凸函数在不等式中的证明
凸函数在不等式中的证明
1. 函数的定义及其常见的凹凸函数
大家都熟悉函数f (x ) =x 2的图像,它的特点是:曲线y =x 2上任意两点间的弧总在这两点连线的下方。我们可以下这样一个定义:设f (x ) 在[a , b ]上有定义,若曲线
y =f (x ) 上任意两点间的弧总位于连接该两点的直线之下,则称函数f (x ) 是凸函数.
上面的定义只是几何描述性的,为了便于凸函数的应用,用严格的式子分析定义凸函数是十分必要的.
在不等式的证明中经常会应用到凸函数的两个定义:
定义1 设f (x ) 在(a , b ) 内连续,如果对(a , b ) 内任意两点x 1, x 2恒有 f (
x 1+x 2f (x 1) +f (x 2)
) ≤ 22
那么称f (x ) 在(a , b ) 内是凸函数.
定义2 设f (x ) 在(a , b ) 内连续,如果对(a , b ) 内任意两点x 1, x 2, λ∈(0,1) ,有 f (λx 1+(1-λ) x 2) ≤λf (x 1) +(1-λ) f (x 2) 则称f (x ) 在(a , b ) 内是凸函数.
以上若不等式的方向相反,则称f (x ) 在(a , b ) 内是凹函数.
1.1常见的凹凸函数有
1.1.1 f (x ) =x k (k 0) , f (x ) =x ln x 均为(0,∞) 内的严格凸函数;
1.1.2 f (x ) =ln(1+e x ), f (x ) =c ≠0) 均为(-∞, +∞) 内的严格凸函数.
1.2 凸函数的常见性质及其判定定理
性质1 设f (x ) 为凸函数,k >0为常数,则kf (x ) 是凸函数:若f (x i )(i =1,2,..., n ) 是凸函数,则∑f (x i ) 仍是凸函数:若ϕ(u ) 是增凸函数,u =f (x ) 也是凸函数,则复合函数ϕ[f (x )]也是凸函数[1].
性质2 如果f (x ) 是(a , b ) 上的凸函数,则在(a , b ) 的任一闭子区间上有界.
i =1n
性质3 如果f (x ) 是(a , b ) 上的凸函数,则f (x ) 在(a , b ) 内连续.
定理1 f (x ) 是区间I 上的凸函数的充要条件是:对于满足∑λi =1 的任意
[1]
n
λ1, λ2,..., λn ≥0 ,有:f (∑λi x i ) ≤∑λi f (x i ) ∀x 1, x 2,..., x n ∈I (1)
i =1
i =1
n n i =1
定理2 若f (x ) 在区间I 上二阶可微,则f (x ) 在I 上是凸函数的充要条件是:
1.3凸函数的不等式 1.3.1 凸函数基本不等式
设f (x ) 是(a , b ) 内的严格凸(凹)函数,则对(a , b ) 内的任意一组不全相同的值
x 1, x 2,..., x n ,必有不等式[2]:
1.3.2 Jensen不等式
Jensen 不等式是凸函数的一个重要性质,利用其证明一些重要不等式可以更简捷,它有如下两种形式:
(1) 设f (x ) 是(a , b ) 内的凸(凹)函数,则对(a , b ) 内的任意一组值x 1, x 2,..., x n 及任意正数p 1, p 2,..., p n 必有不等式: f (
p 1x 1+p 2x 2+... +p n x n p f (x ) +p 2f (x 2) +... +p n f (x n )
) ≤(≥) 11
p 1+p 2+... +p n p 1+p 2+... +p n
(2)设f (x ), p (x ) 为[a , b ]上的可积函数,而 m ≤f (x ) ≤M , p (x ) ≥0, ⎰p (x ) dx >0
a b
则当ϕ(t )(m ≤t ≤M ) 为凸(凹)函数时有
⎰ ϕ(
b
a
p (x ) f (x ) dx
⎰
b
a
p (x ) dx
⎰) ≤(≥)
b
a
p (x ) ϕ[f (x )]dx
⎰
b
a
p (x ) dx
2. 凸函数在证明不等式中的简单应用
在初等数学中,调和平均值不大于几何平均值,几何平均值不大于算术平均值,算术平均值不大于平方平均值,而证明用到数学归纳法. 其实,这些不等式可在凸函
数框架下统一证明.
例1 设a i >0, i =1,2,..., n ,证明:
n 111++... +a 1a 2a n
≤≤
a 1+a 2+... +a n
n
1
>0,从而,函数f (x ) =-ln x 在x 2
证明 设f (x ) =-ln x , ∀x ∈(0,∞) ,有f ' ' (x ) =
(0,∞) 是严格凸函数, 取
1
x i =a i ∈(0,∞), q i =, i =1, 2,..., n , q 1+q 2+... +q n =1
n
有
a ln a n a a ln a 1ln a 2
--... - -ln(1+2+... +n ) ≤-
n n n n n n
或
a +a +... +a n
≤-(lna 1n +ln a 2n +... +ln a n n ) =-ln a 1a 2... a n -ln 12
n
111
即
≤ 取 x i =
a 1+a 2+... +a n
n
11
∈(0,∞), q i =, i =1,2,..., n , q 1+q 2+... +q n =1 a i n
同样方法,有
n ++... +a 1a 2a n
≤
于是,∀n ∈N + , 有
n ++... +a 1a 2a n
≤≤
a 1+a 2+... +a n
n
x 1+x 2+... +x n x 1p +x 2p +... +x n p p
例2 证明∀x 1, x 2,..., x n ∈R , p ≥1 有 ≤()
n n
+
1
上式称为算术平均不大于p (p ≥1) 次平均,特别的,当p =2 ,得到算术平均值不大于平方平均值。
证明 考察函数f (x ) =x p (p ≥1) 由于有f ' ' (x ) =p (p -1) p x -2>0, ∀x > 0所以
f (x ) =x (p ≥1) 为凸函数,从而 ∀x 1, x 2,..., x n ∈R , ∀λ1, λ2,..., λn ∈(0,1),∑λi =1
p
+
i =1
n
有 (λ1x 1+λ2x 2+... +λn x n ) p ≤λ1x 1p +λ2x 2p +... +λn x p n
1x 1+x 2+... +x n x 1p +x 2p +... +x n p p 在上式中,令λ1=λ2=... =λn = 即得 ≤()
n n n
1
例3 若a >0, b >0, p >0, q >0, ε>0 且
11
+=1,求证:Young 不等式 p q
ab ≤
εa p
p
+
b q q ε
q p
证明 从所求证的不等式的形式来看,不容易直接找到合适的凸函数,因此,我们要对它进行一定的变形。不妨不等式两边同取自然对数,则有 ln(ab )
εa p
p
+
b q q ε
q p
)
由此很容易找到合适的凸函数。考察函数f (x ) =-ln x (x >0) ,因为
f ' ' (x ) =
111
x >0>0f (x ) p >0, q >0, +=1,,由定理1知,在时为凸函数,因为有
x 2p q
所以 -ln(
εa p
p
+
b q q ε
--11p p p q p
) ≤-ln(a ε) -ln(b ε) =-ln(a ε) -ln(b εp ) =-ln(ab ) q
p q p
1111
于是 ln(ab ) ≤ln (
εa p
p +
+
b q q ε
q
p
)
即 ab ≤
εa p
p
b q q ε
q p
, p =q =2 时,特别地,当ε=1此不等式就是前面例1的结果,即平均值不等式。Young
不等式在泛函分析,偏微分方程中应用很广.
凸函数在一些几何和三角函数不等式证明中的精巧妙用如下。
例4 设p i ∈R +, x i ∈[0,π] ,证明: sin
p 1x 1+p 2x 2+... +p n x n p 1sin x 1+p 2sin x 2+... +p n sin x n
≥
p 1+p 2+... +p n p 1+p 2+... +p n
证明 取f (x ) =-sin x 它是[0,π] 上的凸函数,由Jensen 不等式,得
-sin
p 1x 1+p 2x 2+... +p n x n p sin x 1+p 2sin x 2+... +p n sin x n
≤-1
p 1+p 2+... +p n p 1+p 2+... +p n
p 1x 1+p 2x 2+... +p n x n p 1sin x 1+p 2sin x 2+... +p n sin x n
≥
p 1+p 2+... +p n p 1+p 2+... +p n
所以 sin
特别的:(1)如果在这个不等式中,令p i =1(i =1,2,..., n ) 则得 n sin
x 1+x 2+... +x n
≥sin x 1+sin x 2+... +sin x n ;
n
(2)对于三角形的三个内角α, β, γ,有
sin α+sin β+... +sin γ≤3sin
α+β+γ
3
=
2
π
例5 设x ∈
(0,) ,证明:(sinx ) 1-cos2x +(cosx ) 1+cos2x ≥2
证明 先将原不等式化为
(sin2x ) sin x +(cos2x ) cos x ≥因为f (x ) =x x 为(0,∞) 上的凸函数,故当a >0, b >0时,有 f (令a =sin 2x , b =cos 2x 则
a +b sin 2x +cos 2x 111 f ( ) =f () =f () =() 2=
22222f (a ) +f (b ) (sin2x ) sin x +(cos2x ) cos
=而
22
2
2
22
a +b f (a ) +f (b )
) ≤ 22
x
所以
(sin2x ) sin x +(cos2x ) cos x ≥这道题目很难用初等知识证明,但通过构造凸函数f (x ) =x x 巧妙地令
22
a =sin 2x , b =cos 2x ,便可很方便的证得.
对于数学分析,泛函分析中的一些重要不等式,利用凸函数也可以建立统一框架,简捷方便地进行证明.
例6 设f (x ) 在[a , b ]上可积,m ≤f (x ) ≤M , ϕ(t ) 是[m , M ]上的凸函数,则 ϕ(
1b 1b
f (x ) dx ) ≤ϕ[f (x )]dx ⎰⎰a a b -a b -a
1n 1n
证明 由Jensen 不等式,有 ϕ(∑t k ) ≤∑ϕ(t k )
n k =1n k =1
令t k =f (a +k
b -a
) 则有 n
1n b -a b -a 1n b -a b -a
ϕ( f (a +k ) ⋅) ≤ϕ[f (a +k )]⋅∑∑b -a k =1n n b -a k =1n n
由于f (x ) 可积,ϕ(t ) 为凸函数,故ϕ(f (t )) 可积.
上式中令n →∞取极限,即得到
1b 1b
f (x ) dx ) ≤ϕ[f (x )]dx ϕ(⎰⎰a a b -a b -a 特别的,若f (x ) 在[a , b ] 上连续,且f (x ) >0取ϕ(t ) =-lnt 则有
1b 1b f (x ) dx ) ≥ln f (x ) dx ln(
b -a ⎰a b -a ⎰a
前例结合凸函数的定义,可得Hadamard 不等式:
设ϕ(t ) 是区间[m , M ]上的凸函数,∀t 1, t 2∈[m , M ] 则 ϕ(
例7 f (x ) 在[a , b ]上有一阶连续导数,则当f (x ) ≠0 时,对p >1有
b
p
p 1-p
b
p 1-p
t 1+t 21t 2ϕ(t 1) +ϕ(t 2)
) ≤ϕ(t ) dt ≤⎰t 12t 2-t 12
⎰f (x ) dx +(p -1) p
a ⎰
a
f (x ) dx ≥b -a
证明 由积分形式的Young 不等式,
⎰
令ε=p ,
b
a
f (x ) g (x ) dx ≤
ε
p ⎰a
b
1-p b q
f (x ) dx +⋅ε⎰g (x ) dx
a q
p
q
p 11ε
=-q , 则+=1, =1 ,且 1-p p q p
1-p p -11-p
⋅ε=() p =(p -1) p 1-p
q p
则
q 1p
⎰
b
a
f (x ) dx +(p -1) p
p
p 1-p
⎰
b
a
f (x )
p 1-p
dx =
ε
p ⎰a
b
b 1-b 1-q
f (x ) dx +⋅εp ⎰f (x ) dx ≥⎰f (x ) ⋅=b -a
a a q f (x )
p
q