初中数学分类试题
2013中考数学模拟——判定说理型问题及答案
一、选择题 1、将直径为30 cm 的圆形铁皮，做成三个相同的圆锥容器的侧面(不浪费材料，不计接缝处的材料损耗) ，那么每个圆锥容器的底面半径为( ) （改编）
A ．5 cm B．15 cm C．20cm D．150cm 答案A 2、(2012年普陀区二模) 下列说法中正确的是( )．
（A ）某种彩票的中奖率是10%，则购买该种彩票100张一定中奖是必然事件； （B ）如图2，在长方体ABCD －EFGH 中，与棱EF 、棱FG 都异面的棱是棱DH ； （C ）如果一个多边形的内角和等于540 ，那么这个多边形是正五边形； （D ）平分弦的直径垂直于这条弦．
E
A
C G
图2
答案：B
二、解答题
1、（本题满分12分）如图, △AEF 中, ∠EAF =45°, AG ⊥EF 于点G , 现将△AEG 沿AE 折叠得到
△AEB , 将△AFG 沿AF 折叠得到△AFD , 延长BE 和DF 相交于点C ． (1)求证：四边形ABCD 是正方形；
(2)连接BD 分别交AE 、AF 于点M 、N ，将△ABM 绕点A 逆时针旋转，使AB 与AD 重合，得到△ADH ，试判断线段MN 、ND 、DH 之间的数量关系，并说明理由．(3)若EG =4，GF =6，BM 2，求AG 、MN 的长．
A
H
B E
N F
D
C
(1)由∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°, 得矩形ABCD, ……2分
由AB=AD，得四边形ABCD 是正方形. ……3分 222
(2)MN=ND+DH. ……4分 理由：连接NH ，由△ABM ≌△ADH ，得AM=AH，BM=DH， ∠ADH=∠ABD=45°, ∴∠NDH=90°, ……6分
再证△AMN ≌△AHN ，得MN=NH， ……7分
222
∴MN =ND+DH. ……8分 (3)设AG=x，则EC=x-4,CF=x-6,
由Rt △ECF ，得(x-4) +(x-6)=100,x1=12,x2=-2(舍去) ∴AG=12.……10分 由AG=AB=AD=12,得BD=122, ∴MD=92,
222
设NH=y,由Rt △NHD, 得y =(92-y) +(32) ,y=52, 即2. ……12分 2（本题满分10分）如图，AB 是⊙O 的直径，点A 、C 、D 在⊙O 上，
过D 作PF ∥AC 交⊙O 于F 、交AB 于E ，且∠BPF =∠ADC . （1）判断直线BP 和⊙O 的位置关系，并说明你的理由； （2）当⊙O 5，AC =2，BE =1时，求BP 的长.
(1)直线BP 和⊙O 相切. ……1分
理由：连接BC, ∵AB 是⊙O 直径, ∴∠A CB=90°. ……2分 ∵PF ∥AC, ∴BC ⊥PF, 则∠PBH+∠BPF=90°. ……3分 ∵∠BPF=∠ADC, ∠ADC=∠ABC, 得AB ⊥BP, ……4
所以直线BP 和⊙O 相切. (2)由已知，得∠ACB=90°, ∵5, ∴BC=4. ……6分 A
∵∠BPF=∠ADC, ∠ADC=∠ABC, ∴∠BPF=∠ABC,
由(1),得∠ABP=∠ACB=90°, ∴△ACB ∽△EBP, ……8分
22
P B
AC BC
∴解得BP=2.即BP 的长为2. ……10分 BE BP
垂足为E ，连结CE ，交AD 于点H ．
（1）求证：AD ⊥CE ；
（2）如过点E 作EF ∥BC 交AD 于点F ，连结CF ，
猜想四边形CDEF 是什么图形？并证明你的猜想．
答案：
证明：（1）∵∠ACB =90︒，∠CAB 的平分线交BC 于D ，DE ⊥C AB
∴在△ACD 和△AED 中
A
3、已知：如图，在∆ABC 中，∠ACB =90︒，∠CAB 的平分线交BC 于D ，DE ⊥AB ，
E
D B
⎧∠CAD =∠EAD
⎪
AD =AD …………………………………………………3分 ⎨
⎪∠ACD =∠AED ⎩
∴△ACD ≌△AED ……………………………………………………1分 ∴AC =AE ………………………………………………………………1分 ∴AD ⊥CE …………………………………………………………1分
A
（2）四边形CDEF 是菱形。………………………………………1分 ∵ AC=AE ，AD ⊥CE
∴CH =HE ……………………………………………………1分 ∵EF ∥BC ，∴
E
EH FH
=
CH HD
C D B
∴FH =HD ……………………………………………………3分
∴四边形CDEF 是菱形. ……………………………………………………1分
4、如图1，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，M ，N 分别为EB ，CD 的中点，易证：CD =BE ，△AMN 是等边三角形：
（1）当把△ADE 绕点A 旋转到图2的位置时，CD =BE 吗？若相等请证明，若不等于请说明理由；
（2）当把△ADE 绕点A 旋转到图3的位置时，△AMN 还是等边三角形吗？若是请证明，若不是，请说明理由（可用第一问结论）. 答案：（1）CD =BE ．理由如下: ∵△ABC 和△ADE 为等边三角形 ∴AB =AC ，AE =AD ，∠BAC =∠EAD =60o ∵∠BAE =∠BAC －∠EAC =60o －∠EAC ， ∠DAC =∠DAE －∠EAC =60o －∠EAC ， ∴∠BAE =∠DAC ， ∴△ABE ≌ △ACD ∴CD =BE
（2）△AMN 是等边三角形．理由如下： ∵△ABE ≌ △ACD ， ∴∠ABE =∠ACD ． ∵M 、N 分别是BE 、CD 的中点，∴BM =CN
∵AB =AC ，∠ABE =∠ACD ， ∴△ABM ≌ △ACN ．∴AM =AN ，
∠MAB =∠NAC ．∴∠NAM =∠NAC +∠CAM =∠MAB +∠CAM =∠BAC =60° ∴△AMN 是等边三角形．
5、⑴如图1，点P 是平行四边形ABCD 对角线AC 、BD 的交点，若S ∆PAB =S 1，S ∆PBC =S 2，
S ∆PCD =S 3，S ∆PAD =S 4 则S 1、S 2、S 3、S 4的关系为S 1=S 2=S 3=S 4。请你说明
理由
⑵变式1：如图2，点P 是平行四边形ABCD 内一点，连接PA 、PB 、PC 、PD 。若S ∆PAB =S 1，
S ∆PBC =S 2，S ∆PCD =S 3，S ∆PAD =S 4则S 1、S 2、S 3、S 4的关系为。
⑶变式2：如图3，点P 是四边形ABCD 对角线AC 、BD 的交点若S ∆PAB =S 1，S ∆PBC =S 2，
S ∆PCD =S 3，S ∆PAD =S 4则S 1、S 2、S 3、S 4的关系为理由
D
答案：⑴∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AP =CP 又∵△ABP 中AP 边上的高与△BCP 中CP 边上的高相同 ∴
S ∆PAB =S ∆PBC 即 S 1=S 2 同理可证S 2=S 3 S 3=S 4 ∴S 1=S 2=S
3=S 4 ⑵ S 1+S 3=S 2+S 4 ⑶ S 1⋅S 3=S 2⋅S
4 理由：
∵△ABP 中AP 边上的高与△BCP 中CP 边上的高相同 ∴
S ∆PAB S =PA 即 S 1=PA
∆PBC PC S 2PC
∵△PAD 中AP 边上的高与△PCD 中CP 边上的高相同 ∴
S ∆PAD S =PA 即 S 4=PA
∆PCD PC S 3PC
∴S 1S =S 4
S ∴S 1⋅S 3=S 2⋅S 4 23
D
D
P B
图3
C
P
B 图3
C
6、问题：如图1， 在Rt △ABC 中，∠C =90︒，∠ABC =30︒，点D 是射线CB 上任意一
点，△ADE 是等边三角形，且点D 在∠ACB 的内部，连接BE ．探究线段BE 与DE 之间的数量关系．
请你完成下列探究过程：
先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明.
（1） 当点D 与点C 重合时（如图2），请你补全图形．由∠BAC 的度数为 ，点
E 落在 ，容易得出BE 与DE 之间的数量关系为 ；
（2） 当点D 在如图3的位置时，请你画出图形，研究线段BE 与DE 之间的数量关系是
否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．
A
A
C (D )
图2
B
C
B
图3
D
解：（1）完成画图如图2，由∠BAC 的度数 为 60°，点E 落在 AB 的中点处 ，
容易得出BE 与DE 之间的数量关系 为 BE=DE ；
（2）完成画图如图3．
猜想：BE =DE ．
证明：取AB 的中点F ，连结EF ．
∵∠ACB =90︒，∠ABC =30︒，
∴∠1=60︒，CF =AF =
E
∴△ACF 是等边三角形．
1
AB ． 2A
∴AC =AF ． ① …… 4分
∵△ADE 是等边三角形， ∴∠2=60︒， C AD =AE ． ② ∴∠1=∠2．
∴∠1+∠BAD =∠2+∠BAD ． 即∠CAD =∠FAE ．③
由①②③得 △ACD ≌△AFE （SAS ）．
F
B
图3
D
∴∠ACD =∠AFE =90︒． ∵F 是AB 的中点，
∴EF 是AB 的垂直平分线． ∴BE=AE.
∵△ADE 是等边三角形， ∴DE=AE.
∴BE =DE ．