晶体的双折射和二向色性
6.3 晶体的双折射和二向色性
一束单色光在晶体表面折射时(图6-5),一般可以产生两束折射光,这种现象叫做双折射。两束折射光中,有一束总是遵守折射定律,称为寻常光,用符号o 表示;另一束一般不遵守折射定律,称为非常光,用符号e 表示。o 光和e 光都是线偏振光。
为了说明o 光和e 光的振动方向和传播
方向,需要了解晶体内某些特殊的方向和平面:
光轴——晶体内一个特殊的方向,当光沿这个方向传播时,不发生双折射现象,并且o 光和e 光的传播速度相等。只有一个光图 6-5
轴方向的晶体,称为单轴晶体(如方解石、石英、红宝石等)。有两个光轴方向的晶体,称为双轴晶体(如云母、霰石、蓝宝石等)。
主平面——由o 光和光轴组成的面称o 主平面;由e 光和光轴组成的面称e 主平面。o 光的电矢量振动方向垂直于o 主平面,e 光的电矢量振动方向则在e 主平面内。
主截面——由光轴和晶体表面法线组成的面。可以证明,当光线以主截面为入射面时,o 光和e 光都在主截面内,这时主截面也是o 光和e 光的共同主平面。
晶体产生双折射的原因,在于晶体在光学上的各向异性。由
电磁理论可以证明,对于晶体内
波面 波面 除光轴外的一个给定的方向,允
许两束电矢量互相垂直的线偏振
光以不同的速度传播。对于单轴晶体,其中一束光的速度不随传
(a) (b) 播方向改变,这就是o 光。它的
波面是一个球面。另一束光的速图 6-6 度随传播方向改变,这就是e 光,
它的波面是一个以光轴为对称的回转椭球面,其方程为
c 2
v =2 (6-3) 2
n o c o 2s θ+n e 2s i n θ
2o
式中n o 是o 光折射率,n e 是e 光沿垂直于光轴方向传播时的折射率,θ是e 光线与光轴的夹角,c 是真空中光速。负晶体(n o >n e )和正晶体(n o
应该注意,晶体中e 光线的传播速度和方向一般地与它的波阵面的传播速度和方向(沿波阵面法线方向)不同(见图6-7),后者称为法线速度。法线速度矢量端点描绘的轨迹是法线面,它与波面的几何关系如图6-8所示,其方程为
2
v N 2c o 2s βs i n β
() = (6-4) +22
c n o n e
图6-8
式中v N 表示法线速度,β表示法线速度矢量与光轴的夹角。法线面的空间形状是一以光轴为对称轴的卵形面。
利用晶体的双折射现象,可以制成各种偏振棱镜,使我们直接从自然光获得偏振光。
大部分晶体在自然光入射的情况下产生的o 光和e 光的强度相等。但是,也有一些晶体对两支折射光的吸收相差很大,这种性质叫做而向色性。利用晶体的二向色性可以制作偏振片。
例题
6.5 利用式(6-3),证明晶体中e 光线与光轴的夹角θ和e 光波阵面法线与光轴的夹角β之间有如下关系: tg θ=
n
tg β n
2o 2e
[证] 式(6-3)是e 光椭球面的方程,显然波面与任一坐标面(如图6-9yoz )的截面是一椭圆。把式(6-3)写为
2
v e 2c o 2s θv e 2s i n θ
+=1
c 2c 2() () n o n e
图 6-9
令z =v e cos θ,y =v e sin θ,则y o z 面上的椭圆方程可写为
z 2y 2
+=1 c c () 2() 2n o n o 取微分,得到
n e 2y dz
=-2
dy n o z 由图6-9可知,y
z
=tg θ,=tg (180︒-β) =-tg β,代入上式便可得到
2
n o
tg θ=2tg β
n e
例题
6.6 证明当tg β=
n e
时,晶体中e 光线与波法线间的夹角α有最大值,若入射光n o
是钠荧光,试求出方解石晶体中α角的最大值。
[证] (1)由图6-9可见
α=θ-β 对β求微商,得到
2n o
由于θ=tg (2tg β) ,故
n e
-1
d αd θ=-1 d βd β
d αd θ=-1=d βd β
1
2n o
1+2tg 2βn e
22n o n e 2n o 22⋅2s e c β-1=4(1+tg β) -1 42n e n e +n o tg β
当α取最大值时,有
22n e n o d α
=4(1+tg 2β) -1=0 42
d βn e +n o tg β
由上式得
222244
n e n o +n e n o tg 2β-n e -n o tg 2β=0
把式子改写为 于是得到
tg β=
222222
n o (n e -n o ) tg 2β-n e (n e -n o ) =0
n e
n o
(2)当tg β=
n e
时 n o
22n o n o n n
tg θ=2tg β=2⋅e =o
n e n e n o n e
因此
tg αmax 所以
2
n o -n e 2
αm a x =tg ()
2n o n e
-1
2
-n e 2tg θ-tg βn o
=tg (θ-β) ==
1+tg θtg β2n o n e
对于方解石晶体,n o =1. 658,n e =1. 468,故
22
(1. 65) 8-(1. 48) 6
]=6︒16' αm a x =t g [
2⨯1. 65⨯81. 486
-1
对于正晶体,n o
例题
6.7 波长λ=632.8nm的氦氖激光垂直入射到方解石晶片,晶片厚度d=0.013mm,晶片表面与光轴成60˚角。求(1)晶片内o 光与e 光的夹角;(2)o 光和e 光通过晶片后的位相差。
[解] (1)o 光遵守折射定律,因此它将不偏折地通过晶片。此外,由图6-7所示的惠更斯作图法,可见e 光波法线的方向与o 光相同,故 β=90︒-60︒=30︒ 因此
2n o ) 2-1(1. 658 θ=tg (2tg β) =tg [⋅tg 30︒]=35︒42' n e (1. 486) 2
-1
由此得到o 光与e 光的夹角
α=θ-β=35︒42'-30︒=5︒42'
(2)由于o 光和e 光都在图面内(图6-10),所以图面是o 光和e 光的共同主
平面。o 光的振动方向垂直于图面,以黑点表示。e 光的振动方向在图面内,以线条表示。
(3)e 光使法线沿β方向传播时的(法线)折射率,拒
式(6-4),可表示为
图 6-10
n (β) =于是
c =v N
n o n e
n c o s β+n s i n β
2e
2
2o
2
n (30︒) =
1. 658⨯1. 486
(1. 486) cos 30︒+(1. 658) sin 30︒
2
2
2
2
=1. 6095
因此o 光和e 光通过晶片后的位相差
2π2π(n o -n e ) d =(1. 658-1. 609) 5⨯0. 013mm ≈2π δ=-6λ632. 8⨯10mm
例题
6.8 一束汞绿光在60˚角下入射到KDP (磷酸二氢钾)晶体表面,晶体的
n o =1. 512,n e =1. 470。设光轴与晶面平行,并垂直于入射面,试求晶体中o 光与e 光的夹角。
[解] 本例所设情况如图6-11所示。这时,e 波波面与图面(入射面)的截线跟o 波波面的截线类似,都是圆形。从图中容易看出,对于任意的入射角θ1,它的正弦与e 光折射角θ2e 的正弦之比都为
sin θ1BD c
===n e sin θ2e R v e
式中R 是e 波面的圆截线的半径。由于e
是一常数,所以在本例的特殊情况下,
光线遵守普通的折射定律,它的折射方向可按上式计算。 当θ1=60︒时,e 光的折射角θ2e 由下式求出: 得到
θ2e =sin -1(
sin 60︒
) =36︒6' 1. 470
sin 60︒
=1. 470 sin θ2e
而o 光的折射角
θ2e =sin -1(因此o 光与e 光的夹角
α=θ2e -θ2o =36︒6'-34︒56'=1︒10'
例题
6.9 用两块光轴互相垂直的直角方解石棱镜(顶角θ=30︒)胶合成的渥拉斯顿(Wollaston )棱镜如图6-12所示。试求当一束自然光垂直入射时,从棱镜出射的o 光和e 光的夹角。
[解] 光束通过第一块棱镜时,o 光和e 光不分开,但传播速度不同。o 光振动方向垂直于图面,e 光的振动方向在图面内。振动方向垂直于图面的一支光进入第二块棱镜后是e 光,传播速度与在第一块棱镜内不同,因而在界面上发生折射,折射角可由折射定律求出:
s i n θ1v o n e
==
s i n θ2e v e n o 得到
θ2e =sin -1(
sin 60︒
) =34︒56' 1. 512
n o sin θ11. 658⨯sin 30︒
) =sin -1() =33︒55' n e 1. 486
n e s i n φ1
) n a
这支光在渥拉斯顿棱镜后表面的折射角
-1
φ2=s i n (
式中n a 为空气折射率,φ1为入射角,由图中的几何关系容易得到
φ1=θ2e -θ1=3︒55',因此
-1 φ2=s i n (1. 48⨯6s i n 3︒55') =5︒49'
再看振动方向在图面内的一支光,它进入第二块棱镜后是o 光,因而在两块棱镜界面上的折射角由下式决定: 得到
θ2e =sin -1(
s i n θ1n o
=
s i n θ2e n e
n e sin θ1. 468⨯sin 30︒) =sin -1() =26︒37' n o 1. 658
这支光在渥拉斯顿棱镜后表面的折射角
n o s i n φ1'θ(-1n o s i n -11-θ2o ) φ2=s i n () =s i n () =s i n (1. 65⨯8s i n 3︒23') =5︒37' n a n a
'
-1
所以,由棱镜出射的o 光和e 光的夹角为
'
φ=φ2+φ2=5︒49'+5︒37'=11︒26'
例题
6.10 用方解石晶体制成的尼科耳(Nicol )棱镜如图6-13a) 所示。今有一束强度为I 0的线偏振光沿棱镜的长边方向入射,线偏振光的振动方向与棱镜主截面(图6-13b ))成60︒角,问从棱镜另一端透出的光束的强度是多少?
图6-13
[解] 尼科耳棱镜的设计使得沿长边方向入射的光束在棱镜中产生的o 光全反射,因而从棱镜透出的是e 光,振动方向在主截面内。设入射光束的振幅为
2
A 0(I 0∝A 0) ,那么出射光束的振幅是
A =A 0cos 60︒ 强度则是
I =I 0cos 260︒=0. 25I 0
上式表达的透射光强度随线偏振光振动方向与尼科耳主截面的夹角而变的规律叫做马吕斯(Malus )定律。
例题
6.11 使自然光相继通过三个偏振片,第一与第三偏振片的透光轴(从偏振片透
出的偏振光的振动方向)正交,第二偏振片的透光轴与第一片透光轴成30˚角。若入射自然光的强度为I 0,问最后透出的光强是多少?
[解] 在不考虑偏振片对透射光的反射和吸收的情况下,从第一偏振片透出的线
1
偏振光的强度I 1=I 0。由于它的振动方向与第二偏振片的透光轴成30︒角,
2
故按马吕斯定律,从第二偏振片出射的线偏振光的强度为 I 2=I 1cos 230︒=0. 75I 1=0. 75⨯0. 5I 0 而从第三偏振片出射的线偏振光的强度为
I 3=I 2cos 260︒=0. 75⨯0. 5I 0⨯0. 25=0. 094I 0