=D (X )+(EX -C )2 由于 (EX -C )2≥0 所以 E (X -C )≥D (X ) .

2

2. 证明 ：由于总体X 服从t (n )分布，有t 分布的定义 X =

Y

Z n

2

其中 Y ~N (0, 1)分布，Z ~χ(n )分布，并且Y 与Z 相互独立，

Y 2ˆ从而， X = Z n

Y~ N (0 , 1)分布，Y 2 ~χ2(1)分布，

显然，Y 与Z 相互独立, 所以由F 分布定义，X 服从F (1, n )分布

2

2

整理人： 刘荣德060404213 黄少捷 060404208 陈本钳 060404202 杨啟炜060404218 徐小凤 0604042