平行四边形;矩形,菱形,正方形的判定

平行四边形；矩形，菱形，正方形的判定

学习目标：

知识与技能目标：

1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理；

2. 能够运用判定定理进行有关的计算和证明；

3. 了解反证法的定义。

情感与态度目标：

通过观察归纳，类比，推理，体会数学活动中所蕴含的探索性和创造性，证明过程的严谨性和结论的确定性。

二. 重点：

平行四边形、矩形、菱形、正方形判定定理

三. 难点：

平行四边形、矩形、菱形、正方形判定在实际生活中的应用

四. 教学过程：

（一）知识梳理：

知识点1：平行四边形的判定

（I）文字语言：

方法1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形

方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形

方法3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

方法4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形

方法5：对角线互相平分的四边形是平行四边形

（II）数学语言：

∵AB//CD，AD//BC

∴四边形ABCD是平行四边形

∵AB=CD，AD=BC

∴四边形ABCD是平行四边形

∵AB//CD，AB=CD

∴四边形ABCD是平行四边形

∵∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD

∴四边形ABCD是平行四边形

∵OA=OC，OB=OD

∴四边形ABCD是平行四边形

知识点2：反证法

（I）步骤：

（1）假设命题的结论不成立

（2）从这个假设出发，经推理论证，得出矛盾

（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确

（II）说明：

（1）找结论的反面要找得准确，全面

（2）证题中的每一步都要有根据，直到推出矛盾

（3）推出的矛盾有两种情况①与定义、定理、公理矛盾，②与已知矛盾

知识点3：矩形的判定

I. 文字语言：

方法1：有一个角是直角的平行四边形是矩形

方法2：对角线相等的平行四边形是矩形

方法3：有3个角是直角的四边形是矩形

数学语言：

方法1：∵在平行四边形ABCD中，∠A=90°

∴平行四边形ABCD是矩形

方法2：∵在平行四边形ABCD中，AC=BD

∴平行四边形ABCD是矩形

方法3：∵∠A=∠B=∠C=90°

∴四边形ABCD是矩形

知识点4：菱形的判定

（I）文字语言：

1. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形

2. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形

3. 4条边都相等的四边形是菱形

（II）数学语言：

1. 在平行四边形ABCD中

∵AB=BC

∴平行四边形ABCD是菱形

2. 在平行四边形ABCD中

∵AC⊥BD

∴平行四边形ABCD是菱形

3. ∵AB=BC=CD=DA

∴四边形ABCD是菱形

知识点5：正方形的判定

（I）文字语言：

1.

2.

3.

4. 有一组邻边相等的矩形是正方形 有一个角是直角的菱形是正方形 对角线相等的菱形是正方形 对角线互相垂直的矩形是正方形

（II）数学语言：

1. 在矩形ABCD中

∵AB=BC

∴矩形ABCD是正方形

2. 在菱形ABCD中

∵∠A=90°

∴菱形ABCD是正方形

3. 在菱形ABCD中

∵AC=BD

∴菱形ABCD是正方形

4. 在矩形ABCD中

∵AC⊥BD

∴矩形ABCD是正方形

（二）实践探究

例1. 求证：一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形。

解：已知，如图，四边形ABCD中，AB//CD，∠B=∠D。

求证：四边形ABCD是平行四边形。

证明：连接AC

∵AB//CD ∴∠1=∠2

在△ABC和△CDA中

∴△ABC≌△CDA（AAS）

∴AB=CD

又∵AB//CD

∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）

例2. 已知：在四边形ABCD中，BE=DF，AC和EF互相平分于O，∠B=90°。

求证：四边形ABCD是矩形。

证明：∵EF和AC互相平分

∴OA=OC，OF=OE

∵∠AOE=∠COF

∴△AOE≌△COF（SAS）

∴AE=CF，∠OAE=∠OCF

∴AB//CD

又∵BE=DF

∴AE＋EB=DF＋CF

即AB=CD

∴四边形ABCD是平行四边形

（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）

又∵∠B=90°

∴平行四边形ABCD是矩形

例3. 已知：如图，过平行四边形ABCD的对角线交点O作互相垂直的两条直线EG、FH，与平行四边形ABCD各边相交于点E、F、G、H。求证：四边形EFGH是菱形。

证明：在平行四边形ABCD中

∵OD=OB，OA=OC，AD//CB

∴∠OBG=∠ODE

又∵∠BOG=∠DOE

∴△OBG≌△ODE

∴OE=OG

同理：△OAF≌△OCH ∴OF=OH

∴四边形EFGH是平行四边形

又∵EG⊥FH

∴平行四边形EFGH是菱形

例4. 在△ABC中，∠ACB=90°，CD是∠ACB的平分线，DE//AC交BC于E，DF//BC交AC于F。求证：四边形CEDF是正方形。

证明：∵DE//AC，DF//BC

∴四边形CEDF是平行四边形

∵∠ACB=90°

∴平行四边形CEDF是矩形

∴∠DEC=∠DFC=90°

∵CD是∠ACB的平分线

∴DE=DF

∴矩形CEDF是正方形

例5. 已知：将矩形ABCD沿EF折成如图所示的图形，D’F与BE相交于点G，延长C’E交AD于H，连接GH。求证：EF与GH互相垂直平分。

证明：先证四边形FGEH是平行四边形

再证：∠EFG=∠EFH=∠FEG

所以四边形FGEH是菱形

∴EF与GH互相垂直平分

（三）课堂小结：

1. 本节学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法，灵活地应用这些方法解决问题是学习本节的关键。

2. 本节学习中要注意比较，类比，它是全面灵活应用的前提条件。

【模拟试题】（答题时间：20分钟）

1. 已知AD//BC，要使四边形ABCD成为平行四边形，需要增加一个条件。

例如：AB//DC，除此之外，你还可以添加的条件是________________________（至少写出两种）

2. 爱动脑筋的小丽同学，为检验四边形桌面ABCD是否为矩形（如图），她用三角尺量了∠B=∠D=90°，用刻度尺量了AB=CD，就判断四边形桌面ABCD是矩形，请你说明道理。

3. 已知：BD是△ABC的角平分线，EF是BD的垂直平分线且交AB于点E，交BC于点F。 求证：四边形BFDE是菱形。

4. 将一张矩形的纸片ABCD先折出一条对角线AC，再将点A与点C重合折出折痕EF，最后分别沿AE，CF折叠，这样得到四边形AECF是什么样的四边形？试证明你的猜想。

5. 如图，将矩形纸片ABCD的一角折叠，使宽CD落在长AD上，若将其余三个角也像这样折叠后，再将矩形纸片展平，得到4条折痕，它们相交于H，E，F，G。猜想4条折痕所围成的四边形是什么样的四边形？并证明你的猜想。

【试题答案】

1. AD=BC或∠B=∠D

2. 道理如下：

连接AC可以证明Rt△ABC≌Rt△CDA

∴∠BAC=∠DCA

∴AB//CD

又∵AB=CD

∴四边形ABCD是平行四边形

又∵∠B=90°

∴平行四边形ABCD是矩形

3. 证明：∵EF是BD的垂直平分线

∴

EB=ED

∴∠EBD=∠EDB

同理∠FBD=∠FDB

又∵BD平分∠ABC

∴∠EBD=∠FBD

∴∠FBD=∠EDB ∠EBD=∠FDB ∴BF//DE，BE//DF

∴四边形BFDE是平行四边形 又∵BE=ED

∴平行四边形BFDE是菱形

4. 解：四边形AECF是菱形

证明：∵A、C关于折痕EF对称 ∴EF垂直平分AC

∴EA=EC，FA=FC

∴∠1=∠3，∠2=∠4

又∵AD//BC ∴∠2=∠3 ∴∠1=∠2=∠3=∠4

∴AE//FC

∴四边形AECF是平行四边形 又∵EA=EC

∴平行四边形AECF是菱形

5. 解：四边形EFGH是正方形 证明：∵M、C关于DP对称 ∴DM=DC ∴∠DMC=∠DCM ∵∠DMC=∠BCM

∴∠BCM=∠DCM=45° ∴∠DGC=90°

同理：∠GHE=∠HEF=∠EFG=90°∴四边形EFGH是矩形

很容易证明△BEQ≌△CGP ∴EQ=GP

又∵FP=FQ ∴FE=FG

∴矩形EFGH是正方形